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回归原点6　机械能守恒定律
1．功和功率
(1)恒力做功：W＝FL cos α，只与F、L、α有关。
合外力做功：可根据W合＝F合L cos α或W总＝W1＋W2＋W3＋…求解。
【提醒】　功是标量。做功的过程就是能量转化的过程，功是能量转化的量度。
(2)平均功率：常用计算。瞬时功率：F与v方向相同时，P＝Fv；F与v夹角为α时，P＝Fv cos α。
2．动能和动能定理
(1)动能：Ek＝mv2。
(2)动能定理：W＝。
【说明】　①如果物体受到几个力的共同作用，动能定理中的W为合力的功，它等于各个力做功的代数和。
②表达式是标量式，无分量式，不能在某一方向应用动能定理列方程。
3．重力势能
(1)重力势能：Ep＝mgh。
(2)重力做功与重力势能变化的关系：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
4．机械能守恒定律
(1)守恒条件：物体系统内只有重力或弹力做功。
(2)机械能守恒定律的不同表达式
表达式 含义
从不同状态看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
1．求解变力做功问题
(1)图像法：在F l图像中，图线与l轴所围的面积表示变力F做的功
(2)微元法
(3)动能定理法
根据动能定理，WF－mgL(1－cos θ)＝0，即WF＝mgL(1－cos θ)
2．机车启动问题
(1)机车以恒定功率启动
(2)机车以恒定加速度启动
(3)用v t图像分析两种机车启动过程
3．功能关系
功是能量转化的量度。
[典例1]　(鲁科版教材必修第二册P31T3)如图所示，质量为m的小球用长l的细线悬挂并静止在竖直位置P。用水平拉力F将小球缓慢地拉到Q点的过程中，拉力F做功为(　　)
A．mgl cos θ B．mgl(1－cos θ)
C．Fl sin θ D．Fl
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[典例2]　(人教版教材必修第二册P92例题)把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆(如图)，摆长为l，最大偏角为θ。如果阻力可以忽略，小球运动到最低点时的速度大小是多少？
分析　在阻力可以忽略的情况下，小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。
小球在最高点只有重力势能，动能为0，计算小球在最高点和最低点重力势能的差值，根据机械能守恒定律就能得出它在最低点的动能，从而算出它在最低点的速度。
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
[典例3]　(人教版教材必修第二册P100B组T5)如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，原长为l。质量为m的铁球由弹簧的正上方h高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，铁球下落到最低点。不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)铁球下落到距地面多高时动能最大？
(2)以上过程中弹簧弹性势能的最大值是多少？
[听课记录]　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
回归原点6　机械能守恒定律
典例1　B　[小球从P点缓慢拉到Q点，F为变力，由动能定理得WF－mgL(1－cos θ)＝0，即WF＝mgL(1－cos θ)，B项正确。]
典例2　解析：以小球为研究对象。设最低点的重力势能为0，以小球在最高点的状态作为初状态，以小球在最低点的状态作为末状态。
在最高点的动能Ek1＝0，重力势能是Ep1＝mg(l－lcos θ)
在最低点的重力势能Ep2＝0，而动能可以表示为
Ek2＝mv2
运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即
Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
把初末状态下动能、重力势能的表达式代入，得
mv2＝mg(l－lcos θ)
由此解出小球运动到最低点时的速度大小
v＝。
答案：
典例3　解析：(1)当铁球所受的合力为0时，动能最大
则有：mg＝kx'
得x'＝
则小球动能最大时离地面的高度为h'＝l－x'＝l－。
(2)设弹簧弹性势能的最大值为Ep，根据机械能守恒得Ep＝mg(h＋x)。
答案：(1)l－　(2)mg(h＋x)
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回归原点6　机械能守恒定律
回归原点——回归教材核心 感悟经典案例
[核心考点]
1．功和功率
(1)恒力做功：W＝FL cos α，只与F、L、α有关。
合外力做功：可根据W合＝F合L cos α或W总＝W1＋W2＋W3＋…求解。
【提醒】　功是标量。做功的过程就是能量转化的过程，功是能量转化的量度。
(2)平均功率：常用＝计算。瞬时功率：F与v方向相同时，P＝Fv；F与v夹角为α时，P＝Fv cos α。
2．动能和动能定理
(1)动能：Ek＝mv2。
(2)动能定理：W＝。
【说明】　①如果物体受到几个力的共同作用，动能定理中的W为合力的功，它等于各个力做功的代数和。
②表达式是标量式，无分量式，不能在某一方向应用动能定理列方程。
3．重力势能
(1)重力势能：Ep＝mgh。
(2)重力做功与重力势能变化的关系：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
4．机械能守恒定律
(1)守恒条件：物体系统内只有重力或弹力做功。
(2)机械能守恒定律的不同表达式
表达式 含义
从不同状态看 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
从转化角度看 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
从转移角度看 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能
[核心解读]
1．求解变力做功问题
(1)图像法：在F-l图像中，图线与l轴所围的面积表示变力F做的功
(2)微元法
(3)动能定理法

根据动能定理，WF－mgL(1－cos θ)＝0，即WF＝mgL(1－cos θ)
2．机车启动问题
(1)机车以恒定功率启动
(2)机车以恒定加速度启动
(3)用v-t图像分析两种机车启动过程
3．功能关系

功是能量转化的量度。
[经典案例]
[典例1]　(鲁科版教材必修第二册P31T3)如图所示，质量为m的小球用长l的细线悬挂并静止在竖直位置P。用水平拉力F将小球缓慢地拉到Q点的过程中，拉力F做功为(　　)
A．mgl cos θ B．mgl(1－cos θ)
C．Fl sin θ D．Fl
B　[小球从P点缓慢拉到Q点，F为变力，由动能定理得WF－mgL(1－cos θ)＝0，即WF＝mgL(1－cos θ)，B项正确。]
√
[典例2]　(人教版教材必修第二册P92例题)把一个小球用细线悬挂起来，就成为一个摆(如图)，摆长为l，最大偏角为θ。如果阻力可以忽略，小球运动到最低点时的速度大小是多少？
分析　在阻力可以忽略的情况下，小球摆动过程中受重力和细线的拉力。细线的拉力与小球的运动方向垂直，不做功，所以这个过程中只有重力做功，机械能守恒。
小球在最高点只有重力势能，动能为0，计算小球在最高点和最低点重力势能的差值，根据机械能守恒定律就能得出它在最低点的动能，从而算出它在最低点的速度。
[解析]　以小球为研究对象。设最低点的重力势能为0，以小球在最高点的状态作为初状态，以小球在最低点的状态作为末状态。
在最高点的动能Ek1＝0，重力势能是Ep1＝mg(l－l cos θ)
在最低点的重力势能Ep2＝0，而动能可以表示为
Ek2＝mv2
运动过程中只有重力做功，所以机械能守恒，即
Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1
把初末状态下动能、重力势能的表达式代入，得
mv2＝mg(l－l cos θ)
由此解出小球运动到最低点时的速度大小
v＝。
[答案]　
[典例3]　(人教版教材必修第二册P100B组T5)如图所示，竖直轻弹簧固定在水平地面上，弹簧的劲度系数为k，原长为l。质量为m的铁球由弹簧的正上方h高处自由下落，与弹簧接触后压缩弹簧，当弹簧的压缩量为x时，铁球下落到最低点。不计空气阻力，重力加速度为g。
(1)铁球下落到距地面多高时动能最大？
(2)以上过程中弹簧弹性势能的最大值是多少？
[解析]　(1)当铁球所受的合力为0时，动能最大
则有：mg＝kx′
得x′＝
则小球动能最大时离地面的高度为h′＝l－x′＝l－。
(2)设弹簧弹性势能的最大值为Ep，根据机械能守恒得Ep＝mg(h＋x)。
[答案]　(1)l－　(2)mg(h＋x)
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