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第七章 二元一次方程组
7.5* 三元一次方程组
1.理解三元一次方程(组)的定义，会判断一个方程组是不是三元一次方程组；
2.会用代入消元法和加减消元法解三元一次方程组，进一步体会消元思想.
1.解二元一次方程组有哪几种方法？
2.解二元一次方程组的基本思路是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
化二元为一元
化归转化思想
消元法：代入消元法和加减消元法.
问题1：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；今有上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何？（选自《九章算术》）
解释：有上禾3束，中禾2束，下禾1束，得米39斗；上禾2束，中禾3束，下禾1束，得米34斗；上禾1束，中禾2束，下禾3束，得米26斗．问上、中、下每束各可得米多少斗？
思考：题中有几个未知数，几个等量关系，该如何设未知数呢？
有三个未知数，三个等量关系，因此可以设三个未知数.
在这个问题中设每束上禾得米 x 斗、每束中禾得米 y 斗、每束下禾得米 z 斗，根据题意可列方程组： .
问题2：观察列出的三个方程，说说方程有什么特征？
三元一次方程：在这个方程组中，， 和 都含有三个未知数，且所含未知数的项的次数都是 1，这样的方程叫做三元一次方程；
三元一次方程组：像这样，共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
问题3：该如何解三元一次方程组呢？
我们会解二元一次方程组，能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
用代入消元法试一试！
解：由方程 ① 得 z = 39 - 3x - 2y ④，
把 ④ 分别代入 ①③，得 x - y = 5 ⑤，8x + 4y = 91 ⑥；
解由⑤⑥组成的二元一次方程组，得；
把 x = ，y = ，代入 ④ 得 z = ；所以原方程组的解是.
消去了未知数 x，变成二元一次方程组了！
解方程组：
思考：解上面的方程组时，能用代入消元法先消去未知数 x (或 y)，从而得到方程组的解吗？还有其他方法吗？
解：由方程 ③ 可变形为 x = 26 - 2y - 3z，代入 ① 和 ② 中可以先消去 x.
还可以先利用加减消元，由方程 ① - ② 可消去 z，得 x - y = 5 ⑤，
再由①×3 - ③ 得 8x + 4y = 91 ⑥；联立 ⑤ 与 ⑥ 即可求出 x，y 的值，进而求出 z 的值.
解三元一次方程组的基本思路：
通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程.
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
消元
消元
例1：解方程组：
解：由 ① + ② 得 2y = -6，解得 y = -3；
由 ② + ③ 得 2x = 14，解得 x = 7；
把 x = 7，y = -3 代入 ① 得 -3 + z - 7 = - 5，解得 z = 5；
∴ 原方程组的解为.
例2：一个三位数，各位数字之和是14，个位数字、百位数字的和等于十位数字，百位数字的7倍比个位数字、十位数字的和大2，求这个三位数。
解：设个位数字是 x，十位数字是 y，百位数字是 z.
答：这个数是 275 .
依题意，列方程组解得 ，解得
1.下列方程组中，是三元一次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2.下列方程组中，是三元一次方程组的是（ ）
A. B.
C. D.
D
C
3.解三元一次方程组 要使解法较为简单，首先应进行的变形为 ( )
A. ① + ② B. ① - ② C. ① + ③ D. ② - ③
A
4. 某次运动会上，我国运动员顽强拼搏，获得金、银、铜牌共 342 枚. 其中金牌枚数比银牌与铜牌枚数之和少 40. 铜牌枚数比金牌与银牌枚数之差多 40，问金、银、铜牌各获得多少？
解：设获得金牌 x 枚，银牌 y 枚，铜牌 z 枚.
根据题意，得，解得；
答：获得金牌 151 枚，银牌 108 枚，铜牌 83 枚.
三元一次方程组
含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程.
共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
三元一次方程（组）的概念
三元一次方程组中各个方程的的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
“消元法”——把“三元”化为“二元”，再化为“一元”.
三元一次方程组的解法

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