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(共20张PPT)
8.1 为什么要证明
1.了解推理的意义，知道要判断一个数学结论是否正确，必须进行推理
2.感受证明的必要性，体会演绎推理的严谨性和结论的确定性
观察下面两幅图中的中间圆，它们大小一样吗？
线段AB和CD长度完全相等，
虽然它们看起来相差很大!
柱子是圆的还是方的？
有多少个黑点？
线是直的还是弯曲的？
平行线：不敢相信图中的横线是平行的，不过它们就是平行线!
通过观察、度量、猜测得到的结论都正确吗？如果不是，那用什么方法才能说明它的正确性呢？
a
b
(1)两条线段a，b的长度相等吗？
以前，我们通过观察、实验、归纳得到了很多正确的结论.观察、
实验、归纳得到的结论一定正确吗？
a=b
是正方形.
仅通过观察得到的结论不一定正确.
为什么要证明
(2)四边形是正方形吗？
如何检验我们观察到的结论？
(2)如图，假如用一根比地球的赤道长1米的铁丝将地球赤道围起来，那么铁丝与地球赤道之间的间隙能有多大？(地球看成球形)能放进一个红枣吗？能放进一个拳头吗？
所以它们的间隙不仅能放进一个红枣，而且也能放进
一个拳头.
解：设赤道周长为c，铁丝与地球赤道之间的间隙为：
根据感觉经验得到的结论不一定正确！
做一做：(1)代数式n2－n＋11的值是质数吗？
解：列表归纳为
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 …
n2-n+11
是否为质数
当n＝0，1，2，3，4，5时，n2－n＋11的值分别是5，5，7，11，17，全是质数；
根据不完全归纳得到的结论不一定正确.
11
11
13
17
23
31
41
53
67
83
101
121
是
不是
是
是
是
是
是
是
是
是
是
是
…
…
而当n＝11，时，n2－n＋11＝112－11＋11＝121＝112；
所以对于所有自然数，式子n2－n＋11的值不都是质数.
欧拉
1732年，数学家欧拉指出，当n=5时，
=4 294 967 297=641×6 700 417，从而否定了费马的结论.
费马
历史上，很多数学家都想找到求质数的公式.1640年，数学家费马验证了当n=0，1，2，3，4时，式子的值3，5，17，257，65 537都是质数.于是他高兴的断言：“对于所有的自然数n，的值都是质数”.
费马的失误：
这个故事告诉我们：
2.没有严格的推理，仅由若干特例归纳、猜测的结论可能潜藏着错误，未必正确.
3.要证明一个结论是错误的，举反例就是一种常用方法.
1.学习欧拉的求实精神与严谨的科学态度.
你的结论对所有的△ABC都成立吗？与同伴交流.
根据测量得到的结论未必可信.
做一做：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，连接DE.DE与BC有怎样位置关系和数量关系？请先猜一猜，在设法检验你的猜想.
分析：通过测量可能得出猜想DE∥BC，DE=BC，并通过改变
三角形的形状，在不同的三角形中再次得到验证.
实验、观察、归纳得到的结论可能正确，也可能不正确.因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的证明.
思考：实验、观察、归纳是人们认识事物的重要手段.通过实验、观察、归纳得到的结论都正确吗？在上面的问题中，你是怎样判断一个结论是否正确的 说说你的经验与困惑.
先观察再验证.
(1)图①中实线是直的还是弯曲的？
(2)图②中两条线段a与b哪一条更长？
(3)图③中的直线AB与直线CD平行吗？
解：观察可能得出的结论是：
(1)实线是弯曲的；(2)a更长一些；(3)AB与DC不平行.
而我们用科学的方法验证后发现：
(1)实线是直的；(2)a与b一样长；(3)AB平行于CD.
图1
图3
图2
观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论.
实验验证、举出反例、推理证明.
检验数学结论的常用方法：
检验数学结论具体经历的过程是：
例1.当n为正整数时，代数式(n2－5n＋5)2的值都等于1吗？
解：当n＝1时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
当n＝2时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
当n＝3时，(n2－5n＋5)2＝(－1)2＝1；
当n＝4时，(n2－5n＋5)2＝12＝1；
当n＝5时，(n2－5n＋5)2＝52＝25≠1.
所以当n为正整数时，(n2－5n＋5)2不一定等于1.
例2.如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(1)若∠BOC＝30°，求∠AOB和∠COD的度数；
(2)若∠BOC＝54°，求∠AOB和∠COD的度数；
解：(1)∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.
∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－30°＝60°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－30°＝60°.
(2)∠AOB＝∠AOC－∠BOC＝90°－54°＝36°，
∠COD＝∠BOD－∠BOC＝90°－54°＝36°.
解：(3)由(1)(2)可发现：∠AOB＝∠COD.
(4)证明：∵OA⊥OC，OB⊥OD，∴∠AOC＝∠BOD＝90°.
∴∠AOB＋∠BOC＝∠AOC＝90°，∠BOC＋∠COD＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB＋∠BOC＝∠BOC＋∠COD.
∴∠AOB＝∠COD.
例2.如图，从点O出发作出四条射线OA、OB、OC、OD，已知OA⊥OC，OB⊥OD.
(3)由(1)、(2)你发现了什么？
(4)你能肯定上述的发现吗？
1.小明和小华在手工制作课上用铁丝制作楼梯模型，如图，那么他们两个人用的铁丝(　　)
A.小华用的多
B.小明用的多
C.两人用的一样多
D.不能确定谁用的多
C
小明
小华
2.下列说法中，①锐角都相等；②大于90°且小于平角的角是钝角；
③互为相反数的两数和为0；④若l1⊥l2，l1⊥l3，则l2⊥l3.其中正确
的有(　　)
A.①② B.②③ C.③④ D.②④
B
3.下列结论中你能肯定的是(　　)
A.今天下雨，明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张相片看起来佷像，则肯定照的是同一个人
B
认识证明(1)
证明的必要性
检验数学结论的常用方法
实验验证
举出反例
推理证明
实验、观察、归纳得到的结论不一定正确，要判断一个数学结论是否正确，必须进行有根有据的证明.
检验数学结论具体经历的过程
观察、度量、实验→猜想归纳→结论→推理→正确结论.

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