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11.1 三角形内角和定理
11.1 课时1
三角形内角和定理
1．证明三角形内角和定理，并能运用定理解决简单的问题．
2．在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力．
1.回顾平行线有哪些性质？
两直线平行
内错角相等
同位角相等
同旁内角互补
2.我们学过的知识中哪些含有180°的关系？
三角形内角和等于180°
1
2
3
4
∠1=∠2
∠1=∠3
∠1+∠4=180°
平角为180°
我们已经知道三角形的内角和等于180°，有什么方法可以验证这一结论？
①测量
47°
73°
60°
60°+47°+73°=180°
A
B
C
②剪拼
③折叠
B
C
A
A
B
C
观测的结果不一定可靠，还要通过数学知识来说明. 根据上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？
剪拼折叠角的目的什么？
构造平角
A
B
C
B
C
A
A
B
C
如果不实际移动角，通过什么方式来改变角的位置呢？
A
B
C
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
如何改变角的位置构造平角？
延长BC到D，过点C作射线CE∥BA
分析：
E
D
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
A
B
C
E
D
1
2
证明：延长BC到D，过点C作射线
CE∥BA，则
∠1=∠A（两直线平行，内错角相等），
∠2=∠B（两直线平行，同位角相等）.
∵∠1+∠2+∠ACB=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代换）.
已知：如图，△ABC.
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证法一：
三角形内角和定理
三角形内角和等于180°
A
B
C
几何语言：
在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
证明：过点A作l∥BC，
∴∠B=∠1，∠C=∠2,
（两直线平行，内错角相等）.
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
（平角的定义），
∴∠B+∠C+∠BAC=180°
（等量代换）.
1
2
l
已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.
你还能想到其他添加辅助线构造平角的方法吗？
证法二：
已知：如图，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
证明：过点D作DE∥AC，DF∥AB.
∴∠C=∠1，∠B=∠3
（两直线平行，同位角相等）.
∠A+∠AED=180°，∠AED+∠2=180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
∴∠A=∠2（等量代换）.
∵∠1+∠2+∠3=180°（平角的定义），
∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）.
1
2
3
D
E
F
证法三：
思考：除了构造平角得到180°外，还有其他方式吗？
两直线平行，同旁内角互补
除了在三角形顶点或边上构造平角外，还可以在三角形内部和外部构造平角.
A
B
C
A
B
C
讨论：如何构造平行线得到同旁内角呢？
根据给出的辅助线提示，请同学们课后完成这两种证明方法.
l
D
E
F
A
B
C
E
D
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
A
B
C
l
A
B
C
D
E
F
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
转化思想
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
例1 如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
C
B
D
解：在△ABC中，
∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形内角和定理).
∵∠B= 38°，∠C=62°(已知)，
∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性质).
∵AD平分∠BAC(已知)，
∴∠BAD =∠CAD= ∠BAC= ×80°= 40°
(角平分线的定义).
在△ADB中，
∠B +∠BAD+∠ADB = 180°(三角形内角和定理).
∵∠B=38°(已知)，∠BAD =40°(已证)，
∴∠ADB= 180°- 38°-40°= 102°(等式的性质).
A
C
B
D
②在△ABC中，∠A :∠B:∠C=1:2:3，则△ABC是 ______三角形 .
1.练一练：
①在△ABC中，∠A=35°，∠ B=43 °，则∠ C= .
③在△ABC中， ∠A=∠B+10°，∠C=∠A + 10°，则∠A= ， ∠B= ，∠ C= .
102°
直角
60°
50°
70°
2.如图，四边形ABCD中，点E在BC上，∠A+∠ADE= 180°，∠B=78°，∠C=60°，求∠EDC的度数．
解：∵∠A+∠ADE=180°，
∴AB∥DE，
∴∠CED=∠B=78°．
又∵∠C=60°，
∴∠EDC=180°-（∠CED+∠C）
=180°-（78°+60°）=42°．
3.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数．
解：∵△ABC中，∠A=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°．
∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠ACB）=60°．
∵∠PBC+∠PCB+∠BPC=180°，
∴∠BPC=180°-60°=120°．
三角形内角和定理
内容
证明
添加辅助线（平行线）
利用平行线的性质，转移角
转化为平角或同旁内角
三角形内角和等于180°
11.1 课时2 三角形的外角定理
1.掌握三角形外角的概念,会画出三角形的外角.
2.掌握三角形外角的两条性质,并能灵活运用性质解决相关问题.
1.回顾三角形内角和定理.
2.三角形的边、角关系有哪些？
三角形
边的关系
角的关系
任意两边之和大于第三边
任意两边之差小于第三边
三角形三个内角的和等于180 °
在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来位置时（方向与出发时相同），一共转了多少度？
定义：如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，
A
B
C
D
∠ACD是△ABC的一个外角
像这样，三角形内角的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
一、三角形外角的概念
A
B
C
D
问题1：
如图，延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？
E
∠DCE是不是△ABC的一个外角？
∠BCE是△ABC的一个外角
∠DCE不是△ABC的一个外角
问题2：
画出△ABC所有的外角，并指出有哪几个？
A
B
C
1
2
3
6
5
4
△ABC的外角有6个，分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6.
问题3：
△ABC的6个外角有什么关系？（位置关系和数量关系）
A
B
C
1
2
3
6
5
4
∠1和∠6是对顶角，∠1=∠6；
∠2和∠5是对顶角，∠2=∠5；
∠3和∠4是对顶角，∠3=∠4.
A
B
C
1
2
3
6
5
4
归纳：三角形外角的特征
角的顶点是三角形的顶点；
角的一边是三角形的一边；
另一边是三角形一边的延长线；
每个三角形都有6个外角.
A
B
C
E
D
F
练一练：
如图，∠BEC是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
∠BEC是△AEC的外角；
∠AEC是△BEC的外角；
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
探究1：△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
A
B
C
D
三角形的外角
相邻的内角
不相邻的内角
∠ACD与∠ACB互补
二、三角形外角的性质
探究2：
△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角（∠A，∠B）有什么关系？
A
B
C
D
猜测：∠A+∠B=∠ACD.
你能证明这个猜想吗？
已知，如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
A
B
C
D
证明：∵∠A+∠B+∠ACB=180°
（三角形内角和定理），
∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质）.
∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义），
∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质）.
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）.
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形内角和定理推论1：
A
B
C
D
几何语言：
在△ABC中，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠B.
探究3：
△ABC的外角∠ACD与其不相邻的两内角（∠A，∠B）的大小关系如何呢？
A
B
C
D
解：∵∠ACD=∠A+∠B，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
定理 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
三角形内角和定理推论2：
A
B
C
D
几何语言：
在△ABC中，
∵∠ACD是△ABC的一个外角，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
∵∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠B=180°-∠ACB（等式的性质）.
∵∠ACB+∠ACD=180°（平角的定义），
∴∠ACD=180°-∠ACB（等式的性质）.
∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换）.
∵∠ACD=∠A+∠B，
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
定理
推论
推论
由一个基本事实或定理直接推出的定理，叫做这个基本事实或定理的推论.推论可以当做定理使用.
例2 已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC.
B
A
E
D
C
分析：
证明AD∥BC
平行线的判定
证明内错角相等
或同位角相等
或同旁内角互补
证法一：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
又∠B=∠C（已知），
∴∠C= ∠EAC（等式的性质）.
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAC= ∠EAC（角平分线的定义）.
∴∠DAC=∠C（等量代换）.
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）.
B
A
E
D
C
这里运用了“内错角相等，两直线平行”.
你还能想到其他证明方法吗？
B
A
E
D
C
证法二：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），
又∠B=∠C（已知），
∴∠B= ∠EAC（等式的性质）.
∵AD平分∠EAC（已知），
∴∠DAE= ∠EAC（角平分线的定义）.
∴∠DAE=∠B（等量代换）.
∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）.
例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB，PC.
求证：∠BPC > ∠A.
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角
（外角的定义），
∴ ∠BPC＞∠ PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.
∵∠PDC是△ABD的一个外角
（外角的定义），
∴∠PDC＞∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.
∴∠BPC＞∠A.
D
你还有其他的证明方法吗？
1.如图，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F等于（ ）
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
2 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD， ∠ADC=80°，∠BAC=70°，求∠B 和∠C的度数.
解：∵∠ADC是△ABD的外角.
在△ABC中，
∵∠B+∠BAC+∠C=180°，
∴∠C=180 -40 -70 =70°.
∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°.
又∵∠B=∠BAD，
A
B
C
D
3.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理，∠2=∠A+∠D.
在△CFG中，
∠C+∠1+∠2=180 ，
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180 .
三角形的外角
角的顶点是三角形的顶点；
角的一边是三角形的一边；
另一边是三角形一边的延长线；
每个三角形都有6个外角.
特征
性质
①三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
②三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

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