资源简介

(共35张PPT)
11.1 三角形内角和定理
11.1 课时1
三角形内角和定理
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°.
2.应用三角形内角和定理解决相关问题.
我们已经知道三角形三个内角的和为_______.
180°
A
B
C
我们以前探索三角形三个内角的和是用什么方法，你还记得吗？
( 1）如图，如果我们只把∠A移到∠1的位置，你能说明这个结论吗 如果不移动∠A，那么你还有什么方法可以达到同样的效果
(2）根据前面给出的基本事实和定理，你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗 你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗
已知：如图，△ABC.
求证：∠A +∠B +∠C=180°.
A
C
B
分析：延长BC到D，过点C作射线CE//BA（如下图），这就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置.
A
C
B
D
E
1
2
这里的CD，CE称为辅助线，辅助线通常画成虚线.
证明：延长BC到D,过点C作射线CE//BA，则
∠1=∠A (两直线平行，内错角相等)，
∠2=∠B (两直线平行，同位角相等).
∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ，
∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换).
三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°.
B
A
C
Q
P
在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ//BC。他的想法可行吗？如果可行，你能写出证明过程吗？与同伴交流。
已知：如图,ΔABC
求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：过A点作PQ∥BC
∵PQ∥BC（已作）
∴∠PAB=∠B，∠QAC=∠C
（两直线平行，内错角相等）
∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(1平角=180°)
∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)
B
A
C
Q
P
(1)
A
B
C
P
Q
R
T
S
N
(3)
A
B
C
P
Q
R
M
T
S
N
(2)
A
B
C
P
Q
R
M
在证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角的顶点“凑”在BC边上的一点P？或“凑”到三角形内的一点呢？或“凑”到三角形外一点呢？同学们试证明一下.
证明命题的一般步骤:
1.理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
2.根据题意,画出图形;
3.结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
4.分析题意,探索证明思路;
5.依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
6.检查表达过程是否正确,完善.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
思路总结
为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法.
作辅助线
例1.如图，在△ABC中，∠B=38°，∠C=62°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
A
B
D
C
解：在△ABC中，
∵ ∠B=38°，∠C=62°（已知），
∴ ∠BAC=180°-38°-62°=80°（等式的性质）.
∵ AD平分∠BAC（已知），
∴ ∠BAD=∠CAD=∠BAC=×80°=40°（角平分线的定义）.
∠B+∠C+∠BAC=180°（三角形内角和定理）.
∴ ∠ADB=180°-38°-40°=102°（等式的性质）.
在△ADB中，
∠B+∠BAD+∠ADB=180°（三角形内角和定理）.
∵∠B=38°（已知），∠BAD=40°（已证），
A
B
D
C
在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数.
解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，
∠C为(x ＋ 15)°， 从而有
3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180.
解得 x ＝ 33.
所以 3x ＝ 99 ， x＋15＝ 48.
答：∠A，∠B，∠C的度数分别为99°，33°，48°.
几何问题借助方程来解. 这是一个重要的数学思想.
1．如图，点O是△ABC内一点，∠A＝80°，∠1＝15°，∠2＝40°，
则∠BOC等于( )
A．95° B．120° C．135° D．无法确定
C
2．在△ABC中，∠A＝∠B＋∠C，则下列对△ABC形状的判断正确的是(　　)
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等边三角形
3．若一直角三角形的两个锐角的差是20°，则较大
锐角的度数是________．
55°
B
4．已知：如图，AB∥CD，∠BEF，∠EFD的平分线相交于点G.求证：EG⊥FG.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BEF＋∠EFD＝180°.
∵ EG，FG分别平分∠BEF，∠EFD，
∴ ∠GEF＝∠BEF，∠EFG＝∠EFD.
∴ ∠GEF＋∠EFG＝(∠BEF＋∠EFD)＝90°.
∴ ∠G＝180°－(∠GEF＋∠EFG)＝180°－90°＝90°，
即EG⊥FG.
三角形的
内角和定理
证明
了解添加辅助线的方法及其目的
内容
三角形内角和等于180 °
11.1 课时2
三角形的外角定理
1.了解并掌握三角形的外角的定义．
2.掌握三角形的外角的性质，利用外角的性质进行简单的证明和计算．
如图，若将边BC延长至D，则可以得到一个新角∠ABD，这个角还是三角形的内角吗？这个角叫做什么角呢？
C
B
A
D
三角形的一边与另一边的延长线组成的角
叫做三角形的外角.
三角形的外角：
C
B
A
D
(1)如图，∠1是由△ABC的边____和△ABC的边____的延长线组成的，故∠1是△ABC的一个____角．
(2)①△ABC的外角是____，△DEC的外角是____；
②∠3＋∠4＋∠CBA＝____；
③∠1与∠3，∠4的等量关系是______________．
(3)三角形内角和定理的推论：
三角形的外角与内角的等量关系
【归纳】三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
CB
AB
外
∠1
∠3
180°
∠1＝∠3＋∠4
三角形的外角与内角的不等关系
(1)①如上图，可得∠1____∠3＋∠4，
②∠1与∠3的大小关系是__________，
∠1与∠4的大小关系是___________．
(2)三角形内角和定理的推论：
【归纳】三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
＝
∠1>∠3
∠1>∠4
三角形内角和定理的推论:
定理: 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
定理: 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
例1 已知：在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC. 求证：AD∥BC.
分析：要证明AD//BC，只需证明“同位角相等”或“内错角相等”或“同旁内角互补”.
证明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和
它不相邻的两个内角的和）
∠B=∠C（已知），
∴∠C= ∠EAC（等式的性质）
∵AD平分∠EAC（已知）
∴∠DAC= ∠EAC（角平分线的定义）
∴∠DAC=∠C（等量代换）
∴AD//BC（内错角相等，两直线平行）
例2 如图，在△ABC中，D是BC上的一点，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝78°，求∠DAC的度数．
解：∵∠3＝∠1＋∠2，∠1＝∠2，∴∠3＝2∠2.
又∵∠4＝∠3，∴∠4＝2∠2.
设∠2＝x°，则∠4＝2x°.
在△ABC中，∠2＋∠4＋∠BAC＝180°，
∴x°＋2x°＋78°＝180°，解得x＝34.
∴∠3＝∠4＝68°.
∴∠DAC＝180°－(∠3＋∠4)＝180°－136°＝44°.
例3 已知：如图，P是△ABC 内一点，连接PB、PC.
求证：∠BPC > ∠A.
D
证明：如图，延长BP，交AC于点D.
∵∠BPC是△PDC的一个外角（外角的定义），
∴ ∠BPC＞∠ PDC（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.
∵∠PDC是△ABD的一个外角（外角的定义），
∴∠PDC＞∠ A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）.
∴∠BPC＞∠A.
1.如图，在△ABC中， D是BC延长线上一点，
∠B = 40°，∠ACD = 120°，
则∠A等于( )
A.60° B.70° C.80° D.90°
解：根据三角形外角的性质可得，∠ACD =∠B+∠A，所以∠A=∠ACD -∠B= 120°-40°= 80°.
C
2.如图，AB∥CD，则下列说法正确的是( )
A.∠3=2∠1+∠2
B.∠3=2∠1-∠2
C.∠3=∠1+∠2
D.∠3=180°-∠1-∠2
C
解：∵AB∥CD，∴∠1=∠BCD，∠3是△COD的外角，
∴∠3=∠2+∠BCD=∠2+∠1.
1. 已知：如图所示，在△ABC 中,∠ DCA=100°,∠A=45°
求：∠B和∠ACB的大小.
A
B
C
D
45°
100°
解：∵ ∠DCA是△ABC的 一个外角(已知)
∠DCA=100°(已知)
∠A=45°(已知),
∴ ∠B=100°-45°=55°(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).
又∵∠DCA+∠BCA=180°(平角的定义),
∴ ∠ACB=80°(等式的性质).
2. 已知：如图，∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角。
求∠1+∠2+∠3的度数。
1
A
2
3
B
C
解：∵∠1、∠2、∠3是△ABC的三个外角
∴ ∠1= ∠ABC+ ∠ACB
∠2= ∠BAC+ ∠ACB
∠3= ∠ABC+ ∠CAB
∵三角形内角和为180°
∴ ∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB=180°
∴ ∠1+∠2+∠3=2（∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB）=360°
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
1.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
2.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角

展开更多......

收起↑