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第八章 证明
8.2 认识证明
第八章 证明
8.2 第1课时 定义与命题
1. 理解定义、命题的概念.
2.能分清命题的组成，会判断一个命题的真假，会用反例说明一个命题是假命题.
我得马上回家，看《爸爸去哪儿》.
快给你爸打电话.
给我爸打电话干什么？
你不是想知道你爸爸去哪儿么？
观察下列对话，说说他们之间的交流有什么问题？
人们在交流时常需要应用许多名称和术语.为了不产生歧义，对这些名称和术语的含义必须有明确的规定.
对名称和术语的含义加以描述,作出明确的规定,也就是给出它们的定义.
一个数学名词的定义揭示了它的本质特征，能够帮助我们准确地理解它，并作出准确的判断.
我们已经学习了许多数学概念，如：
含有未知数的等式叫作方程；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；
两条相交直线所成的四个角中，有公共顶点没有公共边的两个角称为对顶角.
试着举出其他例子
例如：
1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫作中华人民共和国公民” 是“ ”的定义；
2.“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“ ”的定义；
3.“无限不循环小数称为无理数” 是“ ”的定义；
4.“有两边相等的三角形叫作等腰三角形”是 “ ”的定义.
中华人民共和国公民
两点之间的距离
无理数
等腰三角形
给概念下定义时要求语言简单明了、标准清晰，可以明确地区分这个概念所包含的对象.
1.下列命题中，属于定义的是 (　 )　　　　　　　　　　　　
A.两点确定一条直线
B.同角或等角的余角相等
C.两直线平行，内错角相等
D.点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度

D
做了判断
没有做出判断
观察下列语句，你觉得哪些可以归为一类，说说你的理由
（1）任何一个三角形一定有一个角是直角；
（2）对顶角相等；
（3）无论 n 为怎样的自然数，式子 n2-n+11 的值都是质数；
（4）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（5）你喜欢数学吗？
（6）作线段 AB=CD.
尝试·思考
判断一件事情的句子，叫作命题.
2.下列句子中,哪些是命题
(1)今天的天气真好!
(2)这本书你看完了吗
(3)如果a=-b,那么a2=b2.
(4)奇数不能被2整除.
不是命题
不是命题
是命题
是命题.
注意：只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是命题，命题一般以陈述句的形式出现.
(1)如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等；
(2)如果a=b，那么a2=b2；
(3)如果两个三角形中有两边和一角分别相等，那么这两个三角形全等.
观察以下命题，这些命题有什么共同的结构特征？
都是“如果”“那么”的形式.
思考·交流
一般地，命题都可以写成“如果……那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是条件，“那么”引出的部分是结论.
命题可看作由条件 (或题设)和结论两部分组成.
题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项.
命题
结论
条件
已知事项
已知事项推出的事项
a = b
a2 = b2
如果 a = b，那么 a2 = b2.
阅读以下命题，讨论并回答问题：
(1)如果两个角相等，那么它们是对顶角；
(2)如果a≠b，b≠c，那么a≠c；
(3)全等三角形的面积相等；
(4)三角形三个内角的和等于180°.
1.指出命题的条件和结论.
2.命题中哪些是正确的？哪些是不正确的？你怎么知道它们是不正确的？
尝试·思考
条件
结论
条件
结论
条件
结论
条件
结论
错误
错误
（3）如果两个三角形全等，那么它们的面积相等
（4）如果三个角是三角形的内角，那么它们的和等于180°
条件和结论不明显，我们可以将它们改写成“如果……那么……”的形式以便更好确定条件和结论
当a=6，b=3，c=6 时，a≠b，b≠c，但a=c.
80°
50°
50°
如图，这两相等的角不是对顶角
正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题.
要说明一个命题是一个假命题，通常可以举出一个例子，使它具备命题的条件，而不具有命题的结论，这种例子称为反例.
很多情况下，命题的形式并不是“如果……那么……”的形式，在把命题改写成“如果……那么……”的形式时，为保证语句的通畅和不改变原意，应对原句进行适当的修改或调整.
条件
结论
条件
结论
3.将命题改写成“如果……那么……”的形式，指出条件和结论，并判断命题的真假.
(1) 有公共顶点的两个角是对顶角；
(2) 等式两边都加上同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.
(1)如果两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角. 假命题
(2)如果一个等式两边都加上同一个数或同一个整式，那么所得结果仍是等式. 真命题
定义与命题
定义
命题
对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定.
定义
组成
分类
判断一件事情的句子叫作命题
条件+结论
真命题
假命题
举反例
都能写成“如果…那么…”的形式
2.下列语句中，是命题的是 ( 　 )
A. 高高的山 B. 你好吗
C. 同位角相等 D. 在直线AB上取一点C
C
1. 下列语句中属于定义的是(　C)
A. 直角都相等
B. 作已知角的平分线
C. 连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离
D. 两点之间，线段最短
C
3.下列命题是假命题的是 (　　)
A.锐角小于90° B.平角等于两直角
C.若a>b,则a2>b2 D.若a2≠b2,则a≠b
C
D
4.下列把命题“同角的余角相等”改写成“如果……，那么……”的形式正确的是( )
A.如果是同角，那么余角相等
B.如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的余角
C.如果是同角，那么相等
D.如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等
5. 对于下列假命题，各举一个反例写在横线上.
(1)“如果ac＝bc，那么a＝b”是一个假命题.反
例： ；
(2)“如果｜a｜＝｜b｜，那么a＝b”是一个假命
题.反例： .
a＝1，b＝－1，c＝0　
a＝1，b＝－1　
6. 判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，举出一个反例.
(1)两个锐角的和是锐角；
(2)无限不循环小数是无理数；
解：(2)真命题.
(1)假命题.反例为：40°与60°的和为100°.
(2)真命题.
第八章 证明
8.2 第2课时 定理与证明
举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么
说出命题“同旁内角互补”的条件和结论，并判断该命题的真假，说说你的理由.
解：(1)假命题.反例为：40°与60°的和为100°.
假命题.反例为：如图，∠1＋∠2＜180°.
如何证实一个命题是真命题呢
用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法。
这些方法往往不可靠。
能不能根据已经知道的真命题证实呢
那已经知道的真命题又是如何证实的
哦……那可怎么办
如何证实一个命题是真命题呢
在证明一个观点或结论正确时，人们常常是通过“因为A正确，所以B正确”来证明。但问题是A正确又是因为什么呢？源头在哪里？如何确定证明的起点呢？
1.理解基本事实、定理与证明的概念，知道它们的联系与区别
2.初步掌握综合法证明的格式，会对真命题进行证明.
古希腊数学家欧几里得(Eyclid，公元前3世纪)
著作《原本》
原名：某些数学名词称为原名.
公理：公认的真命题称为公理.
证明：演绎推理的过程称为证明.
定理：经过证明的真命题称为定理.
其实，在数学发展史上，数学家们也遇到过类似的问题.公元前3世纪，人们已经积累了大量的数学知识，在此基础上，古希腊数学家欧几里得编写了一本书，书名为《原本》.
公理=基本事实，是通过长期实践被证实的，不需要证明，除公理外，其他真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实.
为了说明每一结论的正确性，他在编写这本书时进行了大胆创造：挑选了一部分数学名词和一部分公认的真命题作为证实其他命题的出发点和依据.
概念
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定理是怎么得到的？证明定理的依据是什么？
基本事实（公理）：
1.两点确定一条直线.
2.两点之间线段最短.
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么
这两条直线平行（简述为同位角相等，两直线平行）.
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 .
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
有关定义、公理
条件1
定理1
有关定义、公理
条件2
定理2
…
定理3
…
有关定义、公理
条件1
定理1
有关定义、公理
条件2
定理2
…
定理3
…
数与式的运算律和运算法则、等式和不等式的有关性质
证明的依据
例：若a=b，b=c ，则a=c 等量代换
若a＞b，b＞c，则a＞c 不等式的传递性
基本事实（公理）：
1.两点确定一条直线.
2.两点之间线段最短.
3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么
这两条直线平行（简述为同位角相等，两直线平行）.
5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 .
6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8.三边分别相等的两个三角形全等.
定义、命题、基本事实(公理)、定理的区别与联系
举反例
命题
真命题
假命题
公理
定理
定义
基本事实是定理推导的起点，无需证明，但被广泛接受为真.
定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题.
定义是命题、公理和定理的基础，明确了它们的讨论范围
一些条件
定理公理
推理
证实其他命题的正确性
定义、命题、基本事实(公理)、定理的区别与联系
演绎推理的过程叫作证明
经过证明的真命题叫作定理
举反例
命题
真命题
假命题
公理
定理
定义
基本事实是定理推导的起点，无需证明，但被广泛接受为真.
定理是命题和基本事实的逻辑延伸，通过证明得到的真命题.
定义是命题、公理和定理的基础，明确了它们的讨论范围
一些条件
定理公理
推理
证实其他命题的正确性
1.下列说法正确的是（ ）
A．命题一定是正确的
B．不正确的判断就不是命题
C．真命题都是公理
D．定理都是真命题
D
定理都是真命题，但真命题不一定都是定理
2.写出两个公理：　　 　　；　　　　 .
两点确定一条直线
　两点之间线段最短
定理：同角（或等角）的补角相等
定理：同角（或等角）的余角相等
定理：三角形的任意两边之和大于第三边
从这些基本事实出发，就可以证明这些已经探索过的结论
命题“同角的补角相等”已知的是什么？要求证的是什么？试用数学符号表示
已知:∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°.
求证:∠2=∠3.
可以利用什么知识得到∠2=∠3？请尝试书写证明命题“同角的补角相等”的规范步骤
符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”.
证明符号
定理：同角的补角相等
已知:∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°.
求证:∠2=∠3.
证明：∵∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°(已知)，
∴∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1(等式的性质)，
∴∠2=∠3(等量代换).
证明一个命题的一般步骤：
1.已知：写出命题的条件(必要时结合图形).
2.求证：写出命题的结论.
3.证明：写出演绎推理的过程.
证明：
定理：
对顶角相等
可以用定理：同角（或等角）的补角相等证明“对顶角相等”
A
C
O
D
B
试着画图形分析可以利用什么基本事实或定理得到两个角相等？
已知：如图，直线AB与直线CD相交
于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角.
求证： ∠AOC =∠BOD.
证明：∵直线AB与直线CD相交于点O，
∴ ∠AOB与∠COD都是平角（平角的定义）.
∴ ∠AOC与∠BOD都是∠AOD的补角（补角的定义）.
∴ ∠AOC =∠BOD （同角的补角相等）.
3.如图所示，直线AB与CD相交于点O，射线OE是∠BOD的平分线.
求证:∠BOE=∠AOC.
证明:∵OE是∠BOD的平分线(已知),
∴∠BOE=∠BOD(角平分线的定义).
∵∠BOD=∠AOC(对顶角相等),
∴∠BOE=∠AOC(等量代换).
4.请你完成定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的证明.
已知：如图，三角形ABC.
求证：AB+BC >AC，AB+AC >BC，BC+AC >AB.
证明：观察图中三角形，若把它的任意两个顶点，如A、C看作定点，则由“两点之间线段最短”，可得AB+BC >AC.同理可得AB+AC >BC，BC+AC >AB.
A
B
C
通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
定义、公理、定理
(不)等式等有关性质
运算律和运算法则
证明步骤
1.由题意作出图形
2.写出已知和求证
3.写出证明的过程
证明依据
联系与区别
1.下列真命题能作为基本事实的是(　　)
A．对顶角相等
B．三角形的内角和是180°
C．在同一平面没，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．内错角相等，两直线平行
C
2.下列说法不正确的是( )
A. 证实命题正确与否的推理过程叫做证明
B. 定理是命题，而且是真命题
C. “对顶角相等”是命题，但不是定理
D. 要证明一个命题是假命题只要举出一个反例即可
C
对顶角相等是通过推理证实得出的真命题，所以它是定理.
3.下列语句中属于定理的是（ ）
A．在直线AB上取一点E
B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角
C．同位角相等
D．同角的补角相等
D
4.如图所示，下列推理不正确的是(　　)
A．∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠C＝180°
B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BC
C．∵AD∥BC，∴∠3＝∠4
D．∵∠A＋∠ADC＝180°，∴AB∥CD
C
5.下列说法正确的是( )
A. 定理可以推导出基本事实
B. 定理都是真命题
C. 定理和基本事实都不需要证明
D. 基本事实不一定是真命题
B
基本事实作为定理的前提条件或基础
定理都是经过推论、论证的真命题，需要进行证明，它可以基于基本事实进行推导和证明，不一定可以推导出基本事实.
6.证明：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
B
C
A
D
∵ ∠ACD+∠ACB=180°(平角的定义)，
∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和定理)，
∴ ∠ACD =180°-∠ACB，
∠A+∠B=180°-∠ACB(等式的性质).
∴ ∠ACD=∠A+∠B(等量代换).
∴三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.

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