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3.匀变速直线运动的位移与时间的关系
课程标准 素养目标
1.掌握利用v-t图像求解位移的方法。 2.掌握位移—时间的关系式并能灵活应用。 3.会推导公式=2ax,并能灵活运用。 4.能分析和处理追及和相遇问题。 5.理解公式的矢量性,能运用速度与位移的关系分析、解决匀变速直线运动实际问题。 1.匀变速直线运动的位移以及速度和位移的关系。 (物理观念) 2.通过v -t图像分析匀变速直线运动的位移,极限法的运用;灵活运用速度和位移公式。 (科学思维) 3.掌握追及和相遇问题的处理方法,增强将物理知识应用于实际生活的意识。 (科学态度与责任)
高端教学引领
【教学建议】
　　1.匀变速直线运动位移公式和图像的应用:
任务 建议
匀变速直线运动的位移 通过对汽车在水平面内的运动分析,了解如何利用v-t图像和公式计算位移
用图像表示位移 通过对斑马奔跑产生的位移随时间变化的分析得出v-t图像的特点和物理意义
　　2.速度和位移的关系:
任务 建议
匀变速直线运动速度与位移关系的理解 对汽车通过路口的运动分析“得出速度与位移的关系式”并加以理解和应用
综合应用运动学公式解决实际问题 通过对航空母舰上战斗机起飞和降落的运动分析学会应用运动学公式解决实际问题
【情境导引】
　　电磁炮是利用电磁发射技术制成的一种先进杀伤性武器,与传统大炮将火药燃气压力作用于弹丸不同,电磁炮是利用电磁系统中电磁场的作用力,其作用的距离要长得多,可大大提高弹丸的速度和射程。
　　问题导引:
　　(1)为什么作用距离能影响弹丸的速度和射程呢
　　(2)弹丸的速度与作用距离有什么关系呢
课前自主学习 1.匀速直线运动的位移:
(1)做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x=vt。
(2)做匀速直线运动的物体,其v -t图像是一条平行于时间轴的直线,其位移在数值上等于v -t图线与t轴所包围的矩形的面积。
2.匀变速直线运动的位移:
提示:位移x与t2成正比。
(1)位移在v -t图像中的表示:做匀变速直线运动的物体的位移对应着v -t图像中的图线和t轴包围的面积。如图,在0~t0时间内的位移大小等于梯形的面积。
(2)位移公式:x=v0t+at2。
①当v0=0时,x=at2,表示物体做初速度为零的匀加速直线运动。
②当a=0时,x=v0t,表示物体做匀速直线运动。 1.匀变速直线运动的速度与位移的关系:
(1)匀变速直线运动的位移与速度关系式:v2-=2ax。
(2)当初速度v0=0时,v2=2ax。
2.匀变速直线运动的三个基本关系式:
(1)速度时间关系式:v=v0+at。
(2)位移时间关系式:x=v0t+at2。
(3)位移速度关系式:v2-=2ax。
【易错辨析】
(1)匀变速直线运动的v-t图线与t轴所围的面积等于物体的位移。 (　　)
(2)位移公式x=v0t+at2仅适用于匀加速直线运动。 (　　)
(3)初速度越大,时间越长,匀变速直线运动物体的位移一定越大。 (　　)
(4)确定公式v2-=2ax中的四个物理量时,必须选取同一参考系。 (　　)
(5)在公式v2-=2ax中,x、v0、v、a都是矢量,应用时必须选取统一的正方向。 (　　)
提示:(1)√
(2)×。同样适用于匀速直线运动和匀减速直线运动。
(3)×。匀减速直线运动位移不一定越大。
(4)√　(5)√
课堂合作探究 【生活情境】
如图,两辆汽车,甲车正在向左匀减速行驶,乙车正在向右匀加速行驶。
【问题探究】
(1)它们都可以应用公式x=v0t+at2计算位移吗
提示:都可以。
(2)计算它们的位移属于矢量运算,解题时如何规定正方向呢
提示:一般以初速度的方向为正方向。
【结论生成】
1.v -t图像中的位移:
匀变速直线运动的v -t图线与横轴t所围面积的数值等于物体在该段时间内的位移的大小。
(1)当“面积”在t轴上方时,位移取正值,这表示物体的位移与规定的正方向相同。
(2)当“面积”在t轴下方时,位移取负值,这表示物体的位移与规定的正方向相反。
2.x=v0t+at2公式的矢量性:
公式x=v0t+at2为矢量公式,其中x、v0、a都是矢量,应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。
通常有以下几种情况:
运动情况 取值
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向,a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向,a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反
3.公式的两种特殊形式:
(1)当a=0时,x=v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0=0时,x=at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
【特别提醒】
(1)公式x=v0t+at2是匀变速直线运动的位移公式,而不是路程公式,利用该公式计算出的物理量是位移而不是路程。
(2)位移与时间的平方不是正比关系,时间越长,位移不一定越大。
【典例示范】
一辆汽车在平直公路上以v0=72 km/h的速度行驶,司机突然发现前方s=48 m处有障碍物,经Δt=0.4 s后开始刹车,最后刚好在障碍物前停下。已知汽车在刹车过程中做匀变速直线运动,求:
(1)刹车过程中汽车的加速度大小;
(2)汽车在刹车过程中所用的时间。 【探究训练】
1.核潜艇是战略核威慑手段之一,我国自主研制的“094A”核潜艇在世界上处于比较领先的地位。在某次实战训练中潜艇遇到情况需要紧急下潜,假设在某段时间内“094A”潜艇的位移随时间的变化规律为x=8t-t2(m),则下列说法正确的是 (　　)
A.潜艇的加速度大小为1 m/s2 B.潜艇的初速度为8 m/s
C.潜艇第1 s内的位移为5 m D.潜艇在2 s末的速度为0 2.一列长为400 m的火车在通过一座大桥时做匀减速直线运动,火车通过桥头和桥尾的时间分别是10 s和20 s,火车完全通过大桥的总时间为40 s,其过程简化如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.火车头经过桥尾时的速度大小为28 m/s
B.火车头经过桥头时的速度大小为40 m/s
C.火车的加速度大小为0.5 m/s2
D.大桥的长度为1 040 m 3.(多选)某物体运动的速度图像如图所示。根据图像可知 (　　)
A.0~2 s内的加速度为1 m/s2
B.0~5 s内的位移为10 m
C.第1 s末与第3 s末的速度方向相同
D.第1 s末与第5 s末加速度方向相同 【生活情境】
斑马奔跑的速度快而持久,每小时可奔跑60~80千米。假设斑马沿直线轨道奔跑,图中描述了它相对出发点的位移随时间变化的情况。
【问题探究】
试结合上述情景,讨论下列问题:
(1)情景中,斑马最远距离出发点多少米
提示:根据图像可得,斑马最远距离出发点90 m。
(2)情景中,斑马各阶段的运动状态是怎样的
提示:斑马在前2.5 min内以0.6 m/s(v=0.6 m/s)的速度做匀速直线运动,在2.5 min到3 min斑马停在距出发点90 m的位置。
【结论生成】
1.x -t图像的物理意义:
x -t图像反映了物体的位移随时间的变化关系,图像上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。
2.x -t图像的应用:
位移 大小 初、末位置的纵坐标差的绝对值
方向 末位置与初位置的纵坐标差的正负值,正值表示位移沿正方向,负值表示位移沿负方向
速度 大小 斜率的绝对值
方向 斜率的正负,斜率为正,表示物体向正方向运动;斜率为负,表示物体向负方向运动
运动开始位置 图线起点纵坐标
运动开始时刻 图线起点横坐标
两图线交点的含义 表示两物体同时在同一位置(相遇)
[拓展延伸] 位移图像的内涵
(1)点:图线上每一点代表物体在某一时刻的位移;图线的交点表示此时刻物体相遇。
(2)线:倾斜直线表示物体做匀速直线运动;平行于t轴的直线表示物体静止;曲线表示物体做变速直线运动。
(3)截距:位移图像与纵坐标轴的交点表示计时开始时物体的位置到原点的距离和方向,位移图像与横坐标轴的交点表示计时开始的时刻或物体经过原点的时刻。
(4)斜率:图线斜率的绝对值表示速度的大小,即v=|k|=。
【典例示范】
(多选)如图所示,A、B两物体从同一地点开始运动,由A、B两物体的位移—时间图像可知,下列说法正确的是 (　　)
A.A、B两物体同时从同一位置向同一方向运动
B.A、B两物体自同一位置向同一方向运动,B比A晚出发2 s
C.A、B两物体速度大小均为10 m/s
D.A、B两物体在A出发后4 s、距出发点20 m处相遇 【探究训练】
1.(多选)如图1所示,端午节赛龙舟是传统的娱乐项目。有甲、乙两支队伍同时同地出发,其速度—时间图像如图2所示,甲在第一段时间内的加速度是第二段时间内的加速度的,结合图像所提供的信息分析,下列判断正确的是 (　　)
A.甲在t0时刻的速度为
B.两支队伍比赛的路程为
C.乙到达终点的时刻为t0
D.当乙到达终点时,甲的速度为 2.(多选)(2025·济南高一检测)甲、乙两物体从同一点开始沿同一直线运动,甲的位移—时间(x-t)图像和乙的速度—时间(v-t)图像如图所示。下列说法中正确的是 (　　)
A.甲在6 s末回到出发点,乙距出发点的最大距离为4 m
B.2 s到4 s内乙做匀变速直线运动
C.第3 s内甲、乙两物体运动方向相反
D.甲在第二个2 s内的位移大小为8 m 【生活情境】
一汽车正匀速行驶,当它到达前方路口时开始减速,匀减速至某一速度后做匀速运动。
【问题探究】
试根据以上情景,探讨下列问题:
(1)怎样推导速度—位移的关系公式
提示:可以把速度公式v=v0+at和位移公式x=v0t+at2中的时间t消去,就可以得出匀变速直线运动的速度与位移的关系式v2-=2ax。
(2)关系式v2-=2ax中一共有几个物理量 若求其中的一个物理量,需要知道几个物理量 如果规定v0的方向为正方向,则a正负的含义分别是什么
提示:关系式v2-=2ax中一共有四个物理量;若求其中的一个物理量,需要知道其他三个物理量。速度与位移的关系式v2-=2ax为矢量式,应用它解题时,若规定初速度v0的方向为正方向,a与v0同向时a为正值,物体做匀加速运动;a与v0反向时a为负值,物体做匀减速运动。
(3)应用v2-=2ax分析匀变速直线运动有何优势
提示:因为公式v2-=2ax不涉及物体运动的时间,故在不要求计算时间时,应用该式分析匀变速直线运动较方便,特别是求解刹车问题中的刹车距离时比较方便。
【结论生成】
1.公式的适用条件:
公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系,适用于匀变速直线运动。
2.公式的矢量性:
公式中v0、v、a、x都是矢量,应用时必须选取统一的正方向,一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时,a取正值;做减速运动时,a取负值。
(2)x>0,说明物体通过的位移方向与初速度方向相同;x<0,说明位移的方向与初速度的方向相反。
3.两种特殊形式:
(1)当v0=0时,v2=2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v=0时,-=2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
【典例示范】
(2025·滨州高一检测)在如今这个瞬息万变的时代,高铁列车已经逐渐成为人们出行的首选交通工具,它凭借快速且舒适的优点备受青睐。然而,也有人偏爱选择用时较久的普通列车出行。假设某普通列车在某一路段做匀加速直线运动,速度由20 m/s增加到30 m/s时的位移为x,则当速度由30 m/s增加到50 m/s时,它的位移是 (　　)
A.3.5x B.2.5x C.2x D.3.2x 【探究训练】
1.动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离为1 km,某同学乘坐动车时,通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时,屏幕显示的动车速度为126 km/h(如图所示),动车又前进了2个里程碑时,速度变为
54 km/h,若把动车进站过程视为匀减速直线运动,则动车进站时的加速度大小为 (　　)
A. m/s2 B. m/s2
C. m/s2 D. m/s2 2.物体的初速度是v0,以加速度a做匀加速直线运动,如果要使速度增加到初速度的n倍,则经过的位移是 (　　)
A.(n2-1)　　　 B.(n-1)
C.n2 D.(n-1)2 【生活情境】
情景1:如图是中国空军歼-15战机在航母甲板上起飞的情形。假设起飞甲板的长度为200 m,降落甲板的长度为90 m,歼-15战机起飞的最小速度为80 m/s,飞机在航母上的平均加速度为
15 m/s2。
情景2:如图所示,歼-15在航母甲板上降落时的速度达到60 m/s,为了使飞机安全降落,航母上装有阻拦索,可以使飞机在短距离内停止运动。
【问题探究】
(1)在情景1中,如果飞机从静止开始做匀加速直线运动,飞机在航母上能否正常起飞
提示:飞机初速度为零,由位移与速度关系式得飞机滑离甲板时v== m/s =20 m/s
由于20 m/s<80 m/s,所以飞机不能正常起飞。
(2)在情景1中,飞机如果要在甲板上正常起飞,航母和飞机要有一定的初速度,航母的初速度是多少 飞机在航母上的运动时间是多少
提示:由位移与速度关系式v2-=2ax可得:v0== m/s=20 m/s
即航母以20 m/s的速度航行
由速度公式v=v0+at可得运动时间t== s=4 s
(3)在情景2中,如果航母静止,降落时在甲板上滑行的距离为90 m。飞机要安全降落,阻拦索对飞机产生的加速度是多少
提示:飞机的初速度v=60 m/s,末速度为零,
即v'=0,由位移与速度关系式得:a== m/s2=-20 m/s2。
【结论生成】
1.运动学公式的选取技巧:
(1)如果题目中无位移x,也不求位移,一般选用速度公式v=v0+at。
(2)如果题目中无末速度v,也不求末速度,一般选用位移公式x=v0t+at2。
(3)如果题目中无运动时间t,也不求运动时间,一般选用位移与速度关系式v2-=2ax。
(4)如果题目中无加速度a,也不求加速度,一般选用公式x=t=t。
2.用匀变速直线运动规律解题的步骤:
(1)认真审题,弄清题意和物体的运动过程,必要的时候画出物体运动过程的示意图。
(2)明确已知物理量和要求的物理量。
(3)规定正方向(一般取初速度的方向为正方向),从而确定已知量和未知量的正、负号,对于无法确定方向的未知量,可以先假设此量方向为正方向。
(4)选择恰当的公式求解。
(5)判断结果是否合乎题意,根据正负号确定所求物理量的方向。
【典例示范】
　学校对升旗手的要求是国歌响起时开始升旗,当国歌结束时国旗恰好升到旗杆顶端。已知国歌从响起到结束的时间是48 s,国旗上升的高度是17.6 m。若国旗先向上做匀加速运动,时间持续4 s,然后做匀速运动,最后做匀减速运动,减速时间也为4 s,国旗到达旗杆顶端时的速度恰好为零。则国旗匀加速运动时加速度为 (　　)
A.0.2 m/s2 B.0.4 m/s2
C.0.3 m/s2 D.0.1 m/s2 [规律方法] 运动学问题常见的四种解题方法
(1)公式法:有些题根据题目条件选择恰当的公式即可。但对匀减速运动要注意两点,
①加速度在代入公式时一定是负值;
②题目所给的时间不一定是匀减速运动的时间,要判断是否为匀减速的时间后才能用。
(2)图像法:借助v-t,x-t图像解决问题。
(3)逆向分析法:将匀减速运动看作反方向的匀加速运动。
(4)变换参照系法:在运动学问题中,相对运动问题是比较难的部分,若采用变换参照系法处理此类问题,可起到化难为易的效果。
【探究训练】
1.如图所示,一汽车装备了具有“自动刹车系统”功能的城市安全系统,当车速v≤10 m/s且与前方静止的障碍物之间的距离接近安全距离时,如果司机未采取制动措施,系统就会立即启动“自动刹车系统”,使汽车避免与障碍物相撞。在上述条件下,若该车在某路况下的“自动刹车系统”的加速度取4~6 m/s2之间的某一值,刹车过程看成匀变速直线运动,则“自动刹车”的可能距离为 (　　)
A.25 m　　B.20 m　　C.15 m　　D.10 m 2.(2025·临沂高一检测)可爱的企鹅喜欢在冰面上玩游戏。如图所示,有一企鹅在倾斜冰面上,先以加速度a1=0.5 m/s2从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”,8 s时,突然卧倒以加速度大小为a2=4 m/s2肚皮贴着冰面匀减速向前滑行,直到最高点。求:
(1)企鹅向上奔跑的位移大小;
(2)企鹅在冰面向上运动的最大距离。 【课堂回眸】
课时巩固 请使用　课时素养检测 八3.匀变速直线运动的位移与时间的关系
课程标准 素养目标
1.掌握利用v-t图像求解位移的方法。 2.掌握位移—时间的关系式并能灵活应用。 3.会推导公式=2ax,并能灵活运用。 4.能分析和处理追及和相遇问题。 5.理解公式的矢量性,能运用速度与位移的关系分析、解决匀变速直线运动实际问题。 1.匀变速直线运动的位移以及速度和位移的关系。 (物理观念) 2.通过v -t图像分析匀变速直线运动的位移,极限法的运用;灵活运用速度和位移公式。 (科学思维) 3.掌握追及和相遇问题的处理方法,增强将物理知识应用于实际生活的意识。 (科学态度与责任)
高端教学引领
【教学建议】
　　1.匀变速直线运动位移公式和图像的应用:
任务 建议
匀变速直线运动的位移 通过对汽车在水平面内的运动分析,了解如何利用v-t图像和公式计算位移
用图像表示位移 通过对斑马奔跑产生的位移随时间变化的分析得出v-t图像的特点和物理意义
　　2.速度和位移的关系:
任务 建议
匀变速直线运动速度与位移关系的理解 对汽车通过路口的运动分析“得出速度与位移的关系式”并加以理解和应用
综合应用运动学公式解决实际问题 通过对航空母舰上战斗机起飞和降落的运动分析学会应用运动学公式解决实际问题
【情境导引】
　　电磁炮是利用电磁发射技术制成的一种先进杀伤性武器,与传统大炮将火药燃气压力作用于弹丸不同,电磁炮是利用电磁系统中电磁场的作用力,其作用的距离要长得多,可大大提高弹丸的速度和射程。
　　问题导引:
　　(1)为什么作用距离能影响弹丸的速度和射程呢
　　(2)弹丸的速度与作用距离有什么关系呢
课前自主学习
一、位移和时间关系
1.匀速直线运动的位移:
(1)做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x=vt。
(2)做匀速直线运动的物体,其v -t图像是一条平行于时间轴的直线,其位移在数值上等于v -t图线与t轴所包围的矩形的面积。
2.匀变速直线运动的位移:
任务驱动:汽车起步后做初速度为零的匀加速直线运动,位移x与t成正比还是与t2成正比
提示:位移x与t2成正比。
(1)位移在v -t图像中的表示:做匀变速直线运动的物体的位移对应着v -t图像中的图线和t轴包围的面积。如图,在0~t0时间内的位移大小等于梯形的面积。
(2)位移公式:x=v0t+at2。
①当v0=0时,x=at2,表示物体做初速度为零的匀加速直线运动。
②当a=0时,x=v0t,表示物体做匀速直线运动。
二、速度与位移关系
1.匀变速直线运动的速度与位移的关系:
(1)匀变速直线运动的位移与速度关系式:v2-=2ax。
(2)当初速度v0=0时,v2=2ax。
2.匀变速直线运动的三个基本关系式:
(1)速度时间关系式:v=v0+at。
(2)位移时间关系式:x=v0t+at2。
(3)位移速度关系式:v2-=2ax。
【易错辨析】
(1)匀变速直线运动的v-t图线与t轴所围的面积等于物体的位移。 (　　)
(2)位移公式x=v0t+at2仅适用于匀加速直线运动。 (　　)
(3)初速度越大,时间越长,匀变速直线运动物体的位移一定越大。 (　　)
(4)确定公式v2-=2ax中的四个物理量时,必须选取同一参考系。 (　　)
(5)在公式v2-=2ax中,x、v0、v、a都是矢量,应用时必须选取统一的正方向。 (　　)
提示:(1)√
(2)×。同样适用于匀速直线运动和匀减速直线运动。
(3)×。匀减速直线运动位移不一定越大。
(4)√　(5)√
课堂合作探究
主题一　匀变速直线运动的位移
【生活情境】
如图,两辆汽车,甲车正在向左匀减速行驶,乙车正在向右匀加速行驶。
【问题探究】
(1)它们都可以应用公式x=v0t+at2计算位移吗
提示:都可以。
(2)计算它们的位移属于矢量运算,解题时如何规定正方向呢
提示:一般以初速度的方向为正方向。
【结论生成】
1.v -t图像中的位移:
匀变速直线运动的v -t图线与横轴t所围面积的数值等于物体在该段时间内的位移的大小。
(1)当“面积”在t轴上方时,位移取正值,这表示物体的位移与规定的正方向相同。
(2)当“面积”在t轴下方时,位移取负值,这表示物体的位移与规定的正方向相反。
2.x=v0t+at2公式的矢量性:
公式x=v0t+at2为矢量公式,其中x、v0、a都是矢量,应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。
通常有以下几种情况:
运动情况 取值
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向,a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向,a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反
3.公式的两种特殊形式:
(1)当a=0时,x=v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0=0时,x=at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
【特别提醒】
(1)公式x=v0t+at2是匀变速直线运动的位移公式,而不是路程公式,利用该公式计算出的物理量是位移而不是路程。
(2)位移与时间的平方不是正比关系,时间越长,位移不一定越大。
【典例示范】
一辆汽车在平直公路上以v0=72 km/h的速度行驶,司机突然发现前方s=48 m处有障碍物,经Δt=0.4 s后开始刹车,最后刚好在障碍物前停下。已知汽车在刹车过程中做匀变速直线运动,求:
(1)刹车过程中汽车的加速度大小;
(2)汽车在刹车过程中所用的时间。
【解析】(1)由题意可知v0=72 km/h=20 m/s,司机反应时间内,汽车行驶的位移为s1=v0Δt=20×
0.4 m=8 m,汽车的末速度为0,设刹车过程中汽车的加速度大小为a,则根据匀变速直线运动规律可得2a(s-s1)= ,联立解得a=5 m/s2。
(2)汽车的末速度为0,设刹车过程所用时间为t,则根据匀变速直线运动规律可得
t== s=4 s。
答案:(1)5 m/s2　(2)4 s
【探究训练】
1.核潜艇是战略核威慑手段之一,我国自主研制的“094A”核潜艇在世界上处于比较领先的地位。在某次实战训练中潜艇遇到情况需要紧急下潜,假设在某段时间内“094A”潜艇的位移随时间的变化规律为x=8t-t2(m),则下列说法正确的是 (　　)
A.潜艇的加速度大小为1 m/s2 B.潜艇的初速度为8 m/s
C.潜艇第1 s内的位移为5 m D.潜艇在2 s末的速度为0
【解析】选B。根据位移—时间关系x=v0t+at2,x=8t-t2(m),两式比较可得v0=8 m/s,a=-1 m/s2,所以a=-2 m/s2,A错误,B正确;潜艇第1 s内的位移为x1=(8×1-12) m=7 m,C错误;潜艇在2 s末的速度为v2=v0+at2=(8-2×2) m/s=4 m/s,D错误。
2.一列长为400 m的火车在通过一座大桥时做匀减速直线运动,火车通过桥头和桥尾的时间分别是10 s和20 s,火车完全通过大桥的总时间为40 s,其过程简化如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.火车头经过桥尾时的速度大小为28 m/s
B.火车头经过桥头时的速度大小为40 m/s
C.火车的加速度大小为0.5 m/s2
D.大桥的长度为1 040 m
【解析】选A。设火车头经过桥头时的速度大小为v0,大桥的长度为x,火车的加速度大小为a,则有火车的长度L=v0t1-a,大桥的长度为x=v0(t-t2)-a(t-t2)2,又有x+L=v0t-at2,其中t1=10 s, t2=20 s,t=40 s,L=400 m
联立解得v0=44 m/s,a=0.8 m/s2,x=720 m
火车头经过桥尾时的速度大小为v=v0-a(t-t2)=28 m/s,A正确,B、C、D错误。
3.(多选)某物体运动的速度图像如图所示。根据图像可知 (　　)
A.0~2 s内的加速度为1 m/s2
B.0~5 s内的位移为10 m
C.第1 s末与第3 s末的速度方向相同
D.第1 s末与第5 s末加速度方向相同
【解析】选A、C。由图像可知0~2 s内的加速度a= m/s2=1 m/s2,A对;0~5 s内的位移x
= m=7 m,B错;第1 s末与第3 s末的速度都为正,C对;第1 s末加速度为正,第5 s末加速度为负,D错。
主题二　用图像表示位移
【生活情境】
斑马奔跑的速度快而持久,每小时可奔跑60~80千米。假设斑马沿直线轨道奔跑,图中描述了它相对出发点的位移随时间变化的情况。
【问题探究】
试结合上述情景,讨论下列问题:
(1)情景中,斑马最远距离出发点多少米
提示:根据图像可得,斑马最远距离出发点90 m。
(2)情景中,斑马各阶段的运动状态是怎样的
提示:斑马在前2.5 min内以0.6 m/s(v=0.6 m/s)的速度做匀速直线运动,在2.5 min到3 min斑马停在距出发点90 m的位置。
【结论生成】
1.x -t图像的物理意义:
x -t图像反映了物体的位移随时间的变化关系,图像上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。
2.x -t图像的应用:
位移 大小 初、末位置的纵坐标差的绝对值
方向 末位置与初位置的纵坐标差的正负值,正值表示位移沿正方向,负值表示位移沿负方向
速度 大小 斜率的绝对值
方向 斜率的正负,斜率为正,表示物体向正方向运动;斜率为负,表示物体向负方向运动
运动开始位置 图线起点纵坐标
运动开始时刻 图线起点横坐标
两图线交点的含义 表示两物体同时在同一位置(相遇)
[拓展延伸] 位移图像的内涵
(1)点:图线上每一点代表物体在某一时刻的位移;图线的交点表示此时刻物体相遇。
(2)线:倾斜直线表示物体做匀速直线运动;平行于t轴的直线表示物体静止;曲线表示物体做变速直线运动。
(3)截距:位移图像与纵坐标轴的交点表示计时开始时物体的位置到原点的距离和方向,位移图像与横坐标轴的交点表示计时开始的时刻或物体经过原点的时刻。
(4)斜率:图线斜率的绝对值表示速度的大小,即v=|k|=。
【典例示范】
(多选)如图所示,A、B两物体从同一地点开始运动,由A、B两物体的位移—时间图像可知,下列说法正确的是 (　　)
A.A、B两物体同时从同一位置向同一方向运动
B.A、B两物体自同一位置向同一方向运动,B比A晚出发2 s
C.A、B两物体速度大小均为10 m/s
D.A、B两物体在A出发后4 s、距出发点20 m处相遇
【解析】选B、D。由题意可知,A、B两物体由同一地点开始运动,但A比B提前2 s开始运动;位移—时间图像的斜率表示速度,由图可知,A、B两物体的位移—时间图像的斜率都大于0,故两物体运动的方向都为正方向,A错误,B正确;由图可知A物体的速度v1== m/s=5 m/s,B物体的速度v2== m/s=10 m/s,C错误;由题意可知在t=4 s时两物体到达同一位置,距离出发点s=20 m处相遇,D正确。
【探究训练】
1.(多选)如图1所示,端午节赛龙舟是传统的娱乐项目。有甲、乙两支队伍同时同地出发,其速度—时间图像如图2所示,甲在第一段时间内的加速度是第二段时间内的加速度的,结合图像所提供的信息分析,下列判断正确的是 (　　)
A.甲在t0时刻的速度为
B.两支队伍比赛的路程为
C.乙到达终点的时刻为t0
D.当乙到达终点时,甲的速度为
【解析】选B、C。 对甲,有v0=at0+2at0,所以甲在t0时刻的速度为v1=at0=,故A错误;两支队伍比赛的路程为s=v1t0+t0=v0t0,故B正确;对乙,有s=v0t0+v0(t-t0),解得t=t0,故C正确;当乙到达终点时,甲的速度为v2=v1+2a(t-t0)=v0,故D错误。
2.(多选)(2025·济南高一检测)甲、乙两物体从同一点开始沿同一直线运动,甲的位移—时间(x-t)图像和乙的速度—时间(v-t)图像如图所示。下列说法中正确的是 (　　)
A.甲在6 s末回到出发点,乙距出发点的最大距离为4 m
B.2 s到4 s内乙做匀变速直线运动
C.第3 s内甲、乙两物体运动方向相反
D.甲在第二个2 s内的位移大小为8 m
【解析】选B、C、D。甲在6 s末的位移等于零,回到出发点,乙前3 s向正方向运动,后3 s向负方向运动,第3 s末距离出发点最远,最大距离为x= m=6 m,A错误;2 s到4 s内乙图像的斜率的大小和倾斜方向都不变,表示乙物体的加速度的大小和方向都不变,乙做匀变速直线运动,B正确; 第3 s内甲物体的位移减小,向负方向运动,乙物体的速度为正值,向正方向运动,两物体运动方向相反,C正确; 甲在第二个2 s内的位移为x=-4 m-4 m=-8 m,甲在第二个2 s内的位移大小为8 m,故D正确。
主题三　匀变速直线运动的速度—位移关系
【生活情境】
一汽车正匀速行驶,当它到达前方路口时开始减速,匀减速至某一速度后做匀速运动。
【问题探究】
试根据以上情景,探讨下列问题:
(1)怎样推导速度—位移的关系公式
提示:可以把速度公式v=v0+at和位移公式x=v0t+at2中的时间t消去,就可以得出匀变速直线运动的速度与位移的关系式v2-=2ax。
(2)关系式v2-=2ax中一共有几个物理量 若求其中的一个物理量,需要知道几个物理量 如果规定v0的方向为正方向,则a正负的含义分别是什么
提示:关系式v2-=2ax中一共有四个物理量;若求其中的一个物理量,需要知道其他三个物理量。速度与位移的关系式v2-=2ax为矢量式,应用它解题时,若规定初速度v0的方向为正方向,a与v0同向时a为正值,物体做匀加速运动;a与v0反向时a为负值,物体做匀减速运动。
(3)应用v2-=2ax分析匀变速直线运动有何优势
提示:因为公式v2-=2ax不涉及物体运动的时间,故在不要求计算时间时,应用该式分析匀变速直线运动较方便,特别是求解刹车问题中的刹车距离时比较方便。
【结论生成】
1.公式的适用条件:
公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系,适用于匀变速直线运动。
2.公式的矢量性:
公式中v0、v、a、x都是矢量,应用时必须选取统一的正方向,一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时,a取正值;做减速运动时,a取负值。
(2)x>0,说明物体通过的位移方向与初速度方向相同;x<0,说明位移的方向与初速度的方向相反。
3.两种特殊形式:
(1)当v0=0时,v2=2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v=0时,-=2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
【典例示范】
(2025·滨州高一检测)在如今这个瞬息万变的时代,高铁列车已经逐渐成为人们出行的首选交通工具,它凭借快速且舒适的优点备受青睐。然而,也有人偏爱选择用时较久的普通列车出行。假设某普通列车在某一路段做匀加速直线运动,速度由20 m/s增加到30 m/s时的位移为x,则当速度由30 m/s增加到50 m/s时,它的位移是 (　　)
A.3.5x B.2.5x C.2x D.3.2x
【解析】选D。由运动学公式=2ax,=2ax',代入数据,联立解得x'=3.2x,D正确。
【探究训练】
1.动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离为1 km,某同学乘坐动车时,通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时,屏幕显示的动车速度为126 km/h(如图所示),动车又前进了2个里程碑时,速度变为
54 km/h,若把动车进站过程视为匀减速直线运动,则动车进站时的加速度大小为 (　　)
A. m/s2 B. m/s2
C. m/s2 D. m/s2
【解析】选B。根据匀变速直线运动的速度与位移的关系有v2-=-2ax
解得a= m/s2,选B。
2.物体的初速度是v0,以加速度a做匀加速直线运动,如果要使速度增加到初速度的n倍,则经过的位移是 (　　)
A.(n2-1)　　　 B.(n-1)
C.n2 D.(n-1)2
【解析】选A。由速度位移公式v2-=2ax得,x===(n2-1)。
主题 运动学公式实际问题中的综合应用
【生活情境】
情景1:如图是中国空军歼-15战机在航母甲板上起飞的情形。假设起飞甲板的长度为200 m,降落甲板的长度为90 m,歼-15战机起飞的最小速度为80 m/s,飞机在航母上的平均加速度为
15 m/s2。
情景2:如图所示,歼-15在航母甲板上降落时的速度达到60 m/s,为了使飞机安全降落,航母上装有阻拦索,可以使飞机在短距离内停止运动。
【问题探究】
(1)在情景1中,如果飞机从静止开始做匀加速直线运动,飞机在航母上能否正常起飞
提示:飞机初速度为零,由位移与速度关系式得飞机滑离甲板时v== m/s =20 m/s
由于20 m/s<80 m/s,所以飞机不能正常起飞。
(2)在情景1中,飞机如果要在甲板上正常起飞,航母和飞机要有一定的初速度,航母的初速度是多少 飞机在航母上的运动时间是多少
提示:由位移与速度关系式v2-=2ax可得:v0== m/s=20 m/s
即航母以20 m/s的速度航行
由速度公式v=v0+at可得运动时间t== s=4 s
(3)在情景2中,如果航母静止,降落时在甲板上滑行的距离为90 m。飞机要安全降落,阻拦索对飞机产生的加速度是多少
提示:飞机的初速度v=60 m/s,末速度为零,
即v'=0,由位移与速度关系式得:a== m/s2=-20 m/s2。
【结论生成】
1.运动学公式的选取技巧:
(1)如果题目中无位移x,也不求位移,一般选用速度公式v=v0+at。
(2)如果题目中无末速度v,也不求末速度,一般选用位移公式x=v0t+at2。
(3)如果题目中无运动时间t,也不求运动时间,一般选用位移与速度关系式v2-=2ax。
(4)如果题目中无加速度a,也不求加速度,一般选用公式x=t=t。
2.用匀变速直线运动规律解题的步骤:
(1)认真审题,弄清题意和物体的运动过程,必要的时候画出物体运动过程的示意图。
(2)明确已知物理量和要求的物理量。
(3)规定正方向(一般取初速度的方向为正方向),从而确定已知量和未知量的正、负号,对于无法确定方向的未知量,可以先假设此量方向为正方向。
(4)选择恰当的公式求解。
(5)判断结果是否合乎题意,根据正负号确定所求物理量的方向。
【典例示范】
　学校对升旗手的要求是国歌响起时开始升旗,当国歌结束时国旗恰好升到旗杆顶端。已知国歌从响起到结束的时间是48 s,国旗上升的高度是17.6 m。若国旗先向上做匀加速运动,时间持续4 s,然后做匀速运动,最后做匀减速运动,减速时间也为4 s,国旗到达旗杆顶端时的速度恰好为零。则国旗匀加速运动时加速度为 (　　)
A.0.2 m/s2 B.0.4 m/s2
C.0.3 m/s2 D.0.1 m/s2
【解析】选D。根据题意可知,国旗加速上升阶段和减速上升阶段具有对称性,则有x1=x3=a,v=at1,国旗匀速上升阶段,有x2=vt2,又x1+x2+x3=17.6 m,t1+t2+t3=48 s
联立解得a=0.1 m/s2,选D。
[规律方法] 运动学问题常见的四种解题方法
(1)公式法:有些题根据题目条件选择恰当的公式即可。但对匀减速运动要注意两点,
①加速度在代入公式时一定是负值;
②题目所给的时间不一定是匀减速运动的时间,要判断是否为匀减速的时间后才能用。
(2)图像法:借助v-t,x-t图像解决问题。
(3)逆向分析法:将匀减速运动看作反方向的匀加速运动。
(4)变换参照系法:在运动学问题中,相对运动问题是比较难的部分,若采用变换参照系法处理此类问题,可起到化难为易的效果。
【探究训练】
1.如图所示,一汽车装备了具有“自动刹车系统”功能的城市安全系统,当车速v≤10 m/s且与前方静止的障碍物之间的距离接近安全距离时,如果司机未采取制动措施,系统就会立即启动“自动刹车系统”,使汽车避免与障碍物相撞。在上述条件下,若该车在某路况下的“自动刹车系统”的加速度取4~6 m/s2之间的某一值,刹车过程看成匀变速直线运动,则“自动刹车”的可能距离为 (　　)
A.25 m　　B.20 m　　C.15 m　　D.10 m
【解析】选D。由题意知,车速v≤10 m/s,系统立即启动“自动刹车”的加速度大小约为5 m/s2,最后末速度减为0,由推导公式v2=2ax可得:x≤= m=10 m,所以系统设置的安全距离约
10 m,故D正确,A、B、C错误。
2.(2025·临沂高一检测)可爱的企鹅喜欢在冰面上玩游戏。如图所示,有一企鹅在倾斜冰面上,先以加速度a1=0.5 m/s2从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”,8 s时,突然卧倒以加速度大小为a2=4 m/s2肚皮贴着冰面匀减速向前滑行,直到最高点。求:
(1)企鹅向上奔跑的位移大小;
(2)企鹅在冰面向上运动的最大距离。
【解析】(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小为x1=a1
代入数据解得x1=a1=×0.5×82 m=16 m
(2)8 s末速度大小v1=a1t1=0.5×8 m/s=4 m/s
8 s末减速滑行,根据=-2a2x2
可得0-(4 m/s)2=-2×4 m/s2×x2
解得x2=2 m
即企鹅上滑的距离为2 m。
企鹅在冰面向上运动的最大距离为x=x1+x2=16 m+2 m=18 m
答案:(1)16 m　(2)18 m
【课堂回眸】
课时巩固 请使用　课时素养检测 八(共55张PPT)
3.匀变速直线运动的位移与时间的关系
01
02
03
高端教学引领
课前自主学习
课堂合作探究
课程标准 素养目标
1.掌握利用v-t图像求解位移的方法。 2.掌握位移—时间的关系式并能灵活应用。 3.会推导公式=2ax,并能灵活运用。 4.能分析和处理追及和相遇问题。 5.理解公式的矢量性,能运用速度与位移的关系分析、解决匀变速直线运动实际问题。 1.匀变速直线运动的位移以及速度和位移的关系。(物理观念)
2.通过v -t图像分析匀变速直线运动的位移,极限法的运用;灵活运用速度和位移公式。(科学思维)
3.掌握追及和相遇问题的处理方法,增强将物理知识应用于实际生活的意识。(科学态度与责任)
01
高端教学引领
【教学建议】
　　1.匀变速直线运动位移公式和图像的应用:
任务 建议
匀变速直线运动的位移 通过对汽车在水平面内的运动分析,了解如何利用v-t图像和公式计算位移
用图像表示位移 通过对斑马奔跑产生的位移随时间变化的分析得出v-t图像的特点和物理意义
　　2.速度和位移的关系:
任务 建议
匀变速直线运动速度与位移关系的理解 对汽车通过路口的运动分析“得出速度与位移的关系式”并加以理解和应用
综合应用运动学公式解决实际问题 通过对航空母舰上战斗机起飞和降落的运动分析学会应用运动学公式解决实际问题
【情境导引】
　　电磁炮是利用电磁发射技术制成的一种先进杀伤性武器,与传统大炮将火药燃气压力作用于弹丸不同,电磁炮是利用电磁系统中电磁场的作用力,其作用的距离要长得多,可大大提高弹丸的速度和射程。
　　问题导引:
　　(1)为什么作用距离能影响弹丸的速度和射程呢
　　(2)弹丸的速度与作用距离有什么关系呢
02
课前自主学习
一、位移和时间关系
1.匀速直线运动的位移:
(1)做匀速直线运动的物体在时间t内的位移x=__。
(2)做匀速直线运动的物体,其v -t图像是一条平行于时间轴的直线,其位移
在数值上等于v -t图线与t轴所包围的矩形的_____。
vt
面积
2.匀变速直线运动的位移:
任务驱动:汽车起步后做初速度为零的匀加速直线运动,位移x与t成正比还是与t2
成正比
提示:位移x与t2成正比。
(1)位移在v -t图像中的表示:做匀变速直线运动的物体的位移对应着v -t图像中的
图线和t轴包围的_____。如图,在0~t0时间内的位移大小等于___________。
(2)位移公式:x= _______。
①当v0=0时,x=,表示物体做初速度为零的_______直线运动。
②当a=0时,x=___,表示物体做_____直线运动。
面积
梯形的面积
v0t+at2
at2
匀加速
v0t
匀速
二、速度与位移关系
1.匀变速直线运动的速度与位移的关系:
(1)匀变速直线运动的位移与速度关系式:v2-=____。
(2)当初速度v0=0时,v2=____。
2.匀变速直线运动的三个基本关系式:
(1)速度时间关系式:v=_____。
(2)位移时间关系式:x= _______。
(3)位移速度关系式:v2-=____。
2ax
2ax
v0+at
v0t+at2
2ax
【易错辨析】
(1)匀变速直线运动的v-t图线与t轴所围的面积等于物体的位移。(　　)
(2)位移公式x=v0t+at2仅适用于匀加速直线运动。(　　)
(3)初速度越大,时间越长,匀变速直线运动物体的位移一定越大。(　　)
(4)确定公式v2-=2ax中的四个物理量时,必须选取同一参考系。(　　)
(5)在公式v2-=2ax中,x、v0、v、a都是矢量,应用时必须选取统一的正方向。(　　)
提示:(1)√ (2)×。同样适用于匀速直线运动和匀减速直线运动。
(3)×。匀减速直线运动位移不一定越大。 (4)√　(5)√
03
课堂合作探究
主题一　匀变速直线运动的位移
【生活情境】
如图,两辆汽车,甲车正在向左匀减速行驶,乙车正在向右匀加速行驶。
【问题探究】
(1)它们都可以应用公式x=v0t+at2计算位移吗
提示:都可以。
(2)计算它们的位移属于矢量运算,解题时如何规定正方向呢
提示:一般以初速度的方向为正方向。
【结论生成】
1.v -t图像中的位移:
匀变速直线运动的v -t图线与横轴t所围面积的数值等于物体在该段时间内的位移的大小。
(1)当“面积”在t轴上方时,位移取正值,这表示物体的位移与规定的正方向相同。
(2)当“面积”在t轴下方时,位移取负值,这表示物体的位移与规定的正方向相反。
2.x=v0t+at2公式的矢量性:
公式x=v0t+at2为矢量公式,其中x、v0、a都是矢量,应用时必须选取统一的正方向。一般选v0的方向为正方向。
通常有以下几种情况:
运动情况 取值
若物体做匀加速直线运动 a与v0同向,a取正值(v0方向为正方向)
若物体做匀减速直线运动 a与v0反向,a取负值(v0方向为正方向)
若位移的计算结果为正值 说明位移的方向与规定的正方向相同
若位移的计算结果为负值 说明位移的方向与规定的正方向相反
3.公式的两种特殊形式:
(1)当a=0时,x=v0t(匀速直线运动)。
(2)当v0=0时,x=at2(由静止开始的匀加速直线运动)。
【特别提醒】
(1)公式x=v0t+at2是匀变速直线运动的位移公式,而不是路程公式,利用该公式计算出的物理量是位移而不是路程。
(2)位移与时间的平方不是正比关系,时间越长,位移不一定越大。
【典例示范】
一辆汽车在平直公路上以v0=72 km/h的速度行驶,司机突然发现前方s=48 m处有障碍物,经Δt=0.4 s后开始刹车,最后刚好在障碍物前停下。已知汽车在刹车过程中做匀变速直线运动,求:
(1)刹车过程中汽车的加速度大小;
(2)汽车在刹车过程中所用的时间。
【解析】(1)由题意可知v0=72 km/h=20 m/s,司机反应时间内,汽车行驶的位移为s1=v0Δt=20×
0.4 m=8 m,汽车的末速度为0,设刹车过程中汽车的加速度大小为a,则根据匀变速直线运动规律可得2a(s-s1)= ,联立解得a=5 m/s2。
(2)汽车的末速度为0,设刹车过程所用时间为t,则根据匀变速直线运动规律可得t== s=4 s。
答案:(1)5 m/s2　(2)4 s
【探究训练】
1.核潜艇是战略核威慑手段之一,我国自主研制的“094A”核潜艇在世界上处于比较领先的地位。在某次实战训练中潜艇遇到情况需要紧急下潜,假设在某段时间内“094A”潜艇的位移随时间的变化规律为x=8t-t2(m),则下列说法正确的是(　　)
A.潜艇的加速度大小为1 m/s2 B.潜艇的初速度为8 m/s
C.潜艇第1 s内的位移为5 m D.潜艇在2 s末的速度为0
√
【解析】选B。根据位移—时间关系x=v0t+at2,x=8t-t2(m),两式比较可得
v0=8 m/s,a=-1 m/s2,所以a=-2 m/s2,A错误,B正确;潜艇第1 s内的位移为
x1=(8×1-12) m=7 m,C错误;潜艇在2 s末的速度为v2=v0+at2=(8-2×2) m/s=
4 m/s, D 错误。
2.一列长为400 m的火车在通过一座大桥时做匀减速直线运动,火车通过桥头和桥尾的时间分别是10 s和20 s,火车完全通过大桥的总时间为40 s,其过程简化如图所示,则下列说法正确的是 (　　)
A.火车头经过桥尾时的速度大小为28 m/s
B.火车头经过桥头时的速度大小为40 m/s
C.火车的加速度大小为0.5 m/s2
D.大桥的长度为1 040 m
√
【解析】选A。设火车头经过桥头时的速度大小为v0,大桥的长度为x,火车的加速度大小为a,则有火车的长度L=v0t1-a,大桥的长度为x=v0(t-t2)-a(t-t2)2,又有x+L=v0t-at2,其中t1=10 s, t2=20 s,t=40 s,L=400 m
联立解得v0=44 m/s,a=0.8 m/s2,x=720 m
火车头经过桥尾时的速度大小为v=v0-a(t-t2)=28 m/s,A正确,B、C、D错误。
3.(多选)某物体运动的速度图像如图所示。根据图像可知 (　　)
A.0~2 s内的加速度为1 m/s2
B.0~5 s内的位移为10 m
C.第1 s末与第3 s末的速度方向相同
D.第1 s末与第5 s末加速度方向相同
【解析】选A、C。由图像可知0~2 s内的加速度a= m/s2=1 m/s2,A对;0~5 s内的位移x= m=7 m,B错;第1 s末与第3 s末的速度都为正,C对;第1 s末加速度为正,第5 s末加速度为负,D错。
√
√
主题二　用图像表示位移
【生活情境】
斑马奔跑的速度快而持久,每小时可奔跑60~80千米。假设斑马沿直线轨道奔跑,图中描述了它相对出发点的位移随时间变化的情况。
【问题探究】
试结合上述情景,讨论下列问题:
(1)情景中,斑马最远距离出发点多少米
提示:根据图像可得,斑马最远距离出发点90 m。
(2)情景中,斑马各阶段的运动状态是怎样的
提示:斑马在前2.5 min内以0.6 m/s(v=0.6 m/s)的速度做匀速直线运动,在2.5 min到3 min斑马停在距出发点90 m的位置。
【结论生成】
1.x -t图像的物理意义:
x -t图像反映了物体的位移随时间的变化关系,图像上的某一点表示运动物体在某时刻所处的位置或相对于坐标原点的位移。
2.x -t图像的应用:
位移 大小 初、末位置的纵坐标差的绝对值
方向 末位置与初位置的纵坐标差的正负值,正值表示位移沿正方向,负值表示位移沿负方向
速度 大小 斜率的绝对值
方向 斜率的正负,斜率为正,表示物体向正方向运动;斜率为负,表示物体向负方向运动
运动开始位置 图线起点纵坐标
运动开始时刻 图线起点横坐标
两图线交点的含义 表示两物体同时在同一位置(相遇)
[拓展延伸] 位移图像的内涵
(1)点:图线上每一点代表物体在某一时刻的位移;图线的交点表示此时刻物体相遇。
(2)线:倾斜直线表示物体做匀速直线运动;平行于t轴的直线表示物体静止;曲线表示物体做变速直线运动。
(3)截距:位移图像与纵坐标轴的交点表示计时开始时物体的位置到原点的距离和方向,位移图像与横坐标轴的交点表示计时开始的时刻或物体经过原点的时刻。
(4)斜率:图线斜率的绝对值表示速度的大小,即v=|k|=。
【典例示范】
(多选)如图所示,A、B两物体从同一地点开始运动,由A、B两物体的位移—时间图像可知,下列说法正确的是(　　)
A.A、B两物体同时从同一位置向同一方向运动
B.A、B两物体自同一位置向同一方向运动,B比A晚出发2 s
C.A、B两物体速度大小均为10 m/s
D.A、B两物体在A出发后4 s、距出发点20 m处相遇
√
√
【解析】选B、D。由题意可知,A、B两物体由同一地点开始运动,但A比B提前2 s开始运动;位移—时间图像的斜率表示速度,由图可知,A、B两物体的位移—时间图像的斜率都大于0,故两物体运动的方向都为正方向,A错误,B正确;由图可知A物体的速度v1== m/s=5 m/s,B物体的速度v2== m/s=10 m/s,C错误;由题意可知在t=4 s时两物体到达同一位置,距离出发点s=20 m处相遇,D正确。
【探究训练】
1.(多选)如图1所示,端午节赛龙舟是传统的娱乐项目。有甲、乙两支队伍同时同地出发,其速度—时间图像如图2所示,甲在第一段时间内的加速度是第二段时间内的加速度的,结合图像所提供的信息分析,下列判断正确的是(　　)
A.甲在t0时刻的速度为
B.两支队伍比赛的路程为
C.乙到达终点的时刻为t0
D.当乙到达终点时,甲的速度为
√
√
【解析】选B、C。 对甲,有v0=at0+2at0,所以甲在t0时刻的速度为v1=at0=,故A错误;两支队伍比赛的路程为s=v1t0+t0=v0t0,故B正确;对乙,有s=v0t0+v0(t-t0),解得t=t0,故C正确;当乙到达终点时,甲的速度为v2=v1+2a(t-t0)=v0,故D错误。
2.(多选)(2025·济南高一检测)甲、乙两物体从同一点开始沿同一直线运动,甲的位移—时间(x-t)图像和乙的速度—时间(v-t)图像如图所示。下列说法中正确的是 (　　)
A.甲在6 s末回到出发点,乙距出发点的最大距离为4 m
B.2 s到4 s内乙做匀变速直线运动
C.第3 s内甲、乙两物体运动方向相反
D.甲在第二个2 s内的位移大小为8 m
√
√
√
【解析】选B、C、D。甲在6 s末的位移等于零,回到出发点,乙前3 s向正方向运动,后3 s向负方向运动,第3 s末距离出发点最远,最大距离为x= m=6 m,A错误;2 s到4 s内乙图像的斜率的大小和倾斜方向都不变,表示乙物体的加速度的大小和方向都不变,乙做匀变速直线运动,B正确; 第3 s内甲物体的位移减小,向负方向运动,乙物体的速度为正值,向正方向运动,两物体运动方向相反,C正确; 甲在第二个2 s内的位移为x=-4 m-4 m=-8 m,甲在第二个2 s内的位移大小为8 m,故D正确。
主题三　匀变速直线运动的速度—位移关系
【生活情境】
一汽车正匀速行驶,当它到达前方路口时开始减速,匀减速至某一速度后做匀速运动。
【问题探究】
试根据以上情景,探讨下列问题:
(1)怎样推导速度—位移的关系公式
提示:可以把速度公式v=v0+at和位移公式x=v0t+at2中的时间t消去,就可以得出匀变速直线运动的速度与位移的关系式v2-=2ax。
(2)关系式v2-=2ax中一共有几个物理量 若求其中的一个物理量,需要知道几个物理量 如果规定v0的方向为正方向,则a正负的含义分别是什么
提示:关系式v2-=2ax中一共有四个物理量;若求其中的一个物理量,需要知道其他三个物理量。速度与位移的关系式v2-=2ax为矢量式,应用它解题时,若规定初速度v0的方向为正方向,a与v0同向时a为正值,物体做匀加速运动;a与v0反向时a为负值,物体做匀减速运动。
(3)应用v2-=2ax分析匀变速直线运动有何优势
提示:因为公式v2-=2ax不涉及物体运动的时间,故在不要求计算时间时,应用该式分析匀变速直线运动较方便,特别是求解刹车问题中的刹车距离时比较方便。
【结论生成】
1.公式的适用条件:
公式表述的是匀变速直线运动的速度与位移的关系,适用于匀变速直线运动。
2.公式的矢量性:
公式中v0、v、a、x都是矢量,应用时必须选取统一的正方向,一般选v0方向为正方向。
(1)物体做加速运动时,a取正值;做减速运动时,a取负值。
(2)x>0,说明物体通过的位移方向与初速度方向相同;x<0,说明位移的方向与初速度的方向相反。
3.两种特殊形式:
(1)当v0=0时,v2=2ax。(初速度为零的匀加速直线运动)
(2)当v=0时,-=2ax。(末速度为零的匀减速直线运动)
【典例示范】
(2025·滨州高一检测)在如今这个瞬息万变的时代,高铁列车已经逐渐成为人们出行的首选交通工具,它凭借快速且舒适的优点备受青睐。然而,也有人偏爱选择用时较久的普通列车出行。假设某普通列车在某一路段做匀加速直线运动,速度由20 m/s增加到30 m/s时的位移为x,则当速度由30 m/s增加到50 m/s时,它的位移是(　　)
A.3.5x B.2.5x C.2x D.3.2x
【解析】选D。由运动学公式=2ax,=2ax',代入数据,联立解得x'=3.2x,D正确。
√
【探究训练】
1.动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离为1 km,某同学乘坐动车时,通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时,屏幕显示的动车速度为126 km/h(如图所示),动车又前进了2个里程碑时,速度变为54 km/h,若把动车进站过程视为匀减速直线运动,则动车进站时的加速度大小为(　　)
A. m/s2 B. m/s2 C. m/s2 D. m/s2
【解析】选B。根据匀变速直线运动的速度与位移
的关系有v2-=-2ax 解得a= m/s2,选B。
√
2.物体的初速度是v0,以加速度a做匀加速直线运动,如果要使速度增加到初速度的n倍,则经过的位移是 (　　)
A.(n2-1)　　　 B.(n-1)
C.n2 D.(n-1)2
【解析】选A。由速度位移公式v2-=2ax得,x===(n2-1)。
√
主题 运动学公式实际问题中的综合应用
【生活情境】
情景1:如图是中国空军歼-15战机在航母甲板上起飞的情形。
假设起飞甲板的长度为200 m,降落甲板的长度为90 m,歼-15
战机起飞的最小速度为80 m/s,飞机在航母上的平均加速度为15 m/s2。
情景2:如图所示,歼-15在航母甲板上降落时的速度达到
60 m/s,为了使飞机安全降落,航母上装有阻拦索,可以使
飞机在短距离内停止运动。
【问题探究】
(1)在情景1中,如果飞机从静止开始做匀加速直线运动,飞机在航母上能否正常起飞
提示:飞机初速度为零,由位移与速度关系式得飞机滑离甲板时v== m/s =20 m/s
由于20 m/s<80 m/s,所以飞机不能正常起飞。
(2)在情景1中,飞机如果要在甲板上正常起飞,航母和飞机要有一定的初速度,航母的初速度是多少 飞机在航母上的运动时间是多少
提示:由位移与速度关系式v2-=2ax可得:v0== m/s=20 m/s
即航母以20 m/s的速度航行
由速度公式v=v0+at可得运动时间t== s=4 s
(3)在情景2中,如果航母静止,降落时在甲板上滑行的距离为90 m。飞机要安全降落,阻拦索对飞机产生的加速度是多少
提示:飞机的初速度v=60 m/s,末速度为零,
即v'=0,由位移与速度关系式得:a== m/s2=-20 m/s2。
【结论生成】
1.运动学公式的选取技巧:
(1)如果题目中无位移x,也不求位移,一般选用速度公式v=v0+at。
(2)如果题目中无末速度v,也不求末速度,一般选用位移公式x=v0t+at2。
(3)如果题目中无运动时间t,也不求运动时间,一般选用位移与速度关系式v2-=2ax。
(4)如果题目中无加速度a,也不求加速度,一般选用公式x=t=t。
2.用匀变速直线运动规律解题的步骤:
(1)认真审题,弄清题意和物体的运动过程,必要的时候画出物体运动过程的示意图。
(2)明确已知物理量和要求的物理量。
(3)规定正方向(一般取初速度的方向为正方向),从而确定已知量和未知量的正、负号,对于无法确定方向的未知量,可以先假设此量方向为正方向。
(4)选择恰当的公式求解。
(5)判断结果是否合乎题意,根据正负号确定所求物理量的方向。
【典例示范】
学校对升旗手的要求是国歌响起时开始升旗,当国歌结束时国旗恰好升到旗杆顶端。已知国歌从响起到结束的时间是48 s,国旗上升的高度是17.6 m。若国旗先向上做匀加速运动,时间持续4 s,然后做匀速运动,最后做匀减速运动,减速时间也为4 s,国旗到达旗杆顶端时的速度恰好为零。则国旗匀加速运动时加速度为(　　)
A.0.2 m/s2 B.0.4 m/s2
C.0.3 m/s2 D.0.1 m/s2
√
【解析】选D。根据题意可知,国旗加速上升阶段和减速上升阶段具有对称性,则有x1=x3=a,v=at1,国旗匀速上升阶段,有x2=vt2,又x1+x2+x3=17.6 m, t1+t2+t3=48 s
联立解得a=0.1 m/s2,选D。
[规律方法] 运动学问题常见的四种解题方法
(1)公式法:有些题根据题目条件选择恰当的公式即可。但对匀减速运动要注意两点,
①加速度在代入公式时一定是负值;
②题目所给的时间不一定是匀减速运动的时间,要判断是否为匀减速的时间后才能用。
(2)图像法:借助v-t,x-t图像解决问题。
(3)逆向分析法:将匀减速运动看作反方向的匀加速运动。
(4)变换参照系法:在运动学问题中,相对运动问题是比较难的部分,若采用变换参照系法处理此类问题,可起到化难为易的效果。
【探究训练】
1.如图所示,一汽车装备了具有“自动刹车系统”功能的城市安全系统,当车
速v≤10 m/s且与前方静止的障碍物之间的距离接近安全距离时,如果司机
未采取制动措施,系统就会立即启动“自动刹车系统”,使汽车避免与障碍物
相撞。在上述条件下,若该车在某路况下的“自动刹车系统”的加速度取4~
6 m/s2之间的某一值,刹车过程看成匀变速直线运动,则“自动刹车”的可能
距离为(　　)
A.25 m　　 B.20 m　　
C.15 m　　 D.10 m
√
【解析】选D。由题意知,车速v≤10 m/s,系统立即启动“自动刹车”的加速度大小约为5 m/s2,最后末速度减为0,由推导公式v2=2ax可得:x≤= m=10 m,所以系统设置的安全距离约10 m,故D正确,A、B、C错误。
2.(2025·临沂高一检测)可爱的企鹅喜欢在冰面上玩游戏。如图所示,有一企鹅在倾斜冰面上,先以加速度a1=0.5 m/s2从冰面底部由静止开始沿直线向上“奔跑”,8 s时,突然卧倒以加速度大小为a2=4 m/s2肚皮贴着冰面匀减速向前滑行,直到最高点。求:
(1)企鹅向上奔跑的位移大小;
(2)企鹅在冰面向上运动的最大距离。
【解析】(1)企鹅向上“奔跑”的位移大小为x1=a1
代入数据解得x1=a1=×0.5×82 m=16 m
(2)8 s末速度大小v1=a1t1=0.5×8 m/s=4 m/s
8 s末减速滑行,根据=-2a2x2
可得0-(4 m/s)2=-2×4 m/s2×x2
解得x2=2 m
即企鹅上滑的距离为2 m。
企鹅在冰面向上运动的最大距离为x=x1+x2=16 m+2 m=18 m
答案:(1)16 m　(2)18 m
【课堂回眸】

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