资源简介

专题一　匀变速直线运动规律的应用
课堂合作探究
主题一　匀变速直线运动的四个基本公式
【生活情境】
上海佘山世茂洲际酒店的建筑是一项富有创新的设计之作,这个酒店结合自然环境,充分利用深坑岩壁的曲面造型悬挂并建造在深坑岩壁之上,主体由地表以上2层及地表以下88米的15层构成,令人叹为观止。年轻设计师设计出依靠峭壁的特殊电梯,解决了运送施工人员快速进入坑底的难题。若电梯最大速度为v,电梯加速下降加速度为a1,减速下降加速度为a2。
【问题探究】
(1)电梯加速阶段的位移是多少
提示:①匀变速直线运动位移与时间的关系x=v0t+at2。
②匀变速直线运动位移与速度的关系v2-=2ax。
(2)电梯减速阶段的位移是多少
提示:①匀变速直线运动位移与时间的关系x=v0t+at2。
②匀变速直线运动位移与速度的关系v2-=2ax。
(3)电梯运送施工人员快速进入坑底的过程中,加速阶段和减速阶段的平均速度各是多少
提示:平均速度公式v==(v0+v)。
【结论生成】
1.匀变速直线运动基本公式的比较
公式 一般形式 v0=0时 涉及的物理量 不涉及的物理量
速度公式 v=v0+at v=at v、v0、a、t 位移x
位移公式 x=v0t+at2 x=at2 x、v0、t、a 末速度v
速度与位移 的关系式 v2-=2ax v2=2ax v、v0、a、x 时间t
平均速度公式 ==(v0+v) ==v 、x、t、 v0、v 加速度a
2.公式的应用步骤
(1)认真审题,画出物体的运动过程示意图。
(2)明确研究对象,明确已知量、待求量。
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向),确定各矢量的正、负。
(4)选择适当的公式求解。
(5)判断所得结果是否合乎实际情况,并根据结果的正、负说明所求物理量的方向。
【典例示范】
如图所示,一滑雪运动员从85 m长的斜坡上匀加速滑下,初速度是1.8 m/s,末速度是5.0 m/s,滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间
【解析】解法一:利用速度公式和位移公式求解
由v=v0+at得5 m/s=1.8 m/s+at
由x=v0t+at2
得85 m=1.8 m/s×t+at2
联立解得a=0.128 m/s2,t=25 s。
解法二:利用速度与位移的关系公式和速度公式求解
由v2-=2ax得a==0.128 m/s2
由v=v0+at得t==25 s。
解法三:利用平均速度求位移的公式求解
由x=t得t== s=25 s。
答案:25 s
【探究训练】
(2025·淄博高一检测)汽车已经走进了千家万户,驾驶技能从职业技能成为基本生活技能。考驾照需要进行的其中一项路考为定点停车,路旁竖一标志杆,在车以速度v匀速直线行驶的过程中,当车头与标志杆的距离为x时,学员立即刹车,让车做匀减速直线运动,车头恰好停在标志杆处。若忽略学员的反应时间,则汽车刹车 (　　)
A.时间为
B.加速度大小为
C.经过一半时间时的位移大小为
D.经过一半距离时的速度大小为
【解析】选A。根据运动学公式可得x=t,解得汽车刹车的时间为t=,A正确;设汽车加速度大小为a,根据匀变速直线运动的速度—位移公式可得0-v2=-2ax,解得加速度大小为a=,B错误;根据匀变速直线运动的位移—时间公式,可得汽车经过一半时间的位移大小为=v·a·()2=x,C错误;设汽车经过一半距离时的速度大小为,根据匀变速直线运动速度—位移公式可得-v2=-2a·,解得=v,D错误。
主题二　匀变速直线运动的三个重要推论
理论推导
思考1:做匀变速直线运动的物体,初速度为v0,经过一段时间t,速度变为v,此过程中物体的平均速度为多少 运动到时的瞬时速度为多大
提示:推导:===v0+at=
将v=v0+at代入可得==
此公式只适用于匀变速直线运动。
所以,匀变速直线运动位移又可表示为x= t=t。
思考2:在匀变速直线运动中,对于一段位移为x,初速度为v0,末速度为v,位移中点的瞬时速度为多少
提示:推导:前一半位移有=2a·=ax,
全程有v2-=2ax
所以=。
思考3:在匀变速直线运动中,物体运动的加速度为a,在任意两个连续相等时间间隔T内,位移之差是多少
提示:推导:在时间T内的位移x1=v0T+aT2 ①
在时间2T内的位移x2=v0×2T+a(2T)2 ②
则xⅠ=x1,xⅡ=x2-x1 ③
由①②③得Δx=xⅡ-xⅠ=aT2。
拓展:ΔxMN=xM-xN=(M-N)aT2。
【结论生成】
1.推论1:
做匀变速直线运动的物体,在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度,也等于这段时间初、末速度和的一半,即==。
(1)适用条件:匀变速直线运动。
(2)应用:计算瞬时速度。
2.推论2:
中间位置的瞬时速度公式:
=
即:做匀变速直线运动的物体在一段位移的中间位置的瞬时速度,等于这段位移的初、末速度的方均根值。
3.推论3:
匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体,如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ,xⅡ,xⅢ,…,xN,则
Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=aT2。
(1)推导:x1=v0T+aT2,
x2=v0·2T+a·T2,
x3=v0·3T+a·T2,…
所以xⅠ=x1=v0T+aT2,
xⅡ=x2-x1=v0T+aT2,
xⅢ=x3-x2=v0T+aT2,…
故xⅡ-xⅠ=aT2,xⅢ-xⅡ=aT2,…
所以,Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=aT2。
(2)应用:
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=xN-xN-1=aT2成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动。
②求加速度
利用Δx=aT2,可求得a=。
【特别提醒】
(1)以上推论只适用于匀变速直线运动,其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。
(2)推论式xⅡ-xⅠ=aT2常在实验中根据打出的纸带求物体的加速度。
【典例示范】
有一个做匀变速直线运动的物体,它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m,连续相等的时间为4 s,求该物体的初速度大小和加速度大小。
【解析】由题意可画出物体的运动示意图:
方法一:逐差法
由Δx=aT2可得a== m/s2=2.5 m/s2①
又x1=vAT+aT2 ②
vC=vA+a·2T ③
由①②③式解得vA=1 m/s,vC=21 m/s。
方法二:平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为== m/s=6 m/s
== m/s=16 m/s
由于B是A、C的中间时刻,则=,=
又vB=== m/s=11 m/s
解得vA=1 m/s,vC=21 m/s
其加速度a== m/s2=2.5 m/s2。
方法三:基本公式法
由位移公式得:x1=vAT+aT2
x2=vA·2T+a(2T)2-(vAT+aT2)
vC=vA+a·2T
将x1=24 m,x2=64 m,T=4 s代入上式,
解得a=2.5 m/s2,vA=1 m/s,vC=21 m/s。
答案:1 m/s　2.5 m/s2
【探究训练】
(多选)(2025·青岛高一检测)某物体沿着一条直线做匀减速运动,依次经过A、B、C三点,最终停止在D点。A、B间的距离为s0,B、C之间的距离为s0,物体通过AB与BC两段距离所用时间都为t0,则下列说法正确的是 (　　)
A.物体通过B点时的速度是
B.物体由C到D的时间是
C.物体运动的加速度大小是
D.C、D之间的距离为s0
【解析】选B、D。物体通过AB与BC两段距离所用时间都为t0,所以vB为AC的中间时刻速度,根据匀变速直线运动的中间时刻速度推论式可得vB==,A错误;AB与BC两段为连续相邻相同时间的位移,根据匀变速直线运动的推论式Δx=aT2,可得s0-s0=a,解得物体运动的加速度大小为a=,物体从B到D所用时间为t===t0,则物体从C到D的时间为t0-t0=t0,B正确,C错误;根据逆向思维可得C、D间距离为sCD=a(t0)2=·(t0)2=s0,D正确。
主题三　初速度为零的匀加速直线运动的六个比例关系
【生活情境】
一辆玩具小车,从静止开始,以加速度a做匀加速直线运动。
【问题探究】
(1)如何计算1 s末、2 s末、3 s末……n s末小车的速度之比
提示:利用速度—时间关系公式v=at。
(2)如何计算1 s内、2 s内、3 s内……n s内小车的位移之比
提示:利用位移—时间关系公式x=at2。
(3)如何计算第1 s内、第2 s内、第3 s内……第n s内小车的位移之比
提示:第2 s内的位移可用前2 s位移与第1 s位移之差表示,依次类推。
(4)如何计算小车通过x,2x,3x,…,nx所用时间之比
提示:通过位移—时间关系公式x=at2,得到t=。
(5)如何计算小车通过第一个x、第二个x、第三个x……第n个x所用时间之比
提示:小车通过第二个x所用的时间可以用前两个x用时与第一个x用时之差表示,依次类推。
(6)如何计算小车到x末、2x末、3x末……nx末时瞬时速度之比
提示:利用位移—时间关系公式v2=2ax。
【结论生成】
1.初速度为零的匀加速直线运动,按时间等分(设相等的时间间隔为T):
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比:
由v=at可得:v1∶v2∶v3∶…=1∶2∶3∶…
(2)1T内、2T内、3T内……位移之比:
由x=at2可得:x1∶x2∶x3∶…=1∶4∶9∶…
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……的位移之比:由xⅠ=x1,xⅡ=x2-x1,xⅢ=x3-x2,…可得:xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…=1∶3∶5∶…
2.初速度为零的匀加速直线运动,按位移等分(设相等的位移为x):
(1)通过x,2x,3x,…所用时间之比:
由x=at2可得t=,所以
t1∶t2∶t3∶…=1∶∶…
(2)通过第一个x、第二个x、第三个x……所用时间之比:由tⅠ=t1,tⅡ=t2-t1,tⅢ=t3-t2,…可得:
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…=1∶(-1)∶()∶…
(3)x末、2x末、3x末……的瞬时速度之比:
由v2=2ax,可得v=,所以
v1∶v2∶v3∶…=1∶∶…
【特别提醒】
(1)以上比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动,可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,应用前面的比例关系可以快速解答此类问题。(逆向思维法)
【典例示范】
(多选)(2025·商丘高一检测)一初速度为10 m/s的汽车遇紧急情况以大小为2 m/s2的加速度制动,下列说法正确的是 (　　)
A.汽车在制动过程中,3 s末的速度为4 m/s
B.汽车在制动后第1 s内的位移与第4 s内的位移之比为3∶1
C.汽车在制动后6 s内的位移为24 m
D.汽车在制动后的倒数第3 m、倒数第2 m、最后1 m内的运动,平均速度之比是()∶(+1)∶1
【解析】选A、B、D。汽车制动速度减为零的时间t0==5 s,则刹车后3 s末的速度为v=v0-at=10 m/s-2×3 m/s=4 m/s,A正确;采用逆向思维,汽车做初速度为零的匀加速直线运动,相等时间内的位移之比为x1∶x2∶x3∶x4∶x5=1∶3∶5∶7∶9,则汽车制动后第1 s内的位移应是匀加速运动的第5 s内的位移x5、第4 s内的位移应是匀加速运动第2 s内的位移x2,则x5∶x2=9∶3=3∶1,B正确;汽车制动后6 s内的位移等于5 s内的位移,即x=t0=25 m,C错误;采用逆向思维,汽车做初速度为零的匀加速直线运动,根据相等位移所用时间之比为t1∶t2∶t3=()∶(-1)∶1,根据平均速度的定义式知,平均速度之比为v1∶v2∶v3=∶1=()∶(+1)∶1,D正确。
【探究训练】
1.(多选)弹道凝胶是用来模拟测试子弹对人体破坏力的一种凝胶,它的密度、性状等物理特性都非常接近于人体肌肉组织。某实验者在桌面上紧挨着放置8块完全相同的透明凝胶,枪口对准凝胶的中轴线射击,子弹即将射出第8块凝胶时速度恰好减为0,子弹在凝胶中运动的总时间为t,假设子弹在凝胶中的运动可看作匀减速直线运动,子弹可看作质点,则以下说法正确的是 (　　)
A.子弹穿透第6块凝胶时,速度为刚射入第1块凝胶时的一半
B.子弹穿透前2块凝胶所用时间为t
C.子弹穿透前2块凝胶所用时间为t
D.子弹穿透第1块与最后1块凝胶的平均速度之比为()∶1
【解析】选A、C。因为子弹做匀减速直线运动,可将其视为反向的初速度为0的匀加速直线运动,连续两段相等时间内的位移之比为x1∶x2=1∶3=2∶6,即射穿第6块时,恰为全程时间中点,速度为全程的平均速度=,即初速度的一半,故A正确;将8块凝胶分为四等份,根据连续相等位移的时间比为t'1∶t'2∶t'3∶t'4=()∶()∶(-1)∶1,则第一份长度的时间相对总时间的占比为t'1=t,故B错误,C正确;因每块凝胶大小一致,若令穿透最后一块凝胶的时间为1 s,则穿透第一块凝胶的时间应为() s,则平均速度之比应为()∶1,则D错误。
2.一列火车共有n节车厢,每节车厢的长度都相同且车厢间的间隙不计,该火车进站时做匀减速直线运动直到停下,该过程中,站在车站站台的一个旅客测得最后一节车厢经过他所用的时间为t(最后一节车厢经过该旅客后恰好停止),则该列车第1节车厢经过他所用的时间是多少
【解析】由于火车做匀减速直线运动直到停下,可将此运动反演成从终点开始沿反方向做初速度为零的匀加速直线运动,由结论“初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移所用时间之比”可得t1∶t2∶…∶tn=()∶()∶…∶1,即t1∶tn=()∶1,
求得第1节车厢经过他所用时间为t1=()·t。
答案:()·t
　　　课时巩固 请使用　课时素养检测 九(共38张PPT)
专题一　匀变速直线运动规律的应用
01
课堂合作探究
01
课堂合作探究
主题一　匀变速直线运动的四个基本公式
【生活情境】
上海佘山世茂洲际酒店的建筑是一项富有创新的设计之作,这个酒店结合自然环境,充分利用深坑岩壁的曲面造型悬挂并建造在深坑岩壁之上,主体由地表以上2层及地表以下88米的15层构成,令人叹为观止。年轻设计师设计出依靠峭壁的特殊电梯,解决了运送施工人员快速进入坑底的难题。若电梯最大速度为v,电梯加速下降加速度为a1,减速下降加速度为a2。
【问题探究】
(1)电梯加速阶段的位移是多少
提示:①匀变速直线运动位移与时间的关系x=v0t+at2。
②匀变速直线运动位移与速度的关系v2-=2ax。
(2)电梯减速阶段的位移是多少
提示:①匀变速直线运动位移与时间的关系x=v0t+at2。
②匀变速直线运动位移与速度的关系v2-=2ax。
(3)电梯运送施工人员快速进入坑底的过程中,加速阶段和减速阶段的平均速度各是多少
提示:平均速度公式v==(v0+v)。
【结论生成】
1.匀变速直线运动基本公式的比较
公式 一般形式 v0=0时 涉及的物理量 不涉及的物理量
速度公式 v=v0+at v=at v、v0、a、t 位移x
位移公式 x、v0、t、a 末速度v
速度与位移 的关系式 v2=2ax v、v0、a、x 时间t
平均速度公式 加速度a
2.公式的应用步骤
(1)认真审题,画出物体的运动过程示意图。
(2)明确研究对象,明确已知量、待求量。
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向),确定各矢量的正、负。
(4)选择适当的公式求解。
(5)判断所得结果是否合乎实际情况,并根据结果的正、负说明所求物理量的方向。
【典例示范】
如图所示,一滑雪运动员从85 m长的斜坡上匀加速滑下,初速度是1.8 m/s,末速度是5.0 m/s,滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间
【解析】解法一:利用速度公式和位移公式求解
由v=v0+at得5 m/s=1.8 m/s+at
由x=v0t+at2
得85 m=1.8 m/s×t+at2
联立解得a=0.128 m/s2,t=25 s。
解法二:利用速度与位移的关系公式和速度公式求解
由v2-=2ax得a==0.128 m/s2
由v=v0+at得t==25 s。
解法三:利用平均速度求位移的公式求解
由x=t得t== s=25 s。
答案:25 s
【探究训练】
(2025·淄博高一检测)汽车已经走进了千家万户,驾驶技能从职业技能成为基本生活技能。考驾照需要进行的其中一项路考为定点停车,路旁竖一标志杆,在车以速度v匀速直线行驶的过程中,当车头与标志杆的距离为x时,学员立即刹车,让车做匀减速直线运动,车头恰好停在标志杆处。若忽略学员的反应时间,则汽车刹车(　　)
A.时间为 B.加速度大小为
C.经过一半时间时的位移大小为 D.经过一半距离时的速度大小为
√
【解析】选A。根据运动学公式可得x=t,解得汽车刹车的时间为t=,A正确;设汽车加速度大小为a,根据匀变速直线运动的速度—位移公式可得0-v2=-2ax,解得加速度大小为a=,B错误;根据匀变速直线运动的位移—时间公式,可得汽车经过一半时间的位移大小为=v·a·()2=x,C错误;设汽车经过一半距离时的速度大小为,根据匀变速直线运动速度—位移公式可得-v2=-2a·,解得=v,D错误。
主题二　匀变速直线运动的三个重要推论
理论推导
思考1:做匀变速直线运动的物体,初速度为v0,经过一段时间t,速度变为v,此过程中物体的平均速度为多少 运动到时的瞬时速度为多大
提示:推导:===v0+at=
将v=v0+at代入可得==
此公式只适用于匀变速直线运动。
所以,匀变速直线运动位移又可表示为x= t=t。
思考2:在匀变速直线运动中,对于一段位移为x,初速度为v0,末速度为v,位移中点的瞬时速度为多少
提示:推导:前一半位移有=2a·=ax,
全程有v2-=2ax
所以=。
思考3:在匀变速直线运动中,物体运动的加速度为a,在任意两个连续相等时间间隔T内,位移之差是多少
提示:推导:在时间T内的位移x1=v0T+aT2①
在时间2T内的位移x2=v0×2T+a(2T)2②
则xⅠ=x1,xⅡ=x2-x1③
由①②③得Δx=xⅡ-xⅠ=aT2。
拓展:ΔxMN=xM-xN=(M-N)aT2。
【结论生成】
1.推论1:
做匀变速直线运动的物体,在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度,也等于这段时间初、末速度和的一半,即==。
(1)适用条件:匀变速直线运动。
(2)应用:计算瞬时速度。
2.推论2:
中间位置的瞬时速度公式:
=
即:做匀变速直线运动的物体在一段位移的中间位置的瞬时速度,等于这段位移的初、末速度的方均根值。
3.推论3:
匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体,如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ,xⅡ,xⅢ,…,xN,则
Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=aT2。
(1)推导:x1=v0T+aT2,
x2=v0·2T+a·T2,
x3=v0·3T+a·T2,…
所以xⅠ=x1=v0T+aT2,
xⅡ=x2-x1=v0T+aT2,
xⅢ=x3-x2=v0T+aT2,…
故xⅡ-xⅠ=aT2,xⅢ-xⅡ=aT2,…
所以,Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=aT2。
(2)应用:
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=xN-xN-1=aT2成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动。
②求加速度
利用Δx=aT2,可求得a=。
【特别提醒】
(1)以上推论只适用于匀变速直线运动,其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。
(2)推论式xⅡ-xⅠ=aT2常在实验中根据打出的纸带求物体的加速度。
【典例示范】
有一个做匀变速直线运动的物体,它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m,连续相等的时间为4 s,求该物体的初速度大小和加速度大小。
【解析】由题意可画出物体的运动示意图:
方法一:逐差法
由Δx=aT2可得a== m/s2=2.5 m/s2①
又x1=vAT+aT2②
vC=vA+a·2T③
由①②③式解得vA=1 m/s,vC=21 m/s。
方法二:平均速度公式法
连续两段时间T内的平均速度分别为== m/s=6 m/s
== m/s=16 m/s
由于B是A、C的中间时刻,则=,=
又vB=== m/s=11 m/s
解得vA=1 m/s,vC=21 m/s
其加速度a== m/s2=2.5 m/s2。
方法三:基本公式法
由位移公式得:x1=vAT+aT2
x2=vA·2T+a(2T)2-(vAT+aT2)
vC=vA+a·2T
将x1=24 m,x2=64 m,T=4 s代入上式,
解得a=2.5 m/s2,vA=1 m/s,vC=21 m/s。
答案:1 m/s　2.5 m/s2
【探究训练】
(多选)(2025·青岛高一检测)某物体沿着一条直线做匀减速运动,依次经过A、B、C三点,最终停止在D点。A、B间的距离为s0,B、C之间的距离为s0,物体通过AB与BC两段距离所用时间都为t0,则下列说法正确的是(　　)
A.物体通过B点时的速度是
B.物体由C到D的时间是
C.物体运动的加速度大小是
D.C、D之间的距离为s0
√
√
【解析】选B、D。物体通过AB与BC两段距离所用时间都为t0,所以vB为AC的中间时刻速度,根据匀变速直线运动的中间时刻速度推论式可得vB==,A错误;AB与BC两段为连续相邻相同时间的位移,根据匀变速直线运动的推论式Δx=aT2,可得s0-s0=a,解得物体运动的加速度大小为a=,物体从B到D所用时间为t===t0,则物体从C到D的时间为t0-t0=t0,B正确,C错误;根据逆向思维可得C、D间距离为sCD=a(t0)2=·(t0)2=s0,D正确。
主题三　初速度为零的匀加速直线运动的六个比例关系
【生活情境】
一辆玩具小车,从静止开始,以加速度a做匀加速直线运动。
【问题探究】
(1)如何计算1 s末、2 s末、3 s末……n s末小车的速度之比
提示:利用速度—时间关系公式v=at。
(2)如何计算1 s内、2 s内、3 s内……n s内小车的位移之比
提示:利用位移—时间关系公式x=at2。
(3)如何计算第1 s内、第2 s内、第3 s内……第n s内小车的位移之比
提示:第2 s内的位移可用前2 s位移与第1 s位移之差表示,依次类推。
(4)如何计算小车通过x,2x,3x,…,nx所用时间之比
提示:通过位移—时间关系公式x=at2,得到t=。
(5)如何计算小车通过第一个x、第二个x、第三个x……第n个x所用时间之比
提示:小车通过第二个x所用的时间可以用前两个x用时与第一个x用时之差表示,依次类推。
(6)如何计算小车到x末、2x末、3x末……nx末时瞬时速度之比
提示:利用位移—时间关系公式v2=2ax。
【结论生成】
1.初速度为零的匀加速直线运动,按时间等分(设相等的时间间隔为T):
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比:
由v=at可得:v1∶v2∶v3∶…=1∶2∶3∶…
(2)1T内、2T内、3T内……位移之比:
由x=at2可得:x1∶x2∶x3∶…=1∶4∶9∶…
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……的位移之比:由xⅠ=x1,xⅡ=x2-x1,xⅢ=x3-x2,…可得:xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…=1∶3∶5∶…
2.初速度为零的匀加速直线运动,按位移等分(设相等的位移为x):
(1)通过x,2x,3x,…所用时间之比:
由x=at2可得t=,所以t1∶t2∶t3∶…=1∶∶…
(2)通过第一个x、第二个x、第三个x……所用时间之比:由tⅠ=t1,tⅡ=t2-t1,tⅢ=t3-t2,…可得:tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…=1∶(-1)∶()∶…
(3)x末、2x末、3x末……的瞬时速度之比:
由v2=2ax,可得v=,所以v1∶v2∶v3∶…=1∶∶…
【特别提醒】
(1)以上比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动,可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,应用前面的比例关系可以快速解答此类问题。(逆向思维法)
【典例示范】
(多选)(2025·商丘高一检测)一初速度为10 m/s的汽车遇紧急情况以大小为2 m/s2的加速度制动,下列说法正确的是(　　)
A.汽车在制动过程中,3 s末的速度为4 m/s
B.汽车在制动后第1 s内的位移与第4 s内的位移之比为3∶1
C.汽车在制动后6 s内的位移为24 m
D.汽车在制动后的倒数第3 m、倒数第2 m、最后1 m内的运动,平均速度之比是()∶(+1)∶1
√
√
√
【解析】选A、B、D。汽车制动速度减为零的时间t0==5 s,则刹车后3 s末的速度为v=v0-at=10 m/s-2×3 m/s=4 m/s,A正确;采用逆向思维,汽车做初速度为零的匀加速直线运动,相等时间内的位移之比为x1∶x2∶x3∶x4∶x5=1∶3∶5∶7∶9,则汽车制动后第1 s内的位移应是匀加速运动的第5 s内的位移x5、第4 s内的位移应是匀加速运动第2 s内的位移x2,则x5∶x2=9∶3=3∶1,B正确;汽车制动后6 s内的位移等于5 s内的位移,即x=t0=25 m,C错误;采用逆向思维,汽车做初速度为零的匀加速直线运动,根据相等位移所用时间之比为t1∶t2∶t3=()∶(-1)∶1,根据平均速度的定义式知,平均速度之比为v1∶v2∶v3=∶1=()∶( +1)∶1,D正确。
【探究训练】
1.(多选)弹道凝胶是用来模拟测试子弹对人体破坏力的一种凝胶,它的密度、性状等物理特性都非常接近于人体肌肉组织。某实验者在桌面上紧挨着放置8块完全相同的透明凝胶,枪口对准凝胶的中轴线射击,子弹即将射出第8块凝胶时速度恰好减为0,子弹在凝胶中运动的总时间为t,假设子弹在凝胶中的运动可看作匀减速直线运动,子弹可看作质点,则以下说法正确的是(　　)
A.子弹穿透第6块凝胶时,速度为刚射入第1块凝胶时的一半
B.子弹穿透前2块凝胶所用时间为t
C.子弹穿透前2块凝胶所用时间为t
D.子弹穿透第1块与最后1块凝胶的平均速度之比为()∶1
√
√
【解析】选A、C。因为子弹做匀减速直线运动,可将其视为反向的初速度为0的匀加速直线运动,连续两段相等时间内的位移之比为x1∶x2=1∶3 =2∶6,即射穿第6块时,恰为全程时间中点,速度为全程的平均速度=,即初速度的一半,故A正确;将8块凝胶分为四等份,根据连续相等位移的时间比为t'1∶t'2∶ t'3 ∶t'4=()∶()∶(-1)∶1,则第一份长度的时间相对总时间的占比为t'1=t,故B错误,C正确;因每块凝胶大小一致,若令穿透最后一块凝胶的时间为1 s,则穿透第一块凝胶的时间应为() s,则平均速度之比应为()∶1,则D错误。
2.一列火车共有n节车厢,每节车厢的长度都相同且车厢间的间隙不计,该火车进站时做匀减速直线运动直到停下,该过程中,站在车站站台的一个旅客测得最后一节车厢经过他所用的时间为t(最后一节车厢经过该旅客后恰好停止),则该列车第1节车厢经过他所用的时间是多少
【解析】由于火车做匀减速直线运动直到停下,可将此运动反演成从终点开始沿反方向做初速度为零的匀加速直线运动,由结论“初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移所用时间之比”可得t1∶t2∶…∶tn=()∶()∶…∶1,即t1∶tn=()∶1,求得第1节车厢经过他所用时间为t1=()·t。
答案:()·t专题一　匀变速直线运动规律的应用
课堂合作探究 【生活情境】
上海佘山世茂洲际酒店的建筑是一项富有创新的设计之作,这个酒店结合自然环境,充分利用深坑岩壁的曲面造型悬挂并建造在深坑岩壁之上,主体由地表以上2层及地表以下88米的15层构成,令人叹为观止。年轻设计师设计出依靠峭壁的特殊电梯,解决了运送施工人员快速进入坑底的难题。若电梯最大速度为v,电梯加速下降加速度为a1,减速下降加速度为a2。
【问题探究】
(1)电梯加速阶段的位移是多少
提示:①匀变速直线运动位移与时间的关系x=v0t+at2。
②匀变速直线运动位移与速度的关系v2-=2ax。
(2)电梯减速阶段的位移是多少
提示:①匀变速直线运动位移与时间的关系x=v0t+at2。
②匀变速直线运动位移与速度的关系v2-=2ax。
(3)电梯运送施工人员快速进入坑底的过程中,加速阶段和减速阶段的平均速度各是多少
提示:平均速度公式v==(v0+v)。
【结论生成】
1.匀变速直线运动基本公式的比较
公式 一般形式 v0=0时 涉及的物理量 不涉及的物理量
速度公式 v=v0+at v=at v、v0、a、t 位移x
位移公式 x=v0t+at2 x=at2 x、v0、t、a 末速度v
速度与位移 的关系式 v2-=2ax v2=2ax v、v0、a、x 时间t
平均速度公式 ==(v0+v) ==v 、x、t、 v0、v 加速度a
2.公式的应用步骤
(1)认真审题,画出物体的运动过程示意图。
(2)明确研究对象,明确已知量、待求量。
(3)规定正方向(一般取初速度v0的方向为正方向),确定各矢量的正、负。
(4)选择适当的公式求解。
(5)判断所得结果是否合乎实际情况,并根据结果的正、负说明所求物理量的方向。
【典例示范】
如图所示,一滑雪运动员从85 m长的斜坡上匀加速滑下,初速度是1.8 m/s,末速度是5.0 m/s,滑雪运动员通过这段斜坡需要多长时间
【探究训练】
(2025·淄博高一检测)汽车已经走进了千家万户,驾驶技能从职业技能成为基本生活技能。考驾照需要进行的其中一项路考为定点停车,路旁竖一标志杆,在车以速度v匀速直线行驶的过程中,当车头与标志杆的距离为x时,学员立即刹车,让车做匀减速直线运动,车头恰好停在标志杆处。若忽略学员的反应时间,则汽车刹车 (　　)
A.时间为
B.加速度大小为
C.经过一半时间时的位移大小为
D.经过一半距离时的速度大小为 理论推导
思考1:做匀变速直线运动的物体,初速度为v0,经过一段时间t,速度变为v,此过程中物体的平均速度为多少 运动到时的瞬时速度为多大
提示:推导:===v0+at=
将v=v0+at代入可得==
此公式只适用于匀变速直线运动。
所以,匀变速直线运动位移又可表示为x= t=t。
思考2:在匀变速直线运动中,对于一段位移为x,初速度为v0,末速度为v,位移中点的瞬时速度为多少
提示:推导:前一半位移有=2a·=ax,
全程有v2-=2ax
所以=。
思考3:在匀变速直线运动中,物体运动的加速度为a,在任意两个连续相等时间间隔T内,位移之差是多少
提示:推导:在时间T内的位移x1=v0T+aT2 ①
在时间2T内的位移x2=v0×2T+a(2T)2 ②
则xⅠ=x1,xⅡ=x2-x1 ③
由①②③得Δx=xⅡ-xⅠ=aT2。
拓展:ΔxMN=xM-xN=(M-N)aT2。
【结论生成】
1.推论1:
做匀变速直线运动的物体,在某段时间内的平均速度等于这段时间中间时刻的瞬时速度,也等于这段时间初、末速度和的一半,即==。
(1)适用条件:匀变速直线运动。
(2)应用:计算瞬时速度。
2.推论2:
中间位置的瞬时速度公式:
=
即:做匀变速直线运动的物体在一段位移的中间位置的瞬时速度,等于这段位移的初、末速度的方均根值。
3.推论3:
匀变速直线运动中任意两个连续相等的时间间隔内的位移差相等。做匀变速直线运动的物体,如果在各个连续相等的时间T内的位移分别为xⅠ,xⅡ,xⅢ,…,xN,则
Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=aT2。
(1)推导:x1=v0T+aT2,
x2=v0·2T+a·T2,
x3=v0·3T+a·T2,…
所以xⅠ=x1=v0T+aT2,
xⅡ=x2-x1=v0T+aT2,
xⅢ=x3-x2=v0T+aT2,…
故xⅡ-xⅠ=aT2,xⅢ-xⅡ=aT2,…
所以,Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=aT2。
(2)应用:
①判断物体是否做匀变速直线运动
如果Δx=xⅡ-xⅠ=xⅢ-xⅡ=…=xN-xN-1=aT2成立,则a为一恒量,说明物体做匀变速直线运动。
②求加速度
利用Δx=aT2,可求得a=。
【特别提醒】
(1)以上推论只适用于匀变速直线运动,其他性质的运动不能套用推论式来处理问题。
(2)推论式xⅡ-xⅠ=aT2常在实验中根据打出的纸带求物体的加速度。
【典例示范】
有一个做匀变速直线运动的物体,它在两段连续相等的时间内通过的位移分别是24 m和64 m,连续相等的时间为4 s,求该物体的初速度大小和加速度大小。
【探究训练】
(多选)(2025·青岛高一检测)某物体沿着一条直线做匀减速运动,依次经过A、B、C三点,最终停止在D点。A、B间的距离为s0,B、C之间的距离为s0,物体通过AB与BC两段距离所用时间都为t0,则下列说法正确的是 (　　)
A.物体通过B点时的速度是
B.物体由C到D的时间是
C.物体运动的加速度大小是
D.C、D之间的距离为s0 【生活情境】
一辆玩具小车,从静止开始,以加速度a做匀加速直线运动。
【问题探究】
(1)如何计算1 s末、2 s末、3 s末……n s末小车的速度之比
提示:利用速度—时间关系公式v=at。
(2)如何计算1 s内、2 s内、3 s内……n s内小车的位移之比
提示:利用位移—时间关系公式x=at2。
(3)如何计算第1 s内、第2 s内、第3 s内……第n s内小车的位移之比
提示:第2 s内的位移可用前2 s位移与第1 s位移之差表示,依次类推。
(4)如何计算小车通过x,2x,3x,…,nx所用时间之比
提示:通过位移—时间关系公式x=at2,得到t=。
(5)如何计算小车通过第一个x、第二个x、第三个x……第n个x所用时间之比
提示:小车通过第二个x所用的时间可以用前两个x用时与第一个x用时之差表示,依次类推。
(6)如何计算小车到x末、2x末、3x末……nx末时瞬时速度之比
提示:利用位移—时间关系公式v2=2ax。
【结论生成】
1.初速度为零的匀加速直线运动,按时间等分(设相等的时间间隔为T):
(1)1T末、2T末、3T末……瞬时速度之比:
由v=at可得:v1∶v2∶v3∶…=1∶2∶3∶…
(2)1T内、2T内、3T内……位移之比:
由x=at2可得:x1∶x2∶x3∶…=1∶4∶9∶…
(3)第一个T内、第二个T内、第三个T内……的位移之比:由xⅠ=x1,xⅡ=x2-x1,xⅢ=x3-x2,…可得:xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…=1∶3∶5∶…
2.初速度为零的匀加速直线运动,按位移等分(设相等的位移为x):
(1)通过x,2x,3x,…所用时间之比:
由x=at2可得t=,所以
t1∶t2∶t3∶…=1∶∶…
(2)通过第一个x、第二个x、第三个x……所用时间之比:由tⅠ=t1,tⅡ=t2-t1,tⅢ=t3-t2,…可得:
tⅠ∶tⅡ∶tⅢ∶…=1∶(-1)∶()∶…
(3)x末、2x末、3x末……的瞬时速度之比:
由v2=2ax,可得v=,所以
v1∶v2∶v3∶…=1∶∶…
【特别提醒】
(1)以上比例式只适用于初速度为零的匀加速直线运动。
(2)对于末速度为零的匀减速直线运动,可把它看成逆向的初速度为零的匀加速直线运动,应用前面的比例关系可以快速解答此类问题。(逆向思维法)
【典例示范】
(多选)(2025·商丘高一检测)一初速度为10 m/s的汽车遇紧急情况以大小为2 m/s2的加速度制动,下列说法正确的是 (　　)
A.汽车在制动过程中,3 s末的速度为4 m/s
B.汽车在制动后第1 s内的位移与第4 s内的位移之比为3∶1
C.汽车在制动后6 s内的位移为24 m
D.汽车在制动后的倒数第3 m、倒数第2 m、最后1 m内的运动,平均速度之比是()∶(+1)∶1 【探究训练】
1.(多选)弹道凝胶是用来模拟测试子弹对人体破坏力的一种凝胶,它的密度、性状等物理特性都非常接近于人体肌肉组织。某实验者在桌面上紧挨着放置8块完全相同的透明凝胶,枪口对准凝胶的中轴线射击,子弹即将射出第8块凝胶时速度恰好减为0,子弹在凝胶中运动的总时间为t,假设子弹在凝胶中的运动可看作匀减速直线运动,子弹可看作质点,则以下说法正确的是 (　　)
A.子弹穿透第6块凝胶时,速度为刚射入第1块凝胶时的一半
B.子弹穿透前2块凝胶所用时间为t
C.子弹穿透前2块凝胶所用时间为t
D.子弹穿透第1块与最后1块凝胶的平均速度之比为()∶1 2.一列火车共有n节车厢,每节车厢的长度都相同且车厢间的间隙不计,该火车进站时做匀减速直线运动直到停下,该过程中,站在车站站台的一个旅客测得最后一节车厢经过他所用的时间为t(最后一节车厢经过该旅客后恰好停止),则该列车第1节车厢经过他所用的时间是多少
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