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5.共点力的平衡
课程标准 素养目标
能用共点力的平衡条件分析生产生活中的问题。 1.能解释生活中共点力平衡现象。 (物理观念) 2.运用共点力平衡条件分析问题。 (科学思维) 3.运用共点力平衡条件分析动态平衡的问题。 (科学探究)
高端教学引领
【教学建议】
1.物体的静态平衡
任务 建议
物体的静态平衡问题 通过生活情境分析,结合实例让学生体验静态平衡现象。
2.物体的动态平衡
任务 建议
物体的动态平衡问题 结合实例让学生分析动态平衡问题。
3.解决平衡问题的方法
任务 建议
解决平衡问题 结合实例让学生分析平衡问题的不同解决方法。
【情境导引】
其实平衡无时无处不在,一架架小天平一直在悄悄地发挥着重要的作用。
有形的平衡可以用眼睛看得到。例如各种秤的应用,孩子们玩耍的跷跷板,女子体操中的平衡木。有些平衡却在无形之中。这样的例子还有很多,也许是大自然冥冥之中在调试着平衡。
　　问题导引:
1.共点力平衡的条件是什么
2.物体的静态平衡的条件是什么
3.物体的动态平衡的处理方法
课前自主学习
共点力平衡的条件
1.平衡状态:一个物体在共点力作用下,保持静止或匀速直线运动状态叫平衡状态。
2.平衡条件:F合=0;分量式 :F合x=0 、 F合y=0。
3. 几种简单的平衡:
(1)二力平衡:作用于一个物体上的两个力,等大、反向、共线则平衡。
(2)三力平衡:三个共点力平衡则两个力的合力与第三个力等大、反向、共线。
(3)三力平衡条件逆推理:若三力平衡必共点(三力非平行力)。
4.把一个力分解为两个互相垂直的分力,这种分解方法称为力的正交分解。
【易错辨析】
(1)共点力一定作用于物体上的同一点。 (　　)
(2)作用于不同物体上的两个力,只要作用线交于一点,就可以进行力的合成。 (　　)
(3)竖直上抛的物体上升至最高点时v=0,是平衡状态。 (　　)
(4)物体的加速度a=0,则物体一定处于静止状态。 (　　)
(5)在高空高速匀速飞行的飞机上,乘客所受合力为零。 (　　)
提示:(1)×。作用线相交于一点的力也可以叫作共点力。
(2)×。力的合成需要作用在同一物体上。
(3)×。最高点受重力,是非平衡状态。
(4)×。加速度为0的物体,可能处于静止,也可能做匀速直线运动。
(5)√
课堂合作探究 【生活情境】
如图所示,悬挂物体处于静止状态。
【问题探究】
1.分析上述情境,思考共点力的平衡条件是什么。
共点力作用下物体的平衡条件是合外力为0。
2.若一个物体受三个力作用而处于平衡状态,则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系 这个结论是否可以推广到多个力的平衡
(1)三个力平衡,合外力为零,则其中任意一个力与另外两个力的合力必定大小相等、方向相反。
(2)推广到多个力的平衡,若物体受多个力的作用而处于平衡状态,则这些力中的某一个力一定与其他力的合力大小相等、方向相反。 【实验情境】
如图,足球静止悬挂在墙壁上,分析其受力情况。
【问题探究】
1.如何分析图中足球的受力情况
提示:取足球和网兜组成的整体作为研究对象,分析其受力情况。
2.如何分析足球所受弹力和拉力情况
提示:足球受力平衡,重力为已知力,由力的合成和分解,可判断出拉力和墙壁弹力的情况。
【结论生成】
1.平衡状态:
平衡状态 ①静止; ②匀速直线运动
静止 v=0、a=0同时具备的情形
匀速直线运动 速度的大小、方向皆不变化
说明 ①静止的物体v=0; ②v=0的物体不一定静止,如竖直上抛到达最高点的情况
2.共点力的平衡:
(1)平衡条件。
F合=0或
(2)由平衡条件得出的三个结论。
3.处理平衡问题的方法:
(1)力的合成、分解法
三个力的平衡问题,一般将任意两个力合成,则该合力与第三个力等大反向,或将其中某个力沿另外两个力的反方向分解,从而得到两对平衡力。
(2)正交分解法
①适用:将各力分解到x轴上和y轴上,运用两坐标轴上的合力等于零的条件Fx=0,Fy=0进行分析,多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。
②原则:对x、y方向选择时,尽可能使较多的力落在x、y轴上,被分解的力尽可能是已知力,不宜分解待求力。
(3)相似三角形法
在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力方向都变化,且题目给出了空间几何关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
【典例示范】沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点,如图所示,足球的质量为m,网兜的质量不计,足球与墙壁的接触点为B,悬绳与墙壁的夹角为α,求悬线对球的拉力T和墙壁对球的支持力N的大小。
[规律方法]正交分解法分析平衡问题的思路
(1)选取研究对象;
(2)对研究对象进行受力分析,画出受力分析图;
(3)建立直角坐标系;
(4)根据在x轴和y轴合力为零列方程;
(5)解方程,求出结果,必要时还要进行讨论。
【探究训练】
1.短跑运动员进行训练时,常常会将阻力伞绑在腰间来对抗阻力以提高核心力量。该项训练具有易操作,不易受伤,阻力大小易控制的特点。如图所示,当阻力伞全部打开时,阻力伞的中心轴线保持水平,共6根伞绳,每根伞绳与中心轴线的夹角均为30°,阻力伞所受的空气阻力为90 N,该运动员做匀速直线运动,那么每根伞绳承受的拉力大小约为 (　　)
A.15 N　　　　　　B.90 N C.20 N D.10 N
2.(多选)如图所示,三根绳子AO、BO、CO相交于O点,其中绳子AO水平,垂直于墙面,BO、CO长度均为L,B、C两悬点等高,BC间距也为L,三角形BOC与竖直方向的夹角为60°,绳子OD悬挂质量为m的重物,处于静止状态,则 (　　)
A.绳子AO上的拉力为mg
B.绳子AO上的拉力为mg
C.绳子BO上的拉力为2mg
D.绳子BO上的拉力为mg 【实验情境】
如图,用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间,开始时OB绳水平。
【问题探究】
现保持O点位置不变,改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B'点,此时OB'与OA之间的夹角θ<90°。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB,OA、OB绳的拉力如何变化
提示:FOA逐渐减小;FOB先减小后增大,当θ=90°时FOB最小。
【结论生成】
1.动态平衡:
(1)所谓动态平衡问题,是指通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,常利用图解法解决此类问题。
(2)基本思路:化“动”为“静”,“静”中求“动”。
2.分析动态平衡问题的方法:
方法 步骤
解析法 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式; (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况,画出平行四边形边、角的变化; (2)确定未知量大小、方向的变化
相似三 角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形,确定对应边,利用三角形相似知识列出比例式; (2)确定未知量大小的变化情况
力的三 角形法 对受三力作用而平衡的物体,将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形,根据正弦定理、余弦定理等数学知识求解未知力
【典例示范】
用绳AO、BO悬挂一个重物,BO水平,O为半圆形支架的圆心,悬点A和B在支架上。悬点A固定不动,将悬点B从图示位置逐渐移动到C点的过程中,关于绳OA和绳OB上的拉力的大小变化情况,下列说法正确的是 (　　)
A.绳OA的拉力不变,绳OB的拉力减小
B.绳OA的拉力逐渐减小,绳OB的拉力先减小后增大
C.绳OA的拉力不变,绳OB的拉力先减小后增大
D.绳OA的拉力逐渐减小,绳OB的拉力增大
【探究训练】
1.(多选)野炊时,三根对称分布的轻质细杆构成烹煮支架静置于水平地面上,如图甲所示。炊具与食物的总质量为m,各杆与竖直方向的夹角均为30°。出于安全考虑,盛取食物时用光滑铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆,如图乙所示。重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
A.烹煮食物时,各杆对地面的作用力大小均为 mg
B.烹煮食物时,各杆受到地面的摩擦力大小均为 mg
C.拉动吊绳过程中,吊绳上的张力不断增大
D.拉动吊绳过程中,铁钩对吊绳的作用力方向不变 2. (2025·潍坊高一检测)如图所示,圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上,在O点正上方有一光滑的小定滑轮,小定滑轮到轨道最高点B的距离为h,轻绳的一端系一质量为m的小球(小球和小定滑轮均可视为质点),靠放在光滑圆形轨道上的A点,A点到小定滑轮的距离为L,另一端绕过小定滑轮后用力拉住,重力加速度大小为g,则下列说法正确的是 (　　)
A.缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B,该过程中FN大小不变
B.缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B,该过程中FT先变小后变大
C.小球静止在A点时,圆形轨道对小球的支持力大小FN=
D.小球静止在A点时,绳对小球的拉力大小FT=
【实验情境】
如图所示,用AO和BO绳悬挂一物体,结点O受到多个力的作用。
【问题探究】
(1)用平行四边形定则求其合力很不方便,甚至困难时,怎样求其合力
提示:先将各力正交分解,然后再合成,“分”是为了更方便地进行“合”。
(2)正交分解法有什么优点
提示:①可借助数学中的直角坐标系对力进行描述。
②分解时只需熟知三角函数关系、几何关系,简便、容易求解。
【结论生成】
1.正交分解法的分析:
(1)概念。
把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解的方法,叫作力的正交分解法。
(2)选取坐标系的原则。
一般情况下,坐标系的选取是任意的,为使问题简化,坐标系的选取一般有两个原则:
①使尽量多的力处在坐标轴上。
②尽量使待求力处在坐标轴上。
2.应用正交分解的三种情境
(1)研究水平面上的物体时,通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴。
(2)研究斜面上的物体时,通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴。
(3)研究物体在杆(或绳)的作用下转动时,通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴。
【典例示范】
(2025·济宁高一检测)在同一平面内的四个共点力F1、F2、F3、F4的大小依次为20 N、40 N、30 N和14 N,方向如图所示,求它们的合力。(sin37°=0.6,cos37°=0.8,=1.414,结果保留3位有效数字)
[规律方法]　正交分解法求合力的步骤
(1)建立坐标系:以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系,其中x轴和y轴的选择应使尽量多的力处在坐标轴上。
(2)正交分解各力:将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上,并求出各分力的大小,如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力,即Fx=F1x+F2x+F3x;Fy=F1y+F2y+F3y。
(4)求共点力的合力:合力大小F=,设合力的方向与x轴的夹角为α,则tanα=。
【探究训练】
1.(2025·济南高一检测)如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。则两小球的质量比为 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D. 2.图1所示为生活中常见的一款手机支架,图2为其简化图。假设这款手机支架和手机接触的挡板的两个面都是光滑的,且挡板AB和BC的质量不计,手机支架的底座质量m1为0.1 kg,质量m2为0.2 kg的手机放在支架上,斜面倾角为53°(sin53°=0.8,cos53°=0.6,g取10 m/s2)。
(1)手机对挡板AB和挡板BC的作用力大小。
(2)手机支架的斜杆D和底座间夹角调为60°时,斜杆D对挡板BC的作用力大小。
(3)放上手机后桌面对底座的作用力的大小。 【课堂回眸】5.共点力的平衡
课程标准 素养目标
能用共点力的平衡条件分析生产生活中的问题。 1.能解释生活中共点力平衡现象。 (物理观念) 2.运用共点力平衡条件分析问题。 (科学思维) 3.运用共点力平衡条件分析动态平衡的问题。 (科学探究)
高端教学引领
【教学建议】
1.物体的静态平衡
任务 建议
物体的静态平衡问题 通过生活情境分析,结合实例让学生体验静态平衡现象。
2.物体的动态平衡
任务 建议
物体的动态平衡问题 结合实例让学生分析动态平衡问题。
3.解决平衡问题的方法
任务 建议
解决平衡问题 结合实例让学生分析平衡问题的不同解决方法。
【情境导引】
其实平衡无时无处不在,一架架小天平一直在悄悄地发挥着重要的作用。
有形的平衡可以用眼睛看得到。例如各种秤的应用,孩子们玩耍的跷跷板,女子体操中的平衡木。有些平衡却在无形之中。这样的例子还有很多,也许是大自然冥冥之中在调试着平衡。
　　问题导引:
1.共点力平衡的条件是什么
2.物体的静态平衡的条件是什么
3.物体的动态平衡的处理方法
课前自主学习
共点力平衡的条件
1.平衡状态:一个物体在共点力作用下,保持静止或匀速直线运动状态叫平衡状态。
2.平衡条件:F合=0;分量式 :F合x=0 、 F合y=0。
3. 几种简单的平衡:
(1)二力平衡:作用于一个物体上的两个力,等大、反向、共线则平衡。
(2)三力平衡:三个共点力平衡则两个力的合力与第三个力等大、反向、共线。
(3)三力平衡条件逆推理:若三力平衡必共点(三力非平行力)。
4.把一个力分解为两个互相垂直的分力,这种分解方法称为力的正交分解。
【易错辨析】
(1)共点力一定作用于物体上的同一点。 (　　)
(2)作用于不同物体上的两个力,只要作用线交于一点,就可以进行力的合成。 (　　)
(3)竖直上抛的物体上升至最高点时v=0,是平衡状态。 (　　)
(4)物体的加速度a=0,则物体一定处于静止状态。 (　　)
(5)在高空高速匀速飞行的飞机上,乘客所受合力为零。 (　　)
提示:(1)×。作用线相交于一点的力也可以叫作共点力。
(2)×。力的合成需要作用在同一物体上。
(3)×。最高点受重力,是非平衡状态。
(4)×。加速度为0的物体,可能处于静止,也可能做匀速直线运动。
(5)√
课堂合作探究
主题一　物体的静态平衡
任务1　物体的静态平衡问题
【生活情境】
如图所示,悬挂物体处于静止状态。
【问题探究】
1.分析上述情境,思考共点力的平衡条件是什么。
共点力作用下物体的平衡条件是合外力为0。
2.若一个物体受三个力作用而处于平衡状态,则其中一个力与另外两个力的合力满足怎样的关系 这个结论是否可以推广到多个力的平衡
(1)三个力平衡,合外力为零,则其中任意一个力与另外两个力的合力必定大小相等、方向相反。
(2)推广到多个力的平衡,若物体受多个力的作用而处于平衡状态,则这些力中的某一个力一定与其他力的合力大小相等、方向相反。
任务2　处理静态平衡的方法
【实验情境】
如图,足球静止悬挂在墙壁上,分析其受力情况。
【问题探究】
1.如何分析图中足球的受力情况
提示:取足球和网兜组成的整体作为研究对象,分析其受力情况。
2.如何分析足球所受弹力和拉力情况
提示:足球受力平衡,重力为已知力,由力的合成和分解,可判断出拉力和墙壁弹力的情况。
【结论生成】
1.平衡状态:
平衡状态 ①静止; ②匀速直线运动
静止 v=0、a=0同时具备的情形
匀速直线运动 速度的大小、方向皆不变化
说明 ①静止的物体v=0; ②v=0的物体不一定静止,如竖直上抛到达最高点的情况
2.共点力的平衡:
(1)平衡条件。
F合=0或
(2)由平衡条件得出的三个结论。
3.处理平衡问题的方法:
(1)力的合成、分解法
三个力的平衡问题,一般将任意两个力合成,则该合力与第三个力等大反向,或将其中某个力沿另外两个力的反方向分解,从而得到两对平衡力。
(2)正交分解法
①适用:将各力分解到x轴上和y轴上,运用两坐标轴上的合力等于零的条件Fx=0,Fy=0进行分析,多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。
②原则:对x、y方向选择时,尽可能使较多的力落在x、y轴上,被分解的力尽可能是已知力,不宜分解待求力。
(3)相似三角形法
在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力方向都变化,且题目给出了空间几何关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
【典例示范】沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点,如图所示,足球的质量为m,网兜的质量不计,足球与墙壁的接触点为B,悬绳与墙壁的夹角为α,求悬线对球的拉力T和墙壁对球的支持力N的大小。
【解析】解法一:力的合成法
取足球和网兜组成的整体作为研究对象,它们受重力G、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T三个共点力作用而平衡,由共点力平衡条件可知,N与T的合力F与重力mg等大、反向,
由图1中力的平行四边形可得
N=Ftanα=mgtanα
T==
解法二:力的分解法
取足球与网兜组成的整体为研究对象,其受重力mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T,如图2所示,
将重力mg分解为F1和F2,由共点力平衡条件可知,N与F1等大反向,T与F2等大反向,则
N=F1=mgtanα
T=F2=
解法三:相似三角形法
取足球与网兜组成的整体为研究对象,其受重力mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T,如图3所示,设球心为O,由共点力平衡条件可知,N与mg的合力F与T等大反向,由图3可知力的矢量三角形NOF与几何三角形AOB相似,
则有
==
==tanα
又F=T
得T=,N=mgtanα
解法四:正交分解法
取足球与网兜组成的整体为研究对象,其受重力mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T,
如图4所示。
取水平方向为x轴,竖直方向为y轴,将T分别沿x轴和y轴分解,由平衡条件可知,在x轴和y轴方向上合力应分别等于零,即
x轴方向:N-Tsinα=0
y轴方向:Tcosα-mg=0
由上述两式得T=,N=mgtanα
答案:见解析
[规律方法]正交分解法分析平衡问题的思路
(1)选取研究对象;
(2)对研究对象进行受力分析,画出受力分析图;
(3)建立直角坐标系;
(4)根据在x轴和y轴合力为零列方程;
(5)解方程,求出结果,必要时还要进行讨论。
【探究训练】
1.短跑运动员进行训练时,常常会将阻力伞绑在腰间来对抗阻力以提高核心力量。该项训练具有易操作,不易受伤,阻力大小易控制的特点。如图所示,当阻力伞全部打开时,阻力伞的中心轴线保持水平,共6根伞绳,每根伞绳与中心轴线的夹角均为30°,阻力伞所受的空气阻力为90 N,该运动员做匀速直线运动,那么每根伞绳承受的拉力大小约为 (　　)
A.15 N　　　　　　B.90 N C.20 N D.10 N
【解析】选D。阻力伞受到空气阻力和6根伞绳的作用保持平衡,根据力的分解可得f=6Fcos30°,代入数据解得每根伞绳承受的拉力大小约为F=10 N,故D正确。
2.(多选)如图所示,三根绳子AO、BO、CO相交于O点,其中绳子AO水平,垂直于墙面,BO、CO长度均为L,B、C两悬点等高,BC间距也为L,三角形BOC与竖直方向的夹角为60°,绳子OD悬挂质量为m的重物,处于静止状态,则 (　　)
A.绳子AO上的拉力为mg
B.绳子AO上的拉力为mg
C.绳子BO上的拉力为2mg
D.绳子BO上的拉力为mg
【解析】选B、D。对结点O进行受力分析可知:绳子AO上的拉力为
FAO=mgtan60°=mg
绳子BO与CO的拉力的合力为F==2mg
则绳子BO上的拉力为
TBO===mg
B、D正确,A、C错误。
主题二　物体的动态平衡
【实验情境】
如图,用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间,开始时OB绳水平。
【问题探究】
现保持O点位置不变,改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B'点,此时OB'与OA之间的夹角θ<90°。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB,OA、OB绳的拉力如何变化
提示:FOA逐渐减小;FOB先减小后增大,当θ=90°时FOB最小。
【结论生成】
1.动态平衡:
(1)所谓动态平衡问题,是指通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,常利用图解法解决此类问题。
(2)基本思路:化“动”为“静”,“静”中求“动”。
2.分析动态平衡问题的方法:
方法 步骤
解析法 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式; (2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况,画出平行四边形边、角的变化; (2)确定未知量大小、方向的变化
相似三 角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形,确定对应边,利用三角形相似知识列出比例式; (2)确定未知量大小的变化情况
力的三 角形法 对受三力作用而平衡的物体,将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形,根据正弦定理、余弦定理等数学知识求解未知力
【典例示范】
用绳AO、BO悬挂一个重物,BO水平,O为半圆形支架的圆心,悬点A和B在支架上。悬点A固定不动,将悬点B从图示位置逐渐移动到C点的过程中,关于绳OA和绳OB上的拉力的大小变化情况,下列说法正确的是 (　　)
A.绳OA的拉力不变,绳OB的拉力减小
B.绳OA的拉力逐渐减小,绳OB的拉力先减小后增大
C.绳OA的拉力不变,绳OB的拉力先减小后增大
D.绳OA的拉力逐渐减小,绳OB的拉力增大
【解析】选B。将绳AO、绳BO的拉力合成,其合力与重力等大反向,逐渐改变OB绳拉力的方向,使FB与竖直方向的夹角变小,得到多个平行四边形,如图所示:
由图可知FA逐渐减小,且方向不变,而FB先减小后增大,且方向不断改变,当FB与FA垂直时,FB最小。则B正确,A、C、D错误。
【探究训练】
1.(多选)野炊时,三根对称分布的轻质细杆构成烹煮支架静置于水平地面上,如图甲所示。炊具与食物的总质量为m,各杆与竖直方向的夹角均为30°。出于安全考虑,盛取食物时用光滑铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆,如图乙所示。重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
A.烹煮食物时,各杆对地面的作用力大小均为 mg
B.烹煮食物时,各杆受到地面的摩擦力大小均为 mg
C.拉动吊绳过程中,吊绳上的张力不断增大
D.拉动吊绳过程中,铁钩对吊绳的作用力方向不变
【解析】选A、B。根据共点力平衡有3Fcos30°=mg,可得烹煮食物时,各杆对地面的作用力大小均为F=mg,故A正确;烹煮食物时,各杆受到地面的摩擦力大小均为f=Fsin30°=mg,故B正确;拉动吊绳过程中,炊具与食物受力平衡,故吊绳的拉力等于炊具与食物的重力,故大小不变,故C错误;结点受到竖直向下的吊绳拉力、斜向上的吊绳拉力,以及铁钩对吊绳的作用力,在拉动吊绳过程中,斜向上的吊绳拉力的方向改变,根据共点力平衡可知铁钩对吊绳的作用力方向改变,故D错误。
2. (2025·潍坊高一检测)如图所示,圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上,在O点正上方有一光滑的小定滑轮,小定滑轮到轨道最高点B的距离为h,轻绳的一端系一质量为m的小球(小球和小定滑轮均可视为质点),靠放在光滑圆形轨道上的A点,A点到小定滑轮的距离为L,另一端绕过小定滑轮后用力拉住,重力加速度大小为g,则下列说法正确的是 (　　)
A.缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B,该过程中FN大小不变
B.缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B,该过程中FT先变小后变大
C.小球静止在A点时,圆形轨道对小球的支持力大小FN=
D.小球静止在A点时,绳对小球的拉力大小FT=
【解析】选A。小球受力如图所示
由图可知力的矢量三角形与几何三角形AOO'相似,则有
==,解得FN=,FT=,其中mg、R、h均不变,小球由A运动到B时,L逐渐减小,则由上式可知,FN不变,FT变小。A正确,B、C、D错误。
主题三　正交分解法
【实验情境】
如图所示,用AO和BO绳悬挂一物体,结点O受到多个力的作用。
【问题探究】
(1)用平行四边形定则求其合力很不方便,甚至困难时,怎样求其合力
提示:先将各力正交分解,然后再合成,“分”是为了更方便地进行“合”。
(2)正交分解法有什么优点
提示:①可借助数学中的直角坐标系对力进行描述。
②分解时只需熟知三角函数关系、几何关系,简便、容易求解。
【结论生成】
1.正交分解法的分析:
(1)概念。
把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解的方法,叫作力的正交分解法。
(2)选取坐标系的原则。
一般情况下,坐标系的选取是任意的,为使问题简化,坐标系的选取一般有两个原则:
①使尽量多的力处在坐标轴上。
②尽量使待求力处在坐标轴上。
2.应用正交分解的三种情境
(1)研究水平面上的物体时,通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴。
(2)研究斜面上的物体时,通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴。
(3)研究物体在杆(或绳)的作用下转动时,通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴。
【典例示范】
(2025·济宁高一检测)在同一平面内的四个共点力F1、F2、F3、F4的大小依次为20 N、40 N、30 N和14 N,方向如图所示,求它们的合力。(sin37°=0.6,cos37°=0.8,=1.414,结果保留3位有效数字)
【解析】如图甲,建立直角坐标系,把各个力分解到这两个坐标轴上,并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy,有
根据Fx=F1+F2cos37°-F3cos37°=28 N,Fy=F2sin37°+F3sin37°-F4=28 N
因此,如图乙所示,合力F=≈39.6 N,tanφ==1
即合力方向与F1夹角为45°斜向右上方。
答案:39.6 N,方向与F1成45°角斜向右上方
[规律方法]　正交分解法求合力的步骤
(1)建立坐标系:以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系,其中x轴和y轴的选择应使尽量多的力处在坐标轴上。
(2)正交分解各力:将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上,并求出各分力的大小,如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力,即Fx=F1x+F2x+F3x;Fy=F1y+F2y+F3y。
(4)求共点力的合力:合力大小F=,设合力的方向与x轴的夹角为α,则tanα=。
【探究训练】
1.(2025·济南高一检测)如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。则两小球的质量比为 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
【解析】选A。m2球保持静止状态,根据二力平衡可知FT=m2g
m1球受力如图
由几何关系可知β=α=60°
根据共点力平衡条件有FTcos60°-Ncos60°=0　FTsin60°+Nsin60°-m1g=0
代入数据联立解得=,A正确,B、C、D错误。
2.图1所示为生活中常见的一款手机支架,图2为其简化图。假设这款手机支架和手机接触的挡板的两个面都是光滑的,且挡板AB和BC的质量不计,手机支架的底座质量m1为0.1 kg,质量m2为0.2 kg的手机放在支架上,斜面倾角为53°(sin53°=0.8,cos53°=0.6,g取10 m/s2)。
(1)手机对挡板AB和挡板BC的作用力大小。
(2)手机支架的斜杆D和底座间夹角调为60°时,斜杆D对挡板BC的作用力大小。
(3)放上手机后桌面对底座的作用力的大小。
【解析】(1)以手机为研究对象,根据受力平衡可得
FAB=m2gsin53°=1.6 N,
FBC=m2gcos53°=1.2 N,
根据牛顿第三定律可知,手机对挡板AB的作用力大小为1.6 N,对挡板BC的作用力大小为
1.2 N。
(2)由于挡板AB和BC的质量不计,以手机、挡板AB和BC为整体,根据受力平衡可得FD=m2g
=2 N,
可知斜杆D对挡板BC的作用力大小为2 N。
(3)以手机和支架为整体,根据受力平衡可得FN=(m1+m2)g=3 N,
可知放上手机后桌面对底座的作用力的大小为3 N。
答案:(1)1.6 N　1.2 N　(2)2 N　(3)3 N
【课堂回眸】(共53张PPT)
5.共点力的平衡
01
02
03
高端教学引领
课前自主学习
课堂合作探究
课程标准 素养目标
能用共点力的平衡条件分析生产生活中的问题。 1.能解释生活中共点力平衡现象。(物理观念)
2.运用共点力平衡条件分析问题。(科学思维)
3.运用共点力平衡条件分析动态平衡的问题。(科学探究)
01
高端教学引领
【教学建议】
1.物体的静态平衡
任务 建议
物体的静态平衡问题 通过生活情境分析,结合实例让学生体验静态平衡现象。
2.物体的动态平衡
任务 建议
物体的动态平衡问题 结合实例让学生分析动态平衡问题。
3.解决平衡问题的方法
任务 建议
解决平衡问题 结合实例让学生分析平衡问题的不同解决方法。
【情境导引】
　其实平衡无时无处不在,一架架小天平一直在悄悄地发挥着重要的作用。
　有形的平衡可以用眼睛看得到。例如各种秤的应用,孩子们玩耍的跷跷板,女子体操中的平衡木。有些平衡却在无形之中。这样的例子还有很多,也许是大自然冥冥之中在调试着平衡。
　　问题导引:
　1.共点力平衡的条件是什么
　2.物体的静态平衡的条件是什么
　3.物体的动态平衡的处理方法
02
课前自主学习
共点力平衡的条件
1.平衡状态:一个物体在共点力作用下,保持_____或_____________状态叫
平衡状态。
2.平衡条件:______;分量式 :_______ 、_______。
3. 几种简单的平衡:
(1)二力平衡:作用于一个物体上的两个力,_________________则平衡。
(2)三力平衡:三个共点力平衡则两个力的合力与第三个力_________________。
(3)三力平衡条件逆推理:若三力平衡必共点(三力非平行力)。
4.把一个力分解为两个_________的分力,这种分解方法称为力的正交分解。
静止
匀速直线运动
F合=0
F合x=0
F合y=0
等大、反向、共线
等大、反向、共线
互相垂直
【易错辨析】
(1)共点力一定作用于物体上的同一点。(　　)
(2)作用于不同物体上的两个力,只要作用线交于一点,就可以进行力的合
成。(　　)
(3)竖直上抛的物体上升至最高点时v=0,是平衡状态。(　　)
(4)物体的加速度a=0,则物体一定处于静止状态。(　　)
(5)在高空高速匀速飞行的飞机上,乘客所受合力为零。(　　)
提示:(1)×。作用线相交于一点的力也可以叫作共点力。
(2)×。力的合成需要作用在同一物体上。
(3)×。最高点受重力,是非平衡状态。
(4)×。加速度为0的物体,可能处于静止,也可能做匀速直线运动。
(5)√
03
课堂合作探究
主题一　物体的静态平衡
任务1　物体的静态平衡问题
【生活情境】
如图所示,悬挂物体处于静止状态。
【问题探究】
1.分析上述情境,思考共点力的平衡条件是什么。
共点力作用下物体的平衡条件是__________。
2.若一个物体受三个力作用而处于平衡状态,则其中一个力与另外两个力
的合力满足怎样的关系 这个结论是否可以推广到多个力的平衡
(1)三个力平衡,_______为零,则其中任意_______与另外两个力的合力必
定_____相等、_____相反。
(2)推广到多个力的平衡,若物体受多个力的作用而处于平衡状态,则这些力
中的_______力一定与其他力的合力_____相等、_____相反。
合外力为0
合外力
一个力
大小
方向
某一个
大小
方向
任务2　处理静态平衡的方法
【实验情境】
如图,足球静止悬挂在墙壁上,分析其受力情况。
【问题探究】
1.如何分析图中足球的受力情况
提示:取足球和网兜组成的整体作为研究对象,分析其受力情况。
2.如何分析足球所受弹力和拉力情况
提示:足球受力平衡,重力为已知力,由力的合成和分解,可判断出拉力和墙壁弹力的情况。
【结论生成】
1.平衡状态:
平衡状态 ①静止;
②匀速直线运动
静止 v=0、a=0同时具备的情形
匀速直线运动 速度的大小、方向皆不变化
说明 ①静止的物体v=0;
②v=0的物体不一定静止,如竖直上抛到达最高点的情况
2.共点力的平衡:
(1)平衡条件。
F合=0或
(2)由平衡条件得出的三个结论。
3.处理平衡问题的方法:
(1)力的合成、分解法
三个力的平衡问题,一般将任意两个力合成,则该合力与第三个力等大反向,或将其中某个力沿另外两个力的反方向分解,从而得到两对平衡力。
(2)正交分解法
①适用:将各力分解到x轴上和y轴上,运用两坐标轴上的合力等于零的条件Fx=0,Fy=0进行分析,多用于三个以上共点力作用下的物体的平衡。
②原则:对x、y方向选择时,尽可能使较多的力落在x、y轴上,被分解的力尽可能是已知力,不宜分解待求力。
(3)相似三角形法
在三力平衡问题中,如果有一个力是恒力,另外两个力方向都变化,且题目给出了空间几何关系,多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似,可利用相似三角形对应边成比例进行计算。
【典例示范】沿光滑的墙壁用网兜把一个足球挂在A点,如图所示,足球的质量为m,网兜的质量不计,足球与墙壁的接触点为B,悬绳与墙壁的夹角为α,求悬线对球的拉力T和墙壁对球的支持力N的大小。
【解析】解法一:力的合成法
取足球和网兜组成的整体作为研究对象,它们受重力G、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T三个共点力作用而平衡,由共点力平衡条件可知,N与T的合力F与重力mg等大、反向,
由图1中力的平行四边形可得N=Ftanα=mgtanα
T==
解法二:力的分解法
取足球与网兜组成的整体为研究对象,其受重力mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T,如图2所示,
将重力mg分解为F1和F2,由共点力平衡条件可知,N与F1等大反向,T与F2等大反向,则N=F1=mgtanα
T=F2=
解法三:相似三角形法
取足球与网兜组成的整体为研究对象,其受重力mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T,如图3所示,设球心为O,由共点力平衡条件可知,N与mg的合力F与T等大反向,由图3可知力的矢量三角形NOF与几何三角形AOB相似,
则有==
==tanα
又F=T
得T=,N=mgtanα
解法四:正交分解法
取足球与网兜组成的整体为研究对象,其受重力mg、墙壁的支持力N和悬绳的拉力T,
如图4所示。
取水平方向为x轴,竖直方向为y轴,将T分别沿x轴和y轴分解,由平衡条件可知,在x轴和y轴方向上合力应分别等于零,即
x轴方向:N-Tsinα=0
y轴方向:Tcosα-mg=0
由上述两式得T=,N=mgtanα
答案:见解析
[规律方法]正交分解法分析平衡问题的思路
(1)选取研究对象;
(2)对研究对象进行受力分析,画出受力分析图;
(3)建立直角坐标系;
(4)根据在x轴和y轴合力为零列方程;
(5)解方程,求出结果,必要时还要进行讨论。
【探究训练】
1.短跑运动员进行训练时,常常会将阻力伞绑在腰间来对抗阻力以提高核心力量。该项训练具有易操作,不易受伤,阻力大小易控制的特点。如图所示,当阻力伞全部打开时,阻力伞的中心轴线保持水平,共6根伞绳,每根伞绳与中心轴线的夹角均为30°,阻力伞所受的空气阻力为90 N,该运动员做匀速直线运动,那么每根伞绳承受的拉力大小约为 (　　)
A.15 N　　　　B.90 N C.20 N D.10 N
√
【解析】选D。阻力伞受到空气阻力和6根伞绳的作用保持平衡,根据力的分解可得f=6Fcos30°,代入数据解得每根伞绳承受的拉力大小约为F=
10 N,故D正确。
2.(多选)如图所示,三根绳子AO、BO、CO相交于O点,其中绳子AO水平,垂直于墙面,BO、CO长度均为L,B、C两悬点等高,BC间距也为L,三角形BOC与竖直方向的夹角为60°,绳子OD悬挂质量为m的重物,处于静止状态,
则 (　　)
A.绳子AO上的拉力为mg
B.绳子AO上的拉力为mg
C.绳子BO上的拉力为2mg
D.绳子BO上的拉力为mg
√
√
【解析】选B、D。对结点O进行受力分析可知:绳子AO上的拉力为
FAO=mgtan60°=mg
绳子BO与CO的拉力的合力为F==2mg
则绳子BO上的拉力为
TBO===mg
B、D正确,A、C错误。
主题二　物体的动态平衡
【实验情境】
如图,用OA、OB两根轻绳将花盆悬于两竖直墙之间,开始时OB绳水平。
【问题探究】
现保持O点位置不变,改变OB绳长使绳右端由B点缓慢上移至B'点,此时OB'与OA之间的夹角θ<90°。设此过程中OA、OB绳的拉力分别为FOA、FOB,OA、OB绳的拉力如何变化
提示:FOA逐渐减小;FOB先减小后增大,当θ=90°时FOB最小。
【结论生成】
1.动态平衡:
(1)所谓动态平衡问题,是指通过控制某些物理量,使物体的状态发生缓慢变化,而在这个过程中物体又始终处于一系列的平衡状态,常利用图解法解决此类问题。
(2)基本思路:化“动”为“静”,“静”中求“动”。
2.分析动态平衡问题的方法:
方法 步骤
解析法 (1)列平衡方程求出未知量与已知量的关系表达式;
(2)根据已知量的变化情况来确定未知量的变化情况
图解法 (1)根据已知量的变化情况,画出平行四边形边、角的变化;
(2)确定未知量大小、方向的变化
方法 步骤
相似三 角形法 (1)根据已知条件画出两个不同情况对应的力的三角形和空间几何三角形,确定对应边,利用三角形相似知识列出比例式;
(2)确定未知量大小的变化情况
力的三 角形法 对受三力作用而平衡的物体,将力的矢量图平移使三力组成一个首尾依次相接的矢量三角形,根据正弦定理、余弦定理等数学知识求解未知力
【典例示范】
用绳AO、BO悬挂一个重物,BO水平,O为半圆形支架的圆心,悬点A和B在支架上。悬点A固定不动,将悬点B从图示位置逐渐移动到C点的过程中,关于绳OA和绳OB上的拉力的大小变化情况,下列说法正确的是 (　　)
A.绳OA的拉力不变,绳OB的拉力减小
B.绳OA的拉力逐渐减小,绳OB的拉力先减小后增大
C.绳OA的拉力不变,绳OB的拉力先减小后增大
D.绳OA的拉力逐渐减小,绳OB的拉力增大
√
【解析】选B。将绳AO、绳BO的拉力合成,其合力与重力等大反向,逐渐改变OB绳拉力的方向,使FB与竖直方向的夹角变小,得到多个平行四边形,如图所示:
由图可知FA逐渐减小,且方向不变,而FB先减小后增大,且方向不断改变,当FB与FA垂直时,FB最小。则B正确,A、C、D错误。
【探究训练】
1.(多选)野炊时,三根对称分布的轻质细杆构成烹煮支架静置于水平地面上,如图甲所示。炊具与食物的总质量为m,各杆与竖直方向的夹角均为30°。出于安全考虑,盛取食物时用光滑铁钩缓慢拉动吊绳使炊具偏离火堆,如图乙所示。重力加速度为g,下列说法正确的是 (　　)
A.烹煮食物时,各杆对地面的作用力大小均为 mg
B.烹煮食物时,各杆受到地面的摩擦力大小均为 mg
C.拉动吊绳过程中,吊绳上的张力不断增大
D.拉动吊绳过程中,铁钩对吊绳的作用力方向不变
√
√
【解析】选A、B。根据共点力平衡有3Fcos30°=mg,可得烹煮食物时,各杆对地面的作用力大小均为F=mg,故A正确;烹煮食物时,各杆受到地面的摩擦力大小均为f=Fsin30°=mg,故B正确;拉动吊绳过程中,炊具与食物受力平衡,故吊绳的拉力等于炊具与食物的重力,故大小不变,故C错误;结点受到竖直向下的吊绳拉力、斜向上的吊绳拉力,以及铁钩对吊绳的作用力,在拉动吊绳过程中,斜向上的吊绳拉力的方向改变,根据共点力平衡可知铁钩对吊绳的作用力方向改变,故D错误。
2. (2025·潍坊高一检测)如图所示,圆心为O、半径为R的四分之一圆形光滑轨道竖直固定在水平地面上,在O点正上方有一光滑的小定滑轮,小定滑轮到轨道最高点B的距离为h,轻绳的一端系一质量为m的小球(小球和小定滑轮均可视为质点),靠放在光滑圆形轨道上的A点,A点到小定滑轮的距离为L,另一端绕过小定滑轮后用力拉住,重力加速度大小为g,则下列说法正确的是 (　　)
A.缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B,该过程中FN大小不变
B.缓慢地拉轻绳使小球由A运动到B,该过程中FT先变小后变大
C.小球静止在A点时,圆形轨道对小球的支持力大小FN=
D.小球静止在A点时,绳对小球的拉力大小FT=
√
【解析】选A。小球受力如图所示
由图可知力的矢量三角形与几何三角形AOO'相似,则有==,解得FN=,FT=,其中mg、R、h均不变,小球由A运动到B时,L逐渐减小,则由上式可知,FN不变,FT变小。A正确,B、C、D错误。
主题三　正交分解法
【实验情境】
如图所示,用AO和BO绳悬挂一物体,结点O受到多个力的作用。
【问题探究】
(1)用平行四边形定则求其合力很不方便,甚至困难时,怎样求其合力
提示:先将各力正交分解,然后再合成,“分”是为了更方便地进行“合”。
(2)正交分解法有什么优点
提示:①可借助数学中的直角坐标系对力进行描述。
②分解时只需熟知三角函数关系、几何关系,简便、容易求解。
【结论生成】
1.正交分解法的分析:
(1)概念。
把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解的方法,叫作力的正交分解法。
(2)选取坐标系的原则。
一般情况下,坐标系的选取是任意的,为使问题简化,坐标系的选取一般有两个原则:
①使尽量多的力处在坐标轴上。
②尽量使待求力处在坐标轴上。
2.应用正交分解的三种情境
(1)研究水平面上的物体时,通常沿水平方向和竖直方向建立坐标轴。
(2)研究斜面上的物体时,通常沿斜面方向和垂直斜面方向建立坐标轴。
(3)研究物体在杆(或绳)的作用下转动时,通常沿杆(或绳)方向和垂直杆(或绳)的方向建立坐标轴。
【典例示范】
(2025·济宁高一检测)在同一平面内的四个共点力F1、F2、F3、F4的大小依次为20 N、40 N、30 N和14 N,方向如图所示,求它们的合力。(sin37°=0.6,
cos37°=0.8,=1.414,结果保留3位有效数字)
【解析】如图甲,建立直角坐标系,把各个力分解到这两个坐标轴上,并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy,有
根据Fx=F1+F2cos37°-F3cos37°=28 N,Fy=F2sin37°+F3sin37°-F4=28 N
因此,如图乙所示,合力F=≈39.6 N,tanφ==1
即合力方向与F1夹角为45°斜向右上方。
答案:39.6 N,方向与F1成45°角斜向右上方
[规律方法]　正交分解法求合力的步骤
(1)建立坐标系:以共点力的作用点为坐标原点建立直角坐标系,其中x轴和y轴的选择应使尽量多的力处在坐标轴上。
(2)正交分解各力:将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上,并求出各分力的大小,如图所示。
(3)分别求出x轴、y轴上各分力的合力,即Fx=F1x+F2x+F3x;Fy=
F1y+F2y+F3y。
(4)求共点力的合力:合力大小F=,设合力的方向
与x轴的夹角为α,则tanα=。
【探究训练】
1.(2025·济南高一检测)如图所示,一个半球形的碗放在桌面上,碗口水平,碗的内表面及碗口是光滑的。一根细线跨在碗口上,线的两端分别系有质量为m1和m2的小球,当它们处于平衡状态时,质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为α=60°。则两小球的质量比为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
√
【解析】选A。m2球保持静止状态,根据二力平衡可知FT=m2g
m1球受力如图
由几何关系可知β=α=60°
根据共点力平衡条件有FTcos60°-Ncos60°=0　FTsin60°+Nsin60°-m1g=0
代入数据联立解得=,A正确,B、C、D错误。
2.图1所示为生活中常见的一款手机支架,图2为其简化图。假设这款手机支架和手机接触的挡板的两个面都是光滑的,且挡板AB和BC的质量不计,手机支架的底座质量m1为0.1 kg,质量m2为0.2 kg的手机放在支架上,斜面倾角为53°(sin53°=0.8,cos53°=0.6,g取10 m/s2)。
(1)手机对挡板AB和挡板BC的作用力大小。
(2)手机支架的斜杆D和底座间夹角调为60°时,斜杆D对挡板BC的作用力大小。
(3)放上手机后桌面对底座的作用力的大小。
【解析】(1)以手机为研究对象,根据受力平衡可得FAB=m2gsin53°=1.6 N,
FBC=m2gcos53°=1.2 N,
根据牛顿第三定律可知,手机对挡板AB的作用力大小为1.6 N,对挡板BC的作用力大小为1.2 N。
(2)由于挡板AB和BC的质量不计,以手机、挡板AB和BC为整体,根据受力平衡可得FD=m2g=2 N,
可知斜杆D对挡板BC的作用力大小为2 N。
(3)以手机和支架为整体,根据受力平衡可得FN=(m1+m2)g=3 N,
可知放上手机后桌面对底座的作用力的大小为3 N。
答案:(1)1.6 N　1.2 N　(2)2 N　(3)3 N
【课堂回眸】

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