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(共25张PPT)
第5课时　正方形
1．[2024·济宁期中]矩形、菱形、正方形都具有的性质
是( )
A．对角线相等
B．对角线互相平分
C．对角线互相垂直
D．对角线平分对角
2．[2025·临沂期中]如图，先将正方形纸片ABCD对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，沿AH和DH剪下得到△ADH，则下列选项正确的是( )
A．AH＝DH≠AD
B．AH＝DH＝AD
C．AH＝AD≠DH
D．AH≠DH≠AD
3．[2025·青岛期中]如图，正六边形ABCDEF和正方形BCGH，连接AH，HC，则∠AHC的度数为( )
A．120° B．100°
C．60° D．125°
4．[2025·潍坊期末]如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是对角线BD，AC上的点，连接CE，EF，DF，若EF∥BC，且∠CEF＝α，则∠AFD的大小为( )
A．α
B．2α
C．45°－α
D．45°＋α
5.[一线三直角模型][2025·泰安期中]如图，在平面直角坐标
系中，正方形AOBC的一个顶点B的坐标为(1，3)，则正方形顶
点A的坐标是_________．
(－3，1)
6．[2025·济南期中]如图，E为边长为6的正方形ABCD的对角
线BD上一点，BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥
BE于点R，则PQ＋PR的值为____．
7．[2024·淄博期中]如图，已知平行四边形ABCD和正方形CEFG，
其中点E在AD上，若∠ECD＝35°，∠AEF＝15°，则∠B＝_____．
70°
8．[2025·临沂期末]如图，在正方形ABCD中，点P在对角线AC
上运动，点E在边AD上运动，PF⊥PE，与AB交于点F.
①点P，E在运动过程中PE＝PF
②点P，E在运动过程中AE＋EP＝AB
③当F点经过点B时，△PEA≌△FPC
④当点P为AC中点时，S四边形AEPF＝ S四边形ABCD．
以上说法正确的是_____．
①④
9．[2025·威海期中改编]如图，点P在正方形ABCD的对角线AC上，连接PB，PD，点E在边BC的延长线上，且PE＝PB．求证：DP⊥PE.
解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC＝DC，∠ACB＝∠ACD，∠ABC＝90°.
又∵PC＝PC，∴△BCP≌△DCP(SAS)，
∴∠PBC＝∠PDC．
∵PE＝PB，
∴∠PBE＝∠PEB，
∴∠PDC＝∠PEB．
∵∠1＝∠2，
∴∠DPE＝∠DCE.
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°.
∴∠DCE＝90°，
∴∠DPE＝90°.
∴DP⊥PE.
10．[2024·济南期末]如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AF，DE交于点G，求证：
(1)△ADF≌△DCE；
(2)AF⊥DE.
证明：(1)∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°.
∵BE＝CF，
∴BC－BE＝CD－CF，即CE＝DF.
(2)由(1)知△ADF≌△DCE，
∴∠DAF＝∠CDE.
∵∠ADC＝90°，即∠CDE＋∠EDA＝90°，
∴∠DAF＋∠EDA＝90°，
∴∠AGD＝180°－(∠DAF＋∠EDA)＝90°，
∴AF⊥DE.
11．[2024·菏泽期中]如图，在△ABC中，O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线，交∠BCA的平分线于点E，交外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：EO＝OF；
(2)连接AE，AF，当点O沿AC运动到AC的中点时，四边形AECF是什么特殊四边形？说明理由；
(3)若点O是AC边的中点，四边形AECF是否能成为正方形？如果能，对△ABC有什么要求？
解：(1)证明：∵EF∥BC，
∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠DCF.
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠DCO，
∴∠OCE＝∠BCE，∠OCF＝∠DCF，
∴∠OCE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴EO＝FO；
(2)当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形；理由：
∵点O运动到AC的中点，
∴AO＝CO.
又∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵FO＝CO，∴AO＝CO＝EO＝FO，
∴AO＋CO＝EO＋FO，即AC＝EF，
∴四边形AECF是矩形；
(3)△ABC为直角三角形，且∠ACB＝90°，理由：
由(2)知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∴AC＝EF，AO＝CO，EO＝FO.
∵四边形AECF是正方形，
∴AC⊥EF，∴∠EOC＝90°.
∵EF∥BC，∴∠ACB＝180°－∠EOC＝90°，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.
12.[规律探究][2025·东营期中]如图，以边长为1的正方形
ABCD的边AB为对角线作第二个正方形AEBO1，再以BE为对角线
作第三个正方形EFBO2……如此作下去，则所作的第2 025个正
方形的面积S2 025＝_____．
13.[最值问题][2025·济南期中]如图，正方形ABCD的边长为6，
点E为射线DC上的动点，连接BE，作BF⊥BE，且BF＝BE，连接CF，
则CF的最小值为__．
6
解析：如图，连接AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠BAD＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
AB＝BC，
∴∠ABF＋∠CBF＝90°，∠BCE＝90°.
∵BF⊥BE，
∴∠CBF＋∠CBE＝90°，
∴∠ABF＝∠CBE.
又∵BF＝BE，
∴△ABF≌△CBE(SAS)，
∴∠BAF＝∠BCE＝90°，
∴∠BAF＝∠BAD＝90°，
∴点F在直线AD上，
∴CF⊥AD时，CF的值最小，
∴点F与点D重合时，CF的值最小，
此时CF＝CD＝6.(共26张PPT)
第3课时　平行四边形的判定定理1,2
1．[2024·临沂期中]如图，小华同学不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的四块，为了能从商店配到一块与原来相同的玻璃，他带了其中两块玻璃去商店，其编号应该是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
2．[2024·滨州期中]在四边形ABCD中，AD＝BC，要使四边形ABCD是平行四边形，则还应满足( )
A．∠A＋∠C＝180°
B．∠B＋∠D＝180°
C．∠A＋∠B＝180°
D．∠A＋∠D＝180°
3．[2024·崇明期中]探究课上，小明画出△ABC，利用尺规作图找一点D，使得四边形ABCD为平行四边形．①～③是其作图过程：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；②以点A为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D；③连接CD，AD，则四边形ABCD即为所求作的图形．在小明的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是( )
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．对角线互相平分
D．一组对边平行且相等
4．依据所标数据，下列一定为平行四边形的是( )
5．[2024·淄博期末]如图，在周长为9的等边三角形ABC的内部有一点P，过点P作PD∥AC，PE∥AB，PF∥BC分别交三边于点D，E，F，则PD＋PE＋PF等于( )
A．9 B．8
C．4 D．3
6．[2024·济南期中]如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，若
要判定四边形ABCD为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只
添加一个条件，则这个条件可以为___________________．
AB＝CD(答案不唯一)
7．如图，在平行四边形ABCD中，G为对角线AC上一点，过点G
作AD的平行线分别交AB，CD于点F，E，连接BG，DG，若S△BGF
＝4，则S△DEG＝__．
4
解析：如图，过点G作MN∥AB，分别交AD，BC于点M，N，
∵CD∥AB，
∴AB∥CD∥MN，
同理得AD∥EF∥BC，
∴四边形AFGM，DMGE，GFBN，
EGNC是平行四边形，
∴S△AMG＝S△AFG，S△DMG＝S△DEG，S△EGC＝S△GNC，S△GFB＝S△GBN.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC＝S△ABC，
∴S DMGE＝S GFBN，
∴S△DEG＝S△BGF＝4.
8．[2024·黄石模拟]如图1是某公交汽车挡风玻璃的雨刮器，其工作原理如图2.雨刷EF⊥AD，垂足为点A，AB＝CD且AD＝BC，这样能使雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC，请证明这一结论．
证明：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC．
∵EF⊥AD，
∴EF⊥BC，
即雨刷EF在运动时，始终垂直于玻璃窗下沿BC．
9．[2025·德州一模]如图，△ABC≌△DEF，点A，E，B，D在同一直线上，连接AF，CD．判断AF与CD的数量关系，并说明理由．
解：AF＝CD，理由如下：
∵△ABC≌△DEF，
∴AC＝DF，∠CAB＝∠EDF，
∴AC∥DF，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∴AF＝CD．
10．如图，已知△ABC，分别以它的三边为边长，在BC边的同侧作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，求证：四边形ADEF是平行四边形．
∴DE＝AC．
又∵△ACF是等边三角形，
∴AC＝AF，
∴DE＝AF.
同理可得EF＝AB＝DA．
∵DE＝AF，DA＝EF，
∴四边形ADEF是平行四边形．
11．如图，在 ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.
(1)若AD＝12，AB＝8，求CF的长；
(2)连接BE和AF相交于点G，DF和CE相交于点H，求证：EF和GH互相平分．
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，BC＝AD＝12，
∴∠DAF＝∠AFB，
∵AF平分∠BAD，
∴∠BAF＝∠DAF，
∴∠AFB＝∠BAF，
∴BF＝AB＝8，
∴CF＝BC－BF＝12－8＝4；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，AD＝BC．
∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，
∴∠BAF＝∠DAF＝∠FCE＝∠DCE.
∵∠DAF＝∠AFB，
∴∠FCE＝∠AFB，
∴AF∥CE.
又∵AE∥CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∴AE＝CF，∴DE＝BF.
又∵DE∥BF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE∥DF，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF和GH互相平分．
12.[培素养][2025·威海期末]综合实践课上，老师让同学们开展了 ABCD的折纸活动，E是BC边上的一动点，F是AD边上的一动点，将 ABCD沿直线EF折叠，使点C落在AB边上的点M处，点D的对应点为点N，连接CM.
(1)【观察发现】如图1，若∠D＝60°，ME⊥AB，BE＝2，
则EC＝ ，∠NFA＝ ；
(2)【操作探究】如图2，当点N落在BA的延长线上时，求证：四边形EMNF为平行四边形．
解：(1) ，30°；
(2)证明：由折叠知ME＝CE，NF＝DF，∠N＝∠D，
∴ME∥NF，
∴∠BME＝∠N.
∵ ABCD，
∴∠B＝∠D，AD＝BC，
∴∠BME＝∠B，
∴BE＝ME＝CE，(共30张PPT)
第4课时　菱形的判定
1．[2024·枣庄期中]如图，将矩形ABCD对折，使边AB与CD，BC与AD分别重合，展开后得到四边形EFGH.若AB＝2，BC＝4，则四边形EFGH的面积为( )
A．2 B．4
C．5 D．6
2．[2024·威海期中]如图，对于线段AB，小慧同学按照下列
步骤画出一个四边形：(1)以点A为圆心，以大于 AB的长为半
径作弧；(2)以点B为圆心，以大于 AB的长为半径作弧，两
弧交于点C，D；(3)连接AC，BC，AD，BD，CD．对于四边形
ACBD，添加下列条件无法判定为菱形的是( )
A．AB＝CD B．AC＝BC
C．∠ACD＝∠BCD D．AD∥BC
3．[2025·德州期末]已知∠A，按以下步骤作图，如图1～图3.
(1)以点A为圆心，任意长为半径作弧，与∠A的两边分别交于点B，D (2)分别以点B，D为圆心，AD长为半径作弧，两弧相交于点C (3)分别连接DC，BC．
则可以直接判定四边形ABCD是菱形的依据是( )
A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
4．[2024·滨州期中]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
点E为BC的中点，连接EO并延长交AD于点F，∠ABC＝60°，BC
＝2AB．下列结论：①AB⊥AC　②AD＝4OE　③四边形AECF是菱
形　④S△BOE＝ S△ABC．其中正确的是( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②③④
5．[2025·临沂期中]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于
点O，添加一个条件判定 ABCD是菱形，所添加的条件为_______
_____________(写出一个即可)
AC⊥BD
(答案不唯一)
6．[2024·威海期中]如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，CF∥AB，交DE的延长线于点F，连接AF，CD．当AC与BC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？写出你认为正确的条件，并进行证明．
解：AC⊥BC．理由：
∵CF∥AB，
∴∠ADF＝∠CFD，∠DAC＝∠FCA．
∵点E是AC的中点，∴AE＝CE.
∴△ADE≌△CFE(AAS)，
∴AD＝CF.
又∵CF∥AD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵AC⊥BC，点D是AB的中点，
∴CD＝ AB＝AD，
∴四边形ADCF是菱形．
7．[2024·宿迁]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝DC
＝ BC，E是BC的中点．下面是甲、乙两名同学得到的结论：
甲：若连接AE，则四边形ADCE是菱形；
乙：若连接AC，则△ABC是直角三角形．
请选择一名同学的结论给予证明．
∵AD＝CD，
∴四边形ADCE是菱形，
∴AC⊥DE，
∴∠EOC＝90°.
∵四边形ABED是平行四边形，
∴DE∥AB，∴∠BAC＝∠EOC＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
8．[2025·青岛期中]如图，在菱形ABCD中，E是AD的中点，CE，BA的延长线交于点F，连接AC，DF.
(1)求证：AF＝CD；
(2)连接BD，请判断BD与DF的位置关系，并说明理由；
(3)当菱形ABCD满足 时，四边形ACDF是菱形．
解：(1)证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠AFE＝∠DCE.
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
(2)BD⊥DF，理由：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD．
∵AF＝CD，
∴AB＝AD＝AF，
∴∠ABD＝∠ADB，∠ADF＝∠AFD，
∴∠BDF＝∠ADB＋∠ADF＝ ×180°＝90°，
∴BD⊥DF；
(3)当菱形ABCD满足∠ABC＝60°时，四边形ACDF是菱形，
理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD＝CD＝BC．
∵∠ABC＝60°，AB＝BC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AC＝CD．
∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形．
又∵AC＝CD，
∴平行四边形ACDF是菱形．
故答案为：∠ABC＝60°.
9．如图，在 ABCD中，AF是∠BAD的平分线，交BC于点F，与DC的延长线交于点N.CE是∠BCD的平分线，交AD于点E，与BA的延长线交于点M，连接BE，EF.
(1)试判断四边形AFCE的形状，并说明理由；
(2)若BE⊥ME，证明四边形ABFE是菱形．
解：(1)四边形AFCE是平行四边形，
理由：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD，AD∥BC，
∴∠FAD＝∠BFA．
∵AF是∠BAD的平分线，CE是∠BCD的平分线，
∴∠FAD＝ ∠BAD，∠BCE＝ ∠BCD，
∴∠FAD＝∠BCE，
∴∠BFA＝∠BCE，
∴AF∥CE.
又∵AD∥BC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
(2)证明：如图，∵AF是∠BAD的平分线，且∠FAD＝∠BFA，
∴∠BFA＝∠BAF，
∴BA＝BF.
∵BE⊥ME，
∴∠BEM＝90°，
∵AF∥CE，
∴∠BOA＝∠BEM＝90°，即BO⊥AF.
又∵在△ABF中，BA＝BF，
∴∠ABE＝∠FBE.
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠FBE，
∴∠ABE＝∠AEB，∴BA＝AE，
∴BF＝AE.又∵AD∥BC，
∴四边形ABFE是平行四边形．
又∵BA＝BF，
∴四边形ABFE是菱形．
10.[折叠问题][2025·济宁二模节选]【问题背景】
在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点P在边AB上，点Q在边BC上，将纸片沿PQ折叠，使顶点B落在点E处．
【初步认识】
(1)如图1，折痕的端点P与点A重合．
①当∠CQE＝52°时，∠AQB＝ ；
②若点E恰好在线段QD上，求BQ的长；
【深入思考】
(2)当点E恰好落在边AD上时，如图2，过点E作EF∥AB交PQ于点F，连接BF.请根据题意，补全图2并证明四边形PBFE是菱形．
解：(1)①64°；
②当点E恰好在线段QD上时，如图1所示，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABQ＝∠C＝90°，AD＝BC＝10，CD＝AB＝6.
由折叠得AB＝AE＝6，
∠ABQ＝∠AEQ＝90°，BQ＝QE，
∴∠AED＝90°，
(2)补图如图2：
证明：∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP.
由折叠得PB＝PE，∠BPF＝∠EPF，
∴∠EFP＝∠EPF，
∴PE＝EF，∴PB＝EF，
∴四边形PBFE是平行四边形，
又∵PB＝PE，
∴四边形PBFE是菱形．(共25张PPT)
8．3　特殊的平行四边形
第1课时　矩形及其性质
1．[2024·青岛二模]两个矩形的位置如图所示，若∠1＝m°，
则∠2的度数为( )
A．(m－90)° B．(90－m)°
C．(m－45)° D．(180－m)°
3．[2025·临沂期中]如图，在矩形ABCD中，连接BD，延长
DA至点E使AE＝BD，连接CE.已知∠CDB＝56°，则∠ECD的度
数为( )
A．72° B．73°
C．74° D．75°
4．[2025·聊城三模]如图，四边形ABCD是矩形，一副三角板
如图放置，直角顶点重合于点A，∠AGE＝30°，则∠1－∠2
＝( )
A．45°　　　 B．30°　　　
C．25° D．随△EAG的位置的变化而变化
6．[2024·厦门期中]如图，四边形ABCD为一矩形纸带，点E，
F分别在边AB，CD上，将纸带沿EF折叠，点A，D的对应点分别
为点A′，D′，若∠2＝35°，则∠1的度数为_______．
72.5°
7．[2024·长春期末]如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过
点O作OE⊥AC，交AB于点E，连接CE，若矩形ABCD的周长是20 cm，
则△BCE的周长是______．
10 cm
8．[2024·济南期末]如图，矩形ABCD中，E，F是AD上的点，∠AFB＝∠DEC．
求证：AF＝DE.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AB＝CD，∠A＝∠D＝90°.
又∵∠AFB＝∠DEC，
∴△BAF≌△CDE(AAS)，
∴AF＝DE.
9．[2025·威海一模节选]如图，四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，且与各边交于点I，J，K，L.若四边形EFGH是矩形，请判断四边形ABCD的形状并说明理由．
解：四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵四边形EFGH是矩形，
∴∠EFG＝90°，
∴∠AFB＝90°，
∴∠ABF＋∠BAF＝90°.
∵四边形ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，
∴∠BAD＝2∠BAF，∠ABC＝2∠ABF，
∴∠ABC＋∠BAD＝2(∠ABF＋∠BAF)＝180°，
∴AD∥BC．
同理，∠BAD＋∠ADC＝180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
10．[2024·镇江期中]如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，点E，F分别是BD，AC的中点，连接EF，EA，EC．
(1)试判断EF与AC的位置关系，并说明理由；
(2)若∠EAF＝25°，则∠ADC＝ °.
(2)∵∠BAD＝∠BCD＝90°，点E是BD的中点，
∴AE＝CE＝DE，∴∠DAE＝∠ADE，∠DCE＝∠CDE.
∵∠AEB＝∠DAE＋∠ADE，∠BEC＝∠DCE＋∠CDE，
∴∠AEC＝∠AEB＋∠BEC＝2(∠ADE＋∠CDE)＝2∠ADC．
∵AE＝CE，∠EAF＝25°，
∴∠ACE＝∠EAF＝25°，
∴∠AEC＝180°－∠EAF－∠ACE＝130°，
∴∠ADC＝ ∠AEC＝65°.
故答案为：65.
11.[规律探究][2025·聊城期中]如图，矩形ABCD的对角线交
于点O，以AB，AO为邻边作平行四边形AOC1B，对角线交于点O1，
以AB，AO1为邻边作平行四边形AO1C2B……依此类推，如果矩形
ABCD的面积为17 cm2，则平行四边形AO2 024C2 025B的面积
为_____cm2.
12．【课本再现】(1)下面是某版本数学课本上的一道题：
如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与点A和点D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为点E，F.求PE＋PF的值．
如图1，连接PO，利用△PAO与△PDO的面积之和是矩形面积的 ，
可求出PE＋PF的值．请你写出求解过程；
【知识应用】(2)如图2，在矩形ABCD中，点M，N分别在边AD，BC上，将矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C′处．点P为线段MN上一动点(不与点M，N重合)，过点P分别作直线BM，BC的垂线，垂足分别为点E和F，以PE，PF为邻边作平行四边形PEGF.若DM＝13，CN＝5，求平行四边形PEGF的周长．
(2)∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，AD∥BC，
∴∠DMN＝∠BNM.
连接BP，过点M作MH⊥BC于点H，如图所示，
则四边形ABHM为矩形，
∴MH＝AB．
由折叠得DM＝BM，∠DMN＝∠BMN，
∴∠BNM＝∠BMN，
∴DM＝BM＝BN＝13，
∴AD＝BC＝BN＋CN＝13＋5＝18，
∴AM＝AD－DM＝18－13＝5.(共20张PPT)
第2课时　矩形的判定
1．[2024·泸州期中]下列命题错误的是( )
A．对角线相等的四边形是矩形
B．平行四边形的对角线互相平分
C．矩形的四个内角都是直角
D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
2．[2025·青岛期末]我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改为比较专业的名称“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a，b，c，d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否为矩形，以下测量方案正确的是( )
A．测量是否有三个角是直角
B．测量对角线是否相等
C．测量两组对边是否分别相等
D．测量对角线是否互相垂直
3．[2024·泸州]已知四边形ABCD是平行四边形，下列条件中，不能判定 ABCD为矩形的是( )
A．∠A＝90° B．∠B＝∠C
C．AC＝BD D．AC⊥BD
4．[2022·聊城]要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是( )
A．测量两条对角线是否相等
B．测量两个角是否为90°
C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D．测量两组对边是否分别相等
5．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是( )
A．AB＝BE
B．CE⊥DE
C．∠ADB＝90°
D．BE⊥DC
6．[2025·潍坊期末]如图，一个书架的两条侧边、上下底边的
长度分别相等．为了检查该书架是否为矩形，小亮先用绳子连
接一组对角的顶点，在绳子上记录一条对角线的长度，再连接
另一组对角的顶点，检验两条对角线长度是否一致．检查过程
中用到一个你学过的几何定理，请写出该定理的具体内容：___
___________________________．
对
角线相等的平行四边形是矩形
7．[2024·泰安期中]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，
△ABC的面积为24，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于
点E，PF⊥BC于点F，连接EF，则线段EF的最小值为____．
8．[2024·长春]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，
O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形．
∵∠A＝∠B＝90°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形ABCD是矩形．
9．[2024·聊城期中]如图，四边形ABCD为平行四边形，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°.求证：四边形ACFD是矩形．
10．[2025·威海一模]如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10 cm，BC＝8 cm，动点P从点D出发，以1 cm/s的速度向点A运动，同时动点M从点B出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t(单位：s)，下列结论：
①当t＝4 s时，四边形ABMP为矩形
②当t＝5 s时，四边形CDPM为平行四边形
③当CD＝PM时，t＝4 s或6 s
④点P，M在运动中会存在一个时刻，
使得S四边形ABMP＝S四边形CDPM.其中正确的是( )
A．①② B．③④
C．②④ D．③
11．[2024·青岛二模]如图，以△ABC的三边为直角边分别向外作等腰直角三角形ABD，等腰直角三角形BCE和等腰直角三角形ACF，连接DE，EF.
(1)求证：△ABC≌△DBE；
(2)当∠BAC满足什么条件时，四边形ADEF
是矩形？请证明你的结论．
解：(1)证明：∵△BCE和△ABD为等腰直角三角形，
∴∠DBA＝∠EBC＝90°，DB＝AB，EB＝BC，
∴∠DBE＋∠EBA＝90°，∠ABC＋∠EBA＝90°，
∴∠DBE＝∠ABC，
∴△ABC≌△DBE(SAS)；
(2)当∠BAC＝135°时，四边形ADEF是矩形，证明：
∵△ABC≌△DBE，
∴DE＝AC，∠EDB＝∠BAC．
∵FA＝AC，∴DE＝FA，
∵∠EDA＝∠EDB－∠BDA＝∠BAC－45°，
∠DAF＝360°－∠FAC－∠BAD－∠BAC
＝360°－90°－45°－∠BAC
＝225°－∠BAC，
∴∠EDA＋∠DAF＝180°，
∴DE∥FA，
∴四边形ADEF是平行四边形，
∵∠BAC＝135°，∠CAF＝90°，∠BAD＝45°，
∴∠DAF＝90°，
∴四边形ADEF是矩形．(共24张PPT)
8．2　平行四边形
第1课时　平行四边形及其性质1，2
1．如图，在 ABCD中，EG∥AB，FH∥CD，则图中平行四边形的个数是( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
2．[2025·德州期中]如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若∠B＝65°，则∠EAF的度数为( )
A．55° B．45°
C．35° D．65°
3．[2025·临沂期中]如图，四边形ABCD为平行四边形，则点B的坐标为( )
A．(－2，－1) B．(－1，－2)
C．(－1，－1) D．(－2，－2)
4．[2025·泰安期中]平行四边形ABCD中，EF是其对角线BD的
垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F，若该平行四边形的周长
为6，那么△ABE的周长为__．
3
5．如图， ABCD中，BE，CF分别平分∠ABC，∠BCD交AD于点E，
点F，已知AB＝6，BC＝10，则EF的长为__．
2
6．[2025·威海期末]如图，在 ABCD中，点E，F分别为边AB，
CD的中点，将平行四边形ABCD沿着EF折叠，点B，C分别落在
B′，C′处，若∠C′FD＝66°，则∠A的度数为_____．
57°
7．如图，在 ABCD中，BC＝6，BC边上的高为3，点P是 ABCD内
任意一点，则阴影部分的面积为__．
9
8．[2025·烟台期末]如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G.
(1)求证：AF＝DE；
(2)若AD＝16，EF＝12，请求出 ABCD的周长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB＝CD，
∴∠AEB＝∠CBE.
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABE＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∴AE＝AB．
同理得DF＝CD，
∴AE＝DF，
∴AE－EF＝DF－EF，
∴AF＝DE；
(2)∵AD＝16，
∴AF＋EF＋DE＝16.
∵AF＝DE，EF＝12，
∴AF＋12＋AF＝16，
∴AF＝2，
∴AB＝AE＝AF＋EF＝2＋12＝14，
∴ ABCD的周长为2(AB＋AD)＝2×(16＋14)＝60.
9．[2024·临沂期中]如图，在 ABCD中，AC＝BC，AE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.证明：BE＝CF.
证明：∵AE⊥BC，DF⊥AC，
∴∠AEB＝∠DFC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠BAC＝∠ACD．
∵AC＝BC，∴∠B＝∠BAC，
∴∠B＝∠ACD，
∴△AEB≌△DFC(AAS)，∴BE＝CF.
10．[2025·烟台期末]如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16 cm，BC＝21 cm，CD＝13 cm.动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3 cm的速度运动．动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1 cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当以点P，C，D，Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为( )
A．①③
B．①④
C．①③④
D．②③④
12．如图，在平行四边形ABCD中，点M在边AD上，且AM＝DM.CM，
BA的延长线相交于点E.
(1)求证：AE＝AB；
(2)如果BM平分∠ABC，求证：BM⊥CE.
(2)∵BM平分∠ABC，
∴∠ABM＝∠CBM.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBM＝∠AMB，
∴∠ABM＝∠AMB，
∴AB＝AM.
∵AB＝AE，AM＝DM，
∴BC＝AD＝2AM，BE＝2AB，
∴BC＝BE，
∴△BCE是等腰三角形．
∵BM平分∠ABC，
∴BM⊥CE.(共27张PPT)
专题训练二　三角形的中位线及
中点四边形
类型一 连接两点构造三角形的中位线
1．[2025·东营期末]如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，
点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中
点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为____．
2．[2024·保定期末]如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC＝BD，点M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，连接MN，交BD于点E，交AC于点F，Q是MN的中点，连接PQ.
(1)求证：PQ⊥MN；
(2)判断△OEF的形状，并说明理由．
解：(1)证明：如图，连接PM，PN.
∵点M，P分别是边AB，BC的中点，
∴PM为△ABC的中位线，
∴PM＝ AC．
同理可知PN＝ BD．
又∵AC＝BD，∴PM＝PN.
∵Q是MN的中点，
∴PQ⊥MN；
(2)△OEF是等腰三角形．理由如下：
∵点M，P分别是边AB，BC的中点，
∴PM为△ABC的中位线，∴PM∥AC，
同理可得PN∥BD，
∴∠PMN＝∠OFE，∠OEF＝∠PNM.
∵PM＝PN，∴∠PMN＝∠PNM，
∴∠OFE＝∠OEF.
∴OE＝OF，即△OEF是等腰三角形．
类型二 利用角平分线、垂直构造三角形的中位线
3．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC
的中点．
(1)如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，
求证：EF＝ (AC－AB)；
(2)如图2，若EF＝2，AC＝3，求线段AB的长．
类型三 利用倍长法构造三角形的中位线
5．如图，在梯形ABCD中，F为CD的中点，BA⊥AF，AE＝BE，
若AB＝4，BC＝6，CD＝4，DA＝5，则EF＝__．
2
6．[2025·临沂期中]阅读下列材料，解决问题．
倍长法是一种延长某一条线段，使其为原来的两倍的辅助线作法．最常见的是在遇到三角形的中线时，延长中线构造出全等三角形来解决问题，也就是“倍长中线法”．在遇到三角形中线时，除了延长中线构造全等三角形之外，我们也可以延长三角形的一条边，构造中位线来解决问题．举例如下：如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AD，E是BD的中点，若AD＝6，AC＝8，BC＝12.求AE的长度.
解：如图1，延长DA至点F，使得AF＝AD，连接BF，
∴DF＝AD＋AF＝2AD＝12，
∴DF＝BC＝12.
∵AD∥BC，即DF∥BC，
∴四边形FBCD是平行四边形，
∴BF＝CD……
(1)请补全材料中的解题过程；
(2)如图2，△ABC与△BEF均为等腰直角三角形，其中∠ABC＝
∠BEF＝90°，AB＝BC，EF＝BE.连接AF，CF，M为AF的中点，
连接ME，求证：ME＝ CF.
(2)证明：如图所示，延长FE到N，使得EN＝EF，连接AN，BN，
∵M为AF的中点，EN＝EF，
∴ME是△ANF的中位线，
∴ME＝ AN.
∵∠BEF＝90°，
∴∠BEN＝180°－90°＝90°.
∵EF＝EB＝EN，
∴△BEN是等腰直角三角形，
∴∠BNF＝∠BFN＝45°，
∴BF＝BN，∠FBN＝180°－45°－45°＝90°，
∴∠ABN＝∠CBF＝90°－∠ABF.
又∵AB＝BC，
∴△ABN≌△CBF(SAS)，∴AN＝CF，
∴ME＝ CF.
类型四 已知中点，取其他边的中点构造三角形的中位线
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是
以点A为圆心，2为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线
段CM长度的最大值为__．
6
∵5－1≤CM≤5＋1，
∴4≤CM≤6，
∴CM长度的最大值为6.
8．如图，在 ABCD中，∠ABC和∠DAB的角平分线BE与AE交于点E，且点E恰好在边CD上．
(1)求证：E为CD的中点；
(2)点F为AE的中点，连接CF，交BE于点G，求证：BG＝3EG.
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD＝BC，
∴∠DEA＝∠BAE，∠CEB＝∠ABE.
∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，
∴∠DAE＝∠BAE，∠CBE＝∠ABE，
∴∠DAE＝∠DEA，∠CBE＝∠CEB，
∴ED＝AD，CB＝CE，
∴CE＝DE，∴E为CD的中点．
(2)如图，取BE的中点H，连接FH，
则BH＝EH，
∵点F为AE的中点，
∴FH是△ABE的中位线，
∴FH∥AB，且AB＝2FH.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴FH∥CD，
∴∠CEG＝∠FHG.
由(1)得CD＝2CE，∴FH＝CE.
又∵∠CGE＝∠FGH，
∴△CEG≌△FHG(AAS)，
∴EG＝HG，∴EH＝2EG.
∵BH＝EH，
∴BH＝2EG＝2HG，∴BG＝3EG.
类型五 中点四边形
9．[2025·临沂期末]顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形，菱形的中点四边形是( )
A．平行四边形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
10．[2025·莆田期中]如图，在四边形ABCD中，AB与CD不平行，
AB＝4，E，F，G，H分别是AD，BC，BD，AC的中点．当CD＝__时，
四边形EGFH是菱形．
4
11．[2025·福州模拟]如图，菱形ABCD的面积为10，E，F，G，
H分别是边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为__．
5
12．[2025·广东三模]如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ABC
＝90°，以AC为边向外作等边三角形ACD，连接BD，交AC于O点，
E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．若OA＝2，则四边
形EFGH的面积为_______．(共28张PPT)
第8章　章末能力突破
一、选择题
1．[2024·青岛期末]如图所示，在平行四边形ABCD中，按以下
步骤作图：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD
于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作
弧，两弧相交于点P；③作射线AP，交边CD于点Q.若DC＝3QC，
BC＝4，则平行四边形ABCD周长为( )
A．10 B．18
C．16 D．20
2．[2025·临沂期中]如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的中点，连接EG，FH.则下列说法：
①EG与FH互相平分
②若AC⊥BD，则四边形EFGH为矩形
③若AC＝BD，则四边形EFGH为菱形．
其中正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．0
3．[2025·滨州期中]如图，M，N是正六边形ABCDEF对角线BE上的两点，若添加下列选项中的一个条件，其中不能判定四边形AMDN是平行四边形的是( )
A．∠AMB＝∠DNE
B．∠FAN＝∠CDM
C．BM＝EN
D．AM＝DN
4．[2025·烟台期中]折纸不仅具有艺术审美价值，还蕴含着许多数学知识．如图，一张长方形纸片ABCD，点E，F分别是线段AD，BC上的点，先将纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B′，A′B′与线段AD交于点G，点H是线段DC上一点，再将纸片沿GH折叠，点D的对应点为点D′，点B′恰好在GD′上，若测得∠BFE＝66°，则∠DGH的度数是( )
A．21° B．26°
C．33° D．42°
6．[2025·泰安期中]如图，在矩形ABCD中，ABA．1 B．2
C．3 D．4
二、填空题
7．如图是电力部门维修时常用的伸缩围栏，中间由多个菱形
或半菱形组合而成．伸缩围栏被设计为菱形，利用了四边形的
_________．
不稳定性
8．[2025·济南期中]如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的
中点，点D在EF上，延长AD交BC于点N，BD⊥AN，AB＝6，BC＝10，
则DF＝__．
2
9．[2025·烟台期末]如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，
BD相交于点O，DH⊥BC于点H，连接OH，∠BAD＝56°，则∠DHO
的度数是_____．
28°
10．[2025·济宁期中]如图，点E是正方形ABCD对角线BD上一点，
点F在BC上且EF＝EC，连接AE，AF，若∠ECF＝α，∠AFB＝β，
则α与β的关系式为______________．
α＋β＝135°
∴AE＝EC，∠BAE＝∠BCE.
∵EF＝EC，∠ECF＝α，
∴EF＝AE，∠EFC＝∠ECF＝α，
∴∠EAF＝∠EFA，
∴∠BAE＝∠BAF＋∠EAF＝∠BAF＋∠EFA＝∠EFC．
∵∠BAF＋∠AFB＝90°，∠AFB＋∠EFA＋∠EFC＝180°，
∴∠BAF＋∠AFB＋∠AFB＋∠EFA＋∠EFC＝90°＋180°，
∴2∠AFB＋2∠EFC＝270°，
∴∠AFB＋∠EFC＝135°.
∵∠ECF＝∠EFC＝α，∠AFB＝β，
∴α＋β＝135°.
三、解答题
11．[2025·济宁期中]按要求画出图形：
(1)在图1的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点画一个面积为8的正方形；
(2)如图2，已知点A(－3，1)，B为第二象限内的一个整点(即横纵坐标都为整数的点)，且OA＝OB．
①直接写出点B的坐标为 ；
②在平面直角坐标系中取一点C，使以A，B，O，C为顶点的四边形是平行四边形(画出一种情况即可)．
(2)①(－1，3)；
②以A，B，O及合适的第四个点C为顶点的所有平行四边形如图2所示．
12．[2025·济宁期末]如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF.
(1)求证：四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接BD交AC于点O，若BD＝28，AE＋CF＝EF，求EG的长．
∴△AGE≌△CHF(SAS)，
∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH，
∴∠GEF＝∠HFE，
∴GE∥HF.
又∵GE＝HF，
∴四边形EGFH是平行四边形；
(2)连接BD交AC于点O，如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD．
∵BD＝28，
∴OB＝OD＝14.
∵AE＝CF，OA＝OC，
∴OE＝OF.
∵AE＋CF＝EF，AE＝CF，
∴2AE＝EF＝2OE，
∴AE＝OE.
又∵点G是AB的中点，
∴EG是△ABO的中位线，
∴EG＝ OB＝7.
13．[2025·枣庄期末]如图，在 ABCD中，连接BD，∠DBC＝90°.点E在CD边上，过点E作EG⊥BC，垂足为点F，交AB延长线于点G，连接BE，CG.
(1)求证：DE＝BG；
(2)当E为CD中点时，四边形BECG是什么
特殊四边形？说明你的理由；
(3)在满足(2)的条件下，当△BCD满足什么条件时，四边形BECG是正方形？(不必说明理由)
解：(1)证明：∵EG⊥BC，
∴∠EFC＝90°.
∵∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠EFC，
∴DB∥EG.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∴BG∥DE，
∴四边形BGED是平行四边形，
∴DE＝BG；
(2)四边形BECG是菱形．
理由如下：
∵E为CD中点，
∴CE＝DE.
∵DE＝BG，
∴CE＝BG.
∵四边形BGED是平行四边形，
∴DC∥BG，
∴四边形BECG是平行四边形．
∵∠DBC＝90°，E为CD中点，
∴BE＝EC，
∴四边形BECG是菱形；
(3)当△BCD满足BD＝BC(答案不唯一)时，四边形BECG是正方形，
理由：由(2)知，四边形BECG是菱形，
∵BD＝BC，BD＝EG，
∴BC＝EG，
∴四边形BECG是正方形．(共13张PPT)
第8章 四边形
8．1　四边形
1．学校、工厂、企业等单位的大门都是收缩性大门，这种门的门体可以伸缩自由移动，以此来控制门的大小．这种方法应用的数学知识是( )
A．三角形的稳定性
B．四边形的不稳定性
C．勾股定理
D．黄金分割
2．[2025·重庆期中]如图，在边长为(a＋6)cm的正方形中，剪去一个边长为(a＋1)cm的小正方形(a>0)，将余下部分拼成一个梯形，则梯形的面积为( )
A．35 cm2
B．(5a＋35) cm2
C．(14a＋37) cm2
D．(10a＋35) cm2
3．聪聪把梯形ABCD按照如图的方法转化成平行四边形EBHG，且
面积保持不变．已知梯形ABCD的面积是45 cm2，则平行四边形
EBHG的高是_____．
3 cm
4．已知直角梯形的两腰之比是1∶2，那么该梯形的最大角
为______，最小角为_____．
150°
30°
5．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．试说明：DE＝AF；
6．[2025·浦东新区期末改编]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，
CA平分∠BCD，过点D作DE平行AC交线段BC延长线于点E，∠B＝
2∠E.求证：梯形ABCD为等腰梯形．
证明：∵DE∥AC，
∴∠ACB＝∠E.
∵CA平分∠BCD，
∴∠BCD＝2∠ACB，
∴∠BCD＝2∠E.
∵∠B＝2∠E，
∴∠B＝∠BCD，
∴梯形ABCD为等腰梯形．
7．[2024·苏州期中]定义：在直角梯形中，如果有两条邻边相等，那么称这个梯形为邻等梯形，相等两邻边的夹角称为邻等角．
(1)如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，对角线BD平分∠ADC．请判断梯形ABCD是否为邻等梯形并说明理由；
(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等梯形，请在网格图中画出三个不同的格点D，并用D1，D2，D3标明．
解：(1)梯形ABCD是邻等梯形．理由：
∵AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠ABC＝180°－∠A＝90°，∠ADB＝∠CBD，
∴四边形ABCD为直角梯形．∵对角线BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴CD＝CB，∴四边形ABCD为邻等梯形；
(2)如图，D1，D2，D3即为所求；(共53张PPT)
第8章综合测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．[2024·东营期末]菱形、矩形、正方形都具有的性质
是( )
A．对角线互相平分
B．四个角都相等
C．四条边都相等
D．对角线相等且互相平分
2．[2025·淄博期末]如图，在 ABCD中，∠ABC的平分线交边AD于点E，已知∠AEB＝40°，则∠D的度数为( )
A．70° B．75°
C．80° D．85°
3．[2024·济南一模]如图，将矩形直尺的一个顶点与三角尺的直角顶点重合放置，测得∠2＝58°，则∠1的度数为( )
A．22° B．32°
C．42° D．62°
4．如图，正方形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，点E在BD上，且BE＝BC，则∠ACE的度数为( )
A．22.5° B．27.5°
C．30° D．35°
5．[2024·济南期中]如图，在 ABCD中，分别以点A，C为圆心，
大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，分
别交边AD，BC于点E，F，连接AF，若△ABF的周长为10，则
ABCD的周长为( )
A．18 B．20
C．22 D．24
6．如图，将长方形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E.若∠DBC＝22.5°，则在不添加任何辅助线的情况下，图中45°的角(虚线也视为角的边)有( )
A．3个 B．4个
C．5个 D．6个
8．[2025·青岛期中]如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重叠的部分为四边形，若测得点A，C之间的距离为3，点B，D之间的距离为4，则线段AB的长为( )
A．2.5 B．3
C．3.5 D．4
9．[2025·潍坊期中]在同一平面内，如果两个多边形(含内部)有除边界以外的公共点，则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形ABCD由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
10．[2025·泰安期末]如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，
DE平分∠ADC交BC于点E，且∠ABC＝120°，AB＝ BC，连接OE.
下列结论：①△DCE是等边三角形　②OE＝ AD　③S ABCD＝
CD·BD　④S△DEC＝2S△ODE.其中正确的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．[2025·黄浦期末]如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，连接AC，
BD，已知梯形ABCD的面积为17，△BDC的面积为12，那么△ADC
的面积为__．
5
12．[2023·济南期末]如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，
矩形的长和宽分别是8和4，则重叠部分的四边形ABCD的周长等
于___．
20
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，点A，
B，C在网格中的位置如图所示，建立适当的平面直角坐标系，
使点A，B，C的坐标分别为(1，1)，(4，3)，(6，－2)，在平
面直角坐标系中找一点D，使以A，B，C，D四
点为顶点的四边形是平行四边形，请写出所有
符合条件的点D的坐标：___________________
_________．
(9，0)，(－1，6)，
(3，－4)
14．[2024·日照期中]如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝
AD，点D到AB的距离为3，∠BAD＝60°，点F为AB的中点，点E
为AC上的任意一点，则EF＋EB的最小值为__．
3
15．[2025·济宁期中]如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别
为边AB，CD的中点，BD是对角线，AG∥DB，交CB的延长线于点G，
连接GF，若AD⊥BD．下列结论：①DE∥BF　②四边形BEDF是菱
形　③S△BFG＝ S ABCD　④FG⊥AB．其中正确的是_______．
①②③
三、解答题(共8小题，共75分)
16．(6分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是边AB，AC，BC的中点，连接CD，EF，求证：CD＝EF.
证明：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，
∴CD＝ AB，
∵E，F分别是边AC，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝ AB，
∴CD＝EF.
17．(6分)如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，若AD＝BC，求证：∠A＝∠B．
证明：如图，过点C作CE∥AD，交AB于点E，
∴∠CEB＝∠A．
∵AB∥DC，
∴四边形AECD为平行四边形，
∴AD＝CE.
∵AD＝BC，
∴BC＝CE，
∴∠CEB＝∠B，∴∠A＝∠B．
18．(8分)[2024·济宁期末]如图，在 ACFD中，点B，E分别在AC，DF上，AB＝FE，AF分别交BD，CE于点M，N.
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
(2)已知DE＝6，连接BN，若BN平分∠DBC，求CN的长．
解：(1)证明：∵四边形ACFD是平行四边形，
∴AC＝DF，AC∥DF.
∵AB＝FE，
∴AC－AB＝DF－FE，即BC＝DE，
∴四边形BCED是平行四边形；
(2)∵BN平分∠DBC，
∴∠DBN＝∠CBN.由(1)，得四边形BCED是平行四边形，
∴BC＝DE＝6，EC∥DB，
∴∠CNB＝∠DBN，
∴∠CNB＝∠CBN，
∴CN＝BC＝6.
19．(10分)[2025·济南期末]如图，在四边形ABCD中，AD＝6，BC＝16，AD∥BC，AB＝8，∠ABC＝60°，点E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动，运动到D点时停止；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒．
(1)线段PD＝ ；CQ＝ ；QE＝ ；(用含t的代数式表示)
(2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？
20．(10分)[2025·枣庄期中]如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB延长线上一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE，BD．
(1)求证：四边形BECD是平行四边形；
(2)若∠ABC＝120°，AB＝BC＝4，则在点E的运动过程中：
①当BE＝ 时，四边形BECD是矩形；
②当BE＝ 时，四边形BECD是菱形；
③在①②中选择一个进行证明．
(2)①2；②4；③若选①：
∵四边形BECD是矩形，
∴∠CEB＝90°.
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°，∴∠BCE＝30°，
∴在Rt△CBE中，BE＝ BC．
∵BC＝4，
∴BE＝2，即当BE＝2时，四边形BECD是矩形；
若选②：∵四边形BECD是菱形，
∴BE＝CE.
∵∠ABC＝120°，
∴∠CBE＝60°，
∴△CBE为等边三角形，
∵BC＝4，
∴BE＝BC＝4，即当BE＝4时，四边形BECD是菱形．
21．(10分)[2024·泰安期中](1)如图1，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DP∥OC，且DP＝OC，连接CP，判断四边形CODP的形状并说明理由；
(2)如图2，如果题目中的菱形变为矩形，结论应变为什么？(直接写出结论)
(3)如图3，如果题目中的矩形变为正方形，结论又应变为什么？说明理由．
解：(1)四边形CODP是矩形．理由：
∵DP∥OC，DP＝OC，
∴四边形CODP是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠COD＝90°，
∴四边形CODP是矩形；
22．(12分)[2024·临沂期中]阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．
瓦里尼翁平行四边形
我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形．
这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．
任务：
(1)材料中的依据1是指： ，
依据2是指： ，并补全证明；
(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH，使得四边形EFGH为矩形；(要求同时画出四边形ABCD的对角线)
(3)在图1中，分别连接AC，BD，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长与对角线AC，BD长度的关系，并证明你的结论．
(2)如图3，画四边形ABCD，且AC⊥BD交BD于点O，点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，顺次连接点E，H，G，F，则四边形EFGH为矩形，
理由：∵点E，H，G，F分别是边AB，BC，CD，DA的中点，∴EF∥BD，GH∥BD，EH∥AC，FG∥AC，
∴EF∥GH，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
∵AC⊥BD，EF∥BD，∴AC⊥EF，
∵FG∥AC，∴EF⊥FG，∴平行四边形EFGH是矩形；
(3)瓦里尼翁平行四边形EFGH的周长等于AC＋BD，
理由：如图4，
∵四边形EFGH是四边形ABCD的瓦里尼翁平行四边形，
∴点E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点，
23．(13分)[2025·吕梁期末]【问题情境】
如图1，将菱形纸片ABCD分别沿过点B，D的直线折叠，使得点A，C的对应点A′，C′分别落在菱形的边AD，BC上，折痕分别为BE，DF.
【猜想证明】
(1)试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
【问题解决】
(2)如图2，G为菱形纸片ABCD折叠后得到的四边形BEDF中DF边上一点，将△BFG沿BG折叠至△BHG位置(F的对应点H落在四边形BEDF内部)，连接HD，若HD∥BG，试猜想∠HBF与∠EDH的数量关系，并加以证明；
(3)在(2)的条件下，M为直线GF上一点，N为射线GH上一点，若∠MBN＝∠HBF＝60°，BE＝2，MG＝0.5，直接写出NG的长．
解：(1)四边形BEDF为矩形，
理由：由折叠得BE⊥AD，DF⊥BC，
∴∠DEB＝∠DFB＝90°.
在菱形ABCD中，AD∥BC，
∴∠EBF＝180°－∠DEB＝90°，
∴∠DEB＝∠DFB＝∠EBF＝90°，
∴四边形BEDF为矩形；
(2)∠HBF＝2∠EDH，证明：由折叠得∠HBG＝∠FBG，
∴∠HBF＝2∠GBF.在矩形BEDF中，∠EDF＝∠BFD＝90°，∴∠EDH＋∠HDG＝90°，∠FGB＋∠GBF＝90°.
∵HD∥BG，
∴∠FGB＝∠HDG，
∴∠EDH＝∠GBF，
∴∠HBF＝2∠EDH；
(3)∵∠HBF＝2∠EDH＝60°，
∴∠EDH＝30°，
∴∠HDG＝90°－30°＝60°.
∵HD∥BG，∴∠FGB＝∠HDG＝60°.
∵翻折，∴∠HGB＝∠FGB＝60°，
∴∠DGH＝180°－2×60°＝60°，
∴△DGH为等边三角形，DG＝HG.
∵翻折，
∴FG＝HG，
∴HG＝DG＝GF＝ DF＝1，①当点M在点G右侧，如图1所示，
∵MG＝0.5，
∴MF＝GF－MG＝1－0.5＝0.5.
∵∠MBN＝∠HBF，
∴∠NBH＝∠MBF.
∵翻折，∴BH＝BF且∠BHN＝∠BFM＝90°，∴△NBH≌△MBF(ASA)，
∴HN＝FM＝0.5，∴GN＝GH＋NH＝1＋0.5＝1.5；
②当点M在点G左侧，如图2所示，
∵MG＝0.5，
∴MF＝MG＋GF＝1＋0.5＝1.5，
同理可得△NBH≌△MBF，
∴HN＝FM＝1.5，
∴GN＝GH＋NH＝1＋1.5＝2.5.
综上所述，NG＝2.5或1.5.(共27张PPT)
第3课时　菱形及其性质
1．[2025·淄博期中]下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A．对角相等 B．四条边相等
C．邻边互相垂直 D．对角互补
2．[2025·武威期中]已知菱形ABCD的边长为10 cm，∠ABC＝60°，对角线AC，BD相交于点O，则OA的长为( )
A．5 cm B．6 cm
C．8 cm D．10 cm
3．[2024·淄博期中]如图，矩形AEFG的顶点E，F分别在菱
形ABCD的边AB和对角线BD上，连接EG，CF.若EG＝5，则CF的
长为( )
A．5 B．4
C．3 D．6
5．如图，在面积为96的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是线段BD上的动点，OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F.则OE＋OF＝( )
A．9.6 B．4.8
C．19.2 D．5.6
6．[2025·济宁期中]如图，菱形ABCD的面积为24，点E是AB的中点，点F是BC上的动点．若△BEF的面积为4，则△DEF的面积为( )
A．4 B．6
C．8 D．10
7.[2024·菏泽期中]如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝140°，
分别以点A，B为圆心，大于 AB的长为半径画弧，两弧相交
于M，N两点，作直线MN交AD于点E，连接BE，BD，则∠EBD的
度数为_____．
30°
8．[2024·开封期末]如图所示的木质活动衣帽架是由三个全
等的菱形组成，根据实际需要可调节A，E间的距离，已知菱形
ABCD的边长为20 cm，当A，E间的距离为60 cm时，这个活动衣
帽架所围成的面积为______cm2.
9．[2025·青岛一模]把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的
直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2所示的正方
形，则图1中菱形的面积是__．
4
10．[2024·临汾期末改编]如图，在菱形ABCD中，对角线AC，
BD相交于点O，∠ABC＝80°，E是线段AO上一点，且BC＝CE，
则∠OBE的度数是_____．
25°
11．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，H为AB边上的
一点，∠BHD＝90°，连接OH，若OA＝5，OH＝2，则菱形ABCD
的面积为___．
20
12．[2024·烟台期中]如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB延长线于点E，CF⊥AD交AD延长线于点F.
求证：BE＝DF.
13.[将军饮马模型][2025·潍坊期末]如图，在菱形ABCD中，
∠BAD＝120°，BD＝8，E，F分别为边CD和AD的中点，连接CF，
点P是线段CF上一动点，则PE＋PD的最小值为__．
4
又∵E，F分别为边CD和AD的中点，
∴CF垂直平分AD，点E与点O关于FC对称，
∴PO＝PE.
∴PE＋PD＝PO＋PD≥OD＝4，
∴当O，P，D三点共线时，PE＋PD有最小值4.
14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点P，Q分别是边BC，线段OD上的点，连接AP，QP，AP与OB相交于点E.
(1)如图1，连接QA，QC．当QA＝QP时，求证：QC＝QP；
(2)如图2，若∠APB＝90°，且∠BAP＝∠ADB．
①求证：AE＝2EP；
②当OQ＝OE时，设EP＝a，求PQ的长(用含a的代数式表示)．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，
∴BD⊥AC，OA＝OC，
∴QA＝QC．
∵QA＝QP，
∴QC＝QP；
(2)①证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴∠ABD＝∠ADB，∠CBD＝∠CDB．
∵BD⊥AC，
∴∠ADO＝∠CDO，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ADO.
∵∠BAP＝∠ADB，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD．
∴AE＝BE，
∵∠APB＝90°，
∴∠BAP＋∠ABP＝90°，
∴∠BAP＝∠ABD＝∠CBD＝30°.
在Rt△BPE中，
∵∠EPB＝90°，∠PBE＝30°，
∴EP＝ BE.∵AE＝BE.
∴EP＝ AE，∴AE＝2EP；
②如图，连接QC．
∵AB＝BC，∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形．
∵∠APB＝90°，
∴BP＝CP，
∵EP＝a，
∴AE＝BE＝2a，AP＝3a.(共21张PPT)
第4课时　平行四边形的判定定理3,4
1．[2024·河东二模]如图，在△ABD中，分别以点B，D为圆心，BD长为半径作弧，分别交于点E，F，连接EF交BD于点O，连接AO并延长，再以O为圆心，OA长为半径作弧，交AO延长线于点C，连接CB，CD，则可以判定四边形ABCD为平行四边形的依据是( )
A．两组对边分别平行
B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等
D．对角线互相平分
2．[2025·济宁期末]在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于O点，给出五组条件：
①AB＝DC，AD∥BC ②AB＝CD，AB∥CD
③AB∥CD，AD∥BC ④OA＝OC，OB＝OD
⑤AB＝CD，AD＝BC．
能判定此四边形是平行四边形的有( )
A．5组 B．4组
C．3组 D．2组
3．已知四边形ABCD，有下列条件：
①∠A＝∠C，∠B＝∠D
②∠A＝∠B＝∠C＝90°
③∠A＋∠B＝180°，∠A＝∠D
④∠A＋∠B＝180°，∠C＋∠D＝180°.
其中能判定四边形ABCD是平行四边形的是_____．(填序号)
①②
4．在△ABC中，点D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥CB，点F
是DE延长线上一点，连接CF.添加下列条件：①BD∥CF　②DF
＝BC　③BD＝CF　④∠B＝∠F.能使四边形BCFD是平行四边形
的是_______．(填序号)
①②④
5．[2025·成都期末]如图，在四边形ABCD中，∠ABC的平分线BE交AD于点E，已知AB∥CD，∠BAD＝∠BCD．
(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；
(2)若AB＝6，四边形ABCD周长为32，求DE的长度．
解：(1)证明：∵AB∥CD，
∴∠BAD＋∠D＝180°，
∵∠BAD＝∠BCD，
∴∠BCD＋∠D＝180°，
∴AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(2)∵平行四边形ABCD的周长为32，
∴AB＋AD＝16，
∵AB＝6，∴AD＝10，
∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠EBC＝∠AEB，
∴AB＝AE＝6，
∴DE＝AD－AE＝10－6＝4.
6．[2024·临沂期中]如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，EF过点O交AD于点E，交BC于点F，AG＝CH，证明：四边形EGFH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，OA＝OC，∴∠EAO＝∠FCO.
又∵∠AOE＝∠COF，
∴△AOE≌△COF(ASA)，
∴OE＝OF.∵AG＝CH，
∴OG＝OH，
∴四边形EGFH是平行四边形．
7．[2025·济宁期中]如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.
(1)求证：AE＝CF；
(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．
证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCF，
又∵∠1＝∠2，
∴△AED≌△CFB(AAS)；
∴AE＝CF；
(2)如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵△AED≌△CFB，
∴AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF，即OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
8．[2025·济南期末]如图，在 ABCD中，已知AD＝15 cm，点P
在AD上以1 cm/s的速度从点A向点D运动，点Q在CB上以4 cm/s的
速度从点C出发在CB上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次
返回C点时点P也停止运动，设运动时间为t(s)(t>0)．当t＝
_____时，四边形PDCQ是平行四边形．
3或5
9．[2025·枣庄期末]如图，在 ABCD中，AD>AB，∠ABC为锐角．点O是对角线AC的中点，某数学学习小组要在AC上找两点E，F，使四边形BEDF为平行四边形，现在，甲、乙两个同学给出了两种不同的方案如下：
甲方案：分别取AO，CO的中点E，F；
乙方案：作BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F；
请回答下列问题：
(1)你认为按照甲方案得到的四边形是平行四边形吗？
答： (填“是”或“不是”)；
(2)你认为按照乙方案得到的四边形是平行四边形吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；
(3)请你给出一种和他们不同的方案，请用文字表达你的方案，在图中标记字母，并写出证明．
解：(1)是；
(2)乙方案得到的四边形是平行四边形；
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥CB，
∴∠EAD＝∠FCB．
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥DF，∠BEF＝∠AFD＝90°.
(3)在AC上取AE＝CF，即可得到四边形BEDF为平行四边形，
证明：如图，连接BD，
∵在 ABCD中，点O是对角线AC的中点，
∴AO＝CO，BO＝DO.
∵AE＝CF，
∴AO－AE＝CO－CF，
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF为平行四边形．(共21张PPT)
第2课时　平行四边形的性质3
1．[2025·崇川区期末]如图， ABCD的对角线AC和BD相交于点O，EF过点O且与边AB，CD分别相交于点E，F.若AB＝5，AD＝6，OE＝3，则四边形ADFE的周长为( )
A．14 B．15
C．16 D．17
2．如图，在 ABCD中，AB＝4 cm，BC＝6 cm，对角线AC，BD相交于点O，则OA的取值范围是( )
A．2 cmB．2 cmC．1 cmD．4 cm4．[2024·辽宁]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE
∥AC，CE∥BD，若AC＝3，BD＝5，则四边形OCED的周长为( )
A．4 B．6
C．8 D．16
5．[2025·聊城期中]如图， ABCD的对角线AC，BD交于点O，DE平分∠ADC交BC于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连接OE.下列说法正确的有( )
①S ABCD＝AB·BD　 ②AC平分∠BCD
③AB＝DE　 ④S△CDE＝S△BOC
A．①② B．②③
C．①③ D．①③④
6．如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AC＋
BD＝20，则△AOB的周长为___．
15
7．如图，平面直角坐标系中， ABCD的顶点A，C在x轴上，已知
点B(－1，2)，OA＝OC，则点D的坐标是_________．
(1，－2)
8．[2024·济宁期末]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD交于
点O，OE⊥AC于点O，若△DCE的周长为20，则 ABCD的周长
为___．
40
9．[2025·菏泽期中]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：BE＝DF.
解：∵ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
∴BO＝DO，AO＝CO.
∵AF＝CE，
∴AF－OA＝CE－OC，
∴FO＝EO.
又∵∠FOD＝∠EOB，
∴△FOD≌△EOB(SAS)，
∴BE＝DF.
10．如图， ABCD和 EBFD的顶点A，C，E，F在同一条直线上，求证：AE＝CF.
证明：连接BD，交EF于点O，
∵四边形ABCD，EBFD是平行四边形，
∴OE＝OF，AO＝OC，
∴OE－OA＝OF－OC，
∴AE＝CF.
11.[培素养][2025·潍坊期末]劳动课上，老师要将一块平行四边形的试验田均分给甲、乙两组进行花卉栽培，且试验田中的灌溉点O在分界线上，以满足甲、乙两组共同使用灌溉点．
(1)如图1，在 ABCD中，老师决定把相对的两块三角形试验田(△AOD与△BOC)分给甲组，剩下的部分分给乙组．方案公布后，两个小组的同学议论纷纷，有的认为这样不公平．在学习平行四边形的性质之后，你认为这种方案公平吗？请说明理由；
(2)如图2，你能否找到一种仅借助直尺将试验田( ABCD)分成两块的方法，使两个小组分得的试验田一样大，并且共用灌溉点？请在图2上画出来．
解：(1)公平．
理由：过点O作GH⊥AD交AD于点H，交BC于点G，如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC．
∵GH⊥AD，
∴GH⊥BC，
(2)如图2，作出平行四边形的两条对角线，过对角线的交点和O点的直线能将平行四边形平分．
12．如图， ABCD的对角线相交于点O，点P是AC所在直线上的一个动点(点P不与点A，C重合)，分别过点A，C向直线BP作垂线，垂足分别为点E，F.
【问题呈现】(1)如图1，当点P与点O重合时，线段OE和OF的数量关系是 ；
【类比探究】(2)当点P运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并判断(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．(提示：直角三角形斜边上的中线长为斜边的一半)
解：(1)OE＝OF；
(2)仍然成立，证明如下：
补全图形如图2，延长EO，延长CF，交于点G，
∵AE⊥BP，CF⊥BP，
∴AE∥CF，
∴∠EAO＝∠GCO.
∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO.
又∵∠AOE＝∠COG，
∴△AOE≌△COG(ASA)，
∴OE＝OG.
∵∠GFE＝90°，
∴OF＝ EG＝OE.(共26张PPT)
第5课时　三角形的中位线
1．[2024·巴中]如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，
点E是BC的中点，AC＝4.若 ABCD的周长为12，则△COE的
周长为( )
A．4 B．5
C．6 D．8
2．[2024·济宁二模]如图，EF是△ABC的中位线，BD平分∠ABC交EF于点D，若AE＝3，DF＝1，则边BC的长为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
3．[2024·潍坊一模]如图，在△ABC中，D是BC边的中点，AE是∠BAC的平分线，AE⊥CE于点E，连接DE，若AC＝5，DE＝1，则AB等于( )
A．7 B．6.5
C．6 D．5.5
4．[2024·威海期末]如图，点F，G，H分别是AD，BD，BC边的中点，且AB＝CD，∠ABD＝30°，∠BDC＝80°，则∠GHF＝( )
A．25° B．30°
C．35° D．40°
6．[2024·烟台期末]如图，DE是△ABC的中位线，F是DE的中点，CF的延长线交AB于点G，若△DGF的面积为2，则△CEF的面积为( )
A．4 B．6
C．8 D．9
7．如图，E，F，G，H分别为四边形ABCD边AB，BC，CD，DA的
中点，则四边形EFGH是_________形．
平行四边
8．[2024·菏泽期中]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，
D，F分别为边BC，AB，AC上的中点，已知DF＝4，则AE＝__．
4
9．[2025·威海期末]如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，过点A
作AE⊥BD的延长线于点E，点F为AC的中点，连接EF，若AB＝7，
BC＝3，则EF的长为__．
2
解析：如图，延长AE，BC交于点G，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠GBE.
∵AG⊥BE，
∴∠AEB＝∠GEB．
∵BE＝BE，
∵△ABE≌△GBE(ASA)，
∴AB＝BG＝7，AE＝EG，
∴点E是AG的中点．
∵点F是边AC的中点，
∴EF是△ACG的中位线，
∴EF＝ CG.
∵BC＝3，
∴CG＝BG－BC＝4，
∴EF＝2.
10．[2025·德州期中]如图，点D，E分别是Rt△ABC两直角边AB，AC上的点，连接BE，已知点F，G，H分别是DE，BE，BC的中点．若BD＝CE，那么FG与GH有什么数量和位置关系？请说明理由．
∵∠A＝90°，
∴∠ABE＋∠AEB＝90°，
∴∠FGH＝∠FGE＋∠EGH＝∠ABE＋∠AEB＝90°，
∴FG＝GH且FG⊥GH.
11．[2024·淄博期末]如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，点P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点，延长线段AD交NM的延长线于点E，延长线段BC交NM的延长线于点F.
(1)求证：∠AEN＝∠F；
(2)若∠A＋∠ABC＝122°，求∠F的大小．
(2)∵PN∥AD，
∴∠PNB＝∠A．
∵∠DPN是△PNB的一个外角，
∴∠DPN＝∠PNB＋∠ABD＝∠A＋∠ABD．
∵PM∥BC，
∴∠F＝∠PMN，∠MPD＝∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPN＋∠MPD＝∠A＋∠ABD＋∠DBC
＝∠A＋∠ABC＝122°.
12．[2024·滨州期中]如图，在四边形ABCD中，M，N，E，F分别为AD，BC，BD，AC的中点，求证：MN与EF互相平分．
13．[2025·淄博期末]如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别
是边CD，BC上的动点，连接AE，EF，点G，H分别为AE，EF的中
点，连接GH.若∠B＝60°，AB＝6，BC＝8，则GH的最大值
为____．
14．[2025·淄博期末]【知识回顾】(1)已知，如图1，在△ABC中，点E是边AB的中点，点F是边AC的中点，连接EF.则EF与BC的数量关系为 (用符号语言表达)；
【知识应用】(2)如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别为AB，DC的中点，连接MN.请猜想线段AD，BC，MN之间的数量关系，并说明理由．
解：(1)EF＝ BC；
(2)BC＋AD＝2MN，理由如下：
连接AN并延长交BC的延长线于点G，
∵AD∥BC，
∴∠DAN＝∠CGN，∠ADN＝∠GCN.
∵N是CD的中点，
∴DN＝CN，
∴△DAN≌△CGN(AAS)，
∴AD＝CG，AN＝NG.
∵M是AB的中点，N是AG的中点，
∴MN＝ BG＝ (BC＋CG)＝ (BC＋AD)，
∴BC＋AD＝2MN.(共31张PPT)
专题训练一　特殊四边形中的折叠、
旋转与动点问题
类型一 折叠问题
1．[2024·云南模拟]如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD折
叠，使点A落在点A′处，若∠1＝∠2＝50°，则∠A′的度数
为( )
A．130° B．120°
C．105° D．100°
2．[2025·长春期末]如图，在正方形纸片ABCD中，点P是边BC
上一点，连接AP，将正方形沿AP折叠，点B落在点E处，延长PE
交CD于点Q，连接AQ，CE.给出以下结论：①△AEQ≌△ADQ　
②PQ＝BP＋DQ　③△PEC与△QEC的面积相等　④若BP＝CP，则
CQ＝2DQ.上述结论中，正确结论的序号有_______．
①②④
3．[2025·南通三模]如图1，有一张菱形纸片ABCD，∠A＝45°，折叠该纸片，使得点A，C均与点D重合，折痕分别为EG，FH，设两条折痕的延长线交于点O.
(1)请在图2中将图形补充完整，并求∠EOF的度数；
(2)四边形DGOH是菱形吗？请说明理由．
解：(1)补全图形如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠ADC＝180°－∠A＝180°－45°＝135°.
∵折叠菱形纸片ABCD，使得点A，C均与点D重合，
折痕分别为EG，FH，
∴GE⊥AD，HF⊥CD，
∴∠OED＝∠OFD＝90°.
∵∠EOF＋∠OED＋∠OFD＋∠ADC＝360°，
∴∠EOF＝360°－90°－90°－135°＝45°；
(2)四边形DGOH是菱形，理由如下：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠C＝∠A＝45°，AD＝CD．
∵折叠菱形纸片ABCD，使得点A，C均与点D重合，折痕分别
为EG，FH，
∴AE＝DE＝ AD，∠ADG＝∠A＝45°，DF＝CF＝ CD，
∠CDH＝∠C＝45°.
又∵∠ADC＝135°，
∴∠GDC＝∠ADH＝90°.
又∵∠OED＝∠OFD＝90°，
∴∠OED＋∠ADH＝180°，∠OFD＋∠GDC＝180°，
∴GE∥DH，GD∥HF，
∴四边形DGOH是平行四边形．
∵AE＝DE＝ AD，DF＝CF＝ CD，AD＝CD，
∴DE＝DF.
又∵∠EDG＝∠FDH＝45°，∠DEG＝∠DFH＝90°，
∴△DEG≌△DFH(ASA)，
∴DG＝DH，
∴四边形DGOH是菱形．
类型二 旋转问题
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA，OC分别在
x轴和y轴上，并且OA＝5，OC＝3.若把矩形OABC绕着点O逆时针
旋转，使点A恰好落在BC边上的点A1处，则点A的对应点A1的坐标
为_______．
(4，3)
5．[2023·牡丹江]如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的
顶点A，B在x轴上，AB＝2，A(1，0)，∠DAB＝60°，将菱形
ABCD绕点A旋转90°后，得到菱形AB1C1D1，则点C1的坐标是
_______________________．
6．[2025·济宁期中]综合探究
几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题，往往需要运用从特殊到一般、化动为静、类比等数学思想方法．
【问题情境】分别以△ABC的两边AC和BC为边作正方形ACDE和BCFG，连接DF，探究AB与DF之间满足的数量和位置关系．
【初步感知】(1)如图1，若∠ACB＝90°，写出AB与DF之间满足的数量和位置关系，并说明理由；
【深入探究】(2)如图2，改变点B的位置，其他条件不变，猜想AB与DF之间满足的数量和位置关系，并证明猜想．
解：AB＝DF，AB⊥DF.理由如下：
(1)如图1，延长AB交DF于点H，
∵四边形ACDE和四边形BCFG都是正方形，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°＝∠ACB，AC＝DC，BC＝CF，
∴△ACB≌△DCF(SAS)，
∴AB＝DF，∠CDF＝∠BAC．
又∵∠ABC＝∠DBH，
∴∠DHB＝∠ACB＝90°，即AB⊥DF，
∴AB＝DF，AB⊥DF；
(2)AB＝DF，AB⊥DF.
证明：如图2，延长AB交DF于点M，交CD于点N，
∵四边形ACDE和BCFG为正方形，
∴∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝DC，BC＝FC，
∴∠ACD－∠BCD＝∠BCF－∠BCD，即∠ACB＝∠DCF，
∴△ACB≌△DCF(SAS)．
∴AB＝DF，∠BAC＝∠FDC．
∵∠ANC＝∠DNM，
∴∠ACD＝∠DMN＝90°.
∴AB⊥DF.
∴AB＝DF，AB⊥DF.
类型三 特殊平行四边形中的动点问题
7．如图，正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D．在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积( )
A．先变大后变小 B．保持不变
C．一直变大 D．一直变小
8．[2025·淄博期中]如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D落在点B处，点C落在点C′处，P为折痕EF上的任意一点，过点P作PG⊥BE，PH⊥BC，垂足分别为点G，H，若AD＝16，CF＝6，则PG＋PH的值为( )
A．6 B．8
C．10 D．16
9．如图，M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上一动点，且PE⊥MC于点E，PF⊥BM于点F.
(1)当四边形PEMF为矩形时，矩形ABCD的长与宽应满足什么条件？
(2)在(1)的条件下，当点P运动到什么位
置时，四边形PEMF为正方形？为什么？
解：(1)当AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形．
理由：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∵AD＝2AB＝2CD，AM＝DM＝ AD，
∴AB＝AM，DM＝CD，
∴∠ABM＝∠AMB＝45°，
∠DCM＝∠DMC＝45°，
∴∠BMC＝90°.
∵PE⊥MC，PF⊥BM，
∴∠MEP＝∠PFM＝90°，
∴四边形PEMF为矩形，
∴当AD＝2AB时，四边形PEMF为矩形；
(2)当点P运动到BC的中点时，矩形PEMF是正方形．
理由：如图，连接MP.
∵四边形PEMF是矩形，∴∠BMC＝90°.
由(1)知∠ABM＝45°，∠DCM＝45°，
∴∠MBC＝∠MCB＝45°，
∴BM＝CM.
∵P是BC的中点，
∴MP是等腰Rt△BMC的角平分线．
∵PF⊥BM，PE⊥MC，
∴PF＝PE，
∴四边形PEMF是正方形．
10．[2024·昆明期中]如图，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，3)，点D是OA的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长度的速度由点C向B运动．设动点P的运动时间为t秒．
(1)当t＝ 时(直接写出t的值)，四边形PODB是平行四边
形；
(2)在线段BC上是否存在一点Q，使得以O，D，Q，P四点为顶点
的四边形是菱形？若存在，求t的值，并求出Q点的坐标；若不
存在，请说明理由；
(3)在线段PB上有一点M且PM＝5，求四边形OAMP的周长最小值．
∴t＝4.5.
∵CQ＝4，
∴Q(4，3)；
综上所述，线段BC上存在点Q，使得以O，D，Q，P四点为顶点
的四边形是菱形：t＝2秒时，Q(9，3)；t＝4.5秒时，Q(4，3)；
(3)如图3，连接OP，DM，由(1)得OD＝5，
∵PM＝5，
∴OD＝PM.
∵CB∥OA，
∴四边形OPMD是平行四边形，
∴OP＝DM.
∵四边形OAMP的周长为OA＋AM＋PM＋OP＝10＋AM＋5＋DM＝15＋AM＋DM，
∴AM＋DM最小时，四边形OAMP的周长最小，
∴作点A关于BC的对称点E，连接DE交PB于点M，如图3，
∴AM＝EM，
∴AM＋DM＝DM＋EM.
∵两点之间线段最短，
∴此时DM＋EM最小，即AM＋DM最小．

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