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(共32张PPT)
12．2　图形的旋转
第1课时　图形的旋转(1)
1．[2024·荆门期中]下列运动中，不属于旋转变换的是( )
A．钟摆的运动　
B．行驶中的汽车车轮
C．方向盘的转动　
D．电梯的升降运动
2．如图所示的图形均可由“基本图案”通过变换得到，其中既可以由“基本图案”平移，也可以通过旋转得到的有( )
A．1个　 B．2个　
C．3个　 D．4个
3．[2024·济南期末]如图，△ABC绕点O顺时针旋转角度α后得到△DEF，若∠COE＝15°，∠BOF＝85°，则旋转角α的值为( )
A．40°　 B．45°　
C．50°　 D．55°
解析：如图，连接EG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，
由旋转，得AE＝AF，
∠ADF＝∠B＝90°，DF＝BE，
∴∠ADF＋∠ADC＝180°，
∴F，D，G三点共线，
∵AG⊥EF，AE＝AF，
∴AG垂直平分EF，∴EG＝FG，
设BE＝x，则CE＝6－x，DF＝x，
∵G是CD的中点，∴CG＝DG＝3，
∴FG＝DG＋DF＝3＋x，∴EG＝3＋x，
在Rt△ECG中，CG2＋CE2＝EG2，
∴32＋(6－x)2＝(3＋x)2，解得x＝2，
∴BE＝2.
8.[手拉手模型][2025·烟台期末]如图，在等腰直角△ABC中，
∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，将线段CD绕点C逆时针旋转
90°后得到CE，连接BE，若∠ABE的度数为80°，则∠BAD的
度数为_____．
10°
9．[2024·菏泽期末]如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC
＝2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，
连接C′B，则C′B的长为________．
解析：如图，连接BB′，延长BC′交AB′于点M，
由题意，得∠BAB′＝60°，BA＝B′A，
∴△ABB′为等边三角形，
∴∠ABB′＝60°，AB＝B′B，
由旋转性质，得AC＝AC′，BC＝B′C′，
又∵AC＝BC，
∴AC′＝B′C′，
10.[分类讨论][2025·潍坊期中]将一副三角尺按如图方式放
置，其中∠ABC＝45°，∠E＝30°，固定三角尺ABC，将三角
尺BDE以每秒15°的速度绕点B按逆时针方向转动，转动90°后
停止．在这个过程中，当转动时间为_____秒时，三角尺BDE的
一边与三角尺ABC的某一边平行(不共线)．
1或3
解析：当ED∥AB时，如图1所示：
则∠ABE＝∠E＝30°，
∴∠EBC＝45°－30°＝15°，
∵将三角尺BDE以每秒15°的速度绕点B按逆时针方向转动，
∴t秒转动的角度为15t度，即15t＝15，解得t＝1，
∴当转动时间为1秒时，ED∥AB；
当BD∥AC时，如图2所示：
则∠CBD＝∠C＝45°，
∴∠EBC＝90°－45°＝45°，
同理15t＝45，解得t＝3，
∴当转动时间为3秒时，BD∥AC．
11．[2024·宜宾期末]如图，在等边△ABC中，点D是BC边上的
点，以AD为边作等边△ADE，连接BE.
(1)填空：△ABE可以看成△ 以点 为旋转中心， 时
针旋转 度得到；
(2)若∠DAC＝42°，求∠AEB的度数．
解：(1)由题意，得CA＝BA，DA＝EA，∠CAB＝∠DAE＝60°，
∴∠CAB－∠BAD＝∠DAE－∠BAD，
即∠CAD＝∠BAE，
∴△CAD≌△BAE(SAS)．
∴△ABE可以看成△ACD以点A为旋转中心，逆时针旋转60度得
到，
故答案为：ACD，A，逆，60；
(2)∵△CAD≌△BAE，
∴∠BAE＝∠DAC＝42°，∠ABE＝∠ACD＝60°，
∴∠AEB＝180°－∠BAE－∠ABE＝78°.
12.[半角模型][2024·菏泽期末]如图，在正方形ABCD中，AE交BC于点E，AF交CD于点F，∠EAF＝45°，连接BD交AE于点M，交AF于点N，将△ADN绕点A顺时针旋转得到△ABP，连接MP.
(1)求证：MP＝MN；
(2)若BD＝12，BM＝3，求DN的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝∠BAD＝90°，
∵△ADN绕点A顺时针旋转得到△ABP，
∴∠PAN＝∠BAD＝90°，AP＝AN，DN＝BP，∠PAB＝∠NAD，
又∵∠EAF＝45°，
∴∠PAM＝45°＝∠EAF，
(2)∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠ADB＝∠45°，
∵△PAB≌△NAD，
∴∠PBA＝∠NDA＝45°，
∴∠PBD＝∠PBA＋∠ABD＝45°＋45°＝90°，
设DN＝BP＝x，
则PM＝NM＝12－3－x＝9－x，
则BM2＋BP2＝PM2，
即32＋x2＝(9－x)2，
解得x＝4，即DN＝4.
13．如图，四边形ABCD是正方形，以点A为中心，将线段AB顺时针旋转α(0°＜α＜90°)，得到线段AE，连接DE，BE.
(1)求∠DEB的度数；
(2)过点B作BF⊥DE于点F，连接CF，依题意补全图形，用等式表示线段DE与CF的数量关系，并证明．
(2)补全图形如下，线段DE与CF的数量关系为DE＝ CF，
证明：将△BCF绕点C顺时针旋转90°，使BC与CD边重合，点F
落在点G处，
∵BF⊥DE，
∴∠BFD＝90°，
∵∠BCD＝90°，
∴∠FBC＋∠FDC＝180°，
∵∠FBC＝∠GDC，
∴∠GDC＋∠FDC＝180°，
∴F，D，G三点共线．
∵∠FCG＝90°，CF＝CG，
∴△FCG是等腰直角三角形，
∴FG＝ CF.
由(1)，得∠DEB＝45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
∴EF＝BF，
∴EF＝DG，
∴EF＋FD＝DG＋FD，即DE＝FG，
∴DE＝ CF.(共32张PPT)
第2课时　图形的旋转(2)
1．[2025·聊城二模]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－6，0)，点C的坐标为(0，3)．以OA，OC为边作矩形OABC，若将矩形OABC绕点O顺时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′，则点B′的坐标为( )
A．(－6，－3) B．(－6，3)
C．(3，6) D．(6，3)
3.[一线三直角模型][2025·青岛二模]如图，菱形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，点C(4，3)，若将菱形先向左平移3个单位，再将菱形ABCO绕原点O逆时针旋转90°，则旋转后点B的对应点B′的坐标是( )
A．(－3，－6)
B．(－6，－3)
C．(－3，6)
D．(6，－3)
4.[规律探究题][2025·青岛期中]在平面直角坐标系中，△OAB
的位置如图所示．将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；再
将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；再将△OA2B2绕点O顺
时针旋转90°得△OA3B3，…，依此类推，第2 025次旋转得到
△OA2 025B2 025，则顶点A的对应点A2 025的坐标为( )
A．(1，2) B．(2，－1)
C．(－1，－2) D．(－2，－1)
5．[2024·河西期末]如图，在边长为1的正方形网格中，
A(－2，4)，B(2，2)，C(4，2)，D(2，－2)，将线段AB绕着某
点旋转一个角度可以得到另一条线段DC(旋转后A与D重合，B与
C重合)，则这个旋转中心的坐标为_______．
(3，3)
6．[2025·潍坊期末]一次函数y＝ x－3与y轴交于点A，将一
次函数y＝ x－3绕点A顺时针旋转45°得到新的一次函数关系
式为_________．
解析：设一次函数y＝ x－3与x轴交于点B，设旋转45°后的
直线为AN，过点B作BN⊥AB交AN于点N，
作NH⊥x轴于点H，
当x＝0时，y＝－3，当y＝0时，x＝2，
∴A(0，－3)，B(0，2)
∴OA＝3，OB＝2，
∴BH＝AO＝3，HN＝OB＝2，
∴点N(5，－2)，
设直线AN的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
∴解得
∴旋转后的一次函数为y＝ x－3.
7．[2025·烟台期末]如图，在直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(－3，2)，B(0，4)，C(0，2)．
(1)将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A1B1C，并直接写出点A的对应点A1的坐标；
(2)平移△ABC，若点A的对应点A2的坐标为(0，－4)，画出平移后对应的△A2B2C2，并直接写出点C的对应点C2的坐标；
(3)将△A1B1C绕某一点旋转180°可以得到△A2B2C2，请画出旋转中心P，并直接写出旋转中心P的坐标；
(4)在x轴上找一点Q，使QA＋QB的值最小，并直接写出点Q的坐标．
(4)取点A关于x轴的对称点A′，
连接A′B交x轴于点Q，连接AQ，
此时QA＋QB＝QA′＋QB＝A′B
为最小值，则点Q即为所求，
∴点Q的坐标为(－2，0)．
8．[2025·烟台期末]将一副直角三角板DOE与AOC叠放在一起，如图1，∠O＝90°，∠A＝30°，∠E＝45°，OD>OC．在两个三角板所在平面内，将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转α(0°<α<90°)到D1OE1位置，使OD1∥AC，如图2.
(1)求α的值；
(2)如图3，继续将三角板DOE绕点O顺时针方向旋转，使点E落在AC边上点E2处，点D落在点D2处．设E2D2交OD1于点G，OE1交AC于点H，若点G是E2D2的中点，试判断四边形OHE2G的形状，并说明理由；
(3)在图3中∠E1OE2与∠D1OD2的大小关系是 ，线段E1E2与线段D1D2的数量关系是 ．
解：(1)根据题意，得旋转角α＝∠AOD1，
∵OD1∥AC，∠A＝30°，
∴∠AOD1＝∠A＝30°，
∴α＝30°.
(2)四边形OHE2G为正方形，理由如下：
∵OD1∥AC，
∴∠AHO＝180°－∠E1OD1＝90°，
∵OE2＝OD2，点G是E2D2的中点，∠E2OD2＝90°，
∴OG⊥D2E2，OG＝E2G＝ D2E2，
∴∠AHO＝∠E1OD1＝∠OGE2＝90°，
∴四边形OHE2G是矩形，又∵OG＝E2G，
∴四边形OHE2G是正方形；
9．[2025·济南模拟]如图，四边形ABCD是菱形，AB＝2，且
ABC＝∠ABE＝60°，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将
BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM，则AM＋BM
＋CM的最小值为____．
解析：如图，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接MN，AC，
∴BM＝BN，∠MBN＝60°，
∵∠ABE＝60°，∴∠EBN＝∠ABM，
过E作EF⊥BC交CB的延长线于F，
过A作AH⊥BC于H，
∴EF∥AH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，∴四边形AEFH是矩形，∴EF＝AH，
∵∠ABE＝60°，∴△ABE是等边三角形，
∵∠MBN＝60°，∴∠MBN－∠ABN＝∠ABE－∠ABN，
即∠MBA＝∠NBE，
又∵MB＝NB，∴△AMB≌△ENB(SAS)，
∴AM＝EN，
∵∠MBN＝60°，MB＝NB，
∴△BMN是等边三角形，∴BM＝MN，
∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM，
根据“两点之间线段最短”，得EN＋MN＋CM＝EC最短，
∴当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，
即等于EC的长，
∵EF⊥BC，
∴∠EBF＝180°－120°＝60°，
(1)如图2，当0°<α<90°时，求证：CE＝BD；
(2)如图3，当α＝90°时，延长CE交BD于点F，求证：CF垂直平分BD；
(3)连接CD，在旋转过程中，请直接写出△BCD的面积的最大值及此时旋转角α的度数．
∴BC＝CD，
∵CF⊥BD，
∴CF是线段BD的垂直平分线，
∴CF垂直平分BD；(共71张PPT)
第12章综合测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．[2025·潍坊二模]下列图形是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
3．已知点A(－1，0)和点B(1，2)，将线段AB平移至A′B′，点A′与点A对应，若点A′的坐标为(1，－3)，则点B′的坐标为______．
A．(3，1) B．(－3，1)
C．(3，－1) D. (－3，－1)
4．[2025·青岛二模]如图，在平面直角坐标系中，△A′B′C′
是由△ABC绕点P旋转得到，则点P的坐标为( )
A．(1，0) B．(0，1)
C．(1，1) D．(1，2)
5．[2023·汝阳期末]有两个直角三角形纸板，一个含45°角，另一个含30°角，如图1所示叠放，先将含30°角的纸板固定不动，再将含45°角的纸板绕顶点A顺时针旋转，使DE∥BC，如图2所示，则旋转角∠BAD的度数为( )
A．60° B．45°
C．30° D．15°
6．[2024·大同期末]如图，将矩形ABCD绕点B顺时针旋转90°至矩形EBGF的位置，连接AC，BF，取AC，BF的中点M，N，连接MN，若AB＝8，BC＝6，则MN的长度为( )
A．8 B．6
C．5 D．5
7．[2024·烟台一模]如图1，在平面直角坐标系中，矩形ABCD在第一象限，且BC∥x轴，直线y＝2x＋4沿x轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形ABCD截得的线段长为a，直线在x轴上平移的距离为b，a，b之间的函数关系图象如图2所示，那么矩形ABCD的面积为( )
A． B．15
C．18 D．20
8．[2024·泰安期末]如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，
∠ACB＝90°，点D为斜边AB上一点，将△BCD绕点C逆时针
旋转90°得到△ACE，则下列说法：①∠EAC＝∠B　②CB＝
ED　③BD2＋AD2＝2CD2　④∠AED＝∠ACD．正确的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
9．如图，矩形ABCD的顶点A，B分别在x轴，y轴上，OA＝OB＝
2，AD＝4 ，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转90°，
则第2 026次旋转结束时，点D的坐标为( )
A．(4，6) B．(6，4)
C．(6，－4) D．(－4，6)
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．[2025·济南期中]如图，直角△ABC和直角△DEF重叠在一
起，将△DEF沿点B到点C的方向平移到如图位置．若AB＝14，
图中阴影部分的面积为84，DH＝4，则CF的长为__．
7
12．[2025·南京期中]如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分
别为(4，0)，(1，4)，点D在x轴上，则点C的坐标为_________．
(－4，4)
13．[2025·青岛期中]如图，在△ABC中，∠BAC＝112°，将
△ABC绕点A逆时针旋转m°，得到△ADE，∠E＝40°.若点B，
C，D恰好在同一条直线上，则m＝____．
124
14.[半角模型][2025·威海期中]如图，在正方形ABCD中，点E，
F，G分别在BC，CD，AB上，连接AC，AE，AF，EF，GF，其中GF
＝AE，∠EAF＝45°，若∠BAE＝α，则∠CEF＋∠CFG一定等于
_________．(用含α的式子表示)
90°＋α
解析：如图，作FL⊥AB于点L，则∠FLB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝∠BCD＝∠BAD＝∠D＝90°，
AD＝AB＝BC，CD∥AB，
∴∠FLG＝∠LBC＝∠BCF＝90°，
∠CFG＝∠FGL，
∴四边形BCFL是矩形，
∴FL＝BC，∴FL＝AB，
∴△EAH≌△EAF(SAS)，
∴∠AEB＝∠AEF，
∴∠CFG＝∠AEF.
∵∠ABE＝90°，∠BAE＝α，
∴∠CEF＋∠CFG＝∠CEF＋∠AEF＝∠AEC，
∵∠AEC＝∠ABE＋∠BAE＝90°＋α，
∴∠CEF＋∠CFG＝90°＋α.
15.[主从联动][2025·济南期中]如图，在平面直角坐标系xOy
中，直线y＝x＋6与坐标轴交于A，B两点，OC⊥AB于点C，P是
线段OC上的一个动点，连接BP，是线段BP绕点B逆时针旋转45°.
得到线段BP′连接CP′，则线段CP′的最小值为________．
解析：当x＝0时，则y＝x＋6＝6，
当y＝0时，则0＝x＋6，解得x＝－6，
∴A(0，6)，B(－6，0)，
∴△OAB是等腰直角三角形．
∵OC⊥AB，∴C是AB的中点，OC是∠AOB的平分线，
∴C(－3，3)，∠POB＝ ∠AOB＝45°.
三、解答题(共8小题，共75分)
16．(8分)[2024·南京]如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是AB上一点，△DEF和△ABC关于点O对称，连接AF，CD．
(1)求证：四边形ACDF是平行四边形；
(2)已知AC＝4，BC＝3，求四边形ACDF是菱形时AO的长．
解：(1)证明：∵△DEF和△ABC关于点O对称，
∴△ABC≌△DEF，
∴∠BAC＝∠EDF，DF＝AC，
∴DF∥AC，
∴四边形ACDF是平行四边形；
17．(8分)[2025·营口期中]如图，平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，5)，B(－5，3)，C(－2，2)．
(1)平移△ABC到△A1B1C1，其中点A的对应点A1的坐标为(3，3)，请在图中画出△A1B1C1；
(2)以点O为旋转中心，将△A1B1C1按顺时针方向旋转180°得△A2B2C2，请在图中画出△A2B2C2，并直接写出A2、B2、C2的坐标；
(3)△A2B2C2与△ABC关于某点成中心对称，请直接写出该点的坐
标为 ．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求，
∴A2(－3，－3)，B2(－1，－1)，C2(－4，0)；
(3)连接AA2、BB2、CC2，如图，
∴P(－3，1)，
故答案为：(－3，1)．
18．(8分)[2025·浙江期中]在等边三角形ABC的内部有一点D，连接BD，CD，以点B为中心，把BD绕点B按逆时针旋转60°得到BD′，连接AD′，DD′.以点C为中心，把CD绕点C按顺时针旋转60°得到CD″，连接AD″，DD″.
(1)判断∠D′BA和∠DBC的大小关系，并说明理由；
(2)求证：D′A＝DC；
(3)求证：四边形AD′DD″是平行四边形．
解：(1)∠D′BA＝∠DBC，理由如下：
∵BD逆时针旋转60°得到BD′，
∴∠DBD′＝60°，BD＝BD′，
∴△BDD′为等边三角形，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，BA＝BC，
∵∠D′BA＋∠ABD＝60°，∠ABD＋∠DBC＝60°，
∴∠D′BA＝∠DBC；
(3)证明：∵CD顺时针旋转60°得到CD″，
∴∠DCD″＝60°，CD＝CD″，
∴△DCD″为等边三角形，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ACB＝60°，CA＝CB，
∵∠D″CA＋∠ACD＝60°，∠ACD＋∠DCB＝60°，
∴∠D″CA＝∠DCB，
19．(9分)[2024·杭州期中](1)如图1，四边形ABCD是中心对称
图形，直线EF经过对称中心O，则S四边形AEFB___S四边形DEFC(填“>”
“<”或“＝”)；
(2)如图2，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，
O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成
面积相等的两部分．
＝
解：(1)＝；
(2)如图2：直线OQ即为所求．
20．(10分)[2024·南宁期中]政府准备在一块长a m，宽b m的长方形空地上铺草地并修建小路，现有三种方案，方案一、二、三分别如图1、图2、图3，其中图1和图3小路的宽均为1 m，图2中小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线．
(1)分别设方案一和方案二的草地面积为S1 m2，S2 m2，则S1
＝ m2(用含a，b的式子表示)，S1 S2(填“＞”
“＝”或“＜”)；
(2)如图3，在这块草地上修纵横两条宽1 m的小路，求草地的
面积S；(用含a，b的式子表示)
(3)经讨论后决定选用方案三的方案，若a＝30 m，b＝20 m，
且铺草地平均每平方米需要花费50元，那么铺设这块草地一
共需要花费多少元？
解：(1)由图1可得小路是长为b m，宽为1 m的长方形，
∴分成的两块草地可以通过平移重新组合
成一个长为(a－1) m，宽为b m的长方形，
∴S1＝b(a－1)＝ab－b，
由图2可得小路分成的两块草地也可以通过平移重新组合成一个
长方形，
由图2中小路的左边线向右平移1 m就是它的右边线，
则S2＝ab－b＝S1，
故答案为：(ab－b)，＝；
(2)由图可知图3中的四块草地可以通过平移得长为(a－1) m，宽为(b－1) m的长方形，
则S＝(b－1)(a－1)；
(3)当a＝30 m，b＝20 m时，
S＝(b－1)(a－1)＝(30－1)×(20－1)＝551(m2)，
∵铺草地平均每平方米需要花费50元，
∴铺设这块草地一共需要花费551×50＝27 550(元)，
答：铺设这块草地一共需要花费27 550元．
(1)请直接写出点A，B，D的坐标：A ，B ，D ；
(2)如图，若点P为直线AB上一点，将点P向右平移t(t>0)个单位到点P′，当点P′在直线CD上时，
①求t的值；
②若三角形COP′的面积是三角形DOP′的面积的2倍，求点P的坐标．
∴点C为点A向右平移4个单位，向下平移4个单位，
∴将点B向右平移4个单位，向下平移4个单位，
得到D(0＋4，2－4)，
即D(4，－2)；
故答案为：(－4，0)，(0，2)，(4，－2)；
(2)①设直线CD与x轴的交点为E，则AE＝t，连接AC，BE，
∵AB∥CD，
∴三角形ABE的面积＝三角形ABC的面积，
∵A(－4，0)，B(0，2)，C(0，－4)，
∴BC＝6，OA＝4，OB＝2，
∴三角形ABC的面积＝ BC·OA＝12，
∴ AE·OB＝12，∴AE＝12，即t＝12；
②当点P′在线段CD的延长线上时，当三角形COP′的面积是三角形DOP′的面积的2倍时，如图2，连接OD，
∴CD＝DP′，
设P′(x，y)，而C(0，－4)，D(4，－2)，
∴x＝8，y＝0，∴点P1′(8，0)，
∴点P(－4，0)；
当点P′在线段CD上时，设P′(e，f)，当三角形COP′的面积是三角形DOP′的面积的2倍时，如图3，连接OD，OP′，取CP′的中点N，则CN＝NP′＝P′D，
22．(11分)[2025·济南期中]在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．
【问题发现】
(1)如图1，点D是BC边上一动点(点D不与点B，C重合)，连接AD，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90°得到
线段AE，连接DE，BE、则线段CD与BE的数量关
系： ，位置关系： ；
【探究证明】
(2)如图2，点D是射线BC上一动点，连接AD，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接DE，BE.请判断线段CD与BE的数量关系与位置关系，并说明理由；
【拓展延伸】
(3)如图3，点D是△ABC外一点，连接AD，BD，CD，当AD＝4，且∠BDC＝90°时，请求出四边形ABDC的面积．
解：(1)由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°.
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠CAD＋∠DAB＝∠DAB＋∠BAE＝90°，
∴∠CAD＝∠BAE，
∴△AEB≌△ADC(SAS)，
∴CD＝BE，∠ABE＝∠C．
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠ABC＋∠ABE＝90°，
即∠CBE＝90°，
∴CD⊥BE.
故答案为：CD＝BE，CD⊥BE；
(2)判断：CD＝BE，CD⊥BE.理由如下：
由题意知，AD＝AE，∠DAE＝90°，
∵∠BAC＝90°，AC＝AB，
∴∠CAD＋∠CAE＝∠BAE＋∠CAE，
∴∠CAD＝∠BAE，∴△CAD≌△BAE(SAS)，
∴CD＝BE，∠DCA＝∠EBA．
∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠DCA＝∠EBA＝135°，
∴∠CBE＝∠EBA－∠ABC＝90°，
∴CD⊥BE；
(3)如图3所示，将线段AD绕点A按逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE.
∴同理可证△ACE≌△ABD，
∠ACE＝∠ABD，
∴S△ACE＝S△ABD，∠ACE＝∠ABD．
∵在四边形ABDC中，∠BAC＝90°，∠BDC＝90°，
∴∠ACD＋∠ABD＝180°，
∴∠ACE＋∠ACD＝180°，
∴点C在线段ED上．
由旋转知AD＝AE，∠DAE＝90°，
∴△EAD是等腰直角三角形，AE＝AD＝4，
∴S四边形ABDC＝S△EAD＝ ×4×4＝8.
23．(11分)[2025·武威期中]综合与实践：
准备 在探究《几何图形变化》的时候，老师让同学们准备了两张全等的直角三角形纸片，并且把它们的一条直角边重合在一起(如图1).
已知：∠BAC＝∠ACD＝90°，AC＝4 cm，AB＝CD＝3 cm.
实践 探究 平移 如图2，小明同学把△ABC沿直线BA平移，当点B与点A重合时，点C与点D重合，点A的对应点为点A′.
结论1：请证明四边形AA′DC是矩形；
实践 探究 旋转 如图3，小红同学把△ABC绕点A顺时针旋转，当点C的对应点C′恰好落在边AD上时，点B的对应点为点B′，B′C′与边AC交于点E.
结论2：请直接写出线段CE＝ .
实践 探究 对折 如图4，若点M，N分别是BC，AD的中点，小军同学将△BMA沿着直线AM对折，点B的对应点为B′.
结论3：请直接写出线段NB′＝ ．
验证计算 根据以上同学对三种图形变化的探究，请你完成三个结论的证明或计算． 解：结论1：证明如下：
如图2所示，由题意，得∠AA′D＝∠ACD＝90°，AC＝4 cm，AA′＝CD＝3 cm，AD＝AD，
∴△A′AD≌△CDA(HL)，∴A′D＝CA＝4 cm，
∴四边形AA′DC为平行四边形，
又∵∠ACD＝90°，
∴平行四边形AA′DC为矩形；
结论2：由于旋转前后图形全等，∴△ACD≌△C′AB′，
∴∠CAD＝∠AC′B′，
∴EA＝EC′，
又∵∠B′AC＋∠CAD＝90°＝∠AC′B′＋∠AB′C′，
∴∠B′AC＝∠AB′C′，
∴EA＝EB′，
∴EB′＝EC′＝ B′C′.(共32张PPT)
第12章　章末能力突破
一、选择题
1．[2025·烟台]2025年4月24日，神舟二十号载人飞船成功发射，以壮丽升空将第10个中国航天日从纪念变为庆祝．下列航天图案是中心对称图形的是( )
2．[2025·济宁期中]如图，在一块长为a m宽为b m的长方形草地上，有两条交叉的笔直的小路，已知小路的边缘AB∥CD，EF∥GH，若AC＝BD＝EG＝FH＝1 m，则草地青草覆盖的部分(阴影部分)的面积( )
A．ab m2 B．a(b－1)m2
C．b(a－1)m2 D．(a－1)(b－1)m2
3．[2025·烟台期中]如图，以点A为中心，把△ABC逆时针旋
转110°，得到△AB′C′(点B，C的对应点分别为点B′，C′)，
连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为( )
A．75° B．80°
C．85° D．90°
4．[2025·临沂期中]已知点A(3，－3)，点B(1，2)，将线
段AB平移至A1B1.若点A1(a，2)，点B1(－1，b)，则a－b的值
为( )
A．4 B．－2
C．－6 D．6
5．[2024·青岛一模]如图，已知点A(1，3)，B(4，1)，将线段AB绕点M逆时针旋转到A′B′，点A与A′是对应点，点B与B′是对应点，则点M的坐标是( )
A．(－1，－2)　
B．(1，0)
C．(－1，1)　
D．(1，－3)
6．把一副三角板如图1放置，其中∠A＝45°，∠D＝30°，∠ACB＝∠DEC＝90°，斜边AB＝6，DC＝7，把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D′CE′(如图2)，此时AB与CD′交于点O，则线段AD′＝( )
A．4　 B．5　
C．6　 D．7
7．在4×4的正方形网格中，在其中选择一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分是一个中心对称图形，能找到这样的白色小正方形( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
解析：过点O作OG⊥AD交AD于点G，
OH⊥CD交CD于点H，
∴∠OGD＝∠OHD＝∠OHF＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥OD，∠ADC＝90°，OA＝OD＝OC，AD＝CD＝2，
∴OG＝ AD＝ CD＝OH＝1，四边形OGDH为矩形，
∴∠GOH＝∠EOF＝90°，
∴∠GOE＝∠FOH＝90°－∠EOH，
又∵OG＝OH，∠OGD＝∠OHF＝90°，
∴△OGE≌△OHF(ASA)，
∴OE＝ OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴EF＝OE，
∴当OE最小时，EF最小，
∴当OE⊥AD，即点E与点G重合时，OE最小为1，
∴EF的最小值为 .
9．[2025·济宁期中]如图，正方形ABCD的中心与坐标原点O重合，将顶点D(1，0)绕点A(0，1)逆时针旋转90°得点D1，再将D1绕点B逆时针旋转90°得点D2，再将D2绕点C逆时针旋转90°得点D3，再将D3绕点D逆时针旋转90°得点D4，再将D4绕点A逆时针旋转90°得点D5…以此类推，则点D6的坐
标是( )
A．(－9，6) B．(－7，6)
C．(－7，8) D．(－9，8)
二、填空题
10．如图，点A的坐标为 ，点B在x轴上，把△OAB沿x轴
向右平移到△ECD，四边形ABDC的面积为14，则点C的坐标
为______．
11．[2025·淄博二模]在平面直角坐标系中，将点A(1，1)向
右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度得到点B，则点B
关于原点对称的点的坐标为___________．
(－3，－4)
12．[2025·济南期中]如图，将四边形ABCD沿射线AD的方向平
移10 cm得到四边形EFGH，其中∠C＝90°，CD＝24 cm，WG＝
8 cm，则阴影部分的面积为____cm2.
168
三、解答题
13．[2025·济宁期中]如图，△ABC三个顶点的坐标分别为：A(1，1)，B(4，2)，C(3，4)．
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于点(1，0)成中心对称的图形△A2B2C2；
(3)若△A1B1C1绕点M旋转得到△A2B2C2，请直接写出点M的坐标；
(4)在y轴上找一点P，使PA＋PC的值最小，请直接写出点P的坐标．
解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求；
(2)如图所示，△A2B2C2即为所求；
(3)如图，点M即为所求，点M的坐标(－1，0)；
14．如图，将△ABC沿射线BA方向平移到△A′B′C′的位置，连接AC′，CC′.
(1)AA′与CC′的位置关系为 ；∠A′＋∠CAC′＋∠AC′C＝ ；
(2)设∠AC′B′＝x，∠ACB＝y，试探索∠CAC′与x，y之间的数量关系，并证明你的结论．
解：(1)由平移，得A′C′∥AC，AA′∥CC′，
∴∠A′＝∠BAC，∠BAC＝∠ACC′，
∴∠A′＝∠ACC′，
∵∠ACC′＋∠CAC′＋∠AC′C＝180°，
∴∠A′＋∠CAC′＋∠AC′C＝180°，
故答案为：AA′∥CC′；180°；
(2)∠CAC′＝x＋y，
证明：过点A作AD∥BC，交CC′于点D，
由平移，得B′C′∥BC，
∴B′C′∥AD∥BC，
∴∠AC′B′＝∠C′AD，∠ACB＝∠DAC，
∴∠CAC′＝∠C′AD＋∠CAD＝∠AC′B′＋∠ACB＝x＋y.
15.[半角模型][2024·潍坊期末]综合与实践：利用旋转解有关图形的计算问题．
图形的旋转不仅是初中数学“图形与几何”领域的重要内容，也是解决平面几何问题的一种解题策略和方法，同时它还是解决问题过程中实现转化思想的一种工具和手段．
思路分析：利用条件AB＝AC，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，如图2，连接DE，再利用DA，DB，DC三边之间的关系，就能方便地求出∠CDA的度数．
请将下面解答过程补充完整．
解：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，则AB与AC重合，D落在E点
的位置，连接DE，如图2.可得∠DAE＝90°，EA＝DA＝ ，
∠EDA＝45°，EC＝DB＝3.
∴DE＝ ；
在△CED中，DE2＋DC2＝ ，EC2＝ ；
∴ ；
∴∠CDE＝ °；
∴∠CDA＝ ＋ ＝ ．
【类比探索】
(2)如图3，在正方形ABCD中，E，F分别在AB，BC上，且∠EDF＝45°，若AE＝2，CF＝5，求EF的长．
【迁移应用】
(3)如图4，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，BC＝DC，若四边形ABCD的面积为8，则AB＋AD的长为多少？请直接写出最后结果．
解：(1)2，9，9，DE2＋DC2＝EC2，90，
∠CDE，∠EDA，135°；
(2)将△CDF绕点D顺时针旋转90°得到△ADH，
则DC与DA重合，点F落在点H的位置，
则∠DAH＝∠C＝∠DAB＝90°，
∴DH＝DF，∠CDF＝∠ADH，AH＝CF，
∠DAH＋∠DAB＝180°，
∴H，A，E在同一条直线上．
(3)如图4，连接AC，将△ABC绕点C旋转90°，则BC与DC重合，点A落在点G处，
∵∠DCB＝∠DAB＝90°，
∴∠CDA＋∠B＝180°，
∵∠B＝∠GDC，
∴∠CDA＋∠GDC＝180°，
∴G，D，A三点共线．(共21张PPT)
12．3　图形的中心对称
第1课时　图形的中心对称(1)
1．[2024·南京期中]若两个图形关于某点成中心对称，则以下结论：①这两个图形一定全等 ②对称点的连线一定经过对称中心　③对应点到对称中心的距离相等　④一定存在某条直线，使沿该直线折叠后的两个图形能互相重合．其中所有正确结论的序号是( )
A．①②　 B．③④
C．①②③　 D．①②③④
2．[2024·厦门期末]如图，直线l是正方形的一条对称轴，l与AB，CD分别交于点M，N，AN，BC的延长线相交于点P，连接BN.下列三角形中，与△NCP成中心对称的是( )
A．△NCB　 B．△BMN
C．△AMN　 D．△NDA
3．[2024·邯郸期末]如图，在正方形网格中，A，B，C，D，E，F，G，H，M，N是网格线交点，若△ABC与△DEF中心对称，则其对称中心是( )
A．点M　 B．点H　
C．点G　 D．点N
4．[2025·威海一模]如图，在正方形网格中，两个阴影部分的三角形关于点O成中心对称的是( )
6．[2025·青岛二模]如图，把图中的△ABC经过一定的变换得到△A1B1C1，如果图中△ABC上的点P的坐标为(a，b)，那么它的对应点P1的坐标为( )
A．(－a－2，b)
B．(－a－2，－b)
C．(－a－1，－b)
D．(－a＋1，b)
7．[2025·青岛期中]如图，△ABC与△ADE关于点A成中心对称，若AB＝2，CD＝5，∠ADE＝90°，则BC的长为( )
A．6 B．4
C．3 D．2
8．[2025·滨州期末]已知点P1(a，－2)与点P2(3，b)关于原点
对称，则(a＋b)2 025＝____．
9．[2025·商洛期末]如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
△BOC与△B1O1C关于点C成中心对称，连接AB1，若AC＝2，AB1＝
5，则O1B1的长度为__．
－1
4
10．[2024·防城港期中]如图，△ABC与△A′B′C关于点C
(0，－1)成中心对称，若点A的坐标为(3，1)，则点A′的坐
标为___________．
(－3，－3)
11．[2025·德州期中]如图，矩形ABCD和矩形A′B′C′D关于
点D中心对称，已知AB＝3，BC＝4，则阴影部分的面积为___．
24
12．如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点中心对称，
已知A，A1，B1三点的坐标分别是(0，5)，(0，1)，(3，1)．
(1)求对称中心的坐标；
(2)写出顶点D，B，D1，C1的坐标．
解：(1)根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是AA1的中点，
∵A，A1的坐标分别为(0，5)，(0，1)，
∴对称中心的坐标是(0，3)；
(2)∵A1，B1的坐标分别为(0，1)，(3，1)，
∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是3，
∴D1，C1的坐标分别是(0，4)，(3，4)．
∵A的坐标是(0，5)，
∴D的坐标是(0，2)，B的坐标是(－3，5)．
综上所述，可得顶点D，B，D1，C1的坐标分别是(0，2)，
(－3，5)，(0，4)，(3，4)．
13．[2024·济南期末]如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，△ABC的顶点都在格点上．
(1)将△ABC向右平移6个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2；
(3)若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，旋转中心的坐标为 ；
(4)以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形且点D是y轴上一点，则点D的坐标是 ．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，△A2B2C2即为所求；
(3)如图，旋转中心的坐标为(－3，0)．
故答案为：(－3，0)；
(4)如图，点D的坐标为(0，6)．
故答案为：(0，6)．
14．如图，A，B为x轴上的两点，以AB为边作矩形ABCD，且A，
C的坐标分别为(－8，0)，(－2，4)，现将矩形ABCD向右平移
4个单位后，再向上平移 个单位得到矩形EFGH.
(1)若a＝4，请求出点H的坐标；
(2)若将矩形ABCD与矩形EFGH理解为关于点P中心对称，且点P的坐标为(－3，m)，求m的值(用含a的式子表示)．(共21张PPT)
第2课时　图形的平移(2)
1．如图，把图1中△ABC经过一定的变换得到图2中的△A′B′C′，如果图2中的△A′B′C′上的一点P′的坐标是(a，b)，那么这个点在图1的△ABC上的对应点P的坐标是( )
A．(a－4，b－2)　
B．(a－4，b＋2)
C．(a＋4，b＋2)　
D．(a＋4，b－2)
2．[2025·济南期中]在平面直角坐标系中，将点E(－2，0)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到点E′，则点E′的坐标是( )
A．(0，4) B．(0，－4)
C．(－4，－4) D．(－4，4)
3．[2025·洛阳期中]如图，在平面直角坐标系中，三角形OAB的顶点A，B的坐标分别为(3，2)，(4，0)，把△OAB沿x轴向右平移得到△CDE，如果点C的坐标为(3，0)，则四边形OADE的面积为( )
A．10 B．11
C．12 D．13
4．[2024·德州期末]△ABC三个顶点的坐标分别为A(2，1)，B(4，3)，C(0，2)，将△ABC平移到了△A′B′C′，其中A′(－1，m＋3)，则C′点的坐标为( )
A．(－3，m＋5)　 B．(2，m＋5)
C．(－3，m＋4)　 D．(－1，m＋4)
5．把点A(m，m－2)先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点B，点B正好落在x轴上，则点B的坐标为( )
A．(－4，0)　 B．(0，0)
C．(4，0)　 D．(0，－4)
6．[2025·烟台期末]四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D
的坐标分别是(－2，b)，(1，b)，(2，b)，(4.5，b)，平移y
轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法
可以是_______________________________________________
_____(写出一种方法即可)．
将灯笼B向左平移5.5个单位或将灯笼D向左平移5.5个
单位
7．[2024·临沂期中]把点A(a＋1，a－1)向左平移4个单位，所
得的点与点A关于y轴对称，则a的值为__.
1
8．[2025·济宁期中]如图，在平面直角坐标系中，菱形AOBC
的顶点B在x轴的正半轴上，点A的坐标为(3，3)，则点C的坐标
为___________．
9．[2024·滨州期末]如图，△A′B′C′是由△ABC经过某种平移得到的，点A与点A′，点B与点B′，点C与点C′分别对应，且这六个点都在格点上，观察各点以及各点坐标之间的关系，解答下列问题：
(1)分别写出点B和点B′的坐标，并说明△A′B′C′是由△ABC经过怎样的平移得到的；
(2)若点M(a＋1，2b－5)是△ABC内一点，它随△ABC按(1)中方式平移后得到的对应点为点N(2a－7，4＋b)，求a和b的值；
(3)连接BC′，直接写出∠CBC′与∠B′C′O之间的数量关系 ．
解：(1)由所给图形可知，
点B的坐标为(2，1)，
点B′的坐标为(－1，－2)，
∴2－(－1)＝3，
1－(－2)＝3，
则△A′B′C′是由△ABC先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度得到(或先向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度得到)．
(2)∵点M是△ABC内一点，
∴平移后点M对应点的坐标可表示为(a＋1－3，2b－5－3)，
∵平移后点M对应点N的坐标为(2a－7，4＋b)，
∴a＋1－3＝2a－7，
2b－5－3＝4＋b，
解得a＝5，b＝12；
(3)由平移可知，BC∥B′C′，
∴∠CBC′＝∠B′C′B．
∵∠B′C′B＝∠B′C′O＋∠BC′O＝∠B′C′O＋90°，
∴∠CBC′＝∠B′C′O＋90°.
故答案为：∠CBC′＝∠B′C′O＋90°.
10．[2025·青岛期中]如图，在平面直角坐标系中，△OAB是
等腰直角三角形，∠OAB＝90°，AO＝AB，B的坐标为(2，0)，
点A在第一象限内，将△OAB沿O到A的方向平移6个单位至
△O′A′B′的位置，则点B′的坐标为______________．
11．[2024·枣庄期末]阅读材料：对于平面直角坐标系xOy中的图形G和图形G上的任意点P(x，y)，给出如下定义：将点P(x，y)平移到P′(x＋t，y－t)称为将点P进行“t型平移”，点P′称为将点P进行“t型平移”的对应点；将图形G上的所有点进行“t型平移”称为将图形G进行“t型平移”．例如：将点P(x，y)平移到P′(x＋1，y－1)称为将点P进行“1型平移”，将点P(x，y)平移到P′(x－1，y＋1)称为将点P进行“－1型平移”．已知点A(1，1)和点B(3，1)．
(1)将点A(1，1)进行“1型平移”后的对应点A′的坐标为 ；
(2)将线段AB进行“－1型平移”后得到线段A1B1，点P1(2，3)，
P2(1.5，2)，P3(3，0)中，在线段A1B1上的点是_____；
(3)若线段AB进行“t型平移”后与坐标轴有公共点，求t的取
值范围．
解：(1)(2，0)；
(2)∵A(1，1)，B(3，1)，t＝－1，
∴将线段AB进行“－1型平移”
后得到线段A1B1，A1(0，2)，B1(2，2)，
在网格中画出线段A1B1如图，
∴线段A1B1上的点纵坐标都为2，
∵点P1(2，3)，
P2(1.5，2)，
P3(3，0)，
∴在线段A1B1上的点是P2(1.5，2)，
故答案为：P2(1.5，2)；
②当平移后与x轴相交，则1－t＝0，
解得t＝1，
综上所述，t的取值范围是－3≤t≤－1或t＝1.(共19张PPT)
第2课时　图形的中心对称(2)
1．[2025·聊城三模]数学是我国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
2．[2023·德州期中]如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为5，则阴影部分的面积为( )
A．8 B．10
C．15 D．30
3．[2025·烟台期末]如图，AB∥CD∥EF，AF∥ED∥BC，若画一条直线MN将这个图形分成面积相等的两个部分，则下列画法不一定正确的是( )
4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为(2，0)，(0，2)，(－2，0)．一个电动玩具从原点O出发，第一次跳跃到点P1，使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称…电动玩具照此规律跳下去，则点P2 025的坐标是( )
A．(－4，0)　
B．(4，0)
C．(－4，4)　
D．(0，－4)
解析：由题意，得点P1(4，0)，P2(－4，4)，P3(0，－4)，P4(4，4)，P5(－4，0)，P6(0，0)，P7(4，0)，
∴点P的坐标的变化规律是6次一个循环，
∵2 025÷6＝337……3，
∴点P2 025的坐标是(0，－4)．
5．[2024·淄博期中]如图，菱形ABCD的对角线交点是坐标原
点O，已知点A(－2，3)，则点C的坐标为_________．
(2，－3)
6．图1和图2中所有的小正方形都全等，将图1的正方形放在图2
中①②③④的某一位置，使它与原来7个小正方形组成的图形是
中心对称图形，这个位置是___．
③
7．[2024·咸阳三模]如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6，BC
＝8，线段EF与线段MN分别过平行四边形ABCD的对称中心O，且
将平行四边形ABCD分成面积相等的四份，若AM＝2，则BE＝___．
8．[2024·菏泽期末]如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角
线的交点，菱形的两条对角线的长分别为6和8，则阴影部分的
面积为___．
12
9．[2024·临沂期末]认真观察图中阴影部分构成的图案，回答下列问题．
(1)请你写出这四个图案都具有的三个共同特征；
(2)请在下面所给的两个网格纸中分别设计出一个图案(用阴影表示)，使它也具备你所写出的上述三个特征．
解：(1)特征1：都是轴对称图形；特征2：都是中心对称图形；特征3：这些阴影图案的面积都等于4个小正方形的面积；
(2)满足条件的图案有很多，这里画三个，三个都具有上述特征，如图所示：
10．[2025·淄博期末]如图是由边长为1的小等边三角形构成
的网格，其中有3个小等边三角形已涂上阴影，请在余下的空
白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三
角形组成一个中心对称图形．满足条件的小等边三角形有__个．
2
11.[培素养][2024·枣庄期中]【问题探究】
(1)如何用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分？我们知道圆和长方形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形， 的直线将它分成面积相等的两部分．
(2)图2是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线EF将图2的阴影部分分成面积相等的两部分．(不写画图过程，保留画图痕迹)
【总结规律】
(3)由两个中心对称图形组合成的图形， 的直线将它分成面积相等的两部分．
【拓展应用】
(4)如图3是一块农田的平面图，要分给两户村民种植(分成面积相等的两部分)，请你帮助他们用一条直线MN分开．(不写画图过程，保留画图痕迹)
解：(1)经过对称中心；
(2)如图，直线OJ即为所求；
(3)经过两个中心对称图形的对称中心；
(4)如图，直线OO′即为所求．(共24张PPT)
第12章 图形的平移与旋转
12．1　图形的平移
第1课时　图形的平移(1)
1．[2025·期中]第42届潍坊国际风筝会将于2025年4
月19日盛大开幕．风筝为中国人发明，相传墨翟以木
头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源，
后来其学生鲁班用竹子改进．风筝有祈福的寓意，如
图是一种风筝的示意图，在下面的四个图中，能由示意图经过平移
得到的是( )
2．[2025·济宁期末]如图，将长为5 cm，宽为3 cm的长方形ABCD先
向右平移2 cm，再向下平移1 cm，得到长方形A′B′C′D′，则阴
影部分的面积为( )
A．6 cm2 B．9 cm2
C．12 cm2 D．18 cm2
3．[2024·临沂期中]如图，将Rt△ABC沿斜边AC的方向平移到
△DEF的位置，DE交BC于点G，BG＝2，EF＝5，△BEG的面积为1，
下列结论：①∠A＝∠BED ②△ABC平移的距离是2 ③BE＝CF
④四边形GCFE的面积为4.其中正确的有( )
A．②③　 B．①②③
C．①③④　 D．①②③④
解析：如图，作E关于AB的对称点E′，
连接E′A，E′F，将CG向左平移两个单位，
使C到达C′点，由FG＝2可知G落在F点，
∴EF＋CG＝E′F＋C′F≥E′C′，
∴当E′、F、C′三点共线时，
EF＋CG取得最小值，最小值为E′C′；
6．[2024·青岛期末]中山公园有很多长方形草地，草地里修
了很多有趣的小路，如图，长方形草地ABCD长为50米，宽为30
米，非阴影部分为1米宽的小路，沿着小路的中间从入口E处走
到出口F处，所走的路线(图中虚线)长为______．
108米
7．[2025·济南期中]如图，将周长为10 cm的△ABC沿射线BC
方向平移3 cm后得到△DEF，则四边形ABFD的周长为___cm.
16
8．[2024·滨州期末]如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点都在正方形顶点上，将△ABC先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到△A′B′C′.
(1)请你画出平移后的△A′B′C′；
(2)AB与A′B′的关系为______；
(3)△A′B′C′的面积为______．
解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
(2)AB∥A′B′且AB＝A′B′；
9．[2024·潍坊期末]如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝ ，
AC＝4，点D为AC的中点，连接BD，将△ABC沿射线BD的方向平
移，使平移的距离等于线段BD的长，得到△EDF，连接BE.
(1)求平移过程中△ABC扫过的图形的面积；
(2)求证：AC垂直平分BE.
10．[2025·青岛期中]如图1，已知△ABC是等边三角形，AB＝8，点D是AC边的中点，以AD为边，在△ABC外部作等边△ADE，将△ADE从图1的位置开始，沿射线AC方向平移，点A，D，E的对应点分别为点A′，D′，E′.
(1)如图2，点F是BC的中点，在△ADE平移过程中，连接E′F交射线AC于点O，求证：OE′＝OF；
(2)如图3，图中画出了BA′＝BD′时的情形，求此时△ADE平移的距离；
(3)在△ADE平移的过程中，当以F，D′，E′为顶点的三角形满足∠FE′D′为直角时，则△ADE平移的距离为 ．
解：(1)证明：∵△ADE是等边三角形，AD＝4，
∴∠DAE＝60°，AE＝4，
∵将△ADE从图1的位置开始，沿射线AC方向平移，点A，D，E的对应点分别为点A′，D′，E′，
∴∠D′A′E′＝∠DAE＝60°，
A′E′＝4，
∵△ABC是等边三角形，AB＝8，点F是BC的中点，
∴∠ACB＝60°，CF＝ BC＝4，
∴∠D′A′E′＝∠ACB＝60°，A′E′＝CF＝4，
∵∠A′OE′＝∠COF，
∴△A′OE′≌△COF(AAS)，
∴OE′＝OF；
(2)连接BD，如图1所示：
∵△ABC是等边三角形，AB＝8，点D是AC边的中点，
∴AD＝CD＝4，BD⊥AC，
∵将△ADE从图1的位置开始，沿射线AC方向平移，点A，D，E的对应点分别为点A′，D′，E′，∴A′D′＝AD＝4，
∵BA′＝BD′，BD⊥AC，
∴DD′＝A′D＝ A′D′＝2，
∴△ADE平移的距离为2；
(3)如图2所示：
∵∠FE′D′＝90°，∠A′E′D′＝∠E′A′D′＝60°，
∴∠A′E′O＝∠D′E′F－∠A′E′D′＝30°，
∴∠A′OE′＝∠D′A′E′－∠A′E′O＝30°，
即∠A′E′O＝∠A′OE′，
∴A′O＝A′E′＝4，
∵∠FCO＝180°－∠BCA＝120°，
∠OA′E′＝180°－∠E′A′D′＝120°，
∴∠OA′E′＝∠FCO，
又∵∠A′OE′＝∠COF，
∴△A′OE′≌△COF(AAS)，
∴CO＝A′O＝4，
∴DD′＝CD＋CO＋A′O＋A′D′＝4＋4＋4＋4＝16，
∴△ADE平移的距离是16.

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