资源简介

(共53张PPT)
第一课时　等比数列的概念及通项公式
1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念（数学抽象）.
2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程（逻辑推理、数学运算）.
3.能应用等比数列通项公式进行简单运算（数学运算）.
课标要求
我国古代数学名著《孙子算经》中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”其构成一个数列：9，92，93，…，98.这就是今天我们要探讨的等比数列.
情境导入
知识点一　等比数列的概念
01
知识点二　等比中项
02
知识点三　等比数列的通项公式
03
课时作业
04
目录
知识点一
等比数列的概念
01
PART
问题1　观察下面三个问题中的数列，回答后面的问题：
①你吃过拉面吗？拉面馆的师傅将一根很粗的面条拉抻、捏合、再拉抻、
再捏合，如此反复几次，就拉成了许多根细面条，其面条根数依次是1，
2，4，8，16，32，64，128，…；
②《庄子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭，”这句话
中隐藏着一列数： ， ， ， ， ，…；
③－ 的n次幂按1次幂，2次幂，3次幂，…，依次排成一列数：－ ， ，
－ ， ，….
类比等差数列的研究，你认为可以通过怎样的运算发现以上数列的取值规
律？你发现了什么规律？
提示：通过除法运算探究以上数列的取值规律.对于① ＝2，…；对于②
＝ ，…；对于③ ＝－ ，….其规律为从第2项开始，后一项与它的前
一项的比都等于同一个常数.
【知识梳理】
1. 概念：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的 一
项的 都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常
数叫做等比数列的 ，公比通常用字母q表示（显然q≠0）.
2. 符号表示： ＝q（n∈N*且n≥2）或 ＝q（n∈N*）.
提醒：公比q可正，可负，但不能为0，它是一个与n无关的非零常数.
2　
前　
比　
同一个　
公比　
【例1】　（链接教材P31练习1题）判断下列数列是不是等比数列，如果
是，写出它的公比.
（1）1， ， ， ， ，…；
解：不是等比数列.
（2）10，10，10，10，10，…；
解：是等比数列，公比为1.
（3） ，（ ）2，（ ）3，（ ）4，…；
解：是等比数列，公比为 .
（4）1，0，1，0，1，0，…；
解：不是等比数列.
（5）1，－4，16，－64，256，….
解：是等比数列，公比为－4.
【规律方法】
判断一个数列是否为等比数列的方法
定义法：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一
个常数，那么这个数列是等比数列，否则，不是等比数列，且等比数列中
任意一项不能为0，对于含参的数列需要分类讨论.
训练1　〔多选〕以下条件中，不能判定数列是等比数列的有（　　）
A. 数列1，2，6，18，…
B. 数列{an}满足 ＝2， ＝2
C. 常数列a，a，…，a，…
D. 数列{an}中， ＝q（q≠0），其中n∈N*
解析：　A中， ≠ ，不符合等比数列的定义，故不是等比数
列；B中，前3项是等比数列，多于3项时，无法判定，故不能判定是等
比数列；C中，当a＝0时，不是等比数列；D中，符合等比数列的定
义，是等比数列.
ABC
知识点二
等比中项
02
PART
问题2　任意两个实数都有等差中项，那么，任意两个数都有等比中项
吗？
提示：不一定，首先，0不能出现在等比数列中，就没有任意性；其次，
假设－1，x，1这三个数成等比数列，则根据定义会有 ＝ ，即x2＝－
1，该方程无实数解，故符号不同的两个实数无等比中项.
【知识梳理】
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a
与b的等比中项.此时，G2＝ .
　　提醒：（1）若G2＝ab，则a，G，b不一定成等比数列；（2）只有
同号的两个实数才有等比中项；（3）若两个实数有等比中项，则一定有
两个，它们互为相反数.
ab　
【例2】　（1） －2和 ＋2的等差中项与等比中项分别为（　C　）
A. ，±2 B. 2，±
C. ，±1 D. 1，±
解析： －2和 ＋2的等差中项为 ＝ ， －2
和 ＋2的等比中项为± ＝±1.
C
（2）若数列1，a，b，c，9是等比数列，则实数b＝ .
解析：因为数列1，a，b，c，9是等比数列，所以b2＝1×9，解得b＝3
或b＝－3，当b＝－3时，不满足1×b＝a2，故舍去；当b＝3时，经检验
符合题意，所以b＝3.
3　
【规律方法】
在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它
的前一项和后一项的等比中项.
训练2　（1）已知等比数列{an}中的前三项为a，2a＋2，3a＋3，则实
数a＝ ；
解析：由题意知（2a＋2）2＝a（3a＋3），解得a＝－1或a＝－4.当a＝
－1时，第二、三项均为零，故a＝－1应舍去，综上，a＝－4.
（2）在等差数列{an}中，a3＝0.如果ak是a6与 的等比中项，那么k
＝ .
解析：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），由题意得a3＝a1＋2d＝0，
∴a1＝－2d.又∵ak是a6与 的等比中项，∴ ＝a6 ，即[a1＋
（k－1）d]2＝（a1＋5d）·[a1＋（k＋5）d]，[（k－3）d]2＝
3d·（k＋3）d，解得k＝9或k＝0（舍去）.
－4
9
知识点三
等比数列的通项公式
03
PART
问题3　类比等差数列，你能根据等比数列的定义推导它的通项公式吗？
提示：设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由等比数列的定义可知
＝q（n∈N*且n≥2）.
法一　an＝ × ×…× × ×a1＝q×q×…×q×q×a1＝
a1 ，当n＝1时，上式也成立.
法二　a2＝a1q，a3＝a2q＝（a1q）q＝a1q2，a4＝a3q＝（a1q2）q＝
a1q3，……
由此可得an＝a1 （n≥2），当n＝1时，上式也成立.
【知识梳理】
首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式为an＝ .
a1qn－1　
【例3】　（链接教材P29例1）在等比数列{an}中.
（1）a5＝8，a7＝2，an＞0，求an；
（1）因为 所以
由 得q2＝ ，因为an＞0，所以q＝ ，a1＝128，所以an＝a1· ＝
128×（ ＝（ .
解：设数列{an}的公比为q.
（2）an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
解： a1＝ ＝ ＝5，
解得a1＝5.
（3）a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
解：因为
由 得q＝ ，所以a1＝32.又an＝1，所以32×（ ＝1，即26－n＝
20，解得n＝6.
【规律方法】
等比数列的通项公式涉及4个量a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就
能求出另外一个，在这四个量中，a1和q是等比数列的基本量，只要求出
这两个基本量，问题便迎刃而解.
训练3　（1）在等比数列{an}中，a2＋a4＝1，a6＋a8＝9，则a2＝
（　A　）
A. B.
C. D. 4
解析：由题得 解得q2＝3，∴q＝ 或q＝－ .当q
＝ 时，a1＝ ；当q＝－ 时，a1＝－ .∴a2＝a1q＝ .
A
（2）设数列{an}是各项均为正数的等比数列，a3＝8，a4＋a5＝48，则数
列{an}的通项公式为 .
解析：设等比数列的公比为q（q＞0），因为a3＝8，a4＋a5＝48，所以
则q2＋q－6＝0，所以（q－2）（q＋3）＝0，解得
q＝2或q＝－3（舍去），所以a1＝2，所以an＝a1qn－1＝2n.
an＝2n
1. 下列数列为等比数列的是（　　）
A. 2，22，3×22，…
B. ， ， ，…
C. s－1，（s－1）2，（s－1）3，…
D. 0，0，0，…
解析：　A项不满足定义，C项可为0，D项不符合定义.故选B.
√
2. 数列{an}是等比数列，a5＝4，a9＝16，则a7＝（　　）
A. 8 B. ±8
C. －8 D. 1
解析：　a5＝a1q4＝4，a9＝a1q8＝16，两式相比得q4＝4，q2＝2，a7＝
a1q6＝a1q4·q2＝a5q2＝4×2＝8.
√
3. 在等比数列{an}中，a1＝ ，q＝2，则a4与a8的等比中项为 .
解析：a4＝a1q3＝ ×23＝1，a8＝a1q7＝ ×27＝16，∴a4与a8的等比中项
为± ＝±4.
4. 在等比数列{an}中.
（1）已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n；
解：∵an＝a1·qn－1＝128，a1＝4，q＝2，
∴4·2n－1＝128，
∴2n－1＝32，
∴n－1＝5，n＝6.
±4
（2）已知a1＝2，a3＝8，求公比q和通项公式.
解：∵a3＝a1·q2，即8＝2q2，
∴q2＝4，
∴q＝±2.
当q＝2时，an＝a1qn－1＝2·2n－1＝2n，
当q＝－2时，an＝a1qn－1＝2·（－2）n－1＝（－1）n－12n.
课堂小结
1. 理清单
（1）等比数列的概念；
（2）等比中项；
（3）等比数列的通项公式.
2. 应体会
在进行等比数列的基本运算时，要注意方程思想的应用.
3. 避易错
x，G，y成等比数列 G2＝xy，但G2＝xy / x，G，y成等比数列.
课时作业
04
PART
1. 在数列{an}中，an＋1＝2an，且a1＝1，则a4＝（　　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
解析：　因为an＋1＝2an，a1＝1，所以{an}为公比为2的等比数列，所以
a4＝a1·23＝8，故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
√
2. 已知a是1，2的等差中项，b是－1，－16的等比中项，则ab＝
（　　）
A. 6 B. －6
C. ±6 D. ±12
解析：　∵a＝ ＝ ，b2＝（－1）×（－16）＝16，b＝±4，∴ab
＝±6.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 在等比数列{an}中，满足2a4＝a6－a5，则公比是（　　）
A. 1 B. 1或－2
C. －1或2 D. －1或－2
解析：　法一　由已知得2a1·q3＝a1·q5－a1·q4，即2＝q2－q，所以
q＝－1或q＝2.故选C.
√
法二　因为a5＝a4q，a6＝a4·q2，所以由已知条件得2a4＝a4·q2－
a4·q，即2＝q2－q，所以q＝－1或q＝2.故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 已知等差数列{an}的公差为1，且a2，a4，a7成等比数列，则an＝
（　　）
A. 2n＋1 B. 2n＋2
C. n＋1 D. n＋2
解析：　因为a2，a4，a7成等比数列，故 ＝a2a7，又因为等差数列
{an}的公差为1，即（a1＋3）2＝（a1＋1）（a1＋6），解得a1＝3，所以
an＝a1＋（n－1）d＝n＋2.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 一个各项均为正数的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之
和，则公比q＝（　　）
A. B. －1 C. D.
解析：　由题意得an＝an＋1＋an＋2，所以1＝q＋q2，即q2＋q－1＝0，
解得q＝ 或q＝ （舍去）.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕已知正项等比数列{an}满足a1＝2，a4＝2a2＋a3，若设其公比
为q，则（　　）
A. q＝2 B. an＝2n
C. 18是数列中的项 D. an＋an＋1＜an＋2
解析： 由题意可得2q3＝4q＋2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2（负
值舍去），选项A正确；an＝2×2n－1＝2n，选项B正确，C错误；an＋an＋
1＝3an，而an＋2＝4an＞3an，选项D正确.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 〔多选〕已知不等式x2－5x－6＜0的解集中有三个整数解，构成等比数
列{an}的前三项，则数列{an}的第4项可能是（　　）
A. B. 2 C. 4 D. 8
解析： 不等式x2－5x－6＜0的解集为{x｜－1＜x＜6}，其中成等比
数列的三个整数为1，2，4，若数列前三项为1，2，4，则第4项为8，若数
列前三项为4，2，1，则第4项为 .
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 若数列{an}是等比数列，且an＝3n－1＋a－2，则a＝ .
解析：由题意可得，a1＝a－1，a2＝a＋1，a3＝a＋7，所以 ＝ ，
解得a＝2.
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列的通项公式an＝
.
解析：设数列{an}的公比为q，则q＝3，由已知可得a3＜1，∴9a1＜1，
∴a1＜ ，故a1可取 ，故满足条件的等比数列的通项公式可能为an＝
×3n－1.
×3n
－1（答案不唯一）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. （1）若等比数列{an}的首项a1＝ ，末项an＝ ，公比q＝ ，求项
数n；
解： 由an＝a1·qn－1，得 ＝ ×（ ）n－1，
即（ ）n－1＝（ ）3，解得n＝4.
（2）若等比数列{an}中，an＋4＝a4，求公比q.
解： ∵an＋4＝a1qn＋3，a4＝a1q3，
又an＋4＝a4，∴qn＝1，
∴当n为偶数时，q＝±1；当n为奇数时，q＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 设数列{an}的每一项都不为零，且 ＝an·a2对任意n∈N*都成
立，若a3＝3，则a7＝（　　）
A. 12 B. 20
C. 27 D. 30
解析：　令n＝1，则a2＝a1a2，∵a2≠0，∴a1＝1.由 ＝an·a2得
＝a2，故{an}是首项为1，公比为a2的等比数列，故 ＝a1a3＝3，解
得a2＝± .则a7＝a3（a2）4＝3×（± ）4＝27.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 〔多选〕在数列{an}中，如果对任意n∈N*都有 ＝k（k为常
数），则称{an}为等差比数列，k称为公差比.下列说法正确的是（　　）
A. 等差数列一定是等差比数列
B. 等差比数列的公差比一定不为0
C. 若an＝－3n＋2，则数列{an}是等差比数列
D. 若等比数列是等差比数列，则其公比等于公差比
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析： 　对于等差数列{an}，考虑an＝1，an＋1＝1，an＋2＝1，
无意义，故A错误；若等差比数列的公差比为0， ＝0，
则an＋2－an＋1＝0，则an＋1－an＝0与题目矛盾，故B正确；若an＝－3n＋
2，则 ＝ ＝ ＝3，数列{an}是等差比数列，故
C正确；若等比数列是等差比数列，则an＝a1qn－1，q≠1， ＝
＝ ＝q，故D正确.故选B、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 如图给出了一个“三角形数阵”，已知每一列数成等差数列，从第三
行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，记第i行第j列的
数为aij（i，j∈N*），则a53＝ .
…

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：第一列数构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以a51＝ ＋（5－
1）× ＝ .又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都
相等，所以第5行构成首项为 ，公比为 的等比数列，所以a53＝ ×
（ ）2＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1， －（2an＋1－1）an－2an
＋1＝0.
（1）求a2，a3；
解： 由题意得a2＝ ，a3＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）求{an}的通项公式.
解： 由 －（2an＋1－1）an－2an＋1＝0，
得2an＋1（an＋1）＝an（an＋1）.
因为{an}的各项都为正数，
所以an＋1≠0，所以 ＝ .
故{an}是首项为1，公比为 的等比数列，
因此an＝ （n∈N*）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知无穷数列1 ，1 ，…，1 ，…，求证：
（1）这个数列是等比数列；
证明： 任取数列中的相邻两项an＝1 ，an＋1＝1 ，
则 ＝ ＝1 ，且a1＝1 ＝1≠0.
由等比数列定义可知这个数列为等比数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）这个数列中的任一项是其后第5项的 ；
证明： 任取数列中的一项am＝1 ，
则其后第5项应为am＋5＝1 .
则 ＝ ＝1 ＝10－1＝ ，得证.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（3）数列中任两项之积仍为数列中的项.
证明：任取数列中两项 ＝1 ， ＝1 ，
则 ＝1 ·1 ＝1 .
∵n1≥1，n2≥1，且n1，n2∈N*，n1≠n2，
∴n1＋n2－2＞0，且n1＋n2－2∈N*，
∴ 符合已知数列中的项的特征，
即 为数列中的项.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑