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(共54张PPT)
第一课时　等比数列的前n项和公式
1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路（逻辑推理、数学运算）.
2.会用等比数列的前n项和公式解决有关等比数列的一些简单问题（数学运算）.
课标要求
　　如图所示，如果一个人得到某个信息之后，
就将这个信息传给3个不同的好友（称为第1轮
传播），每个好友收到信息后，又都传给了3个
不同的好友（称为第2轮传播），……，依此下
去，假设信息在传播的过程中都是传给不同的人，则每一轮传播后，信息传播的人数就构成了一个等比数列：1，3，9，27，81，….
　　如果信息按照上述方式共传播了20轮，那么你能求出知晓这个信息的人数吗？这就是这节课我们要学习的内容.
情境导入
知识点一　等比数列前n项和公式
01
知识点二　利用等比数列前n项和公式求基本量
02
知识点三　利用等比数列前n项和公式判断等比数列
03
课时作业
04
目录
知识点一
等比数列前n项和公式
01
PART
问题1　若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n
项的和？
提示：法一 因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn
－1＋a1qn，
发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即（1－q）Sn＝a1（1－qn），当q≠1时，有Sn＝ ，而当q＝1
时，Sn＝na1.
法二 当q≠1时，由等比数列的定义得 ＝ ＝…＝ ＝q，
根据等比数列的性质，有 ＝ ＝q （1－q）Sn＝a1
－anq，
所以当q≠1时，Sn＝ .
法三 Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q（a1＋a2＋…＋an－1），
所以有Sn＝a1＋qSn－1 Sn＝a1＋q（Sn－an） （1－q）Sn＝a1－anq，
所以当q≠1时，Sn＝ ＝ .
【知识梳理】
已知量 首项a1与公比q 首项a1，末项an与公比q
公式 Sn＝ Sn＝
　　提醒：求等比数列的前n项和，需对公比分q＝1与q≠1两种情况进行
讨论，当q＝1时，应利用公式Sn＝na1求和.
（1） ， ， ，…；
解： 因为a1＝ ，a2＝ ，可得q＝ ，
所以S8＝ ＝ .
【例1】 求下列等比数列前8项的和：
（2）a1＝27，a9＝ ，q＜0.
解：由a1＝27，a9＝ ，可得 ＝27·q8.
又由q＜0，可得q＝－ ，
所以S8＝ ＝ ＝ ＝ .
【规律方法】
求等比数列的前n项和，要确定首项、公比或首项、末项、公比，注意公
比q＝1是否成立.
训练1　（1）在等比数列{an}中，a1＝2，q＝3，则S3＝ ；
解析： S3＝ ＝26.
（2）数列{（－1）n}的前100项的和S100＝ .
解析：法一 a1＝（－1）1＝－1，q＝－1.∴S100＝ ＝0.
法二 数列{（－1）n}为－1，1，－1，1，…，∴S100＝50×（－1＋
1）＝0.
26　
0
知识点二
利用等比数列前n项和公式求基本量
02
PART
【例2】 （链接教材P35例7）在等比数列{an}中.
（1）若a1＋a3＝10，a4＋a6＝ ，求S5；
解：由题意知 解得 从而S5＝
＝ .
（2）若a1＝ ，an＝16 ，Sn＝11 ，求n和q；
解：由Sn＝ 得11 ＝ ，解得q＝－2，又由an＝a1qn－1
得，16 ＝ （－2）n－1，解得n＝5.
（3）若a2＝1，a4＝ ，且an＞0，求S10－S5.
解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0），
由a4＝a2q2，得q2＝ ，解得q＝ 或q＝－ （舍去），则a1＝ ＝2，所
以S10－S5＝ － ＝ .
【规律方法】
与等比数列前n项和公式有关的基本量的求解
（1）在等比数列前n项和公式中，共可涉及五个量：a1，an，n，q，
Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来
解答；
（2）在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判
断，若两种情况都有可能，则要分类讨论.
训练2　（1）在14与 之间插入n个数，组成所有项的和为 的等比数
列，则此数列的项数为 ；
解析：设此数列的公比为q（易知q≠1），则 解得
故此数列共有5项.
5
（2）在等比数列{an}中，S3＝ ，S6＝ ，求an.
解：设等比数列{an}的公比为q.
由已知条件知S6≠2S3，则q≠1.
由S3＝ ，S6＝ ，得
②÷①，得1＋q3＝9，∴q＝2.
将q＝2代入①，解得a1＝ .
因此an＝a1qn－1＝2n－2.
知识点三
利用等比数列前n项和公式判断等比数列
03
PART
问题2　你能发现等比数列前n项和公式Sn＝ （q≠1）的函数
特征吗？
提示：Sn＝ ＝－ qn＋ ，设A＝－ ，则Sn＝Aqn－A.
【知识梳理】
等比数列前n项和公式的函数特征
（1）当公比q≠1时，设A＝ ，等比数列的前n项和公式是Sn＝A（qn
－1），即Sn是n的指数型函数；
（2）当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝ ，Sn是n的正比例函
数.
　　提醒：（1）Sn＝Aqn－A（q≠1）时，{an}是首项为（Aq－A），
公比为q的等比数列；（2）当q≠1时，qn的系数与常数项互为相反数.
na1　
【例3】 数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}
是否是等比数列.
解：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n－2）－（3n－1－2）＝2·3n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不适合上式.所以an＝
法一 由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}
不是等比数列.
法二 由等比数列的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A
＝－B，对比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比数列.
【规律方法】
1. 已知Sn，通过an＝ 求通项公式an，应特别注意当
n≥2时，an＝Sn－Sn－1，需验证当n＝1时是否满足此式.
2. 若数列{an}的前n项和Sn＝A（qn－1），其中A≠0，q≠0且q≠1，
则{an}是等比数列.
训练3　（1）若数列{an}的前n项和Sn＝tn－1（t∈R），则此数列是
（　D　）
A. 等差数列 B. 等比数列
C. 等差数列或等比数列 D. 以上说法均不对
解析：当n＝1时，a1＝S1＝t－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝
tn－1（t－1），当t＝1时，an＝0，所以{an}是等差数列；当t＝0时，{an}
为非等差数列，非等比数列；当t≠1，且t≠0时，an＝tn－1（t－1），所
以{an}是等比数列.
D
（2）等比数列{an}的前n项和Sn＝m·4n－1＋t（其中m，t为常数且
mt≠0），则 ＝ .
解析：法一 a1＝S1＝m＋t，a2＝S2－S1＝3m，a3＝S3－S2＝12m，因为
{an}为等比数列，则 ＝a1a3，所以9m2＝12m（m＋t），即m＝－
4t，故 ＝－4.
法二 Sn＝m·4n－1＋t＝ m·4n＋t，因为{an}是等比数列，故 m＝－
t，则 ＝－4.
－4
1. 等比数列1，x，x2，x3，…的前n项和Sn＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　当x＝1时，Sn＝n；当x≠1且x≠0时，Sn＝ .
√
2. 已知等比数列{an}中，a1＝2，q＝2，前n项和Sn＝126，则n＝
（　　）
A. 9 B. 8
C. 7 D. 6
解析：　由等比数列前n项和公式，知 ＝2n＋1－2＝126，n＝
6，故选D.
√
3. 若数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k
＝ .
解析：∵Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}为等比数列，∴3－2k＝0，
即k＝ .

4. 设等比数列{an}的前n项和为Sn，其公比q为实数，若S3＋S6＝2S9，则
q＝ .
解析：由S3＋S6＝2S9得（a1＋a2＋a3）＋（a1＋a2＋a3＋…＋a6）＝2
（a1＋a2＋a3＋…＋a9），即（a4＋a5＋a6）＋2（a7＋a8＋a9）＝0，所
以a1q3（1＋q＋q2）＋2a1q6（1＋q＋q2）＝0，即a1q3（1＋2q3）（1＋q
＋q2）＝0.又因为a1≠0，q为非零的实数，所以1＋2q3＝0，求得q＝－
.
－
课堂小结
1. 理清单
（1）等比数列的前n项和公式；
（2）等比数列前n项和公式的基本运算；
（3）等比数列前n项和公式的结构特点.
2. 应体会
（1）等比数列前n项和公式的推导应用了错位相减法；
（2）利用等比数列的前n项和公式判断数列{an}是等比数列时，利用了分
类讨论思想.
3. 避易错
（1）等比数列前n项和公式中项数的判断易出错；
（2）应用等比数列前n项和公式时，易忘记对公比是否为1进行讨论.
课时作业
04
PART
1. 在等比数列{an}中，若a1＝1，a4＝ ，则该数列的前10项和S10＝
（　　）
A. 2－ B. 2－
C. 2－ D. 2－
解析：　易知公比q＝ ，则S10＝ ＝2－ .
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2. 等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝15，a3＝5，则公比q＝（　　）
A. － B. 1
C. － 或1 D. 或1
解析：　当q≠1时，∵S3＝15，a3＝5，∴ 解得q＝
－ .当q＝1时，{an}为各项均为5的常数列，符合题意.
√
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3. 在递增等比数列{an}中，a1＋an＝34，a2an－1＝64，且前n项和Sn＝
62，则项数n＝（　　）
A. 4 B. 5
C. 6 D. 7
解析：　因为{an}是递增等比数列，所以a1an＝a2an－1＝64.由
可得 可得Sn＝ ＝ ＝62，解得q＝2.
由an＝2×2n－1＝2n＝32，可得n＝5.
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4. 在等比数列{an}中，若Sn＝a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则 ＋ ＋…
＋ ＝（　　）
A. （2n－1）2 B. （2n－1）
解析：在数列{an}中有Sn＝2n－1，an＝Sn－Sn－1＝（2n－1）－（2n－1－1）＝2n－1（n≥2），a1＝1， ＝22（n－1）（n≥2）， ＝1， ＝ ＝22＝4（n≥2），∴ ＋ ＋…＋ ＝ ＝ （4n－1）.
√
C. 4n－1 D. （4n－1）
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5. 数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，
则k＝（　　）
A. 2 B. 3
C. 4 D. 5
解析：　∵an＋1＝2an，∴ ＝2，又a1＝2，∴数列{an}是以2为首
项，2为公比的等比数列，则an＝2×2n－1＝2n，ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝
＝ ＝2k＋1（210－1）＝25（210－1），∴2k
＋1＝25，则k＋1＝5，解得k＝4.
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6. 〔多选〕已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1≠a2，
a3a4＝2a1，a3－a2＝2（a4－a3），则下列结论正确的是（　　）
A. q＝ B. a7＝2
解析： 因为等比数列{an}中，a1≠a2，所以q≠1，因为a3·a4＝
2a1，a3－a2＝2（a4－a3）＝2q（a3－a2），所以 q5＝2a1，且2q＝1，
即q＝ ，A正确；所以a1＝64，a7＝64×（ ）6＝1，B错误；a8＝a1q7＝
64×（ ）7＝ ，C错误；S6＝ ＝126，D正确.故选A、D.
√
√
C. a8＝8 D. S6＝126
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7. 〔多选〕设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5＝0，则下列式子
中数值确定的是（　　）
A. B.
C. D.
解析：由8a2＋a5＝0得8a2＋a2q3＝0，∵a2≠0，∴q3＝－8，∴q＝－2.A中， ＝q2＝4；B中， ＝ ＝ ＝ ；C中， ＝ ＝ ＝ ；D中， ＝ 与n有关，不确定.故选A、B、C.
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8. 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，2Sn＝an＋1－1，则Sn
＝ .
解析：当n＝1时，则有2S1＝a2－1，所以a2＝2S1＋1＝2a1＋1＝3；当
n≥2时，由2Sn＝an＋1－1得2Sn－1＝an－1，上述两式相减得2an＝an＋1－
an，所以an＋1＝3an，得 ＝3且 ＝3，所以数列{an}是以1为首项，以
3为公比的等比数列，所以Sn＝ ＝ .

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9. 一个等比数列的前n项和Sn＝（1－2λ）＋λ·2n，则λ＝ .
解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，a1＝S1＝（1－2λ）＋
2λ＝1，则Sn＝n，显然与题设不符，∴q≠1，即等比数列不是常数列，
∴Sn＝ － ＝（1－2λ）＋λ·2n，则 可得
λ＝1.
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10. 在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
（1）求{an}的通项公式；
解： 设等比数列{an}的公比为q，
由题意得an＝qn－1，q4＝4q2，
解得q＝0（舍去），q＝－2或q＝2.
故an＝（－2）n－1或an＝2n－1.
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（2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝63，求m.
解： 若an＝（－2）n－1，则Sn＝ .
由Sm＝63得 ＝63，
即（－2）m＝－188，此方程没有正整数解.
若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m－1＝63，即2m＝64，解得m＝
6.综上，m＝6.
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11. （2025·广州月考）已知数列{an}是首项为1的等比数列，Sn是数列
{an}的前n项和且9S3＝S6，则数列{ }的前5项和为（　　）
A. 或5 B. 或5
C. D.
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解析：　设数列{an}的公比为q，由9S3＝S6，得q≠1，则 ＝
，即1＋q3＝9，解得q＝2.所以数列{ }是首项为1，公比为 的等比
数列，则数列{ }的前5项和为T5＝ ＝ ，故选C.
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12. 〔多选〕已知等比数列{an}是递增数列，其前n项和为Sn，若a2＋a4
＝10，a2a3a4＝64，则（　　）
A. Sn＋1－Sn＝2n＋1 B. an＝2n－1
C. Sn＝2n－1 D. Sn＝2n－1－1
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解析： 　设等比数列{an}的公比为q（q≠0），由a2a3a4＝64，得
＝43，则a3＝4，由a2＋a4＝10，得 ＋4q＝10，即2q2－5q＋2＝0，解得
q＝2或q＝ .又因为数列{an}是递增数列，所以q＝2，所以2a1＋8a1＝
10，解得a1＝1.所以an＝2n－1，Sn＝ ＝2n－1，所以Sn＋1－Sn
＝2n＋1－1－（2n－1）＝2n.故选B、C.
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13. 等比数列{an}的公比为q，前n项和Sn＞0（n＝1，2，3，…），则q
的取值范围是 .
解析：因为数列{an}为等比数列，Sn＞0，所以a1＝S1＞0，q≠0.当q＝1
时，Sn＝na1＞0；当q≠1时，Sn＝ ＞0，即 ＞0，所以
或 所以－1＜q＜1或q＞1.综上，q的取值范
围为（－1，0）∪（0，＋∞）.
（－1，0）∪（0，＋∞）
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14. 设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an
＋1成等差数列.
（1）求{an}的通项公式；
解： 依题意，得2Sn＝an＋1－a1.
当n≥2时，有
两式相减， 得an＋1＝3an（n≥2）.
当n＝1时，a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比
为3的等比数列.因此an＝a1·3n－1（n∈N*）.
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（2）设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，
求出a1的值；若不存在，请说明理由.
解：（存在.因为Sn＝ ＝ a1·3n－ a1，所以bn＝1－Sn＝1
＋ a1－ a1·3n.
要使{bn}为等比数列，则1＋ a1＝0，
即a1＝－2.此时bn＝3n，符合题意.
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15. 将数列{an}中的所有项按“第一行三项，以下每一行比上一行多一
项”的规则排成如下数表.
a1 a2 a3
a4 a5 a6 a7
a8 a9 a10 a11 a12
…
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①在数列{bn}中，b1＝1，对于任何n∈N*，都有（n＋1）bn＋1－nbn＝
0；
②表中每一行的数从左到右均构成公比为q（q＞0）的等比数列；
③a66＝ .
记表中的第一列数a1，a4，a8，…构成的数列为{bn}，已知：
请解答以下问题：
（1）求数列{bn}的通项公式；
解： 由（n＋1）bn＋1－nbn＝0，得数列{nbn}为常数列，故nbn＝
1·b1＝1，∴bn＝ .
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（2）求数表中第k（k∈N*）行所有项的和S（k）.
解： ∵3＋4＋…＋11＝63，∴表中第一行至第九行共含有{an}的前
63项，a66在表中第十行第三列.
故a66＝b10·q2，
又a66＝ ，而b10＝ ，q＞0，∴q＝2.
故S（k）＝ ＝ （2k＋2－1）.
a1 a2 a3
a4 a5 a6 a7
a8 a9 a10 a11 a12
…
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