资源简介

(共39张PPT)
培优课　等差数列 能力提升
1.能利用等差数列前n项和求解项的比值问题（数学运算）.
2.掌握简单的构造等差数列问题（逻辑推理、数学运算）.
3.会求数列{｜an｜}的前n项和（数学运算）.
重点解读
【例1】　（1）已知两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，
若 ＝ ，则 ＝（　B　）
A. B.
C. D.
解析：利用等差数列前n项和的性质得 ＝ ＝ ＝ .
B
一、利用等差数列前n项和求解项的比值问题
（2）设等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若 ＝ ，则
＝（　B　）
A. B.
C. D.
解析：因为数列{an}，{bn}均为等差数列，故由 ＝ ，可设Sn＝n
（2n＋1）k，Tn＝n（3n－1）k，则a7＝S7－S6＝105k－78k＝27k，b5
＝T5－T4＝70k－44k＝26k，则 ＝ ＝ .故选B.
B
【规律方法】
若{an}，{bn}为等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则 ＝ ，
＝ · .
训练1　（1）已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，若 ＝
，则 ＝（　C　）
A. B.
C. D.
解析： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .故选C.
C
（2）已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且 ＝ ，则
＝ 　 　.
解析： ＝ × ，即 ＝ × ，所以 ＝ × ＝ .

二、构造等差数列的应用
【例2】　已知数列{an}满足an＋1＝ ，且a1＝3（n∈N*）.
（1）求证：数列{ }是等差数列；
解：证明：由题意得 ＝ ＝ ＝ ＝
＝ ＋ ，
所以 － ＝ ，故数列{ }是等差数列.
（2）求数列{an}的通项公式.
解：由（1）知 ＝ ＋（n－1）× ＝ ，所以an＝ .
【规律方法】
　当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，
利用等差数列的通项公式，求出含an的式子与n的关系式，进而求出an.由
递推公式转化为等差数列的常见形式如下：
（1）转化为（an＋2－an＋1）－（an＋1－an）＝常数，则数列{an＋1－an}
是等差数列；
（2）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列；
（3）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列；
（4）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列；
（5）转化为 － ＝常数，则数列{ }是等差数列.
训练2　在数列{an}中，若a1＝1，3anan－1＋an－an－1＝0（n≥2，
n∈N*），求数列{an}的通项公式.
解：由已知3anan－1＋an－an－1＝0，
在等式两侧同除以anan－1，得3＋ － ＝0 － ＝3，
即数列{ }是以1为首项，3为公差的等差数列，
故有 ＝1＋3（n－1） an＝ .
三、求数列{｜an｜}的前n项和
【例3】　已知数列{an}中，a1＝ ，an＝2－ （n≥2，n∈N*），数
列{bn}满足bn＝ （n∈N*）.
（1）证明{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；
解：证明：bn－bn－1＝ － ＝ － ＝ －
＝1，
又b1＝ ＝－ ，∴数列{bn}是以－ 为首项，1为公差的等差数列.
∴bn＝b1＋（n－1）×1＝n－ .
（2）令Tn＝｜b1｜＋｜b2｜＋｜b3｜＋…＋｜bn｜，求Tn.
解：记{bn}的前n项和为Sn，
则Sn＝ ，
由bn＝n－ ≥0，得n≥ ，即n≤13时，bn＜0；n≥14时，bn＞0，
①n≤13时，Tn＝｜b1｜＋｜b2｜＋｜b3｜＋…＋｜bn｜＝－b1－b2－b3
－…－bn＝－Sn＝ .
②n＞13时Tn＝｜b1｜＋｜b2｜＋｜b3｜＋…＋｜bn｜＝－b1－b2－b3
－…－b13＋b14＋b15＋b16＋…＋bn＝Sn－2S13＝ .
∴Tn＝
【规律方法】
　求数列{｜an｜}的前n项和的步骤
（1）解不等式an≥0（或an≤0）寻找{an}的正负项分界点；
（2）求和：①若{an}各项均为正数（或均为负数），则{｜an｜}各项的
和等于{an}的各项的和（或其相反数）；②若a1＞0，d＜0（或a1＜0，d
＞0），这时数列{an}只有前面有限项为正数（或负数），可分段求和再
相加.
训练3　已知等差数列{an}的前n（n∈N*）项和为Sn，且a2＝3，S8＝64.
（1）求数列{an}的通项公式an；
解：设等差数列{an}的公差为d.
∵a2＝3，S8＝64，
∴ 即 解得
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1.
（2）设bn＝｜9－an｜，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：由（1）得bn＝｜9－an｜＝｜9－（2n－1）｜＝｜10－2n｜，设cn
＝10－2n，{cn}的前n项和为Pn，
则Pn＝ ×n＝－n2＋9n，
当1≤n≤5时，bn＝cn，Tn＝－n2＋9n.
当n≥6时，bn＝－cn，
Tn＝（c1＋c2＋…＋c5）－（c6＋c7＋…＋cn）＝P5－（Pn－P5）＝2P5
－Pn＝n2－9n＋40，
综上，Tn＝
1. 等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，对一切自然数n，都有
＝ ，则 ＝（　　）
A. B. C. D.
解析：　∵S13＝ ＝13a7，T13＝ ＝13b7，
∴ ＝ ＝ .故选D.
√
2. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－5n＋2，则数列{｜an｜}的前10项和
为（　　）
A. 20 B. 40
C. 60 D. 80
解析：　因为Sn＝n2－5n＋2，所以当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2－5n
＋7，则an＝Sn－Sn－1＝2n－6（n≥2），当n＝1时，a1＝S1＝－2，不满
足上式，故an＝ 则数列{an}从第2项开始成等差数列，
且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数，所以数列{｜an｜}的前10
项和为－a1－a2＋a3＋…＋a10＝4＋ ＝60.
√
3. 若在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋ ＋ ，则a7＝ .
解析：因为an＋1＝an＋ ＋ ＝（ ＋ ）2，所以 － ＝ ，
即{ }是首项为 ＝1，公差为 的等差数列，可求得an＝ （n＋1）
2，故a7＝ ＝16.
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课堂小结
1. 理清单
（1）利用等差数列前n项和求解项的比值问题；
（2）构造等差数列的应用；
（3）求数列{｜an｜}的前n项和.
2. 应体会
求数列{｜an｜}的前n项和要注意分类讨论思想的应用.
3. 避易错
求数列{｜an｜}的前n项和时分类错误.
课时作业
1. 已知数列{an}满足an＋1－an－2＝0，a1＝－5，则a6＝（　　）
A. 5 B. 9
C. 15 D. 18
解析：　an＋1－an－2＝0，即an＋1－an＝2，可得数列{an}是等差数列，
公差d＝2，又a1＝－5，所以an＝2n－7，所以a6＝5.
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2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ＝ ，则 ＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　由等差数列的性质知S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等差数
列，设S3＝k，S6＝4k（k≠0），则S9－S6＝5k，S12－S9＝7k，S12＝
16k，所以 ＝ .
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3. 已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n，则｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜
a10｜＝（　　）
A. 68 B. 67
C. 65 D. 56
解析：　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－4n－[（n－1）2－4（n－
1）]＝2n－5；当n＝1时，a1＝S1＝－3符合上式，所以an＝2n－5.所
以 ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a10｜＝｜－3｜＋｜－1｜＋1＋3＋5＋…＋15
＝68.
√
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4. 已知数列{an}的首项a1＝0，an＋1＝an＋2 ＋1，则a20＝
（　　）
A. 99 B. 101
C. 399 D. 401
解析：　由an＋1＝an＋2 ＋1，可得an＋1＋1＝（ ＋
1）2，故 － ＝1，所以{ }是以1为首项，1为
公差的等差数列，所以 ＝n，即an＝n2－1，故a20＝202－1＝
399，故选C.
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5. 〔多选〕等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn， ＝ ，
n∈N*，则下列说法正确的有（　　）
A. 数列 是递增数列
B. ＝
C. ＝
D. ＝
√
√
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解析： 　 ＝ ＝ ＝2－ ，所以 是递增数列，A选
项正确； ＝ ＝ ＝ ＝ ，所以 ＝
＝ ，B选项正确； ＝ ＝ ，C选项错误；当n＝1时， ＝
＝ ≠ ，D选项错误.故选A、B.
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6. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和为Sn＝33n－n2，则下列说法正确的
是（　　）
A. an＝34－2n
B. 仅有S16为Sn的最小值
C. ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272
D. ｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝450
√
√
解析：A选项，Sn＝33n－n2中，当n＝1时，a1＝33－12＝32，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝33n－n2－33（n－1）＋（n－1）2＝－2n＋34，显然a1＝32满足an＝34－2n，故an＝34－2n，A正确；B选项，因为当
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1≤n≤16时，an＞0，a17＝0，当n≥18时，an＜0，故S16，S17为Sn
的最大值，B错误；C选项，a16＝34－32＝2，故｜a1｜＋｜a2｜＋…
＋｜a16｜＝a1＋a2＋…＋a16＝ ＝272，C正确；D选项，a17＝0，a30＝34－60＝－26，｜a17｜＋｜a18｜＋…＋｜a30｜
＝－（a17＋a18＋…＋a30）＝－ ＝182，由C知，｜a1｜
＋｜a2｜＋…＋｜a16｜＝272，故｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a30｜＝272
＋182＝454，D错误.故选A、C.
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7. 已知数列{an}的通项公式为an＝｜19－2n｜，n∈N*，则其前20项的和
为 .
解析：由an＝｜19－2n｜，当n≤9时，an＝19－2n，当n≥10时，an＝
2n－19，所以S20＝a1＋a2＋…＋a9＋a10＋a11＋…＋a20＝17＋15＋…＋1
＋1＋3＋…＋21＝ ＋ ＝202.
202
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8. 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，且 ＝ ＋ （n≥2，
n∈N*），则当 取得最大值时，n的值为 .
2
解析：因为 ＝ ＋ （n≥2，n∈N*），所以2nan＝（n－1）an
－1＋（n＋1）an＋1（n≥2，n∈N*），所以数列{nan}是等差数列，又a1
＝1，a2＝4，所以数列{nan}是以1为首项，2×a2－1×a1＝7为公差的等
差数列，所以nan＝7n－6，所以 ＝ ＝ － ＝－6（ － ）2＋
，因为n∈N*，1＜ ＜2，且 ＝ － ＝1， ＝ － ＝2，2＞1，
所以当n＝2时， 取得最大值2.
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9. 设数列{an}的前n项和为Sn，若2Sn－an＝n2，n∈N*.
（1）证明：数列{an＋an＋1}是等差数列；
解：证明：∵2Sn－an＝n2，
∴当n≥2时，2Sn－1－an－1＝（n－1）2，
两式相减得2Sn－an－（2Sn－1－an－1）＝n2－（n－1）2＝2n－1，
又∵2Sn－an－（2Sn－1－an－1）＝2Sn－2Sn－1－an＋an－1＝2an－an＋an－
1＝an＋an－1.∴an＋an－1＝2n－1，
故（an＋1＋an）－（an＋an－1）＝[2（n＋1）－1]－（2n－1）＝2，且
a2＋a1＝3，∴数列{an＋1＋an}是以3为首项，2为公差的等差数列.
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（2）求S20.
解：由（1）知an＋an－1＝2n－1（n≥2），
∴S20＝（a1＋a2）＋（a3＋a4）＋（a5＋a6）＋…＋（a19＋a20）
＝3＋7＋11＋…＋39＝ ＝210.
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10. 在等差数列{an}中，a100＝－100，且a50＋a200＝0.
（1）求{an}的通项公式；
解： 设{an}的公差为d.因为a50＋a200＝0，所以a125＝0.
因为a100＝－100，所以
解得
故an＝－496＋（n－1）×4＝4n－500.
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（2）求数列{｜an｜}的前n项和Tn.
解： 设{an}的前n项和为Sn，则Sn＝2n2－498n.
当n≤125时，Tn＝｜Sn｜＝498n－2n2；
当n≥126时，Tn＝－（a1＋a2＋…＋a125）＋a126＋…＋an＝Sn－2S125＝
2n2－498n＋62 000.
故Tn＝
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11. 已知正项数列{an}满足a1＝1， ＋ ＝2 ，且a4－a2＝
.
（1）求数列{ }的通项公式；
解： 由已知得， － ＝ － ，
所以数列{ }是等差数列，设其公差为d.
由a4－a2＝ ，得 － ＝2.
所以2d＝2，即d＝1，
所以 ＝ ＋（n－1）d＝n.
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（2）求满足不等式an＋5＋1＜2an的正整数n的最小值.
解： 由an＞0，得an＝ ，
所以原不等式可化为 ＋1＜2 ，
两边平方可得n＋6＋2 ＜4n，即2 ＜3n－6，
所以4（n＋5）＜（3n－6）2，整理得（n－4）（9n－4）＞0，
解得n＞4或n＜ .
因为n∈N*，故n的最小值为5.
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THANKS
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