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(共40张PPT)
培优课　构造法求数列的通项公式 能力提升
1.掌握利用构造法求数列通项公式的方法（数学运算）.
2.会用构造法公式解决一些简单的问题（数学运算）.
重点解读
　　
一、形如an＋1＝pan＋q（p，q≠0且p≠1）
【例1】 在数列{an}中，a1＝ ，an＋1＝ an＋ ，n∈N*，则an＝ 　 ×
.
×
（ ）n＋2＋
解析：因为an＋1＝ an＋ ，令an＋1＋λ＝ （an＋λ），则an＋1＝ an－
λ，所以－ λ＝ ，解得λ＝－ ，所以an＋1－ ＝ （an－ ），所以
＝ ，因为a1－ ＝ ，所以数列{an－ }是首项为 ，公比为 的
等比数列，所以an－ ＝ ×（ ）n－1＝ ×（ ）n＋2，所以an＝ ×
（ ）n＋2＋ .
【规律方法】
求解递推公式形如an＋1＝pan＋q（p≠0，q≠0且p≠1）的数列{an}的通
项公式的关键：一是利用待定系数法构造，即构造an＋1＋λ＝p（an＋
λ）的形式；二是找到{an＋λ}为等比数列（其中 λ＝ ）.
训练1　已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，则a10＝（　　）
A. 2 045 B. 1 021
C. 1 027 D. 2 051
解析：　∵an＋1＝2an＋3可变形为an＋1＋3＝2（an＋3），故数列{an＋
3}为等比数列，首项为4，公比为2，∴an＋3＝4·2n－1.∴an＝4·2n－1－
3＝2n＋1－3，∴a10＝2 045.故选A.
A
二、形如an＋1＝pan＋f（n）（p≠0）
角度1　f（n）为一次多项式
【例2】 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2n＋1，则数列{an}的通项
公式为 .
解析：设an＋1＋A（n＋1）＋B＝3（an＋An＋B），∴an＋1＝3an＋2An
＋2B－A. 与原式比较系数得 解得 ∴an＋1＋（n
＋1）＋1＝3（an＋n＋1）.令bn＝an＋n＋1，则bn＋1＝3bn且b1＝a1＋1
＋1＝3≠0，∴{bn}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴bn＝3·3n－1＝
3n，∴an＝3n－n－1.
an＝3n－n－1
【规律方法】
一般地，当f（n）为一次多项式时，即数列的递推关系为an＋1＝Aan＋Bn
＋C型，可转化为an＋1＋λ1（n＋1）＋λ2＝A（an＋λ1n＋λ2）的形式
来求通项公式.
角度2　f（n）为指数式
【例3】 （1）已知数列{an}满足an＝2an－1＋2n（n≥2），且a1＝1，则
an＝ ；
解析：因为an＝2an－1＋2n，等式两边同时除以2n，得 ＝ ＋1，即
－ ＝1，又 ＝ ，所以{ }是以 为首项，1为公差的等差数列，即
＝ ＋（n－1）×1＝n－ ，所以an＝（n－ ）×2n.
（n－ ）×2n
（2）已知数列{an}中，a1＝6，an＋1＝2an＋3n＋1，则an＝
.
解析：令an＋1－A·3n＋1＝2（an－A·3n），则an＋1＝2an＋ ·3n＋1，
由已知， ＝1，得A＝3，所以an＋1－3×3n＋1＝2（an－3×3n），即an＋1
－3n＋2＝2（an－3n＋1），又a1－32＝6－9＝－3≠0，所以{an－3n＋1}是首
项为－3，公比为2的等比数列，于是an－3n＋1＝－3×2n－1，故an＝3n＋1
－3×2n－1.
3n＋1－3×2n
－1
【规律方法】
1. 形如an＝pan－1＋pn的递推关系求通项公式，一般等式两边除以pn，构
造出一个新的数列{ }，再求an.
2. 形如an＋1＝pan＋qn＋1的递推关系求通项公式，一般可转化为an＋1＋
λqn＋1＝p（an＋λqn）的形式，构造出一个新的等比数列{an＋λqn}，
然后再求an.
训练2　（1）在数列{an}中，a1＝2，a2＝3，an＋2＝2an＋1－an，则{an}
的通项公式为 ；
解析：设an＋2－x1an＋1＝x2（an＋1－x1an），结合已知可得x1＝x2＝1，a2
－a1＝3－2＝1≠0，于是{an＋1－an}是首项为1，公比为1的等比数列，所
以an＋1－an＝1，所以{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，所以an＝n
＋1.
an＝n＋1
（2）已知数列{an}满足 ＝ ＋ ，且a1＝1，则an＝ 　 　.
解析：由题意，等式两边同乘2n，得 ＝ ＋1，即 － ＝1，所以
{ }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以 ＝2＋（n－1）×1＝n＋
1，即an＝ .

三、形如an＋1＝ （p，q，r≠0）
【例4】 在数列{bn}中，若b1＝－1，bn＋1＝ ，n∈N*，则bn
＝ .
解析：对递推式bn＋1＝ 的两边同时取倒数，得 ＝ ，即
＝2· ＋3，因此 ＋3＝2（ ＋3）， ＋3＝2，故{ ＋3}是以2为
首项，2为公比的等比数列，于是 ＋3＝2·2n－1＝2n，可得bn＝ ，
n∈N*.

【规律方法】
一般地，形如an＋1＝ （p，q，r≠0）结构的递推式往往可以通过
等式两边同时取倒数变形构造出线性递推式an＝Aan－1＋B（n≥2，A，
B是常数），进而求出原数列的通项公式.
训练3　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ （n∈N*），若bn＝log2
（ ＋1），试求数列{bn}的通项公式.
解：由an＋1＝ ，得 ＝1＋ ，所以 ＋1＝2（ ＋1），
又 ＋1＝2，所以数列{ ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
所以 ＋1＝2·2n－1＝2n，所以bn＝log2（ ＋1）＝log22n＝n.
1. 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，则an＝（　　）
A. 2n－1 B. 2n＋1
解析：　∵an＋1＝ ，∴ ＝ ＋2，即 － ＝2，∴{ }是
公差为2的等差数列.又 ＝1，∴ ＝1＋2（n－1）＝2n－1，即an＝
.
√
2. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an－2n，则a17＝（　　）
A. －15×216 B. 15×217
C. －16×216 D. 16×217
解析：　由题意可得 ＝ － ，即 － ＝－ ，据此可得，数列
{ }是首项为 ＝ ，公差为－ 的等差数列，故 ＝ ＋（17－1）×
（－ ）＝－ ，所以a17＝－15×216.
√
3. 若数列{an}满足a1＝1，且an＋1＝4an＋2n，则a5＝ .
解析：因为an＋1＝4an＋2n，所以an＋1＋2n＝4（an＋2n－1），所以数列
{an＋2n－1}是等比数列，首项为2，公比为4，则an＋2n－1＝2×4n－1＝
，可得an＝22n－1－2n－1，则a5＝22×5－1－25－1＝29－24＝496.
496
4. 在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an－1，若an＞513，则n的最小值
为 .
解析：因为an＋1＝2an－1，所以an＋1－1＝2（an－1），即 ＝2，又
a1－1＝2－1＝1，所以数列{an－1}是以1为首项，2为公比的等比数列.则
an－1＝2n－1，即an＝2n－1＋1.因为an＞513，所以2n－1＋1＞513，所以2n
－1＞512，所以n＞10，故n的最小值为11.
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课堂小结
1. 理清单
（1）形如 ＝pan＋q的递推关系求通项公式；
（2）形如an＋1＝pan＋f（n）的递推关系求通项公式；
（3）形如an＋1＝ 的递推关系求通项公式.
2. 应体会
利用构造法求数列的通项公式体现了转化与化归思想.
3. 避易错
构造的新的数列的首项易误认为还是a1.
课时作业
1. 数列{an}满足an＋1＝λan－1（n∈N*，λ∈R且λ≠0），若数列{an－
1}是等比数列，则λ＝（　　）
A. 1 B. －1
D. 2
解析：　由an＋1＝λan－1，得an＋1－1＝λan－2＝λ（an－ ）.∵数
列{an－1}是等比数列，∴ ＝1，λ＝2.
√
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2. 已知数列{an}满足a1＝ ，an＋1＝3an－4n＋2，数列{bn}满足bn＝an－
2n，则数列{bn}的通项公式为（　　）
A. bn＝3n B. bn＝3n－1
C. bn＝3n－2 D. bn＝3n＋1
解析：　因为an＋1＝3an－4n＋2，所以an＋1－2（n＋1）＝3（an－
2n），又bn＝an－2n≠0，所以bn＋1＝3bn，所以 ＝3，又b1＝a1－2
＝ ，所以数列{bn}是首项为 ，公比为3的等比数列，所以bn＝ ·3n－1
＝3n－2，故选C.
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3. 已知数列{an}的首项为a1＝1，且满足an＋1＝ an＋ ，则此数列的通
项公式an＝（　　）
A. 2n B. n（n＋1）
解析：　∵an＋1＝ an＋ ，∴2n＋1an＋1＝2nan＋2，即2n＋1an＋1－2nan
＝2.又21a1＝2，∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2nan
＝2＋（n－1）×2＝2n，∴an＝ .
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4. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝2，Sn＋1＝4an＋2，则a12＝
（　　）
A. 12×210 B. 12×211
C. 12×212 D. 12×213
√
解析：由题意得S2＝4a1＋2，所以a1＋a2＝4a1＋2，解得a2＝8，又an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an，于是an＋2－2an＋1＝2（an＋1－2an），因此数列{an＋1－2an}是以a2－2a1＝4为首项，2为公比的等比数列，即an＋1－2an＝4×2n－1＝2n＋1，于是 － ＝1，因此数列{ }是以1为首项，1为公差的等差数列，得 ＝1＋（n－1）×1＝n，即an＝n·2n.所以a12＝12×212.
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5. 数列{an}满足an＋1＝2an＋3，n∈N*，若a2 025≥a1，则a1的取值范围为
（　　）
A. （－∞，－3] B. （－∞，－3）
C. （－3，＋∞） D. [－3，＋∞）
解析：　由an＋1＝2an＋3可得an＋1＋3＝2（an＋3），当a1＝－3时，an
＝－3，满足题意；当a1≠－3时， ＝2，所以数列{an＋3}是首项为
a1＋3，公比为2的等比数列，所以an＋3＝（a1＋3）×2n－1，所以an＝
（a1＋3）×2n－1－3，所以a2 025＝（a1＋3）×22 024－3≥a1，所以（a1＋
3）×22 024≥a1＋3，所以a1＞－3.综上a1≥－3.
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6. 〔多选〕已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则下列说
法正确的是（　　）
A. a4＝4 B. {a2n}是等比数列
C. a2n－a2n－1＝2n－1 D. a2n－1＋a2n＝2n＋1
解析：　∵a1＝1，an·an＋1＝2n，∴a2＝2，a3＝2，a4＝4，由
an·an＋1＝2n可得an＋1·an＋2＝2n＋1，∴ ＝2，∴{a2n}，{a2n－1}分别
是以2，1为首项，公比为2的等比数列，∴a2n＝2·2n－1＝2n，a2n－1＝
1·2n－1＝2n－1，∴a2n－a2n－1＝2n－1，a2n－1＋a2n＝3·2n－1≠2n＋1，综
上可知，A、B、C正确，D错误.
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√
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7. 数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1，则a7
＝ .
解析：当n≥2时，由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝（n－1）·2n＋1①，得
a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）·an－1＝（n－2）·2n－1＋1②，①－②，
得nan＝[（n－1）·2n＋1]－[（n－2）·2n－1＋1]＝n·2n－1
（n≥2），当n＝1时，a1＝1符合上式，所以an＝2n－1，则a7＝64.
64
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8. 定义：若 ＝q（n∈N*，q为非零常数且q≠1），则称{an}为
“差等比数列”，已知在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝
4，则a2 025－a2 024＝ .
解析：在“差等比数列”{an}中，a1＝1，a2＝2，a3＝4，可得 ＝
2，a2－a1＝1，即数列{an＋1－an}是首项为1，公比为2的等比数列，可得
an＋1－an＝2n－1，则a2 025－a2 024＝22 023.
22 023
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9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，Sn＝an＋1－3，若Sk≥125，
则k的最小值为 .
解析：由Sn＝an＋1－3＝Sn＋1－Sn－3，得Sn＋1＋3＝2（Sn＋3），又S1＝
a1＝1，所以S1＋3＝4，所以{Sn＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，所
以Sn＋3＝4×2n－1＝2n＋1，Sn＝2n＋1－3，所以Sk＝2k＋1－3≥125，解得
k≥6.所以k的最小值为6.
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10. 已知a1＝1，当n≥2时，an＝ an－1＋2n－1，求{an}的通项公式.
解：当n≥2时，设an＋An＋B＝ [an－1＋A（n－1）＋B]，即an＝ an－
1－ An－ A－ B，与原式比较系数得 解得
所以an－4n＋6＝ [an－1－4（n－1）＋6]，
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所以数列{an－4n＋6}是首项为a1－4＋6＝3，公比为 的等比数列，
所以an－4n＋6＝3·（ ）n－1，
所以an＝ ＋4n－6，n∈N*.
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11. 已知数列{an}和{bn}满足a1＝2，an＋bn－1＝3（n≥2）.
（1）若an＝bn，求{an}的通项公式；
解：（1）当an＝bn，n≥2时，an－1＝bn－1，
所以an＋bn－1＝3，即an＝－an－1＋3，
整理得an－ ＝－（an－1－ ），
所以{an－ }是以a1－ ＝ 为首项，－1为公比的等比数列.
故an－ ＝ ×（－1）n－1，
即an＝ ＋ ×（－1）n－1.
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（2）若b1＝0，an－1＋bn＝1（n≥2），证明{an}为等差数列，并求{an}
和{bn}的通项公式.
解： 当n≥2时，由an＋bn－1＝3，得an＋1＋bn＝3，
又an－1＋bn＝1，
所以an＋1－an－1＝2（n≥2）.
因为b1＝0，所以a2＝3，
则{a2k－1}是以a1＝2为首项，2为公差的等差数列，a2k－1＝2＋（k－1）
×2＝2k，k∈N*；
{a2k}是以a2＝3为首项，2为公差的等差数列，a2k＝3＋（k－1）×2＝2k
＋1，k∈N*.
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综上所述，an＝n＋1.
所以an－an－1＝（n＋1）－n＝1，n≥2，
故{an}是以2为首项，1为公差的等差数列.
当n≥2时，bn＝1－an－1＝1－n，且b1＝0满足bn＝1－n，
所以bn＝1－n.
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12. 1979年春，美籍华裔物理学家、诺贝尔物理学奖获得者李政道博士，
在访问中国科技大学时，向科大少年班学生提出了一个“五猴分桃”的趣
题：有五只猴子在海边发现一堆桃子，决定第二天来平分.第二天清晨，
第一只猴子来了，它左等右等，见别的猴子还没来，便自作主张把桃子分
成相等的五份，分完后还剩一个，它便把剩下的那个顺手扔到海里，自己
拿了五份中的一份走了.第二只猴子来了，它不知道刚才发生的事，也把
桃子分成相等的五份，还是多一个，它也扔掉一个，自己拿了一份走了.
以后每只猴子来时也都遇到类似情形，也全都照此办法处理.问：原来至
少有多少个桃子？最后至少有多少个桃子？
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解：设最初的桃子数为a1，5只猴子分剩的桃子数依次为a2，a3，a4，
a5，a6.
由题意得an＋1＝（an－1）－ （an－1）＝ an－ .　（*）
设an＋1＋x＝ （an＋x），即an＋1＝ an－ x，
对照（*）式，得x＝4，即an＋1＋4＝ （an＋4），
所以数列{an＋4}是首项为a1＋4，
公比为 的等比数列.
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所以a6＋4＝（a1＋4）×（ ）5，所以a6＝（a1＋4）×（ ）5－4.
由于a6为整数，所以a1＋4的最小值为55，所以a1的最小值为55－4＝3
121.
故原来至少有3 121个桃子，从而最后至少剩下a6＝45－4＝1 020
（个）桃子.
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