资源简介

(共40张PPT)
培优课　数列的函数特征 能力提升
1.会判断数列的周期性，并会用数列的周期性求数列的项（逻辑推理、数学运算）.
2.会判断数列的单调性，并会用数列的单调性解决最大（小）项问题（逻辑推理、数学运算）.
重点解读
【例1】　已知数列{an}满足an＋1＝ ，且a1＝ ，则a2 025＝（　　）
A. 3
D. －2
解析：　由数列{an}满足an＋1＝ ，且a1＝ ，得a2＝ ＝ ，a3＝
＝3，a4＝ ＝－2，a5＝ ＝ ，由此可知数列{an}是周期为4的周
期数列，所以a2 025＝a4×506＋1＝a1＝ .故选C.
一、数列的周期性
√
【规律方法】
　利用数列的周期性求数列中某一项的步骤
（1）根据已知的数列的递推公式，写出数列的前几项，观察项与项之间
的关系直至出现重复的项；
（2）确定该数列的周期；
（3）利用周期性求出要求的项.
训练1　在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝ ，则a2 025＝（　　）
C. 0
解析：　因为a1＝0，an＋1＝ ，所以a2＝ ＝ ，a3＝
＝－ ，a4＝ ＝0，所以数列{an}是以3为周期的周期数列，
由2 025÷3＝675，则a2 025＝a3＝－ .故选D.
√
二、数列的单调性及其应用
角度1　数列单调性的判断
【例2】　已知数列{an}的通项公式为an＝3n2－n（n∈N*），判断该数
列的单调性.
解：法一　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），
则an＋1－an＝3（n＋1）2－（n＋1）－（3n2－n）＝6n＋2＞0，
即an＋1＞an，故数列{an}是递增数列.
法二　an＝3n2－n，an＋1＝3（n＋1）2－（n＋1），
则 ＝ ＝ · ＞1.
又易知an＞0，故an＋1＞an，即数列{an}是递增数列.
【规律方法】
　解决数列的单调性问题的两种方法
（1）作差比较法：根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减
数列或是常数列；
（2）作商比较法：根据 （an＞0或an＜0）与1的大小关系进行判断.
角度2　数列单调性的应用
【例3】　已知数列{an}的通项公式为an＝（n＋1）·（ ）n
（n∈N*），试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的项
数；若没有，说明理由.
解：法一　∵an＋1－an＝（n＋2）（ ）n＋1－（n＋1）·（ ）n＝
（ ）n· .∴当n＜8时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；
当n＝8时，a9－a8＝0，即a9＝a8；
当n＞8时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an；
故a1＜a2＜…＜a8＝a9＞a10＞a11＞…，∴数列{an}中最大项为第8项和第9项，其值为9·（ ）8，其项数为8或9.
法二　根据题意，令
即
解得8≤n≤9.
又n∈N*，则n＝8或n＝9.
故数列{an}有最大项，为第8项和第9项，且a8＝a9＝9·（ ）8.
【规律方法】
　求数列最大项与最小项的常用方法
（1）函数法：利用相关的函数求最值.若能借助表达式观察出单调性，直
接确定最大（小）项，否则，利用作差法；
（2）利用 （n≥2）确定最大项，利用
（n≥2）确定最小项.
训练2　（1）若数列{an}的通项公式为an＝ ，则此数列是（　A　）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 以上都不是
解析：因为an＝ ＝2－ ，所以当n≥2时，an－an－1＝（2－ ）
－（2－ ）＝ － ＝ ＞0，所以数列{an}是递增数列.
A
（2）已知数列{an}的通项公式为an＝ ，n∈N*，则数列{an}的最大
项与最小项之和为 .
解析：an＝ ＝ ＝1＋ ，当n≥11时， ＞0，且单调
递减；当1≤n≤10时， ＜0，且单调递减，所以数列{an}的最大项
为a11，最小值为a10，所以数列{an}的最大项与最小项之和为a11＋a10＝
＋ ＝3－1＝2.
2
斐波那契数列
　通过教材P10阅读与思考我们知道，对于这样一列数：1，1，2，3，5，
8，13，21，34，…，从第3项起，每一个数都等于它前面两个数的和，此
数列称为“斐波那契数列”，其递推公式满足a1＝1，a2＝1，an＝an－1＋
an－2（n＞2）.
【问题探究】
根据斐波那契数列，你能证明下列性质成立吗？
（1）Sn＝ －1；
证明： Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝（a3－a2）＋（a4－a3）＋（a5
－a4）＋…＋（an＋1－an）＋（an＋2－an＋1）＝an＋2－a2＝an＋2－1，即Sn
＝an＋2－1.
（2）a1＋a3＋a5＋…＋ ＝ ；
证明：由a1＝a2，a3＝a4－a2，a5＝a6－a4，…，a2n－1＝a2n－a2n－2，可
得a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n.
（3）a2＋a4＋a6＋…＋ ＝a2n＋1－1；
证明：由a2＝a3－a1，a4＝a5－a3，…，a2n＝a2n＋1－a2n－1，可得a2＋a4
＋a6＋…＋a2n＝a2n＋1－a1＝a2n＋1－1.
（4） ＋ ＋ ＋…＋ ＝anan＋1，即 ＝anan＋1.
证明：由斐波那契数列，有an＋2＝an＋1＋an，
则 ＝a2a1，
＝a2（a3－a1）＝a2a3－a2a1，
＝a3（a4－a2）＝a3a4－a2a3，
…，
＝an（an＋1－an－1）＝anan＋1－anan－1，
所以 ＋ ＋ ＋…＋ ＝anan＋1，
即 ＝anan＋1.
【迁移应用】
〔多选〕已知数列{an}为斐波那契数列，a1＝1，a2＝1，an－2＋an－1＝an
（n≥3），Sn为其前n项和，则下列结论正确的是（　　）
A. a14＝377
B. S12＝375
C. a1＋a3＋a5＋…＋a2 025＝a2 026
√
√
√
解析： 对于A，写出数列的前14项为1，1，2，3，5，8，13，21，
34，55，89，144，233，377，故A正确；对于B，由性质S12＝a14－1＝
376，故B错误；对于C，由性质a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝a2n，故C正确；
对于D，由性质 ＋ ＋ ＋…＋ ＝anan＋1，故D正确.
1. 已知数列{an}满足an＞0，且an＋1＝ an，则数列{an}是（　　）
A. 递增数列 B. 递减数列
C. 常数列 D. 以上都不是
解析：　因为 ＝ ＜1，an＞0，所以an＋1＜an，故数列{an}为递减
数列.
√
2. 已知数列{an}满足an＋1＝ ，若a1＝ ，则a2 025＝（　　）
A. －1
C. 1 D. 2
解析：　由a1＝ ，an＋1＝ 得a2＝2，a3＝－1，a4＝ ，a5＝
2，…，可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 025＝a3×675＝a3＝
－1.
√
3. 数列{－2n2＋29n＋3}中最大的项是（　　）
A. 107 B. 108
D. 109
解析：　因为－2n2＋29n＋3＝－2（n2－ n）＋3＝－2（n－ ）2＋
，所以当n＝7时，－2n2＋29n＋3取得最大值108，故选B.
√
4. 已知数列{an}中， an＝k·（ ）n，若{an}是递增数列，则实数k的取
值范围为 .
解析：因为an＝k· ， {an}是递增数列，所以an＋1－an＝
k· －k· ＝ ·（ k－k）＝－ k· ＞0
对任意的n∈N*恒成立，所以－ k＞0，解得k＜0，所以实数k的取值范
围是（－∞，0）.
（－∞，0）
课堂小结
1. 理清单
（1）数列的周期性；
（2）判断数列的单调性；
（3）数列的最大项与最小项问题.
2. 应体会
判断数列的单调性及求数列的最大、小项问题要注意函数思想的应用.
3. 避易错
利用作商法判断函数的单调性时，要注意an的符号.
课时作业
1. 已知数列{an}的通项公式为an＝ ，按项的变化趋势，该数列是
（　　）
A. 递增数列
B. 递减数列
C. 摆动数列
D. 常数列
解析：　因为an＝ ＝ ，显然随着n的增大，2－ 是递增的，故
an是递减的，则数列{an}是递减数列，故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2. 对任意的a1∈（0，1），由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足
an＋1＞an（n∈N*），则函数y＝f（x）的图象可能是（　　）
√
解析：　根据题意，由关系式an＋1＝f（an）得到的数列{an}满足an＋1＞
an，即函数y＝f（x）的图象上任意点（x，y）都满足y＞x.结合图象，
可知只有A满足，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 若数列{an}满足anan＋1an＋2an＋3＝20，则a100＝（　　）
A. a1 B. a2
C. a3 D. a4
解析：　由anan＋1an＋2an＋3＝20得an＋1an＋2an＋3an＋4＝20，所以an＝an＋
4，于是数列{an}的周期为4，所以a100＝a4.故选D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. 已知数列{an}的通项公式为an＝ ，其最大项和最小项的值分别为
（　　）
解析：　因为n∈N*，所以当1≤n≤3时，an＝ ＜0，且单调递减；
当n≥4时，an＝ ＞0，且单调递减，所以最小项为a3＝ ＝－ ，
最大项为a4＝ ＝1.故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 设数列{an}的通项公式为an＝n2＋bn，若数列{an}是递增数列，则实
数b的取值范围为（　　）
A. [1，＋∞） B. [－2，＋∞）
C. （－3，＋∞）
解析：　因为函数f（n）＝n2＋bn图象的对称轴方程为n＝－ ，结合
二次函数的图象可知当－ ＜ ，即b＞－3时，单调递增.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 〔多选〕已知数列{an}的前n项和公式为Sn＝－n2＋8n，则（　　）
A. {an}是递减数列
B. a10＝－11
C. 当n＞4时，an＞0
D. 当n＝4时，Sn取得最大值
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋8n，当n≥2时，an＝Sn－
Sn－1＝－n2＋8n－[－（n－1）2＋8（n－1）]＝－2n＋9，a1＝S1＝7满
足上式，因此an＝－2n＋9，对于A，an＋1－an＝－2＜0，即an＋1＜an，
因此{an}是递减数列，A正确；对于B，a10＝－11，B正确；对于C，当n
＞4时，an≤a5＝－1＜0，C错误；对于D，当n≤4时，an≥a4＝1＞0，数
列{an}前4项都为正，从第5项起都为负，因此当n＝4时，Sn取得最大值，
D正确.故选A、B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 〔多选〕若数列{an}满足a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），记数
列{an}的前n项积为Tn，则下列说法正确的是（　　）
A. Tn无最大值
B. an有最大值
C. T2 025＝1
D. a2 025＝2
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　∵a1＝1，a2＝2，anan－2＝an－1（n≥3），∴a3＝2，a4＝1，
a5＝ ，a6＝ ，a7＝1，a8＝2，…，因此数列{an}是周期为6的周期数
列，an＋6＝an，∴an有最大值2，a2 025＝a3＝2，又∵T1＝1，T2＝2，T3＝
4，T4＝4，T5＝2，T6＝1，T7＝1，T8＝2，…，∴{Tn}是周期为6的周期
数列，Tn＋6＝Tn，∴Tn有最大值4，T2 025＝T3＝4.故选B、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 已知数列{an}的通项公式为an＝｜n－ ｜，则an的最小项为 　 ，
此时n的值为 .
解析：因为an＝｜n－ ｜，所以当n＝1，2，3时，an＝ －n，此时an
的最小项为 ，对应的n＝3；当n＞3，n∈N*时，an＝n－ ，此时an的
最小项为 ，对应的n＝4.综上所述，an的最小项为 ，此时n＝3.

3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 请写出一个符合下列要求的数列{an}的通项公式：①{an}为无穷数列；
②{an}为单调递增数列；③0＜an＜2.这个数列的通项公式可以是
.
解析：因为函数an＝2－ 的定义域为N*，且an＝2－ 在N*上单调递增，0
＜2－ ＜2，所以满足3个条件的数列的通项公式可以是an＝2－ .
an＝2
－ （答案不唯一）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. 在数列{an}中，已知an＝－ （n≥2，n∈N*）.
（1）求证an＋2＝an；
解： 证明：当n≥1时，因为an＋2＝an＋1＋1＝－ ＝－ ＝an，所
以an＋2＝an成立.
（2）若a4＝4，求a20的值；
解： 由（1）知数列{an}是以2为周期的周期数列，所以a20＝a4＝4.
（3）若a1＝1，求a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7的值.
解： 因为a1＝1，所以a2＝－1，因为数列的周期为2，所以（a1＋
a2）＋（a3＋a4）＋（a5＋a6）＋a7＝a1＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1.
（1）求a1，a2和an；
解：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1，　①
当n＝1时，a1＝31－1＝2.
当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋（n－1）an－1＝3n－1－1，　②
由①－②得nan＝3n－3n－1＝2·3n－1，所以an＝ ，
当n＝1时，a1＝ ＝2，所以a1也满足an＝ ，
当n＝2时，a2＝ ＝3，故a1＝2，a2＝3，an＝ ，n∈N*.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2）证明：数列{an}为递增数列.
解：证明：由（1）知，an＝ ，
易知an＞0，
则 ＝ ＝ ，
又 －1＝ ＞0对一切n∈N*恒成立，所以 ＝ ＞1，
得到an＋1＞an对一切n∈N*恒成立，所以数列{an}为递增数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 已知数列{an}中，an＝1＋ （n∈N*，a∈R且a≠0）.
（1）若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；
解：当a＝－7时，an＝1＋ （n∈N*）.
结合函数f（x）＝1＋ 的单调性，
可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1（n∈N*）.
∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
（2）若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围.
解：an＝1＋ ＝1＋ ，
已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，
结合函数f（x）＝1＋ 的单调性，
可知5＜ ＜6，
即－10＜a＜－8，
即a的取值范围是（－10，－8）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑