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(共35张PPT)
章末检测（四）　数列
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 观察数列 ，－ ，（　　），－ ， ，（　　），…的特点，则括
号中应分别填入（　　）
A. ，－ B. － ，
C. ，－ D. ，－
解析：　由题可得数列的通项公式an＝（－1）n＋1· ，∴a3＝
，a6＝－ .故选D.
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2. 在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则a1＋a13＝
（　　）
A. 10 B. 20 C. 30 D. 40
解析：　由已知，a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100，则a7＝20，所以a1
＋a13＝2a7＝40.故选D.
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3. 等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝
（　　）
A. B. 2
C. D. 3
解析：　由S6＝9S3可知q≠1，故 ＝ ＝1＋q3＝9，∴q＝2，故S5
＝ ＝ ＝62，故a1＝2，故选B.
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4. 设数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1－ ，记数列{an}的前n项之积为Tn，
则T2 025＝（　　）
A. －2 B. 1
C. －1 D. 2
解析：　由a1＝2，an＋1＝1－ ，得a2＝1－ ＝ ，a3＝1－ ＝－1，
a4＝1－ ＝2，…，则数列{an}是以3为周期的周期数列，又a1a2a3＝2×
×（－1）＝－1，且2 025＝3×675，∴T2 025＝（－1）675＝－1.故选C.
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5. 记Sn为数列{an}的前n项和，则“{an}为等比数列”是
“ ＝Sn（Sn＋2－S2）”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
解析：　若{an}是等比数列，则a2＋a3＋…＋an＋1＝q（a1＋a2＋a3＋…
＋an），a3＋a4＋…＋an＋2＝q（a2＋a3＋…＋an＋1），所以（a2＋a3
＋…＋an＋1）2＝（a3＋a4＋…＋an＋2）（a1＋a2＋…＋an），即（Sn＋1－
S1）2＝Sn（Sn＋2－S2）.若（Sn＋1－S1）2＝Sn（Sn＋2－S2），令an＝0满
足条件，但{an}不是等比数列.所以是充分不必要条件.故选A.
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6. 记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝
（　　）
A. 120 B. 85 C. －85 D. －120
解析：　法一 设等比数列{an}的公比为q，首项为a1，若q＝1，则S6＝
6a1＝3×2a1＝3S2，与题意不符，所以q≠1；由S4＝－5，S6＝21S2可
得， ＝－5， ＝21× ①.由①可得，1＋q2
＋q4＝21，解得：q2＝4，所以S8＝ ＝ ×（1＋q4）
＝－5×（1＋16）＝－85.故选C.
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法二 设等比数列{an}的公比为q，因为S4＝－5，S6＝21S2，所以q≠－
1，否则S4＝0，从而S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6成等比数列，所以
＝S2（21S2＋5），解得：S2＝－1或S2＝ ，当S2＝－1时，
S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，即为－1，－4，－16，S8＋21，易知S8＋
21＝－64，即S8＝－85；当S2＝ 时，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝（a1＋a2）
（1＋q2）＝（1＋q2）S2＞0，与S4＝－5矛盾，舍去.故选C.
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7. 满足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2（n≥3）的数列{an}称为斐波那契数
列，又称黄金分割数列.依次以斐波那契数列{an}各项为边长作正方形，
在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接
圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋线”）.如
图，圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，则阴影
部分面积与扇形OAB面积的比值为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　由题意得，a1＝a2＝1，a3＝2，a4＝3，a5＝5，则阴影部分面
积为 （ ＋ ＋ ＋ ＋ ）＝ ×（12＋12＋22＋32＋52）＝10π，
扇形OAB的面积为 ＝16π，所以所求比值为 ＝ .故选C.
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8. 已知数列{an}满足a1＝ ， ＝ ，若a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋
a1a2…an≤ 成立，则n的最大值为（　　）
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
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解析：　因为数列{an}满足a1＝ ， ＝ ，可得 ＝ ＋1，
可得数列{ }是首项为3，公差为1的等差数列，则 ＝3＋n－1＝n＋2，
即an＝ ，则a1a2a3…an＝ × × ×…× · ＝ ＝2
（ － ），可得a1＋a1a2＋a1a2a3＋…＋a1a2a3…an＝2（ － ＋
－ ＋ － ＋…＋ － ）＝2（ － ）＝1－ ，因为a1＋a1a2
＋a1a2a3＋…＋a1a2…an≤ ，可得 ≥ ，解得n≤6，即所求n的最大
值为6.故选B.
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二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分.
9. 若Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），则下列结论正
确的是（　　）
A. a5＝－16
B. S5＝－31
C. 数列{an}是等比数列
D. 数列{Sn＋1}是等比数列
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解析： 　因为Sn为数列{an}的前n项和，且Sn＝2an＋1（n∈N*），
所以S1＝2a1＋1，因此a1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，
即an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，故C正
确；因此a5＝－1×24＝－16，故A正确；又Sn＝2an＋1＝－2n＋1，所以
S5＝－25＋1＝－31，故B正确；因为S1＋1＝0，所以数列{Sn＋1}不是等比
数列，故D错误.故选A、B、C.
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10. 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＋3a5＝S7，则以下结论一定正
确的是（　　）
A. a4＝0 B. Sn的最大值为S3
C. S1＝S6 D. ｜a3｜＜｜a5｜
解析： 　设等差数列{an}的公差为d，则a1＋3（a1＋4d）＝7a1＋
21d，解得a1＝－3d，所以an＝a1＋（n－1）d＝（n－4）d，所以a4＝
0，故A正确；因为S6－S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正
负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3＋a5＝2a4＝
0，所以a3＝－a5，即｜a3｜＝｜a5｜，故D不正确.故选A、C.
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11. 若数列{an}的前n项和为Sn，bn＝ ，则称数列{bn}是数列{an}的
“均值数列”.已知数列{bn}是数列{an}的“均值数列”且通项公式为bn
＝n，设数列{ }的前n项和为Tn，若Tn＜ m2－m－1对一切n∈N*
恒成立，则实数m的值可以为（　　）
A. －2 B. 0
C. 2 D. 3
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解析：由题意，得数列{an}的前n项和为Sn，由“均值数列”的定义可得 ＝n，所以Sn＝n2，当n＝1时，a1＝S1＝1；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1，a1＝1也满足an＝2n－1，所以an＝2n－1，所以 ＝ ＝ （ － ），所以Tn＝ （1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝ （1－ ）＜ ，又Tn＜ m2－m－1对一切n∈N*恒成立，所以 m2－m－1≥ ，整理得m2－2m－3≥0，解得m≤－1或m≥3.即实数m的取值范围为（－∞，－1]∪[3，＋∞）.故选A、D.
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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3
＝7，则S5＝ .
解析：设{an}的公比为q，q＞0，且 ＝1，∴a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2
＋a3＝ ＋ ＋1＝7，即6q2－q－1＝0，解得q＝ 或q＝－ （舍去）
∴a1＝ ＝4，S5＝ ＝8×（1－ ）＝ .

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13. 在等差数列{an}中，前m（m为奇数）项和为135，其中偶数项之和为
63，且am－a1＝14，则a100＝ .
解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝135－63
＝72，设等差数列{an}的公差为d，则S奇－S偶＝ ＝72－63
＝9.又am＝a1＋d（m－1），∴ ＝9，∵am－a1＝14，∴a1＝2，
am＝16.∵ ＝135，∴m＝15，∴d＝ ＝1，∴a100＝a1＋
99d＝101.
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解析：设等差数列{an}的公差为d，因为 ＝ ，a1＝3，所以 ＝
＝ ，则a2＝2a1＝a1＋d＝6，故d＝3，所以Sn＝3n＋
×3＝ ，则 ＝ ＝ （ － ），所以 ＝ ＋
＋ ＋…＋ ＝ （1－ ）＋ （ － ）＋ （ － ）＋…＋ （ －
）＝ （1－ ）＝ .
14. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3， ＝ ，则 ＝ .

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四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15. （本小题满分13分）在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an.
（1）求{an}的通项公式；
解：因为a1＝1，an＋1＝3an，
所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.
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（2）数列{bn}是等差数列，Sn为{bn}的前n项和，若b1＝a1＋a2＋a3，b3
＝a3，求Sn.
解：由（1）得，b1＝a1＋a2＋a3＝1＋3＋9＝13，b3＝9，设{bn}的公差
为d，则b3－b1＝2d＝－4，d＝－2，所以Sn＝13n＋ ×（－2）
＝－n2＋14n.
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16. （本小题满分15分）已知数列{an}为等差数列，a1＝1，a2＋a4＝10，
数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝2bn＋1.
（1）求数列{an}的通项公式；
解： 设{an}的公差为d，则a1＋d＋a1＋3d＝10，又a1＝1，解得d
＝2，
则an＝1＋2（n－1）＝2n－1，故所求通项公式为an＝2n－1.
（2）求证：数列{bn＋1}是等比数列；
解： 证明：由于b1＋1＝2≠0，bn＋1＋1＝2bn＋1＋1＝2（bn＋1），
故{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列.
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（3）设cn＝ ＋log2（bn＋1），求数列{cn}的前n项和Sn.
解： 由（2）知，{bn＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，从而bn
＋1＝2n，cn＝ ＋log2（bn＋1）＝22n－1＋log22n＝22n－1＋n，
分别使用等比数列和等差数列的求和公式，可得Sn＝ ＋
＝ － ＋ .
所以Sn＝ － ＋ .
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17. （本小题满分15分）近几年，电动汽车领域有了长足的发展.某公司今
年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装、人工等费
用24万元，从第二年起，包括人工、维修等费用每年比上一年增加8万
元，该生产线每年年产值保持在100万元.
（1）引进该生产线满几年时总盈利最大，最大是多少万元？
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解： 设引进该生产线满n年时的总盈利为Sn，
根据条件可知，每年的人工、维修等费用是首项为24，公差为8的等差
数列，
则Sn＝100n－［n×24＋ ×8］－196
＝－4n2＋80n－196＝－4（n－10）2＋204，
所以当n＝10，即引进该生产线满10年时，总盈利最大，最大值为204
万元.
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（2）引进该生产线满几年时平均盈利最多，最多是多少万元？
解： 设引进该生产线满n年时的平均盈利为Tn，由（1）可知，
Tn＝ ＝－4n－ ＋80＝－（4n＋ ）＋80≤－2 ＋80＝
24，
当4n＝ ，即n＝7时，等号成立，
所以引进该生产线满7年时的平均盈利最多，最多为24万元.
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18. （本小题满分17分）已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，等比数
列{bn}的首项为b，公比为a，n＝1，2，…，其中a，b均为正整数，a1
＜b1＜a2＜b2＜a3.
（1）求a的值；
解： a1＜b1＜a2＜b2＜a3，即a＜b＜a＋b＜ab＜a＋2b.
因为a，b均为正整数且a＜b，
可由ab＜a＋2b得a＜ ＋2＜3，
又由a＋b＜ab可得a＞ ＋1＞1，故a＝2.
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（2）若存在实数m，n满足关系式am＋1＝bn，试求b；
解： an＝a＋（n－1）b，bn＝ban－1.
由am＋1＝bn得a＋（m－1）b＋1＝ban－1，即b＝ ∈N*.
由（1）知b＞a＝2，只有b＝3.
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（3）对于满足（2）中关系式的am，试求a1＋a2＋…＋am.
解： 由（2）知bn＝3×2n－1，am＝bn－1＝3×2n－1－1.
记{cn}是{an}中所有满足am＋1＝bn的项从小到大依次组成的数列，
则数列{cn}的前n项的和就是a1＋a2＋…＋am的值.
所以当cn＝3×2n－1－1时，
a1＋a2＋…＋am＝c1＋c2＋…＋cn＝3（1＋2＋…＋2n－1）－n＝3（2n－
1）－n.
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19. （本小题满分17分）在如图所示的三角形数阵中，第n行有n个数，aij
表示第i行第j个数，例如，a43表示第4行第3个数.该数阵中每一行的第一
个数从上到下构成以m为公差的等差数列，从第三行起每一行的数从左到
右构成以m为公比的等比数列（其中m＞0）.
已知a11＝2，a41＝ a32＋2， ＝m.
（1）求m及a53；
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解：由已知得a31＝a11＋（3－1）×m＝2m＋2，
a32＝a31×m＝（2m＋2）×m＝2m2＋2m，
a41＝a11＋（4－1）×m＝3m＋2，
∵a41＝ a32＋2，
∴3m＋2＝ （2m2＋2m）＋2，即m2－2m＝0.
又m＞0，∴m＝2，
∴a51＝a11＋4×2＝10，∴a53＝a51×22＝40.
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（2）记Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，求Tn.
解：由（1）得an1＝a11＋（n－1）×2＝2n.
当n≥3时，ann＝an1·2n－1＝n·2n.　（*）
又a21＝a11＋2＝4，a22＝ma21＝2×4＝8.
a11＝2，a22＝8符合（*）式，
∴ann＝n·2n.
∵Tn＝a11＋a22＋a33＋…＋ann，
∴Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋…＋n·2n，①
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2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋（n－1）·2n＋n·2n＋1，　②
由①－②得，－Tn＝21＋22＋23＋24＋…＋2n－n·2n＋1＝ －
n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1＝（1－n）·2n＋1－2，
∴Tn＝（n－1）·2n＋1＋2.
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