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(共59张PPT)
第二课时　等差数列的判定及性质
1.掌握等差数列的判定与证明的方法（逻辑推理、数学运算）.
2.掌握等差数列的性质及应用（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
如图，第一层有一个球，第二层有2个球，最上层有16个球.通过上一节的学习我们已经知道了相邻两层球的个数之间的规律，那么每隔一层的球的个数又有什么规律呢？每隔二层呢？这就是这节课我们要学习的内容.
情境导入
知识点一　等差数列的通项公式与一次函数的关系
01
知识点二　等差数列的判定与证明
02
知识点三　等差数列的性质
03
课时作业
04
目录
知识点一
等差数列的通项公式与一次函数的关系
01
PART
问题1　我们知道，数列是一种特殊的函数，根据等差数列的通项公式，
你认为它与哪一类函数有关？
提示：一次函数.由于an＝a1＋（n－1）d＝dn＋（a1－d），故an是函
数f（x）＝dx＋（a1－d）当x＝n时的函数值，即an＝f（n），点
（n，an）则是函数f（x）＝dx＋（a1－d）图象上均匀分布的孤立的
点，其中d是直线f（x）＝dx＋（a1－d）的斜率.
【知识梳理】
1. 等差数列和一次函数的关系
若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f（n）＝a1＋（n
－1）d＝nd＋（a1－d），n∈N*.
（1）点（n，an）落在直线y＝dx＋（a1－d）上；
（2）这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加 .
d　
2. 由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的
影响.
（1）当d 0时，数列为递增数列，如图1；
（2）当d 0时，数列为递减数列，如图2；
（3）当d 0时，数列为常数列，如图3.
＞　
＜　
＝　
【例1】　〔多选〕下列判断正确的是（　　）
A. 等差数列{an}中，a3＝4，a4＝2，则数列{an}是递增数列
B. 若an＝kn＋b（k，b为常数，n∈N*），则数列{an}是等差数列
C. 等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率
D. 若数列{an}是等差数列，且an＝kn2－n，则k＝0
解析：A项，公差d＝a4－a3＝－2＜0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B、C、D均正确.
√
√
√
【规律方法】
熟练掌握等差数列通项公式an＝dn＋（a1－d）＝kn＋b是关于n的一次
函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的
单调性.
训练1　（1）已知数列{an}为等差数列，a4＝15，a7＝27，则过点P
（3，a3），Q（5，a5）的直线的斜率为 ；
解析：由题意 则d＝4，所以斜率k＝d＝4.
（2）已知单调递增的等差数列{an}满足a1＝1，a3＝ －4则an＝
.
解析：设等差数列{an}的公差为d，则由a3＝ －4得，1＋2d＝（1＋
d）2－4，解得d＝±2，由于数列{an}为递增数列，所以d＝2，故an＝a1
＋（n－1）×2＝2n－1.
4
2n－
1
知识点二
等差数列的判定与证明
02
PART
问题2　若数列{an}满足2a2＝a1＋a3，能说明{an}是等差数列吗？若满足
2an＝ ＋ ，n≥2呢？
提示：由2a2＝a1＋a3可得a3－a2＝a2－a1，只能说明a1，a2，a3等差，不
代表整个数列；而2an＝ ＋ ，n≥2可以化为 －an＝an－
，考虑n的任意性，说明an－ 为常数，符合等差数列的定义，可
以说明{an}是等差数列.
【知识梳理】
等差数列的证明（判定）方法
（1）定义法：an－an－1＝ （n≥2）或 ＝d；
（2）等差中项法：2an＝ ＋an＋1（n≥2）；
（3）通项公式法：an＝pn＋q（p，q为常数）.
d　
an＋1－an　
an－1　
【例2】　在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝ ，设bn＝ ，n∈N*.求
证：数列{bn}是等差数列.
证明：法一　由条件知， ＝ ＝ ＋1，
所以 － ＝1，所以bn＋1－bn＝1.
又b1＝ ＝1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
法二　由条件，得bn＋1－bn＝ － ＝ － ＝ ＝1.又b1＝ ＝
1，所以数列{bn}是首项为1，公差为1的等差数列.
【规律方法】
1. 判定一个数列是否为等差数列可以用定义法（作差法）、等差中项法及
通项公式法，前两个方法较为严谨，可用于解答题，通项公式法一般适用
于选择、填空题.
2. 要否定一个数列是等差数列，只要举出一个反例，即说明其中存在连续
三项不等差即可.
训练2　已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2 ＋1（n≥2，n∈N*），
记bn＝log2（an＋1）.
（1）判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
解： {bn}是等差数列，理由如下：
因为a1＝1，an＝2 ＋1（n≥2），所以an＞0.
b1＝log2（a1＋1）＝log22＝1，
当n≥2时，bn－ ＝log2（an＋1）－log2（an－1＋1）＝log2 ＝
log2 ＝log2 ＝log22＝1，
所以{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
（2）求数列{an}的通项公式.
解：由（1）得bn＝1＋（n－1）×1＝n，
所以an＋1＝ ＝2n，所以an＝2n－1.
知识点三
等差数列的性质
03
PART
问题3　（1）已知an，am是等差数列{an}中的任意两项，你能利用通项公
式建立两者之间的关系吗？
提示：由an＝a1＋（n－1）d，am＝a1＋（m－1）d，两式相减得an－
am＝（n－m）d，即an＝am＋（n－m）d.
（2）在等差数列{an}中，如果p＋q＝m＋n（m，n，p，q∈N*），那
么ap＋aq与am＋an有何数量关系？
提示：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则ap＝a1＋（p－1）d，
aq＝a1＋（q－1）d，am＝a1＋（m－1）d，an＝a1＋（n－1）d，所
以ap＋aq＝2a1＋（p＋q－2）d，am＋an＝2a1＋（m＋n－2）d，因为
p＋q＝m＋n，所以ap＋aq＝am＋an.
【知识梳理】
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
（1）an＝am＋ d，d＝ （m，n∈N*，且m≠n）；
（2）若m＋n＝s＋t，则am＋an＝ ；特别地，若m＋n＝
2p，则am＋an＝2ap（m，n，s，t，p∈N*）；
（3）对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项
的 ，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋ ＝…；
（n－m）　
as＋at　
和　
（4）下标成等差数列的项ak， ， ，…组成以 为公
差的等差数列.
　　提醒：在等差数列{an}中：（1）由m＋n＝p（m，n，p∈N*）不
能得到am＋an＝ap；（2）由am＋an＝ap＋aq不能得到m＋n＝p＋q，
如常数列.
md　
角度1　an＝am＋（n－m）d的应用
【例3】　已知{an}为等差数列，a15＝8，a60＝20，则a75＝ .
解析：法一　设数列{an}的公差为d，则a60＝a15＋（60－15）d＝8＋
45d＝20，所以d＝ ＝ ＝ ，所以a75＝a60＋（75－60）d＝20＋
15× ＝24.
24
法二　因为{an}为等差数列，所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数
列，设其公差为d，a15为首项，则a60为第四项，所以a60＝a15＋3d，解得
d＝4，所以a75＝a60＋d＝24.
【规律方法】
灵活利用等差数列通项公式的变形，可以减少运算.令m＝1，an＝am＋
（n－m）d即变为an＝a1＋（n－1）d，可以减少记忆负担.
角度2　等差数列性质的应用
【例4】　（1）在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝
118，则a4＋a10＝（　B　）
A. 45 B. 50
C. 75 D. 60
解析：因为在等差数列{an}中，a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，所
以a2＝ ，a12＝ ，所以a4＋a10＝a2＋a12＝50.
B
（2）已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），且a3＋a6＋a10＋a13＝32，
若am＝8，则m＝（　B　）
A. 12 B. 8
C. 6 D. 4
解析：由等差数列的性质得，a3＋a6＋a10＋a13＝（a3＋a13）＋（a6＋
a10）＝2a8＋2a8＝4a8＝32，所以a8＝8，又d≠0，所以m＝8.
B
变式　若本例（2）条件变为“若a3＋a11＝6”，则S13＝ .
解析：S13＝a1＋a2＋a3＋…＋a11＋a12＋a13＝（a1＋a13）＋（a2＋a12）
＋（a3＋a11）＋…＋（a6＋a8）＋a7＝2a7＋2a7＋…＋2a7＋a7＝6×2a7
＋a7＝13a7.又a3＋a11＝2a7＝6，故a7＝3，S13＝13×3＝39.
39
【规律方法】
　等差数列运算的两种常用方法及思路
（1）基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程（组），确定a1，
d，然后求其他量；
（2）巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m＋n＝p＋q＝2r
（m，n，p，q，r∈N*），则am＋an＝ap＋aq＝2ar.
训练3　（1）已知数列{an}是等差数列，若a1－a9＋a17＝7，则a3＋a15＝
（　B　）
A. 7 B. 14
C. 21 D. 7（n－1）
解析：∵a1－a9＋a17＝（a1＋a17）－a9＝2a9－a9＝a9＝7，∴a3＋a15＝
2a9＝2×7＝14.
B
（2）已知{bn}为等差数列，若b3＝－2，b10＝12，则b8＝ .
解析：法一　∵{bn}为等差数列，∴可设其公差为d，则d＝ ＝
＝2，∴bn＝b3＋（n－3）d＝2n－8，∴b8＝2×8－8＝8.
8
法二　由 ＝ ＝d，得b8＝ ×5＋b3＝2×5＋（－2）＝8.
1. 在等差数列{an}中，a10＝18，a2＝2，则公差d＝（　　）
A. －1 B. 2
C. 4 D. 6
解析：　由题意知a10－a2＝8d，即8d＝16，d＝2.
√
2. 在等差数列{an}中，a1＝2，a3＋a5＝10，则a7＝（　　）
A. 5 B. 8
C. 10 D. 14
解析：　由等差数列的性质可得a1＋a7＝a3＋a5＝10，又因为a1＝2，所
以a7＝8.
√
3. 已知数列{an}满足a1＝1，若点（n， ）（n∈N*）在斜率为1的直线
上，则an＝ .
解析：由题意可得，{ }为等差数列，且公差d＝1.又a1＝1，所以 ＝
＋（n－1）×1＝n，所以an＝n2.
4. 已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，2an＋1＝2an＋3（n≥2，n∈N*），
试判断数列{an}是否是等差数列并说明理由.
解：当n≥2时，由2an＋1＝2an＋3，得an＋1－an＝ ，但a2－a1＝2－1＝
1≠ ，故数列{an}不是等差数列.
n2
课堂小结
1. 理清单
（1）等差数列的通项公式与一次函数的关系；
（2）等差数列的判定与证明；
（3）等差数列的性质.
2. 应体会
（1）研究等差数列的通项公式与一次函数的关系时，应用了函数思想；
（2）研究等差数列的性质时利用了方程思想.
3. 避易错
（1）不注意运用性质而出错或解法繁琐；
（2）忽视等差数列性质am＋an＝ap＋aq的应用条件：该性质要求下标的
和相等，且左右两侧项数相同.
课时作业
04
PART
1. 在数列{an}中，a1＝2，2 ＝2an＋1（n∈N*），则a101＝（　　）
A. 52 B. 50
C. 51 D. 49
解析：　由已知得， －an＝ ，n∈N*，所以{an}是首项为2，公差
为 的等差数列，所以a101＝2＋100× ＝52.
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2. 在等差数列{an}中，a1＋2a3＋a5＝16，则a6－3a4＝（　　）
A. －8 B. －6
C. －4 D. －2
解析：　因为数列{an}为等差数列，且a1＋2a3＋a5＝16，得4a3＝16，
所以a3＝4，所以a6－3a4＝a3＋3d－3（a3＋d）＝－2a3＝－8.故选A.
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3. 在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝－6，a4a5＝8，则公差d＝
（　　）
A. 4 B. 2
C. －2 D. 2或－2
解析：　因为在递增的等差数列{an}中，a3＋a6＝a4＋a5＝－6，a4a5＝
8，所以a4＝－4，a5＝－2，则公差d＝a5－a4＝2.
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4. 在等差数列{an}中，a15＝33，a25＝66，则a45＝（　　）
A. 99 B. 123
C. 132 D. 145
解析：　在等差数列{an}中，a15，a25，a35，a45成等差数列，公差是a25
－a15＝33.所以a45＝33＋3×33＝132.
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5. 已知（1，3），（3，－1）是等差数列{an}图象上的两点，若5是p，q
的等差中项，则ap＋aq＝（　　）
A. －10 B. －5
C. 5 D. 10
解析：　法一　设等差数列的通项公式为an＝xn＋y，代入点的坐标得
解得 即an＝－2n＋5，由于5是p，q的等差中
项，故p＋q＝10，所以ap＋aq＝2a5＝2×（－10＋5）＝－10.
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法二　由题意知，（1，3），（3，－1），（5，a5）三点共线，所以
＝ ，所以a5＝－5.由于5是p，q的等差中项，故p＋q＝10，
所以ap＋aq＝2a5＝－10.
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6. 〔多选〕下列命题中，与命题“{an}为等差数列”等价的是（　　）
A. an＋1＝an＋d（d为常数）
B. 数列{－an}是等差数列
C. 数列{ }是等差数列
D. an＋1是an与an＋2的等差中项
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解析： 　对于A，即an＋1－an＝d，故A正确；对于B，数列{－an}是
等差数列，则－an＋1＝－an＋d，d为常数，故an＋1－an＝－d，－d为常
数，故B正确；对于C，数列{ }是等差数列，则 － ＝d，d为常
数，不能推导出{an}为等差数列，故C错误；易知D正确.
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7. 〔多选〕已知等差数列{an}满足a1＞0，且a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，
则（　　）
A. a1＋a101＞0
B. a1＋a101＜0
C. a3＋a99＝0
D. a51＜a50
解析： 　根据等差数列的性质，得a1＋a101＝a2＋a100＝…＝a50＋a52＝
2a51，因为a1＋a2＋a3＋…＋a101＝0，所以101a51＝0，所以a1＋a101＝a3
＋a99＝2a51＝0.又a1＞0，所以d＜0，a51＝a50＋d＜a50，故选C、D.
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8. 在等差数列{an}中，a2＋a12＝40，则a5－a6＋a7－a8＋a9＝ .
解析：在等差数列{an}中，因为a2＋a12＝a5＋a9＝a6＋a8＝2a7＝40，所
以a7＝20，所以a5－a6＋a7－a8＋a9＝（a5＋a9）－（a6＋a8）＋a7＝a7
＝20.
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9. 在等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a1
＋a1 013＋a2 025＝ .
解析：∵a2，a2 024为方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a2＋a2 024＝10，由等
差数列的性质得2a1 013＝10，即a1 013＝5，∴a1＋a1 013＋a2 025＝3a1 013＝
15.
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10. （1）已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8的值；
解： 法一　根据等差数列的性质得a2＋a10＝a4＋a8＝2a6，
由a2＋a6＋a10＝1，得3a6＝1，
解得a6＝ ，∴a4＋a8＝2a6＝ .
法二　设公差为d，根据等差数列的通项公式，
得a2＋a6＋a10＝（a1＋d）＋（a1＋5d）＋（a1＋9d）＝3a1＋15d，
由题意知，3a1＋15d＝1，即a1＋5d＝ .
∴a4＋a8＝2a1＋10d＝2（a1＋5d）＝ .
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（2）设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，
求a11＋a12＋a13的值.
解：设公差为d（d＞0），∵a1＋a3＝2a2，
∴a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5.
又a1a2a3＝80，{an}是公差为正数的等差数列，
∴a1a3＝（5－d）（5＋d）＝16 d＝3或d＝－3（舍去），
∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.
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11. 若a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则
（　　）
A. a1a8＞a4a5 B. a1a8＜a4a5
C. a1＋a8＞a4＋a5 D. a1a8＝a4a5
解析：　因为a1＋a8＝2a1＋7d，a4＋a5＝2a1＋7d，所以a1＋a8＝a4＋
a5，故C错误；因为a1a8－a4a5＝a1（a1＋7d）－（a1＋3d）（a1＋4d）
＝－12d2＜0，所以a1a8＜a4a5，故A、D错误，B正确.
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12. 已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12
＋a13＋a14＝77，则a15 ＝ ，若ak＝15，则k＝ .
解析：∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17，∴a7＝ .又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝
11a9＝77，∴a9＝7.故d＝ ＝ ＝ ，∴a15＝a9＋（15－9）d＝7
＋6× ＝11.∵ak＝a9＋（k－9）d＝15，∴15－7＝（k－9）× ，∴k
＝21.
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13. 已知等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，a7－3a3≤8，则a4
的取值范围为 .
解析：∵等差数列{an}是递增数列，且a1＋a2＋a3≤3，即3a1＋3d≤3，
∴a1＋d≤1，∴a2≤1，公差d＞0.又∵a7－3a3≤8，∴a1＋6d－3（a1＋
2d）＝－2a1≤8，∴a1≥－4，则0＜d＝a2－a1≤5，∴a4＝a1＋3d＞－
4.a4＝a2＋2d≤1＋10＝11，∴a4的取值范围为（－4，11].
（－4，11]
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14. 已知数列{an}满足an＋1＝ （n∈N*），且a1＝0.
（1）求a2，a3；
解： 因为a1＝0，an＋1＝ （n∈N*），
所以a2＝ ＝ ，a3＝ ＝ .
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（2）是否存在一个实数λ，使得数列{ }为等差数列？请说明理由.
解：假设存在一个实数λ，使得数列{ }为等差数列，所以
＝ ＋ ，
即 ＝ ＋ ，解得λ＝1.
因为 － ＝ － ＝ － ＝
＝－ ，
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又 ＝－1，
所以存在一个实数λ＝1，使得数列{ }是首项为－1，公差为－ 的等
差数列.
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15. 已知数列{an}和{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，数列{cn}满
足cn＝an＋2bn.
（1）数列{cn}是不是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明
理由；
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解： 数列{cn}是等差数列，理由如下：
因为数列{an}，{bn}都是等差数列，公差分别为d1，d2，所以d1＝an＋1－
an，d2＝bn＋1－bn，n∈N*，
因为cn＝an＋2bn，
所以cn＋1－cn＝an＋1＋2bn＋1－（an＋2bn）
＝（an＋1－an）＋2（bn＋1－bn）＝d1＋2d2为常数，
所以数列{cn}是以d1＋2d2为公差的等差数列.
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（2）若{an}的公差为－2，{bn}的公差为－3，a1＝5，b1＝8，求数列
{cn}的通项公式.
解： 因为a1＝5，b1＝8，
所以c1＝a1＋2b1＝5＋2×8＝21，
由（1）可知数列{cn}是等差数列，且公差为d1＋2d2，
因为{an}的公差为－2，{bn}的公差为－3，
所以数列{cn}的公差d＝－2＋2×（－3）＝－8，
所以数列{cn}的通项公式为cn＝c1＋（n－1）d＝21－8（n－1）＝29－
8n.
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