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(共59张PPT)
第一课时　等差数列的概念及通项公式
1.理解等差数列、等差中项的概念（数学抽象）.
2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式
解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）.
　　
课标要求
北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，从内到外每一圈的石板数依次为9，18，27，36，45，54，※.
　　你能猜出※代表的数字吗？
情境导入
知识点一　等差数列的概念
01
知识点二　等差中项
02
知识点三　等差数列的通项公式
03
课时作业
04
目录
知识点一
等差数列的概念
01
PART
问题1　观察下列三个问题中的数列：
①全国统一鞋号中，成年女鞋的各种尺码（表示以cm为单位的鞋底的长
度）由大到小可排列为25，24.5，24，23.5，23，22.5；
②在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的时间：1682，1758，
1834，1910，1986；
③为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班5名男生1分
钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10.
以上数列有什么共同特征？
提示：对于①，24.5－25＝－0.5，…；对于②，1758－1682＝76，…；
对于③，10－10＝0，….观察可知这3个数列从第二项起，每一项与它前
一项的差都等于同一个常数.
【知识梳理】
1. 概念：一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项
的 都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常
数叫做等差数列的 ，公差通常用字母d表示.
2. 符号语言：an－an－1＝d（常数）（n≥2，n∈N*） {an}是等差数
列，或an＋1－an＝d（常数）（n∈N*） {an}是等差数列.
　　提醒：（1）定义中强调“从第2项起”，因为第1项没有前一项；
（2）作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒；（3）差必须
是同一个常数；（4）公差可以是正数、负数、零.
2　
差　
同一个常数　
公差　
【例1】　（链接教材P15练习1题）判断下列各组数列是不是等差数列.如
果是，写出首项a1和公差d.
（1）1，3，5，7，9，…；
解：是，a1＝1，d＝2.
（2）9，6，3，0，－3，…；
解：是，a1＝9，d＝－3.
（3）1，3，4，5，6，…；
解：不是.
（4）7，7，7，7，7，…；
解：是，a1＝7，d＝0.
（5）1， ， ， ， ，….
解：不是.
【规律方法】
利用定义判断等差数列的策略
从第二项起，检验每一项减去它的前一项所得的差是否都等于同一个常
数，若是同一个常数，则是等差数列，否则不是等差数列.
训练1　（1）下列说法正确的是（　C　）
A. 若an＋1－an＝n（n∈N*），则{an}是等差数列
B. 等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列
C. 若a－b＝b－c，则a，b，c成等差数列
D. 数列{an}的通项公式为an＝ 则{an}是等差数列
C
解析：对于A，n不是固定常数，因此该数列不是等差数列，故A不正确；
对于B，公差d可以等于0，故B不正确；对于C，由a－b＝b－c，可得b
－a＝c－b，因此a，b，c成等差数列，故C正确；对于D，由数列{an}
的通项公式知，a1＝1，a2＝1，a3＝2，…，a2－a1≠a3－a2，故{an}不是
等差数列，故D不正确.故选C.
（2）已知数列 是等差数列，且a1＝2，a3＝6，则该等差数列的公差d
＝（　D　）
A. B. 1
C. D. 2
D
解析：由等差数列的定义可知a2－a1＝a3－a2，所以a2＝4，故公差d＝a2
－a1＝2.
知识点二
等差中项
02
PART
问题2　（1）如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？
提示：由等差数列的定义可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.
（2）若三个数a，b，c满足2b＝a＋c，则a，b，c一定是等差数列
吗？反之，是不是也成立？
提示：若a，b，c满足2b＝a＋c，即b－a＝c－b，故a，b，c为等差
数列.反之，若a，b，c成等差数列，则有2b＝a＋c成立.
【知识梳理】
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时，
A叫做a与b的 ，且2A＝ .
　　提醒：（1）任意两个实数都有等差中项，且唯一；（2）等差中项的
几何意义是两个实数的平均数，即A＝ ；（3）等差数列{an}中，an
是an－k和an＋k的等差中项，注意序号间的关系.
等差中项　
a＋b　
【例2】　（1）（链接教材P15练习2题）若a＝ ，b＝ ，则
a，b的等差中项为（　A　）
A. B.
C. D.
解析：　由题知a，b的等差中项为 （ ＋ ）＝ （ －
＋ ＋ ）＝ .
A
（2）（链接教材P15练习5题）在－1与7之间顺次插入三个数a，b，c，
使这五个数成等差数列，求此数列.
解：∵－1，a，b，c，7成等差数列，
∴b是－1与7的等差中项，∴b＝ ＝3.
又a是－1与3的等差中项，∴a＝ ＝1.
又c是3与7的等差中项，∴c＝ ＝5.
∴该数列为－1，1，3，5，7.
【规律方法】
　等差中项的应用策略
（1）求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝ ；
（2）证三项成等差数列，只需证中间一项为两边两项的等差中项即可，
即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则
a，b，c成等差数列.
训练2　（1）已知a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，则3a－5和4a＋6的
等差中项为 ；
解析：因为a＋3是2a－1和2a＋1的等差中项，所以2（a＋3）＝2a－1＋
2a＋1，解得a＝3，则3a－5＝4，4a＋6＝18，所以3a－5和4a＋6的等
差中项为 ＝11.
11
证明：∵ ， ， 成等差数列，
∴ ＝ ＋ ，即2ac＝b（a＋c）.
∵ ＋ ＝
＝ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ， ， 成等差数列.
（2）已知 ， ， 是等差数列，求证： ， ， 也是等差数
列.
知识点三
等差数列的通项公式
03
PART
问题3　你能根据等差数列的定义an－an－1＝d（n≥2），推导出等差数
列的通项公式吗？
提示：法一（归纳法）　由题意知，an＝ ＋d，故有a2＝a1＋d，a3
＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…，归纳可得an＝a1＋（n－
1）d（n≥2）.当n＝1时，上式也成立，故an＝a1＋（n－1）d.
法二（累加法）　a2－a1＝d，a3－a2＝d，a4－a3＝d，…，an－an－1＝
d，左右两边分别相加可得，an－a1＝（n－1）d，即an＝a1＋（n－1）
d.
法三（迭代法）　因为{an}是等差数列，所以an＝an－1＋d＝an－2＋d＋d
＝an－2＋2d＝an－3＋d＋2d＝an－3＋3d＝…＝a1＋（n－1）d.
【知识梳理】
首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为an＝
.
a1＋（n－1）
d　
【例3】　在等差数列{an}中.
（1）已知a5＝－1，a8＝2，求a1与d；
解：∵a5＝－1，a8＝2，
∴ 解得
角度1　等差数列基本量的计算
（2）已知a1＋a6＝12，a4＝7，求a9.
解：设数列{an}的公差为d，
由已知得， 解得
∴an＝1＋（n－1）×2＝2n－1，
∴a9＝2×9－1＝17.
角度2　等差数列通项公式的应用
【例4】　已知等差数列{an}中，a15＝33，a61＝217，试判断153是不是这
个数列的项？如果是，是第几项？
解：设首项为a1，公差为d，则an＝a1＋（n－1）d，
由已知得 解得
所以an＝－23＋（n－1）×4＝4n－27，
令an＝153，即4n－27＝153，解得n＝45∈N*，所以153是所给数列的第
45项.
变式　若本例条件不变，求a38及a30＋a46的值，并判断2a38与a15＋a61是否
相等？a30＋a46与a15＋a61是否相等？
解：由例4知a15＋a61＝33＋217＝250，an＝4n－27，
所以a38＝4×38－27＝125，a30＋a46＝4×30－27＋4×46－27＝250，
故2a38＝a15＋a61，a30＋a46＝a15＋a61.
【规律方法】
　等差数列通项公式的求法与应用技巧
（1）等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通
项公式，只需求出首项与公差即可；
（2）等差数列{an}的通项公式an＝a1＋（n－1）d中共含有四个参数，
即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个参数，那么就可以由通项
公式求出第四个参数，即“知三求一”.
训练3　（1）2 024是等差数列4，6，8，…的（　C　）
A. 第1 009项 B. 第1 010项
C. 第1 011项 D. 第1 012项
解析：∵此等差数列的公差d＝2，a1＝4，∴an＝4＋（n－1）×2＝2n＋
2，令2 024＝2n＋2，解得n＝1 011.
（2）在等差数列{an}中，
①已知a4＝10，a14＝70，求an；
②已知a3＝0，a7－2a4＝－1，求公差d；
③已知{an}的前3项依次为2，6，10，求a15.
C
解：①由题意得
解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝6n－14.
②由题意得
解得
③由题意得，d＝6－2＝4，把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋（n－1）d，得
an＝2＋（n－1）×4＝4n－2，所以a15＝4×15－2＝58.
1. 下列数列是等差数列的是（　　）
A. ， ， B. lg 5，lg 6，lg 7
C. 1， ， D. 2，3，5
解析：　对于A， － ≠ － ，A不是等差数列；对于B，lg 6－lg 5≠lg
7－lg 6，B不是等差数列；对于C， －1＝ － ，C是等差数列；对于D，
3－2≠5－3，D不是等差数列.故选C.
√
2. 已知等差数列{an}的前三项分别为a－1，a＋1，2a＋1，则该数列的
通项公式为（　　）
A. an＝2n－5 B. an＝2n－3
C. an＝2n－1 D. an＝2n＋1
解析：　设该等差数列的公差为d，因为等差数列{an}的前三项分别为a
－1，a＋1，2a＋1，所以2（a＋1）＝a－1＋2a＋1，解得a＝2，所以
a1＝1，d＝2，所以an＝a1＋（n－1）d＝2n－1.
√
3. 在等差数列{an}中，
（1）已知a1＝2，d＝3，n＝10，则an＝ ；
解析： a10＝a1＋（10－1）d＝2＋9×3＝29.
（2）已知a1＝3，an＝21，d＝2，则n＝ .
解析：由an＝a1＋（n－1）d，得3＋2（n－1）＝21，解得n＝10.
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课堂小结
1. 理清单
（1）等差数列的概念；
（2）等差中项；
（3）等差数列的通项公式.
2. 应体会
（1）推导等差数列的通项公式时，可应用归纳法、累加法、迭代法；
（2）求等差数列的通项公式及进行基本运算时要注意方程思想的应用.
3. 避易错
（1）在具体应用问题中项数不清；
（2）忽略等差数列通项公式d＝0的情况.
课时作业
04
PART
1. 已知在等差数列{an}中，a1＝1，d＝3，则当an＝298时，n＝（　　）
A. 90 B. 96
C. 98 D. 100
解析：　由题意知1＋3（n－1）＝298，解得n＝100.
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√
2. 已知数列{an}是等差数列，若a1＝2，a4＝2a3，则公差d＝（　　）
A. 0 B. 2
C. －1 D. －2
解析：　因为数列{an}是等差数列，公差为d，若a1＝2，a4＝2a3，则2
＋3d＝2（2＋2d），解得d＝－2.故选D.
√
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3. 已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋6，则a5＝（　　）
A. 25 B. 30 C. 32 D. 64
解析：　由an＋1＝an＋6得an＋1－an＝6，所以{an}是以6为公差的等差数
列，又a1＝1，所以a5＝a1＋（5－1）×6＝1＋24＝25，故选A.
√
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4. 一个等差数列的前4项是a，x，b，2x（b≠0，x≠0），则 ＝
（　　）
A. B.
C. D.
解析：　∵b是x，2x的等差中项，∴b＝ ＝ ，又∵x是a，b的
等差中项，∴2x＝a＋b，∴a＝ ，∴ ＝ .
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5. 等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是（　　）
A. 第7项 B. 第8项
C. 第9项 D. 第10项
解析：　∵a1＝20，d＝－3，∴an＝20＋（n－1）×（－3）＝23－
3n，∴a7＝2＞0，a8＝－1＜0.故数列中第一个负数项是第8项.
√
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6. 〔多选〕下列通项公式表示的数列为等差数列的是（　　）
A. an＝3n＋1 B. an＝n2＋1
C. an＝1 D. an＝1－2n
解析： 　对于A，∵an＋1－an＝3（n＋1）＋1－（3n＋1）＝3，为常
数，∴此数列为等差数列，A正确；对于B，an＋1－an＝（n＋1）2＋1－
（n2＋1）＝2n＋1，不是一个常数，故该数列不是等差数列，B不正确；
对于C，an＋1－an＝1－1＝0，为常数，该数列是等差数列，C正确；对于
D，an＋1－an＝1－2（n＋1）－（1－2n）＝－2，为常数，该数列是等差
数列，D正确.故选A、C、D.
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7. 〔多选〕在数列{an}中，已知a2＝2，a6＝0，且数列 是等差数
列，公差为d，则（　　）
A. a4＝ B. a3＝1
C. d＝ D. d＝
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√
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解析： 　由题意得 解得 因此
＝ ＋3d＝ ，故a4＝ ， ＝ ＋2d＝ ，解得a3＝1.
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8. 在数列{an}中，若 ＝ ＋ ，a1＝8，则数列{an}的通项公式
为 .
解析：由题意得 － ＝ ，故数列{ }是首项为 ＝2 ，
公差为 的等差数列，所以 ＝2 ＋ （n－1）＝ n＋ ，故
an＝2（n＋1）2.
an＝2（n＋1）2
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9. 已知△ABC的三边a，b，c成等差数列， ， ， 也成等差数
列，则△ABC的形状为 .
解析：因为a，b，c成等差数列， ， ， 也成等差数列，所以
则4b＝（ ＋ ）2＝a＋c＋2 ，即a＋c＝
2 ，所以（ － ）2＝0，故a＝c＝b，所以△ABC为等边三角形.
等边三角形
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10. 在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.
（1）求该数列的第10项；
（1）a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.
解：设数列{an}的公差为d，
则 解得
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（2）问112是数列{an}的第几项？
解： an＝－2＋（n－1）×3＝3n－5，
由112＝3n－5，解得n＝39.
所以112是数列{an}的第39项.
（3）在80到110之间有多少项？
解：由80＜3n－5＜110，
解得28 ＜n＜38 ，
所以n的取值为29，30，…，38，共10项.
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11. 已知a＞0，b＞0，并且 ， ， 成等差数列，则a＋9b的最小值为
（　　）
A. 2 B. 4
解析：由等差中项的定义可得 ＋ ＝1，故a＋9b＝（a＋9b）·（
＋ ）＝1＋ ＋ ＋9≥10＋2 ＝16（当且仅当a＝4，b＝ 时取
等号）.
C. 8 D. 16
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12. 若首项为－21的等差数列{an}从第8项起开始为正数，则公差d的取值
范围是（　　）
A. （3，＋∞） B. （－∞， ）
C. ［3， ） D. （3， ］
解析：　由题意可知an＝－21＋（n－1）d.∵从第8项起开始为正数，
∴a7＝－21＋6d≤0，a8＝－21＋7d＞0，解得3＜d≤ .
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13. （2025·泉州质检）已知数阵 中，每行、每列
的四个数均成等差数列，如果数阵中a12＝2，a31＝1，a34＝7，那么a22
＝ .
解析：设第三行的四个数的公差为d3，由a31＝1，a34＝7，得d3＝2，所以
a32＝1＋2＝3，因为第二列的四个数成等差数列，所以a22是a12，a32的等
差中项，所以a22＝ ＝ ＝ .

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14. 在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且 ＝a2·a9.
（1）求数列{an}的首项和公差；
解： 设等差数列{an}的公差为d，由已知可得
或 即数列{an}
的首项是4，公差为0或首项是1，公差为3.
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（2）设bn＝ ，若bm＋ ＝ ，求正整数m的值.
解： 由（1）可知an＝4或an＝1＋3（n－1）＝3n－2，当an＝4时，
bn＝ ＝1，
又bm＋ ＝ ，而1＋1＝2＞1，不满足题意；
当an＝3n－2时，
bn＝ ＝ ，
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又bm＋ ＝ ，
所以 ＋ ＝ ，
整理得m2－5m－6＝0，因为m为正整数，
所以m＝6.
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15. 已知数列a1，a2，…，a30，其中a1，a2，…，a10是首项为1，公差为1
的等差数列；a10，a11，…，a20是公差为d（d≠0）的等差数列；a20，
a21，…，a30是公差为d2的等差数列.
（1）若a20＝40，求d；
解： 依题意得，a10＝10，a20＝10＋10d＝40，所以d＝3.
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（2）试写出a30关于d的关系式，并求a30的取值范围；
解： a30＝a20＋10d2＝10（1＋d＋d2）（d≠0），
故a30＝10［（d＋ ）2＋ ］，
当d∈（－∞，0）∪（0，＋∞）时，a30∈［ ，＋∞）.
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（3）续写已知数列，使得a30，a31，…，a40是公差为d3的等差数列，以此
类推，把已知数列推广为无穷数列.
解： 所给数列可推广为无穷数列{an}，其中a1，a2，…，a10是首项
为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，a10n，a10n＋1，…，a10（n＋1）是公
差为dn的等差数列.
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