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(共55张PPT)
第一课时　等差数列的前n项和公式
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程（逻辑推理、数学运算）.
2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，
an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个（数学运算）.
3.了解等差数列前n项和公式与二次函数的关系（逻辑推理）.
课标要求
我们知道，梯形的面积公式为S＝ （a＋b）h，那么你知道怎么推导这个公式吗？这里有一个很“有趣”的方法，如下面的示意图：
　　将梯形“倒置”，恰好拼接为一个平行四边形，平行四边形的面积为（a＋b）h，可得到梯形的面积为S＝ （a＋b）h，你看懂了吗？
情境导入
知识点一　等差数列的前n项和公式
01
知识点二　利用等差数列前n项和公式求基本量
02
知识点三　利用等差数列前n项和公式判断等差数列
03
课时作业
04
目录
知识点一
等差数列的前n项和公式
01
PART
问题1　（1）据说，200多年前，高斯的算术老师提出了一个问题：1＋2
＋3＋4＋…＋100＝？当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯
却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋…＋
（50＋51）＝101×50＝5 050.你能说说高斯在求和过程中利用了数列的什
么性质吗？
提示：对于上述数列，设an＝n，那么高斯的计算方法可以表示为（a1＋
a100）＋（a2＋a99）＋…＋（a50＋a51）＝101×50＝5 050，可以发现，高
斯在计算中利用了a1＋a100＝a2＋a99＝…＝a50＋a51，这就是上一节学过
的性质的应用，它使不同数的求和问题转化为相同数（即101）的求和，
从而简化了运算.
（2）将上述方法推广到一般，你能求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n吗？
提示：当n是偶数时，有a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ ＋ ，∴Sn＝1＋2
＋3＋…＋n＝（1＋n）＋[2＋（n－1）]＋…＋［ ＋（ ＋1）］＝
＝ .
当n为奇数时，有Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）＋[2＋（n－1）]＋…
＋［（ －1）＋（ ＋1）］＋ ＝
＋ ＝ ·（1＋n）＋ ＝ .
∴对任意正整数n，都有Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ .
（3）你能不进行分类讨论求解Sn＝1＋2＋3＋…＋n吗？
提示：Sn＝1＋2＋3＋…＋n，Sn＝n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋1，两
式相加，得2Sn＝（1＋n）＋（1＋n）＋…＋（1＋n）＝n（1＋n），
∴Sn＝ .
①＋②，得2Sn＝（a1＋an）＋（a2＋an－1）＋…＋（an＋a1）＝
＝n（a1＋an）.
∴Sn＝ .
（4）应用（3）的方法，你能求等差数列{an}中Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an
的和吗？
提示：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，　①
Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a1，　②
【知识梳理】
等差数列的前n项和公式
已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数
选用公式 Sn＝ Sn＝
　
na1＋
d　
【例1】　（链接教材P21例6）已知数列{an}为等差数列.
（1）若a1＝3，a30＝97，求S30；
解：根据等差数列前n项和公式可得，S30＝ ＝
＝1 500.
（2）若a1＝80，d＝－2，求S60；
解：根据等差数列前n项和公式可得，S60＝60×80＋ ×（－2）＝
60×（80－59）＝1 260.
（3）若a25＝12，求S49.
解：因为{an}为等差数列，所以a1＋a49＝2a25，
故S49＝ ＝49a25＝49×12＝588.
【规律方法】
当已知首项、末项和项数时，用公式Sn＝ 较为简便；当已知
首项、公差和项数时，用公式Sn＝na1＋ d较为简便.在运用公式
Sn＝ 时，注意结合等差数列的性质.
训练1　已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋ （n≥2），则数列{an}的
前9项和等于 .
解析：因为a1＝1，an＝an－1＋ （n≥2），所以数列{an}是首项为1，公
差为 的等差数列，所以前9项和S9＝9＋ × ＝27.
27
知识点二
利用等差数列前n项和公式求基本量
02
PART
【例2】　已知数列{an}是等差数列.
（1）若a6＝10，S5＝5，求a1和Sn；
解： 解得
所以Sn＝na1＋ d＝－5n＋ ×3＝ n2－ n.
（2）若a1＝ ，d＝－ ，Sn＝－15，求n及a12；
解：因为Sn＝n× ＋ ×（－ ）＝－15，整理得n2－7n－60
＝0，
解得n＝12或n＝－5（舍去），
所以a12＝ ＋（12－1）×（－ ）＝－4.
（3）若a1＝－2 023，S6－2S3＝18，求d，S2 025；
解：因为a1＝－2 023，S6－2S3＝18，
所以6a1＋ ·d－6a1－2× ·d＝18，
整理可得9d＝18，解得d＝2.
则S2 025＝2 025×（－2 023）＋ ×2＝2 025.
（4）若a1＋a2＋a3＋a4＝40， ＋ ＋ ＋an＝80，Sn＝210，
求n.
解：因为a1＋a2＋a3＋a4＝40， ＋ ＋ ＋an＝80，
所以4（a1＋an）＝120，即a1＋an＝30.
又因为Sn＝ ＝210，所以n＝ ＝14.
【规律方法】
等差数列前n项和有关的基本计算方法与技巧
（1）公式法（基本量法）：等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个
量Sn，n，a1，an，d，这五个量可以“知三求二”，一般是利用公式列
出基本量a1和d的方程组，解出a1和d，便可解决问题；
（2）性质法：等差数列前n项和Sn＝ 与等差数列性质“若m
＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N*，则am＋an＝ap＋aq”经常结合起来使
用，使这类问题的解决更具灵活性.
　　提醒：解题时要注意整体代换的思想.
训练2　（1）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a4＋a5＝24，S6＝48，
则{an}的公差为（　C　）
A. 1 B. 2
C. 4 D. 8
解析：设等差数列{an}的公差为d，∵a4＋a5＝24，S6＝48，
∴ 解得 ∴{an}的公差为4.
C
（2）在4和67之间插入一个n项的等差数列后，组成一个n＋2项的新等差
数列，且新等差数列的所有项之和等于781，则n的值为 .
解析：由等差数列的求和公式可知，新等差数列的所有项之和Sn＋2＝ （4
＋67）（n＋2）＝781，解得n＝20.
20
知识点三
利用等差数列前n项和公式判断等差数列
03
PART
问题2　等差数列前n项和Sn＝na1＋ d是关于n的二次函数吗？它
可以写成什么形式？
提示：当d＝0时，Sn不是关于n的二次函数；当d≠0时，Sn是关于n的二
次函数.Sn＝ n2＋（a1－ ）n.
【例3】　若数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，求数列{an}的通项公式，
并判断数列{an}是否是等差数列，若是，请证明；若不是，请说明理由.
解：当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－3n－2（n－1）2＋3（n－1）＝4n－
5，
经检验，当n＝1时，a1＝－1满足上式，
故an＝4n－5.
数列{an}是等差数列，证明如下：
因为an＋1－an＝4（n＋1）－5－4n＋5＝4，为常数，
所以数列{an}是等差数列.
变式　已知等差数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋n，则{an}的公差d＝
.
解析：法一　当n＝1时，a1＝S1＝－1＋1＝0；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝（－n2＋n）－[－（n－1）2＋（n－1）]＝－2n＋2，经检验，n＝1
时，a1＝0也适合上式.故an＝－2n＋2（n∈N*），∴d＝－2.
－
2
法二　由二次项系数为－1，则公差为2×（－1）＝－2.
【规律方法】
由Sn求通项公式an的特点
若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等
差数列；否则an＝ 数列{an}不是等差数列.
训练3　已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋n－1，求数列{an}的通项公
式，并判断它是不是等差数列.
解：当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（n2＋n－1）－[（n－1）2＋（n－1）－1]
＝2n.
又a1＝1不满足an＝2n，
∴数列{an}的通项公式是an＝
∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2，
∴{an}不是等差数列.
1. 已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项的和是（　　）
A. 112 B. 51 C. 28 D. 18
解析：　设等差数列{an}的公差为d，由题意，得
解得 则S7＝7a1＋ d＝28.故选C.
√
2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10＝45，a5＝7，则该数列的公
差为（　　）
A. －5 B. 5
C. －3 D. 3
解析：　由题意得，a5＝7，S10＝ ＝45，即 ＝
45，解得a6＝2，所以公差d＝a6－a5＝－5.故选A.
√
3. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－1，S3＝3.
（1）求{an}的通项公式；
解：设数列{an}的公差为d，
则
解得
所以an＝－1＋（n－1）×2＝2n－3.
（2）求Sn.
解：由（1）得，Sn＝ （a1＋an）＝ （－1＋2n－3）＝n2－2n.
课堂小结
1. 理清单
（1）等差数列前n项和公式；
（2）利用等差数列前n项和公式求基本量；
（3）利用等差数列前n项和公式判断等差数列.
2. 应体会
利用等差数列的前n项和公式求基本量时，要注意方程思想及整体代换思
想的应用.
3. 避易错
由Sn求通项公式时忽略对n＝1的讨论.
课时作业
04
PART
1. 等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝2，S5＝15，则a1＝（　　）
A. －1 B. －2
C. －3 D. －4
解析：　由题意得S5＝5a1＋ ×2＝15，则a1＝－1.故选A.
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2. 数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝（n＋1）2＋λ，则
λ＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析：　∵Sn＝n2＋2n＋1＋λ，∴1＋λ＝0，∴λ＝－1.
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3. 在等差数列{an}中，已知a1＝10，d＝2，Sn＝580，则n＝（　　）
A. 10 B. 15
C. 20 D. 30
解析：　因为Sn＝na1＋ n（n－1）d＝10n＋ n（n－1）×2＝n2＋
9n，所以n2＋9n＝580，解得n＝20或n＝－29（舍）.
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4. 在等差数列{an}中，已知a1＝－12，S13＝0，则使得an＞0的最小正整
数n＝（　　）
A. 7 B. 8
C. 9 D. 10
解析：　由S13＝ ＝0，得a13＝12，则a1＋12d＝12，得d＝
2，∴数列{an}的通项公式为an＝－12＋（n－1）×2＝2n－14，由2n－
14＞0，得n＞7，即使得an＞0的最小正整数n＝8.
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5. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn且公差d≠0，若S7＝3a4，则
（　　）
A. S3＝S4 B. S3＝S5
C. S4＝S5 D. S4＝S6
解析：　由题意可知，S7＝ ＝7a4＝3a4，所以a4＝0，所以S3
＝S3＋0＝S3＋a4＝S4.故选A.
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6. 〔多选〕已知Sn是等差数列{an}的前n项和，下列选项中可能是Sn的图
象的是（　　）
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解析：因为Sn是等差数列{an}的前n项和，所以Sn＝an2＋bn（a，b为常数，n∈N*），则其对应函数为y＝ax2＋bx.当a＝0时，该函数的图象是过原点的直线上一些孤立的点，如选项C；当a≠0时，该函数的图象是过原点的抛物线上一些孤立的点，如选项A、B；选项D中的曲线不过原点，不符合题意.
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7. 〔多选〕已知{an}是等差数列，其公差为d，前n项和为Sn，a10＝10，
S10＝70，则下列结论正确的是（　　）
A. a1＝4
B. d＝
C. 数列{an}是递减数列
D. 数列{Sn}是等差数列
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解析： 　由题意知， 解得 故
A、B正确；因为d＞0，所以数列{an}是递增数列，故C错误；Sn－
＝an＝4＋（n－1）× ＝ n＋ （n≥2），不是常数，故数列{Sn}不是
等差数列，故D错误.故选A、B.
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8. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋a7＋a12＝30，则S13＝ .
解析：法一　设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a7＋a12＝（a1＋d）＋
（a1＋6d）＋（a1＋11d）＝3a1＋18d＝30，∴a1＋6d＝10，∴S13＝
13a1＋ d＝13（a1＋6d）＝13×10＝130.
130
法二　∵a2＋a7＋a12＝30，∴3a7＝30，即a7＝10，∴S13＝
＝ ＝13a7＝130.
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9. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S3＋S6＝27，则a2＋a4＝ .
解析：设等差数列{an}的公差为d.因为S3＋S6＝3a1＋3d＋6a1＋15d＝
9a1＋18d＝27，所以a1＋2d＝3，所以a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2a1＋
4d＝2（a1＋2d）＝2×3＝6.
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10. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，bn＝ （n∈N*）.求证：数列
{bn}是等差数列.
证明：法一　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋ n（n－1）d，
所以bn＝ ＝a1＋ （n－1）d，所以bn＋1－bn＝a1＋ nd－a1－ （n－
1）d＝ （常数），
所以数列{bn}是等差数列.
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法二　设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋ n（n－1）d，
所以bn＝ ＝a1＋ （n－1）d，所以bn＋1＝a1＋ nd，bn＋2＝a1＋ （n
＋1）d，
所以bn＋2＋bn＝a1＋ （n＋1）d＋a1＋ （n－1）d＝2a1＋nd＝2bn＋1，
所以数列{bn}是等差数列.
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11. 〔多选〕若数列{an}是等差数列，首项a1＜0，a203＋a204＞0，
a203·a204＜0，则（　　）
A. a204＞0 B. d＜0
C. S405＜0 D. S406＞0
解析： 由a203＋a204＞0 a1＋a406＞0 S406＞0，又由a1＜0，且a203·a204＜0，知a203＜0，a204＞0，所以公差d＞0，则数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405＜0，所以S405＜0.
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12. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S3＝S10，S6＝Sk，则k＝ .
解析：∵等差数列{an}的前n项和Sn＝ n2＋（a1－ ）n可看作是关于n
的二次函数且S3＝S10，∴对称轴方程为n＝ ＝ .又∵S6＝Sk，∴
＝ ，解得k＝7.
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13. 对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1
＝1，{an}的“差数列”的通项公式为an＋1－an＝2，则数列{an}的前n项
和Sn＝ .
解析：依题意知，a1＝1，a2－a1＝2，a3－a2＝2，a4－a3＝2，…，an－
an－1＝2，进行累加求和得an＝1＋2（n－1）＝2n－1，故数列{an}的前n
项和Sn＝2（1＋2＋3＋…＋n）－n＝2× －n＝n2.
n2　
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14. 已知等差数列{an}的前三项为a－1，4，2a，记前n项和为Sn.
（1）设Sk＝2 550，求a和k的值；
解： 由已知得，2×4＝a－1＋2a，解得a＝3，
所以a1＝2，公差d＝a2－a1＝2，
因为Sk＝2 550，所以2k＋ ×2＝2 550，
即k2＋k－2 550＝0，
解得k＝50或k＝－51（舍去），所以a＝3，k＝50.
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（2）设bn＝ ，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值.
解：由（1）知，Sn＝2n＋ ×2＝n2＋n，bn＝ ＝
＝n＋1，
又b3，b7，b11，…，b4n－1仍是等差数列，且共有n项，
所以b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝ ＝ ＝2n2＋2n.
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15. 已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a1＝1，S3＝9.
（1）求{an}的通项公式；
解： 因为{an}为等差数列，设其公差为d，则
解得 所以an＝a1＋（n－1）d＝1＋（n－1）×2＝2n－1.
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（2）设bn＝a2n－1＋a2n，求数列{bn}的前n项和Tn.
解： 由（1）知an＝2n－1，所以a2n－1＝2（2n－1）－1＝4n－3，
a2n＝2×2n－1＝4n－1，
所以bn＝a2n－1＋a2n＝8n－4.
当n＝1时，b1＝4；
当n≥2时，bn－bn－1＝8n－4－8（n－1）＋4＝8，
所以{bn}是首项为4，公差为8的等差数列，
所以Tn＝ ＝4n2，
所以{bn}的前n项和Tn＝4n2.
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