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(共54张PPT)
第三课时　等比数列的综合应用
1.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形（数学运算）.
2.通过建立数列模型并应用数列模型解决生活中的实际问题（数学建模）.
3.了解由等比数列衍生出新等比数列的常见形式（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
知识点一　灵活设项求解等比数列
01
知识点二　等比数列的实际应用
02
课时作业
03
目录
知识点一
灵活设项求解等比数列
01
PART
【例1】　有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三
个数成等差数列，且它们的和为12，求这四个数.
解：法一　设前三个数分别为 ，a，aq，
则 ·a·aq＝216，所以a3＝216，所以a＝6.
因此前三个数为 ，6，6q.
由题意知第4个数为12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝ .
故所求的四个数为9，6，4，2.
法二　设后三个数为4－d，4，4＋d，
则第1个数为 （4－d）2，
由题意知 （4－d）2×（4－d）×4＝216，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求得的四个数为9，6，4，2.
【规律方法】
　巧设等比数列项的方法
（1）若三个数成等比数列，常设为 ，a，aq.推广到一般，奇数个数成
等比数列，可设为…， ， ，a，aq，aq2，…；
（2）四个符号相同的数成等比数列，常设为 ， ，aq，aq3.推广到一
般，偶数个符号相同的数成等比数列，可设为…， ， ， ，aq，
aq3，aq5，…；
（3）四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为a，
aq，aq2，aq3.
训练1　有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1，1，4，13后成等差
数列，则这四个数的和是 .
解析：设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，
aq3－13成等差数列.即 整理得
解得 因此这四个数分别是3，6，12，24，
其和为45.
45
知识点二
等比数列的实际应用
02
PART
【例2】　从盛满a（a＞1）升纯酒精的容器里倒出1升，然后添满水摇
匀，再倒出1升混合溶液后又添满水摇匀，如此继续下去，问：
（1）第n次操作后容器中酒精的浓度是多少？
解：由题意知开始时容器中酒精的浓度为1，设第n次操作后容器中酒精的
浓度为an，则第1次操作后容器中酒精的浓度为a1＝1－ ，第n＋1次操作
后容器中酒精的浓度为an＋1＝an（1－ ），
所以{an}是首项为a1＝1－ ，公比为q＝1－ 的等比数列，所以an＝a1qn
－1＝（1－ ）n，即第n次操作后容器中酒精的浓度是（1－ ）n.
（2）当a＝2时至少应操作几次后才能使容器中酒精的浓度低于10%？
解：当a＝2时，由an＝（ ）n＜ ，解得n≥4.
故至少应操作4次后才能使容器中酒精的浓度低于10%.
【规律方法】
　等比数列实际应用的求解思路
（1）认真审题，弄清题意，将实际问题转化为适当的数学模型；
（2）合理设出未知数，建立等比数列模型，依据其性质或方程思想求出
未知元素；
（3）针对所求结果作出合理解释.
训练2　某公司的销售额下跌严重，从2025年的7月销售收入128万元，到9
月跌至32万元，你能求出该公司7月到9月之间平均每月下降的百分比吗？
若按此计算，到什么时候每月销售收入跌至8万元？
解：设每月平均下降的百分比为x，
则每月的销售收入构成了等比数列{an}，
a1＝128，则a2＝a1（1－x），
a3＝a1（1－x）2＝128（1－x）2＝32，解得x＝50%.
设an＝8，an＝128（1－50% ＝8，解得n＝5，
所以从2025年的7月算起第5个月，即2025年的11月该公司的销售收入跌至
8万元.
提能点｜由等比数列衍生的新数列
问题　（1）若数列{an}是等比数列，那么{2an}是等比数列吗？{an＋
2}呢？
提示：{2an}为等比数列，{an＋2}一般不是等比数列.
证明：设{an}的公比为q，则 ＝ ＝q，即{2an}仍然是公比为q的
等比数列；又 ＝ ，若an不是常数，则该式子不是定值，故{an
＋2}一般不是等比数列.
（2）若数列{an}是等比数列，那么数列a3，a6，a9，a12，…是等比数
列吗？
提示：是等比数列，因为 ＝ ＝ ＝…＝q3为常数.
【知识梳理】
1. 若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}，{ }，{｜an｜}，
{ }，{anan＋1}都是等比数列，公比分别为 .
2. 若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}
与{ }也都是等比数列，公比分别为 和 　 　.
3. 在等比数列{an}中，每隔k项（k∈N*）取出一项，按原来的顺序排
列，所得的新数列仍为等比数列.
　　提醒：（1）下标等差时所取项构成等比数列，如{an}，{a2n－1}，
{a3n－2}，…；（2）在数列{an}中，依次每k项的和（或积）构成公比为
qk（或 ）的等比数列.
q， ，｜q｜，q2，q2　
pq　
　
【例3】　（1）（链接教材P34练习2题）〔多选〕如果数列{an}是等比数
列，那么下列数列中一定是等比数列的是（　ABC　）
C. {an·an＋1} D. {an＋an＋1}
解析：取等比数列an＝（－1）n，则an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不
是等比数列，故D不一定是；对于其他选项，均满足等比数列通项公式
的性质.
ABC
（2）若{an}，{bn}都是等比数列，满足a1b1＝3，a5b5＝6，则a9b9
＝ .
解析：易知{anbn}为等比数列，则有（a5b5）2＝（a1b1）·（a9b9），即
62＝3（a9b9），∴a9b9＝12.
12
【规律方法】
1. 证明新数列是否为等比数列时常可借助定义法.
2. 由等比数列构造新的等比数列，一定要检验新的数列中的项是否为0，
主要是针对q＜0的情况.
训练3　（1）对任意等比数列{an}，下列说法正确的是（　D　）
A. a1，a3，a9成等比数列
B. a2，a3，a6成等比数列
C. a2，a4，a8成等比数列
D. a3，a6，a9成等比数列
解析：从项的序号寻找规律，序号成等差数列，对应的项成等比数列.由
于3，6，9成等差数列，所以a3，a6，a9成等比数列.
D
（2）已知等比数列{an}满足a1＋a2＋a3＝3，a3＋a4＋a5＝5，则a5＋a6＋
a7＝ .
解析：{an＋an＋1＋an＋2}为等比数列，则（a3＋a4＋a5）2＝（a1＋a2＋
a3）（a5＋a6＋a7），可知a5＋a6＋a7＝ ＝ .

等差、等比数列转化
　由教材P32例5我们可以看出：将等差数列{an}的每一项作为同底数的指
数所得到的新数列是等比数列；而将正项等比数列{an}的每一项取同底数
的对数所得到的新数列是等差数列.
【问题探究】
已知b＞0且b≠1，如果数列{an}是公差为d的等差数列，那么数列{ }
是否一定是等比数列？如果数列{an}是各项均为正数且公比为q的等比数
列，那么数列{logban}是否一定是等差数列？
提示：（1） ＝ ＝bd，所以数列{ }是公比为bd的等比
数列；
（2）logban＋1－logban＝logb ＝logbq，所以数列{logban}是公差为
logbq的等差数列.
【迁移应用】
1. 已知各项均为正数的等比数列{an}满足：a4＝128，a8＝215.设bn＝
log2an，则数列{bn}的通项公式为 .
解析：设等比数列{an}的公比为q，由已知得q4＝ ＝28.∵数列{an}是各
项均为正数的等比数列，∴q＝4，∴a1＝ ＝2，∴an＝2×4n－1＝22n－1.
又∵bn－bn－1＝log2an－log2an－1＝log24＝2（n≥2），b1＝log2a1＝1，
∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列，∴bn＝2n－1.
bn＝2n－1　
2. 数列{an}满足log2an－1＝log2an＋1（n∈N*），若a1＋a3＋…＋
＝2n，则log2（a2＋a4＋a6＋…＋ ）＝ .
解析：由log2an－1＝log2an＋1，即log2an＋1－log2an＝－1，即log2 ＝－
1，得 ＝ ，∴数列{an}是等比数列，首项为a1，公比为 ，∵a1＋a3
＋…＋a2n－1＝2n，∴a2＋a4＋…＋a2n＝ （a1＋a3＋…＋a2n－1）＝2n－
1，则log2（a2＋a4＋a6＋…＋a2n）＝n－1.
n－1
1. 已知项数相同的等比数列{an}和{bn}，则下列数列不是等比数列的是
（　　）
A. {3an}
C. {2an－3bn} D. {2an·3bn}
解析：　易证得A、B、D都是等比数列.
√
2. 若等比数列{an}的公比为q，则a1，a8，a15的公比为 .
解析：由于数列{an}是公比为q的等比数列，因此a8＝a1q7，a15＝a1q14，
故 ＝ ＝q7.
3. 在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配的意思.今共有粮98石，
甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，则衰分比例为 .
解析：设衰分比例为q（0＜q＜1），则甲、乙、丙各分得 ，28，28q
石，∴ ＋28＋28q＝98，∴q＝2或 .又0＜q＜1，∴q＝ .
q7

解析：设四个数依次为a，aq，aq2，aq3，则 解得
或 故所求四个数依次为－ ， ，－2，8或8，－
2， ，－ .
4. 已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－ ，则这四
个数依次为 .
－ ， ，－2，8或8，－2， ，－
课堂小结
1. 理清单
（1）灵活设项求解等比数列；
（2）等比数列的实际应用；
（2）由等比数列衍生的新数列.
2. 应体会
（1）解决等比数列中项的设法问题要注意方程思想的应用；
（2）解决由等比数列衍生的新数列问题利用了转化与化归思想.
3. 避易错
（1）构造新的等比数列时易忽视有等于0的项；
（2）四个数成等比数列时设成 ， ，aq，aq3，未考虑公比为负的情况.
课时作业
03
PART
1. 由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列
a1a2，a2a3，a3a4，…是（　　）
A. 等差数列
B. 以q为公比的等比数列
C. 以q2为公比的等比数列
D. 以2q为公比的等比数列
解析：　因为 ＝ ＝q2，为常数，所以该数列为以q2为公比的
等比数列.
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√
2. 《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的
容积成等比数列，上面3节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9，则第
5节的容积为（　　）
A. 2
解析：　法一　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列
{an}，设其公比为q（q≠0），由上面3节的容积之积为3，下面3节的容
积之积为9可知 解得a1q＝ ，q3＝ ，所以
第5节的容积为a1q4＝a1q·q3＝ × ＝ .故选D.
√
C. 3
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法二　依题意可设，竹子自上而下各节的容积成等比数列{an}，由上面3
节的容积之积为3，下面3节的容积之积为9可知a1a2a3＝3，a7a8a9＝9，由
等比数列的性质可知a1a2a3a7a8a9＝（a1a9）·（a2a8）·（a3a7）＝
＝27.所以a5＝ .故选D.
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3. 已知等比数列{an}中，a2＝ ，a5＝ ，则数列{log2an}的前10项和为
（　　）
A. －55 B. －33
解析：　设等比数列{an}的公比为q，由a2＝ ，a5＝ ，可得a2q3＝
×q3＝ ，解得q＝ ，又由a1q＝a1× ＝ ，解得a1＝ ，所以an＝
（ ）n，则log2an＝log2（ ）n＝－n，所以{log2an}是等差数列，数列
{log2an}的前10项之和为S10＝ ＝－55.
√
C. 33 D. 55
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4. 设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30
＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝（　　）
A. 210 B. 220
C. 216 D. 215
解析：　设A＝a1a4a7·…·a28，B＝a2a5a8·…·a29，C＝
a3a6a9·…·a30，则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得
A·B·C＝230，所以B＝210，所以C＝B·210＝220.
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5. 画一个边长为2的正方形，再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正
方形，以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形，……，这样共画
了10个正方形，则第10个正方形的面积等于（　　）
A. 2 024 B. 2 012
C. 2 048 D. 4 096
解析：　依题意，这10个正方形的边长构成以2为首项， 为公比的等
比数列{an}，所以an＝2×（ ）n－1，所以第10个正方形的面积S＝
＝[2×（ ）9]2＝4×29＝2 048.
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6. 下列说法正确的是（　　）
C. 若aman＝2m＋n，m，n∈N*，则{an}为等比数列
D. 若anan＋3＝an＋1an＋2，n∈N*，则{an}为等比数列
解析：　由 ＝4n知｜an｜＝2n，则数列{an}未必是等比数列；对于
B、D选项，满足条件的数列中可以存在零项，故数列{an}不一定是等比数
列；对于C选项，由aman＝2m＋n知，aman＋1＝2m＋n＋1，两式相除得 ＝
2（n∈N*），故数列{an}是等比数列.故选C.
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7. 〔多选〕如图，各矩形块中填写的数字构成一个无穷数列，所有数字之和等于1.按照图示规律，有同学提出了以下结论，其中正确的是（　　）
√
√
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解析： 　设每个矩形块中的数字从大到小形成数列{an}，则由题
意可得{an}是首项为 ，公比为 的等比数列，∴an＝ ×（ ）n－1＝
，故A中结论错误；a8＝ ＝ ，故B中结论正确；第n－1个矩形
块中所填数字是 ，故C中结论正确；a7＝ ＝ ，故D中结论正
确.故选B、C、D.
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8. 在 和8之间插入3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个
数的积为 .
解析：设插入的3个数依次为a，b，c，即 ，a，b，c，8成等比数列，
由等比数列的性质可得b2＝ac＝ ×8＝4，因为a2＝ b＞0，所以b＝2
（舍负）.所以这3个数的积为abc＝4×2＝8.
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9. 我国生物科技发展日新月异，其中生物制药发展尤其迅速，某制药公司
第一年共投入资金50万元进行新药开发，并计划每年投入的研发资金比上
一年增加20%.按此规律至少到第 年每年投入的资金可达250万元以
上（精确到1年）.（参考数据：lg 1.2≈0.08，lg 5≈0.70）
解析：由题知，该制药公司每年投入的研发资金满足等比数列模型，且a1
＝50，q＝1.2，所以an＝50×1.2n－1，令an＝50×1.2n－1＞250，所以
1.2n－1＞5，所以n－1＞log1.25＝ ≈ ＝8.75，所以n＞9.75，又因
为n为正整数，所以n＝10.
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10. 有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与
第四个数的和为21，中间的两个数的和为18，求这四个数.
解：法一　设前三个数分别为 ，a，aq（q≠0），则第四个数为2aq
－a.
由题意得
解得q＝2或q＝ .
当q＝2时，a＝6，这四个数为3，6，12，18；
当q＝ 时，a＝ ，这四个数为 ， ， ， .
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法二　设后三个数分别为a－d，a，a＋d，
则第一个数为 ，
因此这四个数为 ，a－d，a，a＋d.
由题意得
解得 或 故这四个数为3，6，12，18或 ， ， ， .
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11. （2025·青岛月考）若数列{an}是等差数列，bn＝ ，则
数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数
列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为（　　）
√
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解析：　设正项等比数列{cn}的首项为c1，公比为q，则c1·c2·…·cn
＝c1·（c1q）·…·（c1qn－1）＝ ，令dn＝
＝ ＝ ＝
c1 ，∴{dn}是等比数列.
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12. 〔多选〕设{an}（n∈N*）是各项均为正数的等比数列，q是其公
比，Kn是其前n项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中成立的
是（　　）
A. 0＜q＜1
B. a7＝1
C. K9＞K5
D. K6与K7均为Kn的最大值
√
√
√
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解析： 　对于B，由K6＝K7，得a7＝ ＝1，B正确；对于A，由K5＜
K6可得，a6＝ ＞1，则q＝ ∈（0，1），故A正确；对于C，由{an}是
各项均为正数的等比数列且q∈（0，1）可得数列是递减数列，因为a7＝
1，所以a8＜1，则 ＝a6a7a8a9＝（a7a8）2＝ ＜1，所以K9＜K5，故C
错误；对于D，结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确.故选A、B、D.
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解析：∵后3项成等差数列，其和为6，∴可设公差为d，后3项可写成2－
d，2，2＋d.又∵前3项成等比数列，∴根据等比中项的性质，可知第1项
为 ，∴数列{an}为 ，2－d，2，2＋d.∴m＝
＋2－d＋2＝ d2－3d＋6＝ （d－3）2＋ ≥ .
［ ，＋∞）
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14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，nSn＋1－（n＋1）Sn＝
，n∈N*.
（1）求数列{an}的通项公式；
解：由nSn＋1－（n＋1）Sn＝ ，得 － ＝ ，
∴数列{ }是首项为 ＝1，公差为 的等差数列，
∴ ＝1＋ （n－1）＝ （n＋1），∴Sn＝ .
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝ － ＝n.
a1＝1也适合上式，∴an＝n.
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（2）是否存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列？若存在，求k的
值；若不存在，请说明理由.
解：由（1）知an＝n，Sn＝ .
假设存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列，
则 ＝ak·a4k，即［ ］2＝k·4k.
∵k为正整数，∴（2k＋1）2＝4，得2k＋1＝2或2k＋1＝－2，
解得k＝ 或k＝－ ，与k为正整数矛盾.
∴不存在正整数k，使ak，S2k，a4k成等比数列.
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15. 已知数列{Am}：a1，a2，…，am（m≥2）.若存在公比为q的等比数
列{Bm＋1}：b1，b2，…，bm＋1，使得bk＜ak＜bk＋1，其中k＝1，2，…，
m，则称数列{Bm＋1}为数列{Am}的“等比分割数列”.若数列{A10}的通项
公式为an＝2n（n＝1，2，…，10），其“等比分割数列”{B11}的首项为
1，求数列{B11}的公比q的取值范围.
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解：因为{B11}的首项为1，公比为q，所以bn＝qn－1，
则qk－1＜2k＜qk对于k＝1，2，…，10成立，
当k＝1时1＜2＜q，
当k＝2，3，…，10时，2＜q＜ ，
而y＝2x是增函数， ＝1＋ 随着k的增大而减小，所以y＝ 随着
k的增大而减小，
从而（ ）min＝ ，所以2＜q＜ .
即公比q的取值范围为（2， ）.
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