资源简介

(共56张PPT)
5.2.2　导数的四则运算法则
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则（数学运算）.
2.会用导数的四则运算法则求解相关问题（数学运算、数学建模）.
课标要求
　利用基本初等函数的求导公式可以直接求基本初等函数的导数，但实际生活中所涉及到的函数模型多数为基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的，如某质点的运动距离s与时间t的关系为s（t）＝ t2＋ ；某商品网购量x（件）与支付款y（元）之间的关系为y＝10x－ln x（x≥1）等.由基本初等函数通过加、减、乘、除运算所得到的函数该如何求导呢？
情境导入
知识点一　f（x）±g（x）的导数
01
知识点二　f（x）g（x）和 的导数
02
知识点三　导数运算法则的应用
03
课时作业
04
目录
知识点一
f（x）±g（x）的导数
01
PART
问题1　设f（x）＝x2，g（x）＝x，试计算f'（x），g'（x），[f（x）
＋g（x）]'以及[f（x）－g（x）]'，并猜想它们有什么关系？
提示：f'（x）＝2x，g'（x）＝1，[f（x）＋g（x）]'
＝
＝ （Δx＋2x＋1）＝2x＋1，
同理[f（x）－g（x）]'＝2x－1.
猜想[f（x）＋g（x）]'＝f'（x）＋g'（x），[f（x）－g（x）]'＝f'
（x）－g'（x）.
【知识梳理】
两个函数和或差的导数：[f（x）±g（x）]'＝ .
　　提醒：推广式[f1（x）±f2（x）±…±fn（x）]'＝f'1（x）±f'2
（x）±…±f'n（x）.
f'（x）±g'（x）　
【例1】　（链接教材P76例3）求下列函数的导数：
（1）y＝x＋ cos x－2；
解：y'＝（x）'＋（ cos x）'－（2）'＝1－ sin x.
（2）y＝2x＋ ；
解：y'＝（2x）'＋（ ）'＝2xln 2＋ .
（3）y＝x2－2 sin cos .
解：y＝x2－2 sin cos ＝x2－ sin x，
则y'＝（x2）'－（ sin x）'＝2x－ cos x.
【规律方法】
应用加法、减法运算法则求导时的注意点
（1）判断函数的解析式是否是由基本初等函数的和与差构成的形式，若
不是，应先设法化简变形，将解析式变为基本初等函数的和与差的形式；
（2）熟记并灵活应用简单函数的导数公式是求导的前提.
训练1　求下列函数的导数：
（1）y＝x5－x3＋ ；
解：y'＝（x5）'－（x3）'＋ '＝5x4－3x2－ .
（2）y＝lg x－2 cos 2 .
解：＝lg x－ －1＝lg x－ cos x－1，
则y'＝（lg x）'－（ cos x）'－（1）'＝ ＋ sin x.
知识点二
f（x）g（x）和 的导数
02
PART
问题2　试用f（x）＝x2，g（x）＝x，说明[f（x）g（x）]'与f'（x）g'
（x），以及 与 是否相等？
提示：f'（x）＝2x，g'（x）＝1，
[f（x）g（x）]'＝（x3）'＝3x2≠2x·1；
＝（x）'＝1≠ ，
即[f（x）g（x）]'≠f'（x）g'（x）， ≠ .
【知识梳理】
1. [f（x）g（x）]'＝ ，特别地，
[cf（x）]'＝ .
2. ＝ 　 （g（x）≠0）　，特别地，
＝ 　－ 　（f（x）≠0）.
　　提醒：注意求导的先后顺序，特别是商的导数.
f'（x）g（x）＋f（x）g'（x）　
cf'（x）　
（g（x）≠0）　
－ 　
【例2】　（链接教材P77例4）求下列函数的导数：
（1）y＝x2＋xln x；
解： y'＝（x2＋xln x）'＝（x2）'＋（xln x）'＝2x＋（x）'ln x＋x（ln
x）'＝2x＋ln x＋x· ＝2x＋ln x＋1.
（2）y＝ ；
解： y'＝ '＝
＝ ＝ .
（3）y＝ ；
解：y'＝ '＝ ＝ .
（4）y＝（2x2－1）（3x＋1）.
解：法一　y'＝ '
＝（2x2－1）'·（3x＋1）＋（2x2－1）（3x＋1）'
＝4x（3x＋1）＋（2x2－1）×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
法二　∵y＝（2x2－1）（3x＋1）＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y'＝（6x3＋2x2－3x－1）'＝（6x3）'＋（2x2）'－（3x）'－（1）'＝
18x2＋4x－3.
【规律方法】
1. 如果求导式子比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形
有乘积式展开变为和式求导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换
后求导等.
2. 利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和、差的求
导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
训练2　求下列函数的导数：
（1）y＝（x2＋1）（x－1）；
解：∵y＝（x2＋1）（x－1）＝x3－x2＋x－1，
∴y'＝3x2－2x＋1.
（2）y＝x2＋tan x；
解：∵y＝x2＋ ，∴y'＝（x2）'＋ '
＝2x＋ ＝2x＋ .
（3）y＝ .
解：y'＝
＝ ＝ .
知识点三
导数运算法则的应用
03
PART
角度1　导数在实际生活中的应用
【例3】　（链接教材P77例5）一个港口的某一观测点的水位在退潮的过
程中，水面高度y（单位：cm）关于时间t（单位：s）的函数为y＝h
（t）＝ ，当t＝3时，水面下降的速度为（　　）
A. － cm/s B. cm/s
解析：　由题意得，h'（t）＝ ＝ ，所以h'（3）＝
＝－ ，故当t＝3时，水面下降的速度为 cm/s，故选B.
C. － cm/s D. cm/s
B
角度2　曲线的切线问题
【例4】　（1）曲线y＝ 在点（1，－1）处的切线方程为（　A　）
A. y＝－2x＋1 B. y＝－3x＋2
C. y＝2x－3 D. y＝x－2
解析： y＝ 的导数为y'＝－ ，在点（1，－1）处的切线斜率k
＝y'｜x＝1＝－2，∴曲线y＝ 在点（1，－1）处的切线方程为y＋1＝－
2（x－1），即y＝－2x＋1.
A
（2）若曲线f（x）＝x sin x在x＝ 处的切线与直线ax＋2y＋1＝0互相垂
直，则实数a＝（　D　）
A. －2 B. －1
C. 1 D. 2
解析：由题可得f'（x）＝ sin x＋x cos x，f'（ ）＝1.∴曲线f（x）＝x sin
x在x＝ 处的切线的斜率为1.∵曲线f（x）＝x sin x在x＝ 处的切线与直
线ax＋2y＋1＝0互相垂直，且直线ax＋2y＋1＝0的斜率为－ ，∴（－
）×1＝－1，解得a＝2.故选D.
D
角度3　含f'（c）函数的求导问题
【例5】　设函数f（x）的导数为f'（x），且f（x）＝x3＋f'（ ）x2－
x，则f'（1）＝ .
解析：因为f（x）＝x3＋f'（ ）x2－x，所以f'（x）＝3x2＋2f'（ ）x－
1，所以f'（ ）＝3×（ ）2＋2f'（ ）× －1，则f'（ ）＝－1.所以f'
（x）＝3x2－2x－1，故f'（1）＝0.
0　
【规律方法】
1. 解决有关切线问题的关注点
（1）此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，
其他的条件可以转化为这三个要素间的关系；
（2）分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解
题时的易错点.
2. 含f'（c）函数的求导问题的解题策略
含f'（c）函数在求导时一定要抓住f'（c）为常数这一特点，也就是
说，不管应用加、减、乘、除哪一法则，求导时，把f'（c）一律充当
常系数处理.
训练3　（1）若函数f（x）满足f（x）＝ －f'（1）·x2－x，则f'（1）
＝（　A　）
A. 0 B. 2
C. 1 D. －1
解析： f'（x）＝x2－2f'（1）x－1，令x＝1，则f'（1）＝12－2f'（1）－
1，解得f'（1）＝0.故选A.
A
（2）曲线y＝ （x－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积
为 .
解析：由题意可知，y'＝ x·ex，y'｜x＝1＝2，∴切线方程为y＝2（x－
1），即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲线y＝ （x
－1）ex在点（1，0）处的切线与坐标轴围成的面积S＝ ×2×1＝1.
1
1. 函数y＝x2 sin x的导数为（　　）
A. y'＝2x＋ cos x
B. y'＝x2 cos x
C. y'＝2x cos x
D. y'＝2x sin x＋x2 cos x
解析：　y'＝（x2 sin x）'＝（x2）'· sin x＋x2·（ sin x）'＝2x sin x＋x2
cos x.
√
2. 函数f（x）＝ 的导数f'（x）＝（　　）
A. B.
C. D.
解析：　f'（x）＝ '＝ ＝ ＝
.
√
3. 某物体作直线运动，其运动规律是s＝t2＋ （t的单位：s，s的单位：
m），则它在第4 s时的瞬时速度应该为 m/s.
解析：由题意得s＝t2＋ ，可得瞬时速度v＝s'＝2t－ ，故它在第4 s时
的瞬时速度应该为2×4－ ＝ （m/s）.

4. 若函数f（x）＝ f'（－1）x2－2x＋3，则f'（－1）＝ .
解析：因为f（x）＝ f'（－1）x2－2x＋3，所以f'（x）＝f'（－1）x－2.
所以f'（－1）＝f'（－1）×（－1）－2，所以f'（－1）＝－1.
－1
课堂小结
1. 理清单
（1）导数的四则运算法则；
（2）导数四则运算法则的应用.
2. 应体会
导数四则运算法则的应用体现了转化与化归思想.
3. 避易错
对于函数求导，一般要遵循先化简、变形，再求导的基本原则.
课时作业
04
PART
1. 函数y＝ 的导数是（　　）
A. y'＝－ B. y'＝－ sin x
C. y'＝－ D. y'＝－
解析：　y'＝ '＝
＝ ＝－ .
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2. 已知函数f（x）＝x（19＋ln x），若f'（x0）＝20，则x0＝（　　）
A. e2 B. 1
C. ln 2 D. e
解析：　 f'（x）＝19＋ln x＋x· ＝20＋ln x，由f'（x0）＝20，得20＋
ln x0＝20，则ln x0＝0，解得x0＝1.故选B.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3. 曲线y＝ sin x＋ex在点（0，1）处的切线方程是（　　）
A. x－3y＋3＝0
B. x－2y＋2＝0
C. 2x－y＋1＝0
D. 3x－y＋1＝0
解析：　y'＝（ sin x＋ex）'＝ cos x＋ex，当x＝0时，y'＝2，故曲线在点
（0，1）处的切线方程是y－1＝2（x－0），即2x－y＋1＝0.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
4. 据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆
铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适
应高海拔低温环境.“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编
组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达
160千米，全列定额载客676人.假设“高原版”复兴号动车开出站一段时
间内，速度v 与行驶时间t 的关系为v＝1.4t＋0.3t2，
t∈ ，则当t＝10 s时，“高原版”复兴号动车的加速度为（　　）
A. 4.4 m/s2 B. 7.4 m/s2
C. 17 m/s2 D. 20 m/s2
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　因为v＝1.4t＋0.3t2，t∈ ，所以v'＝0.6t＋1.4，故当
t＝10时，v'＝6＋1.4＝7.4，即t＝10 s时，“高原版”复兴号动车的加速
度为7.4 m/s2，故选B.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
5. 已知f（x）＝ x2＋ sin ，f'（x）为f（x）的导函数，则f'
（x）的大致图象是（　　）
解析：　∵f（x）＝ x2＋ sin ＝ x2＋ cos x，∴f'（x）＝ x－
sin x.易知f'（x）＝ x－ sin x是奇函数，其图象关于原点对称，故排除
B、D. 由f' ＝ － ＜0，排除C，故选A.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
6. 〔多选〕若函数f（x）的导函数f'（x）的图象关于y轴对称，则f
（x）的解析式可能为（　　）
A. f（x）＝3 cos x B. f（x）＝x＋ sin x
C. f（x）＝x＋ D. f（x）＝ex＋x
解析： 　由题意可知，f'（x）必为偶函数.对于A选项，f'（x）＝－3
sin x为奇函数；对于B选项，f'（x）＝1＋ cos x为偶函数；对于C选项，f'
（x）＝1－ 为偶函数；对于D选项，f'（x）＝ex＋1为非奇非偶函数.故
选B、C.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
7. 〔多选〕已知函数f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）· cos x＋2，其导
函数为f'（x），则（　　）
A. f（0）＝－1 B. f'（0）＝1
C. f（0）＝1 D. f'（0）＝－1
解析：因为f（x）＝x2＋f（0）·x－f'（0）· cos x＋2，所以f（0）＝2－f'（0）.因为f'（x）＝2x＋f（0）＋f'（0）· sin x，所以f'（0）＝f（0）.故f'（0）＝f（0）＝1.故选B、C.
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
8. 已知函数f（x）＝ 若f'（a）＝12，则实数a
＝ .
解析：f'（x）＝ 若f'（a）＝12，则 或
解得a＝ 或a＝－4.
或－4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
9. 曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是 .
解析：设曲线y＝xln x在点（x0，y0）处的切线与直线x－y－2＝0平
行.∵y'＝ln x＋1，∴y' ＝ln x0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切
点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线x－y－2＝0的距离为d＝
＝ ，即曲线y＝xln x上的点到直线x－y－2＝0的最短距离是
.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10. 求下列函数的导数：
（1）y＝ln x＋ ；
解： y'＝（ln x＋ ）'＝（ln x）'＋（ ）'＝ － .
（2）y＝ ；
解： y'＝（ ）'＝ ＝－ .
（3）y＝（x2＋9）（x－ ）；
解： y＝x3＋6x－ ，y'＝3x2＋ ＋6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（4）y＝ .
解： y'＝
＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
11. 已知函数f（x）＝（x－2 023）（x－2 024）（x－2 025）（x－2
026），则f（x）的图象在x＝2 025处的切线方程为（　　）
A. 2x＋y－4 050＝0
B. x＋y－2 025＝0
C. 2x－y－4 050＝0
D. x－y－2 025＝0
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：　因为f（x）＝（x－2 023）（x－2 024）·（x－2 025）（x
－2 026）＝（x－2 025）（x－2 023）·（x－2 024）（x－2 026），则
f'（x）＝（x－2 023）·（x－2 024）（x－2 026）＋
· '，所以f' ＝
2×1× ＝－2，又f（2 025）＝0，所以f（x）的图象在x＝2 025处的
切线方程为y＝－2 ，即2x＋y－4 050＝0，故选A.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
12. 〔多选〕给出定义：若函数f（x）在D上可导，即f'（x）存在，且导
函数f'（x）在D上也可导，则称f（x）在D上存在二阶导函数，记f″
（x）＝[f'（x）]'，若f″（x）＜0在D上恒成立，则称f（x）在D上为
凸函数.以下四个函数在（0， ）上是凸函数的是（　　）
A. f（x）＝ sin x＋ cos x
B. f（x）＝ln x－2x
C. f（x）＝－x3＋2x－1
D. f（x）＝xex
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：对于A，f（x）＝ sin x＋ cos x，f'（x）＝ cos x－ sin x，则f″（x）＝－ sin x－ cos x，当x∈（0， ）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于B，f（x）＝ln x－2x，f'（x）＝ －2，则f″（x）＝－ ，当x∈（0， ）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于C，f（x）＝－x3＋2x－1，f'（x）＝－3x2＋2，f″（x）＝－6x，当x∈（0， ）时，恒有f″（x）＜0，是凸函数；对于D，f（x）＝xex，f'（x）＝（x＋1）ex，f″（x）＝（x＋2）ex，则f″（x）＞0在x∈（0， ）上恒成立，故不是凸函数.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
13. 已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，直线y＝kx＋2与函数f
（x）的图象相切，如图所示，则函数g（x）＝xf（x）的图象在点
（3，g（3））处的切线方程为 .
y＝3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解析：因为直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f（x）在x＝3处的切线，由图象
可知f（3）＝1，又点（3，1）在直线l上，所以3k＋2＝1，从而k＝－
，所以f'（3）＝k＝－ ，因为g（x）＝xf（x），所以g（3）＝3f
（3）＝3，g'（x）＝f（x）＋xf'（x），则g'（3）＝f（3）＋3f'（3）＝
1＋3× ＝0，即函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处
的切线斜率为0，所以函数g（x）＝xf（x）的图象在点（3，g（3））处
的切线方程为y＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
14. 已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），其导函数f'（x）＝2x－8.
（1）求a，b的值；
解： 因为f（x）＝ax2＋bx＋3（a≠0），
所以f'（x）＝2ax＋b，
又f'（x）＝2x－8，
所以a＝1，b＝－8.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）设函数g（x）＝ex sin x＋f（x），求曲线g（x）在x＝0处的切线
方程.
解： 由（1）可知g（x）＝ex sin x＋x2－8x＋3，
所以g'（x）＝ex sin x＋ex cos x＋2x－8，
所以g'（0）＝e0 sin 0＋e0 cos 0＋2×0－8＝－7，
又g（0）＝3，所以曲线g（x）在x＝0处的切线方程为y－3＝－7（x－
0），即7x＋y－3＝0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
15. 已知函数f（x）＝ ，且f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切.
（1）求函数f（x）的解析式；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
解：由题意得f'（x）＝
＝ ＝ ，
因为f（x）的图象在x＝1处与直线y＝2相切，
所以
解得
则f（x）＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
（2）若P（x0，y0）为f（x）图象上的任意一点，直线l与f（x）的图象
切于P点，求直线l的斜率k的取值范围.
解：由（1）可得，f'（x）＝ ，
所以直线l的斜率k＝f'（x0）＝ ＝4 ，
令t＝ ，则t∈（0，1]，所以k＝4（2t2－t）＝8 － ，
则在对称轴t＝ 处取到最小值－ ，在t＝1处取到最大值4，
所以直线l的斜率k的取值范围是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑