资源简介

(共51张PPT)
5.2.3　简单复合函数的导数
1.了解复合函数的概念（数学抽象）.
2.掌握复合函数的求导法则，能求简单的复合函数（限于形如f（ax＋b））的导数（数学运算、数学建模）.
课标要求
　　法国著名哲学家、数学家、物理学家笛卡尔说过：“我只会做两件事，一件是简单的事，一件是把复杂的事情变简单”.我们学习了较简单的基本初等函数，还可以把两个或几个函数进行“复合”，怎样复合呢？那么，对于复合后的函数如何求导呢？我们是否也有简单的方法？
情境导入
知识点一　复合函数的概念
01
知识点二　复合函数的导数
02
知识点三　复合函数求导的应用
03
课时作业
04
目录
知识点一
复合函数的概念
01
PART
问题1　我们常说y＝ cos x为“余弦函数”，而y＝ cos 2x为“余弦型函
数”，那么y＝ cos 2x是由哪些初等函数构成的？
提示：记u＝2x，则y＝ cos 2x可以看作余弦函数y＝ cos u和u＝2x两个
初等函数以一种“嵌套”的方式组成.
【知识梳理】
一般地，对于两个函数y＝f（u）和u＝g（x），如果通过中间变量u，
y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f（u）和u＝g（x）
的复合函数，记作y＝ .
　　提醒：复合函数中，把函数y＝f（u）称为外层函数，把u＝g（x）
称为内层函数，内层函数和外层函数通常为基本初等函数.
f（g（x））　
【例1】　〔多选〕下列哪些函数是复合函数（　　）
A. y＝xln x B. y＝（3x＋6）2
C. y＝e sin x D. y＝ sin
解析：A不是复合函数；B、C、D都是复合函数.
BCD
【规律方法】
若f（x）与g（x）均为基本初等函数，则函数y＝f（g（x））或函数y
＝g（f（x））均为复合函数，而f（x），g（x）不是复合函数.
训练1　判断下列哪些函数是复合函数，并说明是如何复合的：
（1）y＝log2（2x＋1）；（2）y＝2x2－ ；
（3）y＝2ln x；（4）y＝ cos （3x－ ）.
解：（1）y＝log2（2x＋1）是复合函数，可以看作是由y＝log2u和u＝
2x＋1复合而成的函数.
（2）y＝2x2－ 不是复合函数.
（3）y＝2ln x是复合函数，可以看作是由y＝2u和u＝ln x复合而成的函数.
（4）y＝ cos （3x－ ）是复合函数，可以看作是由y＝ cos u和u＝3x－
复合而成的函数.
知识点二
复合函数的导数
02
PART
问题2　（1）我们知道y＝ sin 2x＝2 sin x cos x，利用导数的运算法则求y
＝ sin 2x的导数，求导结果是什么（以y'x表示y对x的导数）？
提示：y＝ sin 2x＝2 sin x cos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y'x＝2
cos 2x－2 sin 2x＝2 cos 2x.
（2）如果令y＝ sin u，u＝2x，则y＝ sin u和u＝2x导数分别是什么（以
y'u表示y对u的导数，u'x表示u对x的导数）？
提示：y'u＝ cos u，u'x＝2.
（3）比较（1）、（2）的运算结果，你能得到什么结论？
提示：从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝ sin u，它的导数y'u＝
cos u，内层函数是u＝2x，它的导数是u'x＝2，发现y'x＝y'u·u'x.
【知识梳理】
一般地，对于由函数y＝f（u）和u＝g（x）复合而成的函数y＝f（g
（x）），它的导数与函数y＝f（u），u＝g（x）的导数间的关系为y'x
＝ .即y对x的导数等于 的导数与 的导数
的乘积.
　　提醒：（1）中间变量的选择应是基本初等函数的结构；（2）求导由
外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则；（3）求每层函数
的导数时，注意分清是对哪个变量求导.
y'u·u'x　
y对u　
u对x　
【例2】　（链接教材P79例6）求下列函数的导数：
（1）y＝ ；（2）y＝ cos （x2）；
解：（1）令u＝1－3x，则y＝ ＝u－4，
所以y'u＝－4u－5，u'x＝－3.
所以y'x＝y'u·u'x＝12u－5＝ .
（2）令u＝x2，则y＝ cos u，
所以y'x＝y'u·u'x＝－ sin u·2x＝－2x sin （x2）.
解： （3）设y＝log2u，u＝2x＋1，
则y'x＝y'u·u'x＝ ＝ .
（4）设y＝eu，u＝3x＋2，
则y'x＝y'u·u'x＝（eu）'·（3x＋2）'＝3eu＝3e3x＋2.
（3）y＝log2（2x＋1）；（4）y＝e3x＋2.
【规律方法】
求复合函数的导数的步骤
训练2　求下列函数的导数：
（1）y＝ ；
解：（1）y＝ ，设y＝ ，u＝1－2x，
则y'x＝（ ）'·（1－2x）'＝ ·（－2）
＝（1－2x .
解： （2）设y＝10u，u＝2x＋3，
则y'x＝y'u·u'x＝（10u）'（2x＋3）'＝10uln 10×2＝2ln 10·102x＋3.
（3）y'x＝（e－x）' sin 2x＋e－x·（ sin 2x）'
＝－e－x sin 2x＋2e－x cos 2x.
（2）y＝102x＋3；（3）y＝e－x· sin 2x；
（5）因为y＝ sin 4x＋ cos 4x
＝（ sin 2x＋ cos 2x）2－2 sin 2x· cos 2x
＝1－ sin 22x＝1－ （1－ cos 4x）＝ ＋ cos 4x，
所以y'＝ '＝－ sin 4x.
解： （4）y'x＝
＝ ＝ .
（4）y＝ ；（5）y＝ sin 4x＋ cos 4x.
知识点三
复合函数求导的应用
03
PART
【例3】　（1）已知函数f（x）＝e2x，则过原点且与曲线y＝f（x）相
切的直线方程为 ；
解析：设切点坐标为（t，e2t）.∵f（x）＝e2x，∴f'（x）＝2e2x，∴f'
（t）＝2e2t，∴曲线y＝f（x）在点（t，e2t）处的切线方程为y－e2t＝
2e2t（x－t）.∵该直线过原点，∴－e2t＝－2te2t，解得t＝ ，∴过原点
且与曲线y＝f（x）相切的直线方程为2ex－y＝0.
2ex－y＝0
（2）（链接教材P80例7）某港口在一天24小时内潮水的高度近似满足关
系式s（t）＝3 sin （ t＋ ）（0≤t≤24），其中s的单位是m，t的单
位是h，求函数在t＝18时的导数，并解释它的实际意义.
解：设f（x）＝3 sin x，x＝φ（t）＝ t＋ ，
∴s'（t）＝f'（x）·φ'（t）＝3（ cos x）·
＝ cos ，
将t＝18代入s'（t），得s'（18）＝ cos ＝ （m/h）.
s'（18）表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h.
【规律方法】
1. 求解与复合函数有关的切线问题的两个关键
（1）正确求复合函数的导数，这是解题的前提条件，要注意把复合函数
逐层分解，求导时不要有遗漏；
（2）求切线方程，注意切线所过的点是否为切点.
2. 将复合函数的求导与问题中的实际意义结合，函数在某点处的导数反映
了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况.
训练3　（1）（2025·江门月考）已知函数f（x）＝xex－a，曲线y＝f
（x）在点（a，f（a））处的切线方程为y＝3x＋b，则a＋b＝
（　B　）
A. －4 B. －2 C. 2 D. 4
解析：由题意得f'（x）＝（x＋1）ex－a，所以f'（a）＝a＋1＝3，所以a
＝2，所以f（x）＝xex－2，所以f（2）＝2e2－2＝2，所以切点为（2，
2），将（2，2）代入切线方程得b＝－4，所以a＋b＝－2.
B
（2）随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航
天等众多领域，并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰
变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系N
（t）＝ N0，其中N0为t＝0时钍234的含量.已知t＝24时，钍234含量
的瞬时变化率为－8ln 2，则N（96）＝ 贝克.
24
解析：由N（t）＝ ·N0得N'（t）＝ ·N0×ln 2×（－ ），当
t＝24时，N'（24）＝ ·N0×ln 2×（－ ）＝－8ln 2，解得N0＝
384，所以N（t）＝384× .当t＝96时，N（96）＝384× ＝
384×2－4＝24.
1. 函数y＝ sin （2x－1）如果看成复合函数y＝f（φ（x）），下列式子
正确的是（　　）
A. φ（x）＝2x B. φ（x）＝ sin x
C. φ（x）＝2x－1 D. φ（x）＝ sin （2x－1）
解析：　y＝ sin （2x－1）是由函数y＝ sin u和u＝2x－1复合而成，可
见φ（x）＝2x－1.
√
2. 设f（x）＝ cos 2x－3x，则f'（ ）＝（　　）
A. －5 B. －3
C. －4 D. －
解析：　f'（x）＝－2 sin 2x－3，f'（ ）＝－2 sin π－3＝－3.
√
3. 曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是（　　）
A. B. 2
C. 3 D. 0
解析：　设曲线y＝ln（2x－1）在点（x0，y0）处的切线与直线2x－y
＋3＝0平行.∵y'＝ ，∴y' ＝ ＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln
（2－1）＝0，即切点坐标为（1，0）.∴切点（1，0）到直线2x－y＋3＝
0的距离为d＝ ＝ ，即曲线y＝ln（2x－1）上的点到直线2x
－y＋3＝0的最短距离是 .
√
4. 求下列函数的导数：
（1）y＝（－2x＋1）2；
解： 设y＝u2，u＝－2x＋1，
则y'＝y'u·u'x＝2u·（－2）＝－4（－2x＋1）＝8x－4.
（2）y＝23x＋2；
解： 设y＝2u，u＝3x＋2，
则y'＝y'u·u'x＝2uln 2·3＝3ln 2·23x＋2.
（3）y＝ .
解： 设y＝ ，u＝5x＋4，
则y'＝y'u·u'x＝ ·5＝ .
课堂小结
1. 理清单
（1）复合函数的概念；
（2）复合函数的求导法则；
（3）复合函数的导数的应用.
2. 应体会
复合函数求导时要注意转化法、代入（代换）法的应用.
3. 避易错
求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求
导；计算结果复杂化.
课时作业
04
PART
1. 函数y＝（x2－1）n的复合过程正确的是（　　）
A. y＝un，u＝x2－1 B. y＝（u－1）n，u＝x2
C. y＝tn，t＝（x2－1）n D. y＝（t－1）n，t＝x2－1
解析：　由复合函数求导法则知A正确.
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√
2. 设f（x）＝ln（3x＋2）＋3x2，则f'（0）＝（　　）
A. 1 B. C. －1 D. －2
解析：　f'（x）＝ ＋6x，故f'（0）＝ ＋0＝ .
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3. 设曲线y＝e2ax在点 处的切线与直线2x－y＋1＝0垂直，则a＝
（　　）
A. － B.
C. 1 D. －1
解析：　由y＝e2ax可得y'＝e2ax·（2ax）'＝2a·e2ax，所以在点
处的切线斜率为k＝y'｜x＝0＝2ae0＝2a，又因为切线与直线2x－y＋1＝0
垂直，即可得2a×2＝－1，因此a＝－ .故选A.
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4. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断
减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137衰变过程中，其含量
M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系M（t）＝
600· ，则铯137的含量M在t＝30时的瞬时变化率为（　　）
A. －10ln 2太贝克/年 B. 300ln 2太贝克/年
C. －300ln 2太贝克/年 D. 10ln 2太贝克/年
解析：　依题意，M（t）＝600· ，所以M'（t）＝－
×600× ln 2＝－20× ln 2，所以铯137的含量M在t＝30时的瞬时
变化率为M'（30）＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2（太贝克/年），故选A.
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5. （2025·温州质检）对于三次函数y＝f（x）＝ax3＋bx2＋cx＋d
（a≠0），给出定义：设f'（x）是函数y＝f（x）的导数，f″（x）是f'
（x）的导数，若方程f″（x）＝0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为
函数y＝f（x）的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都
有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现判断函数f
（x）＝ x3－ x2＋3x－ 的对称中心为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　依题意，得f'（x）＝x2－x＋3，∴f″（x）＝2x－1，由f″
（x）＝0，即2x－1＝0，得x＝ ，又f ＝1，∴函数f（x）＝ x3－
x2＋3x－ 的对称中心为 .故选A.
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6. 〔多选〕下列结论中正确的是（　　）
A. 若y＝ cos ，则y'＝－ sin
B. 若y＝ sin x2，则y'＝2x cos x2
C. 若y＝ cos 5x，则y'＝－5 sin 5x
D. 若y＝ x sin 2x，则y'＝x sin 2x
解析： 　对于A，y＝ cos ，则y'＝ sin ，故错误；对于B，y＝ sin
x2，则y'＝2x cos x2，故正确；对于C，y＝ cos 5x，则y'＝－5 sin 5x，故正
确；对于D，y＝ x sin 2x，则y'＝ sin 2x＋x cos 2x，故错误.故选B、C.
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7. 〔多选〕曲线y＝e2x cos 3x在点（0，1）处的切线与其平行直线l的距
离为 ，则直线l的方程可能为（　　）
A. y＝2x＋6 B. y＝2x－4
C. y＝3x＋1 D. y＝3x－4
解析： 　y'＝e2x（2 cos 3x－3 sin 3x），∴y'｜x＝0＝2，则所求的切线
方程为y＝2x＋1，设直线l的方程为y＝2x＋b，则 ＝ ，解得
b＝6或－4.∴直线l的方程为y＝2x＋6或y＝2x－4.
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8. 设函数f（x），g（x）在区间（0，5）内导数存在，且有以下数据：
x 1 2 3 4
f（x） 2 3 4 1
f'（x） 3 4 2 1
g（x） 3 1 4 2
g'（x） 2 4 1 3
则f（g（1））＝ ；函数f（g（x））在x＝1处的导数值是 .
解析：令h（x）＝f（g（x）），则h（1）＝f（g（1））＝f（3）＝
4，h'（x）＝f'（g（x））·g'（x），所以h'（1）＝f'（g（1））·g'
（1）＝f'（3）·g'（1）＝2×2＝4.
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9. 已知函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，则x＞0
时，f（x）＝ ，f（1）＋f'（1）＝ .
解析：∵函数f（x）为奇函数，当x＜0时，f（x）＝e－x＋ ，∴令x＞
0，则－x＜0，∴f（－x）＝ex－ ＝－f（x），∴f（x）＝－ex＋ ，
x＞0.∴f'（x）＝－ex－ ，x＞0，∴f'（1）＝－e－1，f（1）＝－e＋
1，∴f（1）＋f'（1）＝－e＋1－e－1＝－2e.
－ex＋
－2e　
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10. 求下列函数的导数：
（1）y＝102x＋3；（2）y＝ sin （－2x＋ ）；
（3）y＝－2e3x sin 2x.
解：（1）原函数可以看作y＝10u和u＝2x＋3的复合函数，则y'x＝
y'u·u'x＝102x＋3×ln 10×2＝2ln 10·102x＋3.
（2）原函数可以看作y＝ sin u和u＝－2x＋ 的复合函数，则y'x＝
y'u·u'x＝ cos u·（－2）＝－2 cos （－2x＋ ）＝－2 cos （2x－ ）.
（3）原函数可以看作y＝－2u（x）·v（x），其中u（x）可以看作u
＝em和m＝3x的复合函数，v（x）可以看作v＝ sin p和p＝2x的复合函
数，则y'＝－2（3e3x sin 2x＋2e3x cos 2x）＝－2e3x（3 sin 2x＋2 cos 2x）.
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11. （2025·湖州期末）曲线f（x）＝e－2x＋1在点（0，2）处的切线与直
线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为（　　）
A. B.
C. D. 1
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解析：　依题意得f'（x）＝e－2x·（－2）＝－2e－
2x，f'（0）＝－2e－2×0＝－2.所以曲线f（x）＝e－2x＋1
在点（0，2）处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x
＋2.在平面直角坐标系中作出直线y＝－2x＋2，y＝0
与y＝x的图象，如图所示.易求得直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是（ ， ），直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是（1，0），所以结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积为 ×1× ＝ .
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12. 〔多选〕设函数f（x）＝ cos （ x＋φ）（0＜φ＜2π），若f（x）
＋f'（x）是奇函数，则φ的可能取值为（　　）
A. B.
解析： f'（x）＝－ sin （ x＋φ），f（x）＋f'（x）＝ cos
（ x＋φ）－ sin （ x＋φ）＝2 sin （ x＋φ＋ ）.若f（x）＋f'
（x）为奇函数，则f（0）＋f'（0）＝0，即0＝2 sin ，因此φ＋
＝kπ（k∈Z）.又因为φ∈（0，2π），所以φ＝ 或φ＝ .
C. D.
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13. 已知点P在曲线y＝ 上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α
的取值范围为 .
解析：因为y＝ ，所以y'＝ ＝ ＝ .因为ex＞
0，所以ex＋ ≥2（当且仅当x＝0时取等号），所以y'∈[－1，0），所以
tan α∈[－1，0）.又因为α∈[0，π），所以α∈ .

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14. （1）已知f（x）＝eπx sin πx，求f'（x）及f' ；
解： ∵f（x）＝eπx sin πx，
∴f'（x）＝πeπx sin πx＋πeπx cos πx
＝πeπx（ sin πx＋ cos πx）.
∴f' ＝π ＝π .
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（2）在曲线g（x）＝ 上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求
切线方程.
解： 设切点坐标为P（x0，y0），
由题意可知g'（x0）＝0.又g'（x）＝ ，
∴g'（x0）＝ ＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为P（0，1），切线方程为y－1＝0.
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15. （1）已知函数f（x）在R上满足f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8，
求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
解：法一　f'（x）＝2f'（2－x）（2－x）'－2x＋8＝－2f'（2－x）
－2x＋8，则f'（1）＝－2f'（1）－2＋8，得f'（1）＝2.
又f（1）＝2f（1）－1＋8－8，得f（1）＝1，
故曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y－1＝2（x－1），
即y＝2x－1.
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法二　∵f（x）＝2f（2－x）－x2＋8x－8，　　①
∴f（2－x）＝2f（x）－（2－x）2＋8（2－x）－8. ②
把②代入①得f（x）＝x2，
∴f（1）＝1，f'（x）＝2x，
∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率k＝f'（1）＝2，
故所求切线方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1.
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解：由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，
当x＝0时，y'＝e0＋1＝2，
故曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线方程为y＝2x＋1.
由y＝ln（x＋1）＋a得y'＝ ，
设切线与曲线y＝ln（x＋1）＋a相切的切点为（x0，ln（x0＋1）＋a），
由两曲线有公切线得 ＝2，解得x0＝－ ，则切点为 ，
切线方程为y＝2 ＋a－ln 2＝2x＋1＋a－ln 2，
根据两切线重合，得a－ln 2＝0，解得a＝ln 2.
（2）若曲线y＝ex＋x在点（0，1）处的切线也是曲线y＝ln（x＋1）＋a的切线，求a的值.
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