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(共53张PPT)
第二课时　函数单调性的应用
1.能求简单的含参的函数的单调区间（数学运算）.
2.进一步理解函数的导数和其单调性的关系，利用单调性比较大小、解不等式（数学抽象、数学运算）.
3.能根据函数的单调性求参数的取值范围（数学运算）.
课标要求
知识点一　含参数函数的单调性
01
知识点二　根据函数的单调性求参数
02
课时作业
03
目录
知识点一
含参数函数的单调性
01
PART
【例1】　讨论函数f（x）＝ ax2＋x－（a＋1）ln x（a≥0）的单调性.
解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝ax＋1－ ＝ .
①当a＝0时，
f'（x）＝ ，
由f'（x）＞0，得x＞1，
由f'（x）＜0，得0＜x＜1.
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
②当a＞0时，f'（x）＝ ，
∵a＞0，∴ ＞0.
由f'（x）＞0，得x＞1，由f'（x）＜0，得0＜x＜1.
∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增.
综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，1）内单调递减，在（1，＋∞）内
单调递增.
【规律方法】
讨论含参函数的单调性的关键点
（1）涉及含参数的函数的单调性问题，一定要判断参数对导数f'（x）在
某一个区间内的正负是否有影响.若有影响，则必须分类讨论，讨论时要
做到不重不漏，最后进行总结；
（2）求含参函数y＝f（x）的单调区间，实质上就是解含参数的不等式f'
（x）＞0，f'（x）＜0.
训练1　设函数f（x）＝ex－ax－2（a∈R），求f（x）的单调区间.
解：f（x）的定义域为（－∞，＋∞），f'（x）＝ex－a.
若a≤0，则f'（x）＞0，
所以f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数.
若a＞0，则当x∈（－∞，ln a）时，f'（x）＜0；
当x∈（ln a，＋∞）时，f'（x）＞0.
所以f（x）在（－∞，ln a）上单调递减，在（ln a，＋∞）上单调递增.
综上所述，当a≤0时，函数f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数；
当a＞0时，f（x）的单调递减区间为（－∞，ln a），
单调递增区间为（ln a，＋∞）.
知识点二
根据函数的单调性求参数
02
PART
【例2】　已知函数f（x）＝x3－ax－1为R上的增函数，求实数a的取值
范围.
解：由已知得f'（x）＝3x2－a，
因为f（x）在（－∞，＋∞）上是增函数，
所以f'（x）＝3x2－a≥0在（－∞，＋∞）上恒成立，
即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.
即a的取值范围为（－∞，0].
解：由题意可知f'（x）＝3x2－a≤0在（－1，1）上恒成立，所以
即 所以a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞）.
（2）若函数f（x）＝x3－ax－1的单调递减区间为（－1，1），求a的
值.
解：f'（x）＝3x2－a，①当a≤0时，f'（x）≥0，
所以f（x）在（－∞，＋∞）上为增函数，不满足题意.
变式　（1）若函数f（x）＝x3－ax－1在（－1，1）上单调递减，求a的
取值范围；
②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝± ，
当－ ＜x＜ 时，f'（x）＜0.
所以f（x）在（－ ， ）上单调递减，
所以f（x）的单调递减区间为（－ ， ），
所以 ＝1，即a＝3.
【规律方法】
由函数的单调性求参数的技巧
（1）转化为导数不等式恒成立问题：若f（x）在区间上单调递增
（减），则f'（x）≥（≤）0恒成立，可以利用分离参数法或函数性质求
参数，注意检验参数取“＝”时是否满足题意；
（2）若f（x）在区间上不是单调函数，则解法通常有以下两种：①转化
为单调函数求参数，再求其补集；②转化为函数的导函数有变号的零点，
再求参数.
训练2　（1）若函数f（x）＝ x3－2ax2－（a－2）x＋5恰好有三个单调
区间，则实数a的取值范围为（　D　）
A. －1≤a≤2 B. －2≤a≤1
C. a＞2或a＜－1 D. a＞1或a＜－2
解析：若函数f（x）有3个单调区间，则f'（x）＝4x2－4ax－（a－2）有
2个变号零点，故Δ＝16a2＋16（a－2）＞0，解得a＞1或a＜－2.
D
（2）若函数f（x）＝x3－12x在区间（k－1，k＋1）上不单调，则实数
k的取值范围是（　B　）
A. （－∞，－3]∪[－1，1]∪[3，＋∞）
B. （－3，－1）∪（1，3）
C. （－2，2）
D. 不存在这样的实数k
B
解析：由题意得，f'（x）＝3x2－12＝0在区间（k－1，k＋1）上至少有
一个实数根.又f'（x）＝3x2－12＝0的根为±2，且f'（x）在x＝2或－2两
侧异号，而区间（k－1，k＋1）的区间长度为2，故只有2或－2在区间
（k－1，k＋1）内，∴k－1＜2＜k＋1或k－1＜－2＜k＋1，∴1＜k＜3
或－3＜k＜－1，故选B.
提能点｜函数单调性的应用
角度1　比较大小
【例3】　已知函数f（x）＝ ＋ln x，则（　　）
A. f（e）＜f（π）＜f（2.7） B. f（π）＜f（e）＜f（2.7）
C. f（e）＜f（2.7）＜f（π） D. f（2.7）＜f（e）＜f（π）
解析：　函数f（x）＝ ＋ln x的定义域为（0，＋∞）.∵f'（x）＝
（ ＋ln x）'＝（ ）'＋（ln x）'＝ ＋ ＞0，∴f（x）在（0，＋
∞）上是增函数.∵2.7＜e＜π，∴f（2.7）＜f（e）＜f（π），故选D.
√
变式　已知实数x，y满足2x＋2x＜2y＋2y，则（　　）
A. x＞y B. x＝y
C. x＜y D. x，y的大小不确定
解析：　设f（t）＝2t＋2t，所以f'（t）＝2＋2tln 2＞0，所以函数f
（t）是增函数，由题意得f（x）＜f（y），所以x＜y.
√
【规律方法】
在比较两数（式）的大小关系时，首先要判断所给函数的单调性，再根据函数的单调性比较大小，有时还需要根据待比较式的结构特征构造新的函数，由新函数的单调性来比较大小.
　　提醒：解题时需注意先判断所属单调区间.
角度2　解不等式
【例4】　不等式2x≥2－log2x的解集为 .
解析：令f（x）＝2x－2＋log2x，x∈（0，＋∞），则f'（x）＝2xln 2＋
＞0，所以f（x）在（0，＋∞）上单调递增，当x＝1时，f（1）＝2
－2＋log21＝0，所以当x≥1时，f（x）≥0，即2x≥2－log2x.所以2x≥2
－log2x的解集为[1，＋∞）.
[1，＋∞）
【规律方法】
解不等式时，通常利用函数单调性来解决，其中函数可以是已知函数，也可以根据题目要求构造相应函数.
训练3　（1）已知函数f（x）＝3x＋2 cos x.若a＝f（3 ），b＝f
（2），c＝f（log27），则a，b，c的大小关系是（　D　）
A. a＜b＜c B. c＜b＜a
C. b＜a＜c D. b＜c＜a
解析：由题意，得f'（x）＝3－2 sin x.因为－1≤ sin x≤1，所以f'（x）＞
0恒成立，所以函数f（x）是增函数.因为log24＜log27＜log28，所以2＜
log27＜3，所以2＜log27＜3 ，所以f（2）＜f（log27）＜f（3 ），
即b＜c＜a.
D
（2）已知函数f（x）为偶函数，且当x≥0时，f（x）＝ex＋x2－ cos x，
则不等式f（x－3）－f（2x－1）＜0的解集为
.
（－∞，－2）
∪
解析：当x≥0时，f'（x）＝ex＋2x＋ sin x，（ex＋2x＋ sin x）'＝ex＋2
＋ cos x＞0，f'（x）单调递增，f'（0）＝1，所以f'（x）＞0，f（x）单调
递增.因为f（x）是偶函数，所以当x＜0时，f（x）单调递减，所以f
（x－3）－f（2x－1）＜0 f（x－3）＜f（2x－1） ｜x－3｜＜｜2x
－1｜ （x－3）2＜（2x－1）2 （x＋2）（3x－4）＞0 x＜－2或x＞
，即不等式f（x－3）－f（2x－1）＜0的解集为（－∞，－2）
∪ .
1. 设函数f（x）＝2x＋ sin x，则（　　）
A. f（1）＞f（2） B. f（1）＜f（2）
C. f（1）＝f（2） D. 以上都不正确
解析：　f'（x）＝2＋ cos x＞0，故f（x）是R上的增函数，故f（1）＜
f（2）.
√
2. 若函数f（x）＝－ cos x＋ax为增函数，则实数a的取值范围为
（　　）
A. [－1，＋∞） B. [1，＋∞）
C. （－1，＋∞） D. （1，＋∞）
解析：　由题意可得，f'（x）＝ sin x＋a≥0恒成立，故a≥－ sin x恒成
立，因为－1≤－ sin x≤1，所以a≥1.
√
3. 已知函数f（x）＝ ，若f（a＋3）＞f（2a），则a的取值范围
是 .
解析：由函数f（x）＝ ，可得f'（x）＝ ＞0，即f（x）为R
上的增函数，故由f（a＋3）＞f（2a）可得a＋3＞2a，∴a＜3.
（－∞，3）
4. 已知函数f（x）＝x3＋ax2－a2x＋2（a＞0），求函数f（x）的单调
区间.
解：f'（x）＝3x2＋2ax－a2＝（x＋a）（3x－a），
由f'（x）＝0得x＝－a或x＝ .
又a＞0，由f'（x）＜0，得－a＜x＜ ，
由f'（x）＞0，得x＜－a或x＞ ，
故f（x）的单调递减区间为 ，单调递增区间为 和
.
课堂小结
1. 理清单
（1）含参数函数的单调性；
（2）由单调性求参数的取值范围；
（3）利用单调性比较大小；
（4）利用单调性解不等式.
2. 应体会
（1）解决含参数函数的单调性问题时要注意分类讨论思想的应用；
（2）利用单调性比较大小、解不等式时常利用数形结合思想.
3. 避易错
（1）求参数的取值范围时容易忽略对端点值的讨论；
（2）解不等式时，易忽略定义域.
课时作业
03
PART
1. 已知函数f（x）＝3x－ax（a∈R），则“a＜0”是“函数f（x）为
增函数”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：　因为f（x）＝3x－ax，所以f'（x）＝3xln 3－a，所以当a≤0
时，f'（x）＞0，函数f（x）在定义域上是增函数.因为（－∞，0）
（－∞，0]，所以“a＜0”是“函数f（x）为增函数”的充分不必要条
件.故选A.
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√
2. 若f（x）＝ x3－ax2的单调递减区间是（0，2），则正数a＝（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
解析：　f'（x）＝x2－2ax，令f'（x）＜0，由于a＞0，故解得0＜x＜
2a，故2a＝2，即a＝1.
√
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3. 已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，函数y＝f'
（x）的图象如图所示，且f（－2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2－
6）＞1的解集是（　　）
A. （－3，－2）∪（2，3）
C. （2，3）
√
解析：由y＝f'（x）的图象知，函数f（x）在（－∞，0）上单调递增，在（0，＋∞）上单调递减，且f（－2）＝1，f（3）＝1，则不等式f（x2－6）＞1可转化为－2＜x2－6＜3，解得2＜x＜3或－3＜x＜－2.故选A.
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4. 已知定义在R上的函数f（x），g（x）对任意实数x，有f（－x）＝
－f（x），g（－x）＝g（x），且当x＞0时，有f'（x）＞0，g'（x）
＞0，则当x＜0时，有（　　）
A. f'（x）＞0，g'（x）＞0 B. f'（x）＞0，g'（x）＜0
C. f'（x）＜0，g'（x）＞0 D. f'（x）＜0，g'（x）＜0
√
解析：　由已知，得f（x）为奇函数，g（x）为偶函数.∵当x＞0时，
f'（x）＞0，g'（x）＞0，∴f（x），g（x）在（0，＋∞）上均单调递
增，∴f（x）在（－∞，0）上单调递增，g（x）在（－∞，0）上单调
递减，∴当x＜0时，f'（x）＞0，g'（x）＜0.
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5. 已知函数f（x）＝ ，当1＜x＜3时，下列关系正确的是（　　）
√
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解析：　由题意得f'（x）＝ ，当1＜x＜3时，f'（x）＞0，所
以f（x）在（1，3）上单调递增.又1＜ ＜x＜3，所以f（ ）＜f
（x）.由f（x）在（1，3）上单调递增，可知当x∈（1，3）时，f（x）
＞f（1）＝e，所以[f（x）]2＞f（x）.综上f（ ）＜f（x）＜[f
（x）]2.
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6. 〔多选〕已知定义在R上的函数f（x），其导函数y＝f'（x）的大致图
象如图所示，则下列叙述正确的是（　　）
A. f（b）＞f（a） B. f（d）＞f（e）
C. f（a）＞f（d） D. f（c）＞f（e）
解析： 　由题图可得，当x∈（－∞，c）∪（e，＋∞）时，f'（x）
＞0，当x∈（c，e）时，f'（x）＜0，故f（x）在（－∞，c），（e，
＋∞）上单调递增，在（c，e）上单调递减，所以f（b）＞f（a），f
（d）＞f（e），f（c）＞f（e）.
√
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7. 〔多选〕若函数f（x）＝ x2－9ln x在区间[m－1，m＋1]上单调，则
实数m的取值可以是（　　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解析： 　f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝x－ ＝ ，由f'
（x）≥0得函数f（x）的单调递增区间为[3，＋∞）；由f'（x）≤0得函
数f（x）的单调递减区间为（0，3].因为f（x）在区间[m－1，m＋1]上
单调，所以 或m－1≥3，解得1＜m≤2或m≥4.结合选项可
得A、C正确.
√
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8. 函数f（x）＝ x3－ （2a＋1）x2＋（a2＋a）x＋4（a∈R）的单调
递减区间是 .
解析：f'（x）＝x2－（2a＋1）x＋a2＋a＝[x－（a＋1）]（x－a），
令f'（x）＜0，得a＜x＜a＋1，故f（x）的单调递减区间是（a，a＋
1）.
（a，a＋1）
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9. 已知函数f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，则实数a的取值范围
为 .
解析：f'（x）＝a－ex.因为f（x）＝ax－ex在（0，1）上不单调，所以f'
（x）＝0在（0，1）上有解，又f'（x）在（0，1）上单调递减，所以f'
（0）＝a－1＞0，f'（1）＝a－e＜0，故a∈（1，e）.
（1，e）
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10. 若a＞0，试讨论f（x）＝aln x－（2a＋1）x＋x2的单调性.
解：f（x）的定义域为（0，＋∞），
f'（x）＝ .
当0＜a＜ 时，由f'（x）＞0可得0＜x＜a或x＞ ；由f'（x）＜0可得a
＜x＜ ，
所以函数f（x）的单调递增区间为（0，a）， ，单调递减区间
为 ；
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当a＝ 时，f'（x）≥0恒成立，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，
＋∞）；
当a＞ 时，由f'（x）＞0可得0＜x＜ 或x＞a；由f'（x）＜0可得 ＜x
＜a，所以函数f（x）的单调递增区间为 ，（a，＋∞），单调递
减区间为 .
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11. 若函数f（x）＝ln x＋ax2－2在区间（1，4）内存在单调递增区间，则
实数a的取值范围是（　　）
√
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解析：　函数f（x）＝ln x＋ax2－2的定义域是（0，＋∞），所以f'
（x）＝ ＋2ax＝ .当a≥0时，f'（x）＞0，则f（x）在（0，＋
∞）上单调递增，符合题意.当a＜0时，由2ax2＋1＝0，得x＝ （负
根舍去），所以当x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当
x∈ 时，f'（x）＜0，f（x）单调递减.
依题意，函数f（x）＝ln x＋ax2－2在区间（1，4）内存在单调递增区间，
所以1＜ ，解得－ ＜a＜0.综上，a＞－ .故选C.
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12. 函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间的必要不充分条件是
（　　）
D. a＜0
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解析：　由f（x）＝ax3＋x2＋5x－1，得f'（x）＝3ax2＋2x＋5，当a
＝0时，由f'（x）＝0，解得x＝－ ，函数f（x）有两个单调区间；当a
＞0时，由Δ＝4－60a＞0，解得a＜ ，即0＜a＜ ，此时函数f（x）
＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间；当a＜0时，Δ＝4－60a＞0，解得a
＜ ，即a＜0，此时函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区间.综
上所述，a＜0或0＜a＜ 是函数f（x）＝ax3＋x2＋5x－1恰有3个单调区
间的充要条件，分析可得a＜ 是其必要不充分条件.
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13. 已知函数f（x）＝2 sin x－ex＋e－x，则关于x的不等式f（x2－4）＋f
（3x）＜0的解集为 .
解析：f（－x）＝－2 sin x－e－x＋ex，∵f（－x）＋f（x）＝0，∴f
（x）为奇函数，则f'（x）＝2 cos x－（ex＋e－x），∵2 cos x≤2，ex＋e
－x≥2，∴f'（x）≤0，f（x）为减函数，又f（x2－4）＋f（3x）＜0，
则f（x2－4）＜－f（3x）＝f（－3x），∴x2－4＞－3x，∴x＞1或x＜
－4.
（－∞，－4）∪（1，＋∞）
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14. 已知函数f（x）＝ax2＋ln（x＋1）.
（1）当a＝－ 时，求函数f（x）的单调区间；
解：当a＝－ 时，f（x）＝－ x2＋ln（x＋1）（x＞－1），
则f'（x）＝－ x＋ ＝－ （x＞－1）.
令f'（x）＞0，解得－1＜x＜1；
令f'（x）＜0，解得x＞1.
故函数f（x）的单调递增区间是（－1，1），单调递减区间是（1，＋∞）.
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（2）若函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，求实数a的取值范围.
解：因为函数f（x）在区间[1，＋∞）上单调递减，所以f'（x）＝
2ax＋ ≤0对任意x∈[1，＋∞）恒成立，即a≤－ 对任意
x∈[1，＋∞）恒成立.
令g（x）＝－ ，x∈[1，＋∞），
易求得g'（x）＞0在[1，＋∞）上恒成立，
所以g（x）在[1，＋∞）上单调递增，因此g（x）min＝g（1）＝－ ，故a≤－ .即实数a的取值范围是 .
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15. （2025·宁波月考）设函数f（x）＝（x＋a）ln x，g（x）＝ .已
知曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线2x－y＝0平行.
（1）求a的值；
解： 由题意知，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为
2，所以f'（1）＝2，
又f'（x）＝ln x＋ ＋1，
所以a＋1＝2，解得a＝1.
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（2）是否存在自然数k，使得方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存
在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由.
解：存在.理由如下：
设h（x）＝f（x）－g（x）＝（x＋1）ln x－ ，
当x∈（0，1]时，h（x）＜0，又h（2）＝3ln 2－ ＝ln 8－ ＞0，
所以存在x0∈（1，2），使得h（x0）＝0.
因为h'（x）＝ln x＋ ＋1＋ ，
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当x∈（1，2）时，h'（x）＞2－ ＞0，
当x∈[2，＋∞）时，h'（x）＞0，
所以当x∈（1，＋∞）时，h（x）单调递增.
所以当k＝1时，方程f（x）＝g（x）在（k，k＋1）内存在唯一的根.
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