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(共55张PPT)
第三课时　利用导数解决与函数有关的问题
1.会利用导数画函数的大致图象（数学抽象、数学运算）.
2.结合函数图象利用导数研究函数的零点的问题（逻辑推理、数学运算）.
3.利用导数解决生活中的实际问题（数学建模、数学运算）.
课标要求
知识点一　利用导数画函数的大致图象
01
知识点二　利用导数研究函数的零点与方程的根
02
知识点三　生活中的优化问题
03
课时作业
04
目录
知识点一
利用导数画函数的大致图象
01
PART
【例1】　已知f（x）＝（a－x＋1）ex，其中a＞0，试画出函数f（x）
的大致图象.
解：∵f（x）＝（a－x＋1）ex，
∴f'（x）＝（a－x）ex，
则当x＜a时，f'（x）＞0，f（x）在（－∞，a）上单调
递增；
当x＞a时，f'（x）＜0，f（x）在（a，＋∞）上单调递减，
∴f（x）在x＝a处取得最大值f（a）＝ea，且当x→＋
∞时，f（x）→－∞，当x→－∞时，f（x）→0，
则f（x）＝（a－x＋1）ex的大致图象如图所示.
【规律方法】
利用导数画函数大致图象的步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）利用导数确定函数的单调性与极值；
（3）确定f（x）的图象经过一些特殊点，以及图象的变化趋势；
（4）画出f（x）的大致图象.
训练1　试画出函数f（x）＝ 的大致图象.
解：∵f（x）＝ ，
∴f'（x）＝ （x＞0），
令g（x）＝1＋ －ln x，
则g'（x）＝－ － ＝－ ＜0，
∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数，
又g（e）＝ ＞0，g（e2）＝1＋ －ln e2＝ －1＜0，
∴存在x0∈（e，e2），使得g（x0）＝0，
∴当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）
单调递增，
当x∈（x0，＋∞）时，g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）
单调递减，
且当x→0时，f（x）→－∞，当x→＋∞时，f（x）→0，
故f（x）的大致图象如图所示.
知识点二
利用导数研究函数的零点与方程的根
02
PART
【例2】　判断函数f（x）＝ex（x2－2x＋1）－x的零点个数.
解：由f（x）＝0，得x2－2x＋1＝ .
令g（x）＝ ，则函数f（x）＝ex（x2－2x＋1）
－x的零点等价于函数y＝x2－2x＋1与y＝g（x）
图象的交点，
g'（x）＝ ，令g'（x）＞0，得x＜1，令g'（x）＜0，得x＞1，
所以g（x）在（－∞，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，
所以g（x）max＝g（1）＝ ，
又g（0）＝0，作出函数y＝x2－2x＋1＝（x－1）2与y＝g（x）的图象，如图所示，数形结合可得函数f（x）有2个零点.
【规律方法】
利用导数确定函数零点或方程根的个数的方法
（1）数形结合：将函数的零点或方程的根转化为两函数图象的交点，利
用导数画出函数的大致图象，进而得到函数零点的个数；
（2）利用函数零点存在定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，
然后利用导数研究函数的单调性、极值和区间端点处的函数值的符号，进
而判断函数在该区间上的零点个数.
训练2　已知f（x）＝ln x.
（1）求 的极值；
解：令g（x）＝ ＝ ，且x∈（0，＋∞），则g'（x）＝ ，
当0＜x＜e时g'（x）＞0，当x＞e时g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，
故g（x）＝ 的极大值为g（e）＝ ，无极小值.
（2）若函数y＝f（x）－ax存在两个零点，求a的取值范围.
解：由题设，a＝ 有两个根，即y＝a与g（x）＝ 有两个交点，
由（1）知：g（x）在（0，e）上单调递增，在（e，＋∞）上单调递减，
在（0，1）上g（x）＜0，在（1，＋∞）上g（x）＞0，且当x趋向正无
穷时g（x）趋向于0，
综上，只需0＜a＜g（e）＝ ，即a∈ .
故a的取值范围为（0， ）.
知识点三
生活中的优化问题
03
PART
【例3】　某企业在2025年全年内计划生产某种产品的数量为x百件，生产
过程中总成本w（x）（万元）是关于x（百件）的一次函数，且w（1）
＝57，w（10）＝120.预计生产的产品能全部售完，且当年产量为x百件
时，每百件产品的销售收入G（x）（万元）满足G（x）＝－ ＋
＋ ＋4.
（1）写出该企业2025年生产这种产品的利润F（x）（万元）关于年产量
x（百件）的函数关系式；
解：设w（x）＝kx＋b，
由 可得 解得
所以w（x）＝7x＋50，
依题意得，F（x）＝xG（x）－50－7x
＝x －50－7x
＝－ ＋20ln x－3x＋34（x＞0）.
（2）2025年产量为多少百件时，该企业在这种产品的生产中获利最大？
最大利润是多少？
（参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 5≈1.61，ln 7≈1.95）
解：由（1）得，F（x）＝－ ＋20ln x－3x＋34，
则F'（x）＝ ＋ －3＝ ＝－ ，
令F'（x）＞0，得0＜x＜7，令F'（x）＜0，得x＞7，
所以F（x）在（0，7）上单调递增，在（7，＋∞）上单调递减，
所以当x＝7时，有F（x）max ＝F（7）＝20ln 7＋12≈20×1.95＋12＝
51，故当2025年产量为7百件时，该企业在这种生产中获利最大且最大利润为51万元.
【规律方法】
利用导数解决实际问题时的三个注意点
（1）当问题中涉及多个变量时，应根据题意分析它们的关系，找出变量
间的关系式；
（2）确定函数关系式中自变量的取值范围；
（3）所得的结果要符合问题的实际意义.
训练3　某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池
的底面半径为r m，高为h m，体积为V m3.假设建造成本仅与表面积有
关，侧面的建造成本为100元/m2，底面的建造成本为160元/m2，该蓄水池
的总建造成本为12 000π元（π为圆周率）.
（1）将V表示成r的函数V（r），并求该函数的定义域；
解：由已知得，蓄水池侧面的建造成本为100·2πrh＝200πrh（元），底面
的建造成本为160πr2（元），
所以蓄水池的总建造成本为200πrh＋160πr2＝12 000π，
所以h＝ （300－4r2），
从而V（r）＝πr2h＝ （300r－4r3）.
由h＞0且r＞0，可得0＜r＜5 ，故函数V（r）的定义域为（0，
5 ）.
（2）讨论函数V（r）的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积
最大.
解：因为V（r）＝ （300r－4r3），
所以V'（r）＝ （300－12r2）.令V'（r）＝0，解得r＝5（负值舍
去）.
当r∈（0，5）时，V'（r）＞0，故V（r）在（0，5）上单调递增；
当r∈（5，5 ）时，V'（r）＜0，故V（r）在（5，5 ）上单调递
减. 由此可知，V（r）在r＝5处取得极大值，也是最大值，此时h＝8，即当r＝5，h＝8时，该蓄水池的体积最大.
1. 某莲藕种植塘每年的固定成本是3万元，每年最大规模的种植量是15万
斤，每种植1斤莲藕，成本增加1元，销售额y（单位：万元）与莲藕种植
量x（单位：万斤）满足y＝－ x3＋3x2＋x，要使销售利润最大，每年需
种植莲藕（　　）
A. 12万斤 B. 10万斤
C. 8万斤 D. 6万斤
√
解析：　设销售利润为g（x），则g（x）＝－ x3＋3x2＋x－3－x＝
－ x3＋3x2－3，0＜x≤15，所以g'（x）＝－ x2＋6x＝－ x（x－
12），令g'（x）＞0得0＜x＜12，令g'（x）＜0得12＜x≤15，可知g
（x）在（0，12）上单调递增，在（12，15]上单调递减，
所以当x＝12时，销售利润最大.故选A.
2. 函数f（x）＝（x－1）ex的图象大致为（　　）
解析：　由f'（x）＝xex，可得函数f（x）的单调递减区间为（－∞，
0），单调递增区间为（0，＋∞），且当x＜0时，f（x）＜0，故选A.
√
3. 已知函数f（x）＝（x2＋a）ex有最小值，则函数y＝f'（x）的零点个
数为（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 不确定
解析：　由题意得f'（x）＝（x2＋2x＋a）ex，因为函数f（x）有最小
值，且ex＞0，所以函数存在单调递减区间，即f'（x）＜0有解，所以x2＋
2x＋a＝0有两个不等实根，所以函数y＝f'（x）的零点个数为2.
√
4. 已知函数f（x）＝ex－x－a，若函数y＝f（x）有零点，则实数a的
取值范围是 .
解析：函数y＝f（x）有零点等价于方程ex－x＝a有解，令g（x）＝ex
－x，g'（x）＝ex－1，当x＞0时，g'（x）＞0，函数g（x）单调递增；
当x＜0时，g'（x）＜0，函数g（x）单调递减，又g（0）＝1，所以
a≥1.
[1，＋∞）
课堂小结
1. 理清单
（1）利用导数画函数的大致图象；
（2）利用导数研究函数的零点与方程的根；
（3）导数在实际问题中的应用.
2. 应体会
利用导数研究函数的零点问题时，要注意数形结合思想和分类讨论思想的
应用.
3. 避易错
不能正确分析函数图象的变化趋势，从而不能正确得到函数零点的个数.
课时作业
04
PART
1. 函数f（x）＝x3－12x－16的零点个数为（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　由题意得f'（x）＝3x2－12＝3（x＋2）·（x－2），令f'（x）
＞0，得x＞2或x＜－2；令f'（x）＜0，得－2＜x＜2，所以函数的单调递
增区间为（－∞，－2），（2，＋∞），单调递减区间为（－2，2），所
以函数的极大值为f（－2）＝0，极小值为f（2）＝－32，当x→－∞时，
f（x）＜0，当x→＋∞时，f（x）＞0，所以函数的零点个数为2.
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√
2. 若函数f（x）＝ln x＋ －a在区间（1，e）上只有一个零点，则实数a
的取值范围为（　　）
A. a≤1 B. a＞e
C. 1＜a＜ ＋1 D. ＜a＜1
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解析：　令ln x＋ －a＝0，则ln x＋ ＝a，因为函数f（x）＝ln x＋
－a在区间（1，e）上只有一个零点，则函数g（x）＝ln x＋ 与函数h
（x）＝a的图象在区间（1，e）上只有一个交点，又在区间（1，e）上g'
（x）＝ － ＝ ＞0，所以g（x）＝ln x＋ 在（1，e）上单调递增，
故g（x）∈（1，1＋ ），所以1＜a＜ ＋1.
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3. 要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为
（　　）
A. cm B. cm
C. cm D. cm
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解析：　设圆锥的高为h cm，0＜h＜20，∴V圆锥＝ π（202－h2）h＝
π（400－h2）h，∴V'＝ π（400－3h2），令V'＝0得h＝ ，当
h∈ 时，V'＞0，当h∈ 时，V'＜0，故当h＝
时，体积最大.
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4. 函数f（x）＝ex＋ax（a＜0）的图象可以是（　　）
解析：　由题可知，a＜0，所以当x＜0时，f（x）＞0，又f'（x）＝ex
＋a，令f'（x）＞0，则x＞ln（－a），令f'（x）＜0，则x＜ln（－
a），所以函数f（x）在（－∞，ln（－a））上单调递减，在（ln（－
a），＋∞）上单调递增，故选B.
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5. 设函数f（x）＝ 若函数y＝f（x）－b有两个零
点，则实数b的取值范围是（　　）
A. （0，1） B. [0，1）
C. [0，1] D. [0，1]∪{－e－2}
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解析：当x＞0时，函数f（x）＝ln x单调
递增；当x≤0时，f（x）＝ex（x＋1），
则f'（x）＝ex（x＋2）＝0时，x＝－2，
所以当x＜－2时，f'（x）＜0，当－2＜x≤
0时，f'（x）＞0，故当x≤0时，f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，0）上单调递增，所以f（x）在x＝－2处取极小值，极小值为f（－2）＝－e－2，又当x＝0时，f（x）＝1，当x→－∞，f（x）→0，作出函数f（x）的图象如图，函数y＝f（x）－b有两个零点，即函数y＝f（x）与y＝b有两个交点，由图知当b∈[0，1]∪{－e－2}时函数y＝f（x）与y＝b有两个交点，所以实数b的取值范围为[0，1]∪{－e－2}.故选D.
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6. 〔多选〕已知函数f（x）＝ ，则下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）存在两个不同的零点
B. 函数f（x）既存在极大值又存在极小值
C. 当－e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根
D. 若x∈[t，＋∞）时，f（x）max＝ ，则t的最小值为2
√
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解析：A项，由f（x）＝0，得x2＋x－1＝0，解得
x＝ ，所以A正确；B项，f'（x）＝－ ＝
－ ，当f'（x）＞0时，－1＜x＜2；当f'（x）＜0时，x＜－1或x＞2，所以函数的单调递减区间为（－∞，－1），（2，＋∞），函数的单调递增区间为（－1，2），所以f（－1）是函数的极小值，f（2）是函数的极大值，所以B正确；C项，当x→＋∞时，f（x）→0，根据B项可知，函数的最小值是f（－1）＝－e，当x＝2时，f（2）＝ ，画出函数f（x）的图象，如图所示，易知，当－e＜k＜0时，方程f（x）＝k有且只有两个实根，所以C正确；D项，由f（2）＝ ，根据图象可知，t的最大值是2，所以D不正确.
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7. 已知函数f（x）＝3ln x－ x2＋2x－3ln 3－ ，则方程f（x）＝0的解
的个数是 .
解析：因为f（x）＝3ln x－ x2＋2x－3ln 3－ （x＞0），所以f'（x）＝
－x＋2＝ ＝ .令f'（x）＝0，得x＝3或x＝－1（舍
去），当x∈（0，3）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（3，＋
∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以f（x）max＝f（3）＝3ln 3
－ ＋6－3ln 3－ ＝0.所以方程f（x）＝0只有一个解.
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8. 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而
每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10 km
处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费
用之和最小，仓库应建在离车站 km处.
解析：依题意可设每月土地占用费y1＝ ，每月库存货物的运费y2＝
k2x，其中x是仓库到车站的距离.由2＝ ，得k1＝20；由8＝10k2，得k2
＝ .因此两项费用之和为y＝ ＋ .y'＝－ ＋ .令y'＝－ ＋ ＝0，
得x＝5（x＝－5舍去），且当x＞5时，y'＞0；当0＜x＜5时，y'＜0，故
当仓库建在离车站5 km处时，两项费用之和最小.
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9. 已知曲线f（x）＝－x3＋3x2＋9x＋a与x轴只有一个交点，则实数a的
取值范围为 .
解析：f'（x）＝－3x2＋6x＋9.令f'（x）＝
0，解得x＝－1或x＝3.当f'（x）＞0时，－1
＜x＜3；当f'（x）＜0时，x＜－1或x＞3，
所以当x＝－1时，f（x）取得极小值f（－1）＝a－5；当x＝3时，f（x）取得极大值f（3）＝a＋27.画出大致图象，要使f（x）的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0（如图1）或极小值大于0（如图2），所以a＋27＜0或a－5＞0，解得a＜－27或a＞5，故实数a的取值范围为{a｜a＜－27或a＞5}.
{a｜a＜－27或a＞5}
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10. 现有一张长为40 cm，宽为30 cm的长方形铁皮ABCD，准备用它做成
一只无盖长方体铁皮盒，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处损失.如
图，在长方形ABCD的一个角剪下一块正方形铁皮，作为铁皮盒的底面，
用余下材料剪拼后作为铁皮盒的侧面，设长方体的底面
边长为x cm，高为y cm，体积为V（cm3）.
（1）求出x与y的关系式；
解：因为材料利用率为100%，所以x2＋4xy＝40×30，即y＝ .
因为长方形铁皮ABCD的长为40 cm，宽为30 cm，故0＜x≤30，
综上，y＝ ，0＜x≤30.
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（2）求该铁皮盒体积V的最大值.
解：铁皮盒体积
V（x）＝x2y＝x2· ＝ （1 200x－x3），
V'（x）＝ （1 200－3x2），令V'（x）＝0，得x＝20，
当x变化时，V'（x），V（x）的变化情况如下：
x （0，20） 20 （20，30]
V'（x） ＋ 0 －
V（x） 单调递增 4 000 单调递减
所以V（x）在（0，20）上单调递增，在（20，30]上单调递减，
当x＝20时，V（x）取最大值，最大值为4 000 cm3.
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11. 方程x2＝ex的实根个数为（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
解析：　设f（x）＝ex－x2，则f'（x）＝ex－2x，令g（x）＝f'（x）
＝ex－2x，则g'（x）＝ex－2，令g'（x）＝0，得x＝ln 2，当x＜ln 2时，
g'（x）＜0；当x＞ln 2时，g'（x）＞0，所以g（x）在（－∞，ln 2）上
单调递减，在（ln 2，＋∞）上单调递增，所以当x＝ln 2时，g（x）取得
极小值，也是最小值，即f'（x）min＝f'（ln 2）＝eln 2－2ln 2＝2（1－ln 2）
＞0，即f'（x）＞0在（－∞，＋∞）上恒成立，所以f（x）＝ex－x2在
（－∞，＋∞）上是增函数，又f（0）＝1＞0，f（－1）＝ －1＜0，所
以函数f（x）＝ex－x2存在唯一的零点，即方程x2＝ex只有1个实根.
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12. 〔多选〕函数f（x）＝ln（ax）－x的图象可能是（　　）
√
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解析： 　①当a＞0时，f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝
－1＝ ，令f'（x）＝0，解得x＝1，x∈（0，1）时，f'（x）＞0，f
（x）单调递增，x∈（1，＋∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所
以f（x）max＝f（1）＝ln a－1.当0＜a＜e时，f（1）＜0，选项B符合；
当a＞e时，f（1）＞0，选项C符合；当a＝e时，f（1）＝0，没有满足要
求的图象.②当a＜0时，f（x）的定义域为（－∞，0），此时f（x）在
（－∞，0）上单调递减，当x→－∞时，f（x）→＋∞，当x→0时，f
（x）→－∞，选项A符合.故选A、B、C.
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13. 已知方程｜ln x｜＝ax有三个实数解，则实数a的取值范围为
.
解析：因为方程｜ln x｜＝ax有三个实数解，所以函
数y＝｜ln x｜与y＝ax的图象有三个交点，作出y
＝｜ln x｜的图象如图，当a≤0时，函数y＝｜ln x｜
与y＝ax的图象至多有1个交点，不符合题意；当a＞
0时，设y＝ln x与y＝ax相切于点P（x0，y0），则y0＝ln x0＝ax0，又因为对y＝ln x，y'＝ ，所以a＝ ，所以x0＝e，ae＝1，所以a＝ ，所以函数y＝｜ln x｜与y＝ax的图象有三个交点时0＜a＜ .
（0，
）
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14. 已知函数f（x）＝ln x＋ ，m∈R，讨论函数g（x）＝f'（x）－
零点的个数.
解：由题意知g（x）＝f'（x）－ ＝ － － （x＞0），
令g（x）＝0，得m＝－ x3＋x（x＞0）.
设φ（x）＝－ x3＋x（x＞0），
则φ'（x）＝－x2＋1＝－（x－1）（x＋1），
当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）在（0，1）上单调递增；
当x∈（1，＋∞）时，φ'（x）＜0，φ（x）在（1，＋∞）上单调递减.
所以x＝1是φ（x）的唯一极值点且是极大值点，
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因此x＝1也是φ（x）的最大值点，
所以φ（x）的最大值为φ（1）＝ .
又φ（0）＝0，且x→＋∞时，φ（x）→－∞，结合y＝
φ（x）的图象（如图），
可知①当m＞ 时，函数g（x）无零点；
②当m＝ 时，函数g（x）有且只有一个零点；
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③当0＜m＜ 时，函数g（x）有两个零点；
④当m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点.
综上所述，当m＞ 时，函数g（x）无零点；
当m＝ 或m≤0时，函数g（x）有且只有一个零点；
当0＜m＜ 时，函数g（x）有两个零点.
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15. 给定函数f（x）＝ex－x.
（1）判断函数f（x）的单调性，并求出f（x）的值域；
解： 函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝ex－1，
令f'（x）＝0，解得x＝0.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
x （－∞，0） 0 （0，＋∞）
f'（x） － 0 ＋
f（x） 单调递减 1 单调递增
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所以f（x）在区间（－∞，0）上单调递减，在区间（0，＋∞）上单
调递增.
当x＝0时，f（x）取得极小值f（0）＝1，也是最小值，故函数f（x）
的值域为[1，＋∞）.
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（2）画出函数f（x）的大致图象；
解： 由（1）可知，函数的最小值为1.
函数的图象经过特殊点f（－1）＝ ＋1，f（2）＝e2－
2，f（0）＝1，
当x→＋∞时，f（x）→＋∞，f'（x）→＋∞；
当x→－∞时，指数函数y＝ex越来越小，趋向于0，因
此函数f（x）图象上的点逐渐趋向于直线y＝－x，根据
上述信息，画出函数f（x）的大致图象如图所示.
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（3）求出方程f（x）＝m（m∈R）在区间[－1，2]上的根的个数.
解：截取函数f（x）在区间[－1，2]上的图象如图所示.
由图象知，当f（0）＜m≤f（－1），即当m∈（1，
＋1］时，f（x）与y＝m恰有两个不同的交点，即当
m∈（1， ＋1］时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上恰有两个不同的实根；
同理，当m＝1或 ＋1＜m≤e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上有唯一的实根；
当m＜1或m＞e2－2时，方程f（x）＝m在区间[－1，2]上无实根.
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