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(共62张PPT)
第一课时　函数的极值
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和
充分条件（数学抽象、直观想象）.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值（数学运算）.
课标要求
　　“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，说的是庐山的高低起伏，错落有致.在群山之中，各个山峰的顶端虽然不一定是群山的最高处，但它却是其附近的最高点，同样，各个谷底虽然不一定是群山之中的最低处，它却是其附近的最低点.在数学上，这种现象如何来刻画呢？
情境导入
知识点一　函数极值的概念
01
知识点二　利用导数求函数的极值
02
课时作业
03
目录
知识点一
函数极值的概念
01
PART
问题1　如图，函数y＝f（x）在x＝a，b，c，d，e等点处的函数值与
这些点附近的函数值有什么关系？
y＝f（x）在这些点处的导数值是
多少？在这些点附近，y＝f（x）
的导数的正负性有什么规律？
提示：以x＝a，b两点为例，可以发现，函数y＝f（x）在点x＝a处的函
数值f（a）比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f'（a）＝0；而
且在点x＝a附近的左侧f'（x）＜0，右侧f'（x）＞0.类似地，函数y＝f
（x）在点x＝b处的函数值f（b）比它在点x＝b附近其他点处的函数值
都大，f'（b）＝0；而且在点x＝b附近的左侧f'（x）＞0，右侧f'（x）＜0.
【知识梳理】
极小值 极大值
图
象
极小值 极大值
定
义 函数y＝f（x）在点x＝a处的函
数值f（a）比它在点x＝a附近其
他点处的函数值都 ，f'（a）
＝0；而且在点x＝a附近的左
侧 ，右侧
，把 叫做函数y＝f
（x）的极小值点， 叫
做函数y＝f（x）的极小值 函数y＝f（x）在点x＝b处的
函数值f（b）比它在点x＝b附
近其他点处的函数值都 ，
f'（b）＝0；而且在点x＝b附近
的左侧 ，右侧f'
（x） 0，把 叫做函
数y＝f（x）的极大值点，
叫做函数y＝f（x）的
极大值
极小值点、极大值点统称为 ，极小值和极大值统称为
小　
f'（x）＜0　
f'（x）
＞0　
a　
f（a）　
大　
f'（x）＞0　
＜　
b　
f
（b）　
极值点　
极
值　
　　提醒：（1）极值点不是点；（2）极值是函数的局部性质；（3）函
数的极值不唯一；（4）极大值与极小值两者的大小不确定；（5）极值点
出现在区间的内部，端点不能是极值点.
【例1】　 （1）判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
①函数的极大值一定大于极小值.（　×　）
②函数y＝f（x）一定有极大值和极小值.（　×　）
③函数的极值点是自变量的值，极值是函数值.（　√　）
④若f（x）≥f（x0），则称f（x0）为f（x）的极小值，若f（x）≤f
（x0），则称f（x0）为f（x）的极大值.（　×　）
⑤若f（x）在区间（a，b）内有极值，则f（x）在（a，b）内一定不
是单调函数.（　√　）
×
×
√
×
√
（2）〔多选〕函数y＝f（x）的导函数的图象如图所示，则下列说法正
确的是（　BD　）
A. 函数y＝f（x）在区间 内单调递减
B. 函数y＝f（x）在区间（－2，2）内单调递增
C. 当x＝－ 时，函数y＝f（x）有极大值
D. 当x＝2时，函数y＝f（x）有极大值
BD
解析：对于A，当x∈ 时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈
（2，3）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，所以A错误；对于B，当x∈
（－2，2）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，所以B正确；对于C，由B
知当x＝－ 时，f 不是极大值，所以C错误；对于D，由A知当x＝2
时，函数y＝f（x）取得极大值，所以D正确.
【规律方法】
解答此类问题要先搞清楚所给的图象是原函数还是导函数的，对于导函数
的图象，重点关注在哪个区间上为正，哪个区间上为负，在哪个点处与x
轴相交，在该点附近的导数值是如何变化的，若是由正值变为负值，则在
该点处取得极大值；若是由负值变为正值，则在该点处取得极小值.
训练1　已知函数f（x）的定义域为R，其导函数y＝f'（x）的图象如图
所示，则函数f（x）（　　）
A. 无极大值点，有四个极小值点
B. 有三个极大值点，两个极小值点
C. 有两个极大值点，两个极小值点
D. 有四个极大值点，无极小值点
√
解析：　设y＝f'（x）的图象与x轴交点的横坐标从左到右依次为x1，
x2，x3，x4.由导数与函数极值的关系知，f（x）在x＝x1，x＝x3处取得
极大值，在x＝x2，x＝x4处取得极小值.故函数f（x）有两个极大值点，
两个极小值点.
知识点二
利用导数求函数的极值
02
PART
问题2　（1）我们已经知道，可导函数的极值点，满足f'（x0）＝0，那么
反过来，当f'（x0）＝0时，x＝x0一定是极值点吗？
提示：不一定，例如y＝x3中由y'＝3x2＝0，得x＝0.但显然x＝0不是极
值点.
（2）已知f'（x0）＝0，要使x＝x0是函数f（x）的极值点，还需要满足什
么条件？
提示：还需要函数f（x）在x＝x0左右两侧的导数值符号异号.
角度1　求不含参数的函数的极值
【例2】　（链接教材P91例5）求下列函数的极值：
（1）f（x）＝（x3－1）2＋1；
解：∵f（x）＝（x3－1）2＋1＝x6－2x3＋2，
∴f'（x）＝6x5－6x2＝6x2（x3－1）.
令f'（x）＝0，得x＝0或x＝1.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表所示：
x （－∞，0） 0 （0，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） － 0 － 0 ＋
f（x） 单调递减 2 单调递减 1 单调递增
∴当x＝1时，f（x）有极小值，为f（1）＝1，f（x）无极大值.
（2）f（x）＝ .
解：函数f（x）＝ 的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ .
令f'（x）＝0，得x＝e.
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如表所示：
x （0，e） e （e，＋∞）
f'（x） ＋ 0 －
f（x） 单调递增 单调递减
因此，x＝e是函数f（x）的极大值点，极大值为f（e）＝ ，函数f（x）
没有极小值.
【规律方法】
函数极值和极值点的求解步骤
（1）确定函数的定义域；
（2）求方程f'（x）＝0的根；
（3）用方程f'（x）＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并
列成表格；
（4）由f'（x）在方程f'（x）＝0的根左右的符号，来判断f（x）在这个
根处取极值的情况.
角度2　求含参数的函数的极值
【例3】　已知函数f（x）＝x－aln x（a∈R），求函数f（x）的极值.
解：由f'（x）＝1－ ＝ （x＞0）知，
（2）当a＞0时，由f'（x）＝0，解得x＝a，
又当x∈（0，a）时，f'（x）＜0，当x∈（a，＋∞）时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）在x＝a处取得极小值，且极小值为f（a）＝a－aln a，无
极大值.综上，当a≤0时，函数f（x）无极值；当a＞0时，函数f（x）在x＝a处取得极小值a－aln a，无极大值.
（1）当a≤0时，f'（x）＞0，函数f（x）为（0，＋∞）上的增函数，函
数f（x）无极值；
【规律方法】
求含参数函数极值的基本思路
求含有参数的函数极值时，有时需要用分类讨论的思想解决问题，讨论的依据有两种：一是看参数是否对f'（x）的零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看零点附近的符号是否与参数有关，若有关，则需要分类讨论.
训练2　求函数f（x）＝x3－3ax＋b（a≠0）的极值.
解：f'（x）＝3（x2－a）（a≠0），
当a＜0时，f'（x）＞0恒成立，即函数在（－∞，＋∞）上是增函数，此
时函数没有极值；
当a＞0时，令f'（x）＝0，得x＝－ 或x＝ .
x （－∞， － ） － （－ ， ） （ ，
＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调 递增 极大值 f（－ ） 单调 递减 极小值 f（ ） 单调
递增
∴f（x）的极大值为f（－ ）＝2a ＋b，
极小值为f（ ）＝－2a ＋b.
当x变化时，f'（x）与f（x）的变化情况如下表：
提能点｜由极值求参数值（范围）
【例4】　（1）已知函数f（x）的导数f'（x）＝a（x＋1）·（x－a），
若f（x）在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是（　D　）
A. （－∞，－1） B. （0，＋∞）
C. （0，1） D. （－1，0）
解析：若a＜－1，∵f'（x）＝a（x＋1）（x－a），∴f（x）在（－
∞，a）上单调递减，在（a，－1）上单调递增，∴f（x）在x＝a处取
得极小值，与题意矛盾；若－1＜a＜0，则f（x）在（－1，a）上单调递
增，在（a，＋∞）上单调递减，从而在x＝a处取得极大值.若a＞0，则
f（x）在（－1，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，f（x）
在x＝a处取得极小值，与题意矛盾，故选D.
D
（2）已知函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取得极值10，则a
＝ ，b＝ .
解析：∵f（x）＝x3＋ax2＋bx＋a2，∴f'（x）＝3x2＋2ax＋b.由题意
得 即 解得 或
当 时，f'（x）＝3x2－6x＋3＝3（x－1）2≥0，故
函数f（x）是增函数，无极值，不符合题意.∴a＝4，b＝－11.
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变式　已知函数f（x）＝ x3－ （m＋3）x2＋（m＋6）x（x∈R，m为
常数）在区间（1，＋∞）上有两个极值点，则实数m的取值范围
为 .
解析：f'（x）＝x2－（m＋3）x＋m＋6.
因为函数f（x）在（1，＋∞）上有两个极值点，所以f'
（x）＝x2－（m＋3）x＋m＋6的图象在（1，＋∞）上
与x轴有两个不同的交点，如图所示.所以
解得m＞3.故实数
m的取值范围是（3，＋∞）.
（3，＋∞）
【规律方法】
由函数极值求参数的方法
对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的
条件：
（1）极值点处的导数值为0，极值点附近两侧的导数值异号，利用待定系
数法列方程（不等式）求解；
（2）因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系
数法求解后必须验证根的合理性.
训练3　（1）设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则
（　C　）
A. a＜－ B. a＞－1
C. a＜－1 D. a＞－
解析： y'＝ex＋a，由题意知a＜0.∵函数有大于零的极值点，设x＝x0为
其极值点，∴ ＋a＝0，又x0＞0，∴a＜－1，故选C.
C
（2）若函数f（x）＝ x3－4x＋4的图象与直线y＝a恰有三个不同的交
点，则实数a的取值范围是 .
解析：∵f（x）＝ x3－4x＋4，∴f'（x）＝x2－4＝（x＋2）（x－2）.
令f'（x）＝0，得x＝2或x＝－2.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如表：
　
x （－∞，－2） －2 （－2，2） 2 （2，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∴当x＝－2时，函数取得极大值f（－2）＝ ；
当x＝2时，函数取得极小值f（2）＝－ .且f（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，2）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增.根据
函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示，结合图象知－ ＜a＜ .
1. 已知函数f（x）的导函数f'（x）的图象如图所示，若f（x）在x＝x0
处有极值，则x0＝（　　）
A. －3 B. 0
C. 3 D. 7
解析：　由f'（x）的图象知x＝0时，f'（0）＝0；－3＜x＜0时，f'
（x）＞0；0＜x＜3时，f'（x）＜0.故0是极值点.虽然有f'（7）＝0，但
在7的两侧，f'（x）＜0，7不是极值点.
√
2. 设函数f（x）＝xex，则（　　）
A. x＝1为f（x）的极大值点
B. x＝1为f（x）的极小值点
C. x＝－1为f（x）的极大值点
D. x＝－1为f（x）的极小值点
解析：　令f'（x）＝ex＋x·ex＝（1＋x）ex＝0，得x＝－1.当x＜－1时，f'（x）＜0；当x＞－1时，f'（x）＞0.故x＝－1为f（x）的极小值点.
√
3. 函数f（x）＝ x3－x2－3x＋6的极大值为 　 　，极小值为 .
解析：f'（x）＝x2－2x－3，令f'（x）＞0，得x＜－1或x＞3，令f'（x）
＜0得－1＜x＜3，故f（x）在（－∞，－1），（3，＋∞）上单调递
增，在（－1，3）上单调递减，故f（x）的极大值为f（－1）＝ ，极小
值为f（3）＝－3.

－3
4. 已知曲线f（x）＝x3＋ax2＋bx＋1在点（1，f（1））处的切线斜率为
3，且x＝ 是y＝f（x）的极值点，则a＝ ，b＝ .
解析：f'（x）＝3x2＋2ax＋b，
由题意知 即
解得 经验证知符合题意.
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课堂小结
1. 理清单
（1）极值的概念；
（2）求函数的极值；
（3）根据极值求参数值（范围）.
2. 应体会
（1）理解函数极值的概念利用了数形结合思想；
（2）求函数的极值以及解决已知函数的极值求参数问题利用了方程思想
和分类讨论思想.
3. 避易错
导数值等于零不是此点为极值点的充要条件.
课时作业
03
PART
1. 下列函数中，存在极值的是（　　）
A. y＝ex B. y＝ln x
C. y＝ D. y＝x2－2x
解析：　对于A：函数y＝ex是实数集R上的增函数，不存在极值；对于
B：函数y＝ln x在 上单调递增，不存在极值；对于C：函数y＝
在区间 ， 上单调递减，不存在极值；对于D：y＝x2－
2x＝ －1在 上单调递增，在 上单调递减，因
此x＝1是函数的极小值点，符合题意.故选D.
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√
2. 已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的极小值点组成的集合为
（　　）
A. {x1，x2，x3}
B. {x1，x3}
C. {x1，x2，x4}
D. {x3}
解析：　若x0是函数f（x）的极小值点，则函数f（x）在x0左侧邻近区
域单调递减，在x0右侧邻近区域单调递增，题图中的x1与x3都满足上述条
件，即x1与x3都是极小值点.故选B.
√
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3. 设函数f（x）＝x＋ ，则f（x）的极大值点和极小值点分别为
（　　）
A. x＝－2，x＝2 B. x＝2，x＝－2
C. x＝5，x＝－3 D. x＝－5，x＝3
解析：　易知函数f（x）的定义域是{x｜x≠0}，由题意f'（x）＝1－
＝ ，当x＜－2或x＞2时，f'（x）＞0，当－2＜x＜0或0＜
x＜2时，f'（x）＜0，所以f（x）在（－∞，－2）和（2，＋∞）上单调
递增，在（－2，0）和（0，2）上单调递减，所以极大值点是x＝－2，极
小值点是x＝2.
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4. 已知a是函数f（x）＝x3－12x的极小值点，则a＝（　　）
A. －4 B. －2
C. 4 D. 2
解析：　∵f（x）＝x3－12x，∴f'（x）＝3x2－12，令f'（x）＝0，解
得x1＝－2，x2＝2.当x∈（－∞，－2）∪（2，＋∞）时，f'（x）＞0，f
（x）单调递增；当x∈（－2，2）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∴f（x）的极小值点为x＝2，即a＝2.
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5. 若函数f（x）＝aln x＋ － 既有极大值又有极小值，则a的取值范围
为（　　）
A. B.
C. D.
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解析：　f（x）＝aln x＋ － （x＞0），则f'（x）＝ － ＋ ＝
（x＞0），函数f（x）既有极大值又有极小值，等价于一元二次
方程ax2－x＋2＝0在（0，＋∞）上有2个不同的实根，则
解得0＜a＜ ，即实数a的取值范围为 .
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6. 〔多选〕如图为函数f（x）的导函数f'（x）的图象，则下列判断正确
的是（　　）
A. f（x）在x＝1处取得极大值
B. x＝－1是f（x）的极小值点
C. f（x）在（2，4）上单调递减，在（－1，2）上单调递增
D. x＝2是f（x）的极小值点
√
√
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解析： 　当x＝1时，f'（1）≠0，所以x＝1不是f（x）的极值点，所
以A错误；当x∈（－3，－1）时，f'（x）＜0，当x∈（－1，2）时，f'
（x）＞0，所以f（x）在（－3，－1）上单调递减，在（－1，2）上单
调递增，所以x＝－1是f（x）的极小值点，所以B正确；当x∈（2，4）
时，f'（x）＜0，所以f（x）在（2，4）上单调递减，所以x＝2是f（x）
的极大值点，所以C正确，D错误.
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7. 〔多选〕对于函数f（x）＝x3－3x2，下列给出的选项中正确的是
（　　）
A. f（x）是增函数，无极值
B. f（x）是减函数，无极值
C. f（x）的单调递增区间为（－∞，0），（2，＋∞），单调递减区间为
（0，2）
D. f（0）＝0是极大值，f（2）＝－4是极小值
√
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解析： 　f'（x）＝3x2－6x.令f'（x）＝3x2－6x＞0，得x＞2或x＜0.
令f'（x）＝3x2－6x＜0，得0＜x＜2，所以函数f（x）在区间（－∞，
0）和（2，＋∞）上单调递增，在区间（0，2）上单调递减.当x＝0和x＝
2时，函数分别取得极大值0和极小值－4.
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8. 函数f（x）＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a＝ ，b＝
.
解析：∵f'（x）＝3ax2＋b，∴f'（1）＝3a＋b＝0①.又当x＝1时，函数
f（x）有极值－2，∴a＋b＝－2②.联立①②解得 经检验知符
合题意，故a，b的值分别为1，－3.
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9. 函数f（x）＝ax－1－ln x（a≤0）在定义域内的极值点的个数
为 .
解析：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝a－ ＝ ，所
以当a≤0时，f'（x）＜0在（0，＋∞）上恒成立，所以函数f（x）在
（0，＋∞）上为减函数，所以f（x）在（0，＋∞）上没有极值点.
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10. 已知函数f（x）＝x（a＋ln x），曲线y＝f（x）在点（e，f（e））
处的切线与y＝4x－1平行.
（1）求a的值；
解： 因为f（x）＝x（a＋ln x），x＞0.
所以f'（x）＝a＋ln x＋x· ＝ln x＋a＋1，x＞0.
由题意f'（e）＝4 ln e＋a＋1＝4 a＝2.
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（2）求f（x）的极值.
解： 因为f（x）＝x（2＋ln x），x＞0.
所以f'（x）＝ln x＋3，x＞0.
由f'（x）＞0 ln x＋3＞0 x＞e－3；由f'（x）＜0 ln x＋3＜0 0＜x＜
e－3.
所以函数f（x）在（0，e－3）上单调递减，在（e－3，＋∞）上单调递
增.
所以当x＝e－3时，函数取得极小值，且f（e－3）＝e－3· ＝
－ .
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11. 若函数y＝ex－2mx有小于零的极值点，则实数m的取值范围是
（　　）
A. m＜ B. 0＜m＜
C. m＞ D. 0＜m＜1
解析：　由y＝ex－2mx，得y'＝ex－2m.因为函数y＝ex－2mx有小于
零的极值点，所以ex－2m＝0有小于零的实根，即m＝ ex有小于零的实
根，因为x＜0，所以0＜ ex＜ ，所以0＜m＜ .
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12. 〔多选〕定义在R上的函数f（x），已知x0（x0≠0）是它的极大值
点，则以下结论正确的是（　　）
A. －x0是f（－x）的一个极大值点
B. －x0是－f（x）的一个极小值点
C. x0是－f（x）的一个极大值点
D. －x0是－f（－x）的一个极小值点
√
√
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解析： 　x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，就是存在正数m，使得在
（x0－m，x0）上，f'（x）＞0，在（x0，x0＋m）上，f'（x）＜0.设g
（x）＝f（－x），g'（x）＝－f'（－x），当－x0＜x＜－x0＋m时，x0
－m＜－x＜x0，f'（－x）＞0，g'（x）＜0，同理当－x0－m＜x＜－x0
时，g'（x）＞0，所以－x0是f（－x）的一个极大值点，从而－x0是－f
（－x）的一个极小值点，x0是－f（x）的一个极小值点.不能判定－x0是
不是－f（x）的极值点.
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13. 若函数f（x）＝x3＋x2－ax－4在区间（－1，1）上恰有一个极值
点，则实数a的取值范围为 .
解析：因为f'（x）＝3x2＋2x－a，函数f（x）在区间（－1，1）上恰有
一个极值点，即f'（x）＝0在（－1，1）内恰有一个根.又函数f'（x）＝
3x2＋2x－a的对称轴为直线x＝－ ，所以应满足 即
解得1≤a＜5.
[1，5）
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14. 设x＝1与x＝2是函数f（x）＝aln x＋bx2＋x的两个极值点.
（1）试确定常数a和b的值；
解： ∵f（x）＝aln x＋bx2＋x，
∴f'（x）＝ ＋2bx＋1.
由极值点的必要条件可知：f'（1）＝f'（2）＝0，
∴a＋2b＋1＝0且 ＋4b＋1＝0，
解得a＝－ ，b＝－ .
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（2）判断x＝1，x＝2是函数f（x）的极大值点还是极小值点，并说明
理由.
解：由（1）可知f（x）＝－ ln x－ x2＋x，且其定义域是（0，＋∞），
f'（x）＝－ x－1－ x＋1＝－ .
当x∈（0，1）∪（2，＋∞）时，f'（x）＜0；
当x∈（1，2）时，f'（x）＞0，
∴x＝1是函数f（x）的极小值点，
x＝2是函数f（x）的极大值点.
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15. 设函数f（x）＝x3－x2－x＋a（a∈R）.
（1）求 f（x）的极值；
解： f（x）的定义域为R.
f'（x）＝3x2－2x－1＝（3x＋1）（x－1）.
令f'（x）＝0，得x＝－ 或x＝1.
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x （－∞，－ ） － （－ ，1） 1 （1，＋∞）
f'（x） ＋ 0 － 0 ＋
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以f（x）的极大值是f（－ ）＝ ＋a，极小值是f（1）＝a－1.
当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：
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（2）当a在什么范围内取值时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点？
解：函数f（x）＝x3－x2－x＋a＝（x－1）2（x＋1）＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f（x）＞0，
x取足够小的负数时，有f（x）＜0，
所以曲线y＝f（x）与x轴至少有一个交点.
由（1）知f（x）极大值＝f（－ ）＝ ＋a，
f（x）极小值＝f（1）＝a－1.
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因为曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点，
所以f（x）极大值＜0或f（x）极小值＞0，即 ＋a＜0或a－1＞0，
所以a＜－ 或a＞1，
所以当a∈（－∞，－ ）∪（1，＋∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有
一个交点.
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