资源简介

(共41张PPT)
培优课　导数中函数的构造问题 能力提升
1.了解导数中几种常见的构造函数的形式（数学抽象）.
2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题（逻辑推理、数学运算）.
重点解读
一、利用f（x）与x构造
【例1】　（1）设f'（x）是定义域为R的函数f（x）的导函数，f'（x）＜
3，f（－3）＝－2，则f（x）＞3x＋7的解集为（　B　）
A. （－∞，－1） B. （－∞，－3）
C. （－3，0）∪（1，＋∞） D. （－1，0）∪（1，＋∞）
解析： 因为f'（x）＜3，即f'（x）－3＜0，设函数g（x）＝f（x）
－3x，g'（x）＝f'（x）－3＜0，则g（x）在R上单调递减，又f（－3）
＝－2，所以g（－3）＝f（－3）－3×（－3）＝7，不等式f（x）＞3x
＋7转化为f（x）－3x＞7，即g（x）＞g（－3），所以x＜－3.故选B.
B
（2）已知y＝f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，不等式xf'
（x）＋f（x）＜0成立，若a＝30.3·f（30.3），b＝logπ3·f（logπ3），c
＝log3 ·f ，则a，b，c的大小关系是 .
解析： 令g（x）＝xf（x），则g'（x）＝xf'（x）＋f（x）.由条
件知，当x＞0时，g'（x）＜0，即g（x）在（0，＋∞）上单调递减.又f
（x）为偶函数，则g（x）为奇函数，故g（x）在R上单调递减.又log3
＜logπ3＜30.3，所以c＞b＞a.
c＞b＞a
【规律方法】
常见构造函数的形式
（1）对于f'（x）±g'（x）＞0，构造h（x）＝f（x）±g（x）；
（2）对于f'（x）＞a，构造h（x）＝f（x）－ax；
（3）对于xf'（x）＋f（x）＞0，构造h（x）＝xf（x）；
（4）对于xf'（x）－f（x）＞0，构造h（x）＝ .
训练1　设函数f'（x）是奇函数f（x）（x∈R）的导函数，f（－1）＝
0，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，则使得f（x）＞0成立的x的取值
范围是（　　）
A. （－∞，－1）∪（0，1）
B. （－1，0）∪（1，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（－1，0）
D. （0，1）∪（1，＋∞）
√
解析：　令F（x）＝ ，因为f（x）为奇函数，所以F（x）为偶
函数，由于F'（x）＝ ，当x＞0时，xf'（x）－f（x）＜0，
即F'（x）＜0，所以F（x）＝ 在（0，＋∞）上单调递减，根据偶
函数图象的对称性，F（x）＝ 在（－∞，0）上单调递增，又F
（1）＝F（－1）＝ ＝0，数形结合可知，使得f（x）＞0成立的x
的取值范围是（－∞，－1）∪（0，1）.
二、利用f（x）与ex构造
【例2】　若函数f（x）对任意x∈R都有f'（x）＞f（x）成立，则
（　A　）
A. 3f（ln 5）＞5f（ln 3）
B. 3f（ln 5）＝5f（ln 3）
C. 3f（ln 5）＜5f（ln 3）
D. 3f（ln 5）与5f（ln 3）的大小不确定
A
解析：令g（x）＝ ，则g'（x）＝ ，因为对任意x∈R
都有f'（x）＞f（x），所以g'（x）＞0，即g（x）在R上是增函数.又ln
3＜ln 5，所以g（ln 3）＜g（ln 5），即 ＜ ，所以5f（ln
3）＜3f（ln 5），故选A.
【规律方法】
f（x）与ex构造常见的形式
（1）对于f'（x）＋nf（x）＞0，构造函数h（x）＝enxf（x）；
（2）对于f'（x）－nf（x）＞0，构造函数h（x）＝ .
训练2　函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＞－f
（x）成立，若f（ln 2）＝ ，则不等式f（x）＞ 的解集为
.
解析：由题意，对任意x∈R，都有f'（x）＞－f（x）成立，即f'（x）＋
f（x）＞0.令g（x）＝exf（x），则g'（x）＝f（x）ex＋f'（x）ex＝
ex[f（x）＋f'（x）]＞0，所以函数g（x）在R上是增函数.不等式f
（x）＞ 即exf（x）＞1，即g（x）＞1.因为f（ln 2）＝ ，所以g（ln
2）＝eln 2f（ln 2）＝2× ＝1.故当x＞ln 2时，g（x）＞g（ln 2）＝1，
所以不等式g（x）＞1的解集为（ln 2，＋∞）.
（ln 2，＋
∞）
三、利用f（x）与 sin x， cos x构造
【例3】　已知函数f（x）的定义域为（0，π），其导函数是f'（x）.若f'
（x） sin x－f（x） cos x＞0恒成立，则关于x的不等式f（x）＜2f
（ ） sin x的解集为 　（0， ）　.
（0， ）　
解析：令F（x）＝ ，则F'（x）＝ ＞0，所以
F（x）在定义域内是增函数.所以关于x的不等式f（x）＜2f（ ） sin
x，可化为 ＜ ，即F（x）＜F（ ），所以x＜ .因为0＜x
＜π，所以0＜x＜ ，即不等式f（x）＜2f（ ） sin x的解集为（0， ）.
【规律方法】
f（x）与 sin x， cos x构造常见的形式
（1）对于f'（x） sin x＋f（x） cos x＞0，构造函数h（x）＝f（x） sin
x；
（2）对于f'（x） sin x－f（x） cos x＞0，构造函数h（x）＝ ；
（3）对于f'（x） cos x－f（x） sin x＞0，构造函数h（x）＝f（x）
cos x；
（4）对于f'（x） cos x＋f（x） sin x＞0，构造函数h（x）＝ .
训练3　已知R上的奇函数f（x），其导函数为f'（x），且当x∈（0，＋
∞）时，f'（x） sin x＋f（x）· cos x＜0，若a＝ f（－ ），b＝－f
（ ），则a与b的大小关系为 .
解析：设φ（x）＝f（x）· sin x，则φ'（x）＝f'（x） sin x＋f（x） cos
x，∴x∈（0，＋∞）时，φ'（x）＜0，即φ（x）在（0，＋∞）上单调
递减，又f（x）为奇函数，∴φ（x）为偶函数，∴φ（－ ）＝φ（ ）＞
φ（ ），即f（－ ）· sin （－ ）＞f（ ） sin ，即－ f（－ ）＞ f
（ ），即 f（－ ）＜－f（ ），∴a＜b.
a＜b
1. 已知f（x）是定义在（0，＋∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）
＋f（x）≤0，对任意的正数a，b，若a＜b，则必有（　　）
A. bf（b）≤af（a） B. bf（a）≤af（b）
C. af（a）≤bf（b） D. af（b）≤bf（a）
解析：　设g（x）＝xf（x），x∈（0，＋∞），则g'（x）＝xf'（x）
＋f（x）≤0，∴g（x）在区间（0，＋∞）上是减函数或g（x）为常函
数.∵a＜b，∴g（a）≥g（b），即af（a）≥bf（b），故选A.
√
2. 已知函数f（x）的导函数为f'（x），对任意x∈R，都有f'（x）＜f
（x）成立，则（　　）
A. ef（2）＜f（3） B. ef（2）≤f（3）
C. ef（2）＞f（3） D. f（2）＜e2f（3）
解析：依题意，f'（x）＜f（x），则f'（x）－f（x）＜0，设g（x）＝ ，则g'（x）＝ ＜0，所以g（x）在R上是减函数，所以g（2）＞g（3），即 ＞ ，ef（2）＞f（3）.故选C.
√
3. 已知函数y＝f（x）（x∈R）满足f（2）＝1，且f（x）的导函数f'
（x）＜1，则f（x）＞x－1的解集为 .
解析：构造函数g（x）＝f（x）－（x－1），则g'（x）＝f'（x）－1＜
0，所以g（x）在R上单调递减.又f（2）＝1，所以g（2）＝f（2）－
（2－1）＝0.由f（x）＞x－1，得g（x）＞g（2）＝0，解得x＜2.
{x｜x＜2}
4. 已知f（x）是定义在 上的函数，其导函数为f'（x），f ＝
2 ，且当x∈ 时，f'（x） sin x＋f（x） cos x＞0，则不等式f
（x） sin x＜3的解集为 .

解析：因为当x∈ 时，f'（x） sin x＋f（x） cos x＞0，所以[f
（x） sin x]'＞0，x∈ ，令g（x）＝f（x） sin x，则当x∈
时，g'（x）＞0，g（x）在 上是增函数，因为f ＝2 ，所
以g ＝f sin ＝3，不等式f（x） sin x＜3，即g（x）＜g ，因
为g（x）在 上是增函数，所以原不等式的解集为 .
课堂小结
1. 理清单
（1）几种常见的构造形式；
（2）掌握由导函数的结构形式构造原函数的方法.
2. 应体会
根据f（x）与f'（x）的关系，利用构造法构造原函数解决问题.
3. 避易错
不能正确构造出符合题意的函数.
课时作业
1. 已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）＝1，且f'（x）＜ ，则f（x）
＜ ＋ 的解集为（　　）
A. {x｜－1＜x＜1} B. {x｜x＜－1}
C. {x｜x＜－1或x＞1} D. {x｜x＞1}
解析：　构造函数h（x）＝f（x）－ － ，所以h'（x）＝f'（x）－
＜0，故h（x）在R上是减函数，且h（1）＝f（1）－ － ＝0，故h
（x）＜0的解集为{x｜x＞1}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
2. 设函数f'（x）是定义在（0，π）上的函数f（x）的导函数，有f'（x）
cos x－f（x） sin x＞0，若a＝ f（ ），b＝0，c＝－ f（ ），则
a，b，c的大小关系是（　　）
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. c＜a＜b D. c＜b＜a
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：　设函数g（x）＝f（x） cos x，则g'（x）＝f'（x）· cos x－f
（x） sin x，因为f'（x） cos x－f（x） sin x＞0，所以g'（x）＞0，所以
g（x）在（0，π）上是增函数，a＝ f（ ）＝f（ ） cos ＝g（ ），
b＝0＝f（ ） cos ＝g（ ），c＝－ f（ ）＝f（ ）· cos ＝g
（ ），所以a＜b＜c.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3. 已知函数f（x）的定义域为R，f'（x）为f（x）的导函数，且f（x）
＋（x－1）f'（x）＞0，则（　　）
A. f（1）＝0 B. f（x）＜0
C. f（x）＞0 D. （x－1）f（x）＜0
解析：　令g（x）＝（x－1）f（x），则g'（x）＝f（x）＋（x－
1）f'（x）＞0，所以g（x）在R上是增函数，又因为g（1）＝0，所以当
x＞1时，g（x）＝（x－1）f（x）＞0；当x＜1时，g（x）＝（x－
1）f（x）＜0，所以当x≠1时，f（x）＞0，又f（1）＋（1－1）f'（1）
＝f（1）＞0，所以A、B、D错误，C正确.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4. f（x）是定义在R上的函数，其导函数为f'（x），若2f（x）＋f'（x）
＞2，f（1）＝2，则不等式f（x）＞e2－2x＋1（其中e为自然对数的底
数）的解集为（　　）
A. （－∞，－1） B. （－1，＋∞）
C. （－∞，1） D. （1，＋∞）
解析：　f（x）＞e2－2x＋1，即e2xf（x）－e2x＞e2，令g（x）＝e2xf
（x）－e2x，则g'（x）＝e2x[2f（x）＋f'（x）－2]＞0，故g（x）在R
上是增函数，而g（1）＝e2f（1）－e2＝e2，∴e2xf（x）－e2x＞e2，即g
（x）＞g（1），即x＞1，故不等式的解集是（1，＋∞）.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5. 已知f（x）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，已知f
（1）＝0，当x＞0时，有2f（x）－xf'（x）＞0，则使f（x）＞0成立的
x的取值范围为（　　）
A. （－∞，－1）∪（0，1）
B. （－1，0）∪（1，＋∞）
C. （－∞，－1）∪（1，＋∞）
D. （－1，0）∪（0，1）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：　令g（x）＝ ，其中x≠0，因为函数f（x）为定义在
（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，则f（－x）＝f（x），所以g
（－x）＝ ＝ ＝g（x），所以函数g（x）为偶函数，当x
＞0时，g'（x）＝ ＝ ＜0，所以函数g
（x）在（0，＋∞）上单调递减，且g（1）＝ ＝0，由f（x）＞0
可得g（x）＝ ＞0，则g（x）＝g（｜x｜）＞0＝g（1），所以
解得－1＜x＜0或0＜x＜1，所以使f（x）＞0成立的x的取
值范围为（－1，0）∪（0，1）.故选D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
6. 〔多选〕已知函数f（x）的定义域为R，其导函数f'（x）满足f（x）
＞f'（x），则（　　）
A. f（1）＜ef（0） B. f（1）＞ef（0）
C. ef（ln 2）＜2f（1） D. ef（ln 2）＞2f（1）
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 　构造函数g（x）＝ ，其中x∈R，则g'（x）＝
＜0，所以函数g（x）为R上的减函数，则g（1）＜g
（0），即 ＜f（0），所以f（1）＜ef（0），A对、B错；因为ln 2
＜ln e＝1，则g（ln 2）＞g（1），即 ＞ ，所以ef（ln 2）
＞2f（1），C错、D对.故选A、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7. 〔多选〕设函数f（x）在R上存在导函数f'（x），对于任意的实数x，
都有f（－x）＝f（x），当x＜0时，f'（x）＋ x＜0，且f（－1）＝1，
若f（m）≤ － m2，则实数m的可能取值为（　　）
A. －1 B. － C. 1 D. 2
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析： 设g（x）＝f（x）＋ x2，则g'（x）＝f'（x）＋ x，由于
g（－x）＝f（－x）＋ （－x）2＝f（x）＋ x2＝g（x），所以g
（x）为偶函数，且当x＜0时，g'（x）＝f'（x）＋ x＜0，所以g（x）
在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，且g（－1）＝f
（－1）＋ ＝ ，故由f（m）≤ － m2可得g（m）≤ ，所以－
1≤m≤1，故选A、B、C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8. 已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f'（x）＞0，且有f（3）＝
3，则f（x）＞3e3－x的解集为 .
解析：设F（x）＝f（x）·ex，则F'（x）＝f'（x）·ex＋f（x）·ex＝ex[f
（x）＋f'（x）]＞0，∴F（x）在R上单调递增.又f（3）＝3，则F
（3）＝f（3）·e3＝3e3.∵f（x）＞3e3－x等价于f（x）·ex＞3e3，即F
（x）＞F（3），∴x＞3，即所求不等式的解集为（3，＋∞）.
（3，＋∞）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9. 设函数f（x）在R上存在导数f'（x），g（x）＝f（x）－ sin x是偶函
数，在[0，＋∞）上f'（x）＞ cos x.若f（ －t）－f（t）≥ cos t－ sin
t，则实数t的取值范围为 .
（－∞， ］
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
解析：由题意得g'（x）＝f'（x）－ cos x＞0在[0，＋∞）上恒成立，故g
（x）＝f（x）－ sin x在[0，＋∞）上单调递增，又g（x）＝f（x）－
sin x是偶函数，故g（x）在（－∞，0）上单调递减，f（ －t）－f
（t）≥ cos t－ sin t变形得到f（ －t）－ cos t≥f（t）－ sin t，即f（
－t）－ sin （ －t）≥f（t）－ sin t，所以g（ －t）≥g（t），故g
（ ）≥g（｜t｜），由于g（x）＝f（x）－ sin x在[0，＋∞）上
单调递增，所以 ≥｜t｜，解得t≤ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10. 证明：对 x≥0恒有不等式ln（1＋x）≥ 成立.
证明：设f（x）＝ln（1＋x）－ ，x∈[0，＋∞），
则f'（x）＝ － ＝ ，
显然对于 x≥0，恒有f'（x）≥0，且f'（x）仅在x＝0处取等号，
故函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，且f（0）＝0，从而f（x）
≥f（0）＝0，
即ln（1＋x）≥ ，x∈[0，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11. 已知f（x）＝x cos x－ sin x在（0，π]上单调递减，若0＜b＜1，求
证：当x∈（0，π]时， sin bx＞b sin x.
证明：要证 sin bx＞b sin x，即证 sin bx－b sin x＞0，
令g（x）＝ ，x∈（0，π]，∴g'（x）＝ ，
又∵f（x）＝x cos x－ sin x在（0，π]上单调递减，f（0）＝0，
∴当x∈（0，π]时，f（x）＝x cos x－ sin x＜f（0）＝0，
∴g'（x）＜0，∴g（x）在（0，π]上单调递减，
又∵0＜b＜1，∴0＜bx＜x≤π，∴ ＜ ，∴ sin bx＞b sin x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 已知f（x）为定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的偶函数，f'（x）
是f（x）的导函数，若当x＞0时，f'（x）ln x＋ ＜0，求不等式
（x－1）f（x）＜0的解集.
解：设g（x）＝f（x）ln x，x∈（0，＋∞），
则g'（x）＝f'（x）ln x＋ ＜0，
∴g（x）在（0，＋∞）上是减函数，又g（1）＝0，
且在（0，1）上，ln x＜0，g（x）＞0，∴f（x）＜0，
在（1，＋∞）上，ln x＞0，g（x）＜0，∴f（x）＜0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由f'（x）ln x＋ ＜0在（0，＋∞）上恒成立，可知f（1）＜0，
∴在（0，＋∞）上，f（x）＜0.
又函数f（x）为偶函数，
∴在（－∞，0）上，f（x）＜0，
不等式（x－1）f（x）＜0等价于
解得x∈（1，＋∞）.
∴不等式（x－1）f（x）＜0的解集为{x｜x＞1}.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑