资源简介

(共39张PPT)
模块综合检测（二）
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设函数f（x）＝ax3＋b，若f'（－1）＝3，则a＝（　　）
A. －1
C. 1
解析：　∵f'（x）＝3ax2，∴f'（－1）＝3a＝3，∴a＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
√
2. 在等差数列{an}中，若a2＋a3＝4，a3＋a4＝5，则a9＋a10＝（　　）
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
解析：　设等差数列{an}的公差为d，由a2＋a3＝4，a3＋a4＝5，得2d
＝5－4＝1，所以a9＋a10＝a3＋6d＋a4＋6d＝（a3＋a4）＋12d＝5＋6＝
11.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
3. 曲线y＝ex－ln x在点（1，e）处的切线方程为（　　）
A. （1－e）x－y＋1＝0
B. （1－e）x－y－1＝0
C. （e－1）x－y＋1＝0
D. （e－1）x－y－1＝0
解析：　由于y'＝e－ ，所以y'｜x＝1＝e－1，故曲线y＝ex－ln x在点
（1，e）处的切线方程为y－e＝（e－1）·（x－1），即（e－1）x－y＋1
＝0.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
4. 已知数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}前n项积，且T2＝ ，T6＝
8，则T4＝（　　）
A. 1
D. 2
解析：　由题意，数列{an}为等比数列，Tn为数列{an}前n项积，所以
T2＝a1a2＝ ，T6＝a1a2a3a4a5a6＝ ＝8，则a3a4＝2，可得T4＝
a1a2a3a4＝ ×2＝ .
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
5. 已知函数f（x）＝ln x＋x2－mx.若函数f（x）在 上单调递减，
则实数m的最小值为（　　）
A. 0 B. 3
解析：　f'（x）＝ ＋2x－m，令f'（x）≤0，得m≥ ＋2x，令g
（x）＝ ＋2x，若函数f（x）在 上单调递减，则m≥g（x）
max，当x∈ 时，g'（x）＝2－ ＝ ＞0，所以函数g（x）在
上单调递增，则g（x）max＝g ＝ ，所以m≥ .
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
6. 函数y＝（2x－1）ex的图象大致是（　　）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：　因为当x＜ 时，y＝（2x－1）ex＜0，所以D错误；又y'＝
（2x＋1）ex，所以当x＜－ 时，y'＜0，即y＝（2x－1）ex在区间
上单调递减，所以C错误；又当x＞ 时，u＝（2x＋1）ex的导
数u'＝（2x＋3）ex＞0，所以y'＝（2x＋1）ex单调递增，即y＝（2x－
1）ex随x的增大越来越陡，所以B错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
7. 已知数列{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ ，令Tn＝a1·a2＋a2·a3＋…＋
an·an＋1，则Tn＝（　　）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：　设数列{an}的公比为q，由题意可知当n≥2时， ＝q2，
即数列{an·an＋1}是以q2为公比的等比数列，由a2＝2，a5＝ 得q＝ ，所
以a1＝4，a1·a2＝8，所以Tn＝ ＝ × .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
8. 定义在（1，＋∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且（x－1）f'
（x）－f（x）＞x2－2x对任意x∈（1，＋∞）恒成立.若f（2）＝3，则
不等式f（x）＞x2－x＋1的解集为（　　）
A. （1，2） B. （2，＋∞）
C. （1，3） D. （3，＋∞）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：　由（x－1）f'（x）－f（x）＞x2－2x，得（x－1）f'（x）－f
（x）＋1＞（x－1）2，即 －1＞0，即
'＞0对任意x∈（1，＋∞）恒成立，令g（x）＝ －x，则g（x）
在（1，＋∞）上单调递增，∵f（2）＝3，∴g（2）＝0，∴f（x）＞x2
－x＋1等价于 －x＞0，即g（x）＞g（2），∴x＞2.∴不等式f
（x）＞x2－x＋1的解集为（2，＋∞）.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有
选错的得0分.
9. 已知Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝ ，且an＋1（2－an）＝2
（an≠2），则（　　）
B. {an}是周期数列且周期为4
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析： 　由an＋1（2－an）＝2（an≠2），可得an＋1＝ ，所以a2
＝ ＝－4，a3＝ ＝ ，A错误；a4＝ ＝ ，a5＝ ＝ ＝a1，
所以数列{an}是周期数列且周期为4，B正确；S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝ ，
C正确；S21＝5× ＋ ＝ ，D正确.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
10. 设函数f（x）＝（x－1）2（x－4），则（　　）
A. x＝3是f（x）的极小值点
B. 当0＜x＜1时，f（x）＜f（x2）
C. 当1＜x＜2时，－4＜f（2x－1）＜0
D. 当－1＜x＜0时，f（2－x）＞f（x）
√
√
√
解析： 对于A，因为函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝2（x－
1）（x－4）＋（x－1）2＝3（x－1）·（x－3），易知当x∈ 时，
f'（x）＜0，当x∈ 或x∈ 时，f'（x）＞0，函数f
（x）在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
调递增，故x＝3是函数f（x）的极小值点，正确；对于B，当0＜x＜1时，x－x2＝x ＞0，所以1＞x＞x2＞0，而由上可知，函数f（x）
在 上单调递增，所以f（x）＞f ，错误；
对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f（x）在
上单调递减，所以f ＞f ＞f ，即－4＜f ＜0，正确；
对于D，当－1＜x＜0时，f（2－x）－f（x）＝ －
· ＝ · ＞0，所以f（2－x）＞f（x），正
确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
11. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励
函数.双曲正切函数是一种激励函数.定义双曲正弦函数 sin h x＝ ，
双曲余弦函数 cos h x＝ ，双曲正切函数tanh x＝ .则（　　）
A. 双曲正弦函数是增函数
B. 双曲余弦函数是增函数
C. 双曲正切函数是增函数
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：对于A，令f（x）＝ sin h x＝ ，则f'（x）＝ ＞0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B，令g（x）＝ cos h x＝ ，则g'（x）＝ ，由A知，g'（x）为增函数，又g' ＝ ＝0，故当x∈ 时，g'（x）＜0，当x∈ 时，g'（x）＞0，故g（x）在 上单调递减，在 上单调递增，故B错误；对于C，tanh x＝ ＝ ＝ ＝ ＝1－ ，由y＝e2x＋1在
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
R上单调递增，且y＝e2x＋1＞1，故tanh x＝1－ 是增函数，故C正确；对于D，由C知tanh x＝ ，则tanh ＝ ， ＝＝ ＝ ＝ ＝ ，故tanh ＝ ，故D正确.故选A、C、D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 已知数列{an}是等差数列，且其前n项和为Sn.若S3＝9，S6＝36，则
a1＝ .
解析：由S3＝9，S6＝36得a1＋a2＋a3＝3a2＝9，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6
＝3 ＝36，解得a2＝3，a3＋a4＝12，即a2＋d＋a2＋2d＝12，解
得d＝2，所以a1＝a2－d＝1.
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
13. 若函数f（x）＝x2－4x＋aln x有唯一的极值点，则实数a的取值范围
为 .
解析：由f（x）＝x2－4x＋aln x可知，f'（x）＝2x－4＋ ＝
（x＞0），令g（x）＝2x2－4x＋a＝2（x－1）2＋a－2，由f（x）有
唯一的极值点，可得g（0）≤0，即a≤0，则实数a的取值范围为（－
∞，0].
（－∞，0]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
14. 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{an}为 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ，…， ， ，…，
，…，若Sk＝14，则k＝ ，ak＝ 　 　.
28

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
解析：因为 ＋ ＋…＋ ＝ ＝ － ， ＋ ＋…＋
＝ ＝ ，所以数列 ， ＋ ， ＋ ＋ ，…， ＋ ＋…＋
是首项为 ，公差为 的等差数列，所以该数列的前m项和Tm＝ ＋1
＋ ＋…＋ ＝ .令Tm＝ ＝14，解得m＝7，所以ak＝ ，k＝
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
四、解答题：本题共5小题，共计77分.解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
15. （本小题满分13分）已知函数f（x）＝ x2＋aln x.
（1）若a＝－1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；
解：函数f（x）的定义域为（0，＋∞），
当a＝－1时，f'（x）＝x－ ＝ ，
令f'（x）＝0，得x＝1或x＝－1（舍去），
当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；
当x∈（1，＋∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
所以f（x）在x＝1处取得极小值，极小值为 ，无极大值.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若a＝1，求函数f（x）在 上的最大值和最小值.
解：当a＝1时，易知函数f（x）在 上单调递增，
所以f（x）min＝f（1）＝ ，
f（x）max＝f（e）＝ e2＋1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（1）求数列{an}的通项公式；
解：若选条件①：由a1＝1，a1a5＝ ，
得a1（a1＋4d）＝（a1＋d）2，即1＋4d＝（1＋d）2，∴d2＝2d.
∵d≠0，∴d＝2.∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.
若选条件②：设等差数列{an}的首项为a1，
16. （本小题满分15分）下列三个条件：①a1＝1，a1a5＝ ；②S3＝9，
S5＝25；③Sn＝n2.从这三个条件中任选一个补充在下面的问题中并解答.
已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d≠0， 　　　　.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
由S3＝9，S5＝25，得 解得
∴an＝1＋2（n－1）＝2n－1.
若选条件③：当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1.
显然当n＝1时也满足an＝2n－1，∴an＝2n－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）记bn＝ ，求数列{bn}的前n项和Tn.
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.
解： 由（1）知an＝2n－1，
∴bn＝ ＝
＝ ，
则Tn＝ （1－ ＋ － ＋…＋ － ）＝ ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
17. （本小题满分15分）某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的
销量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝
＋10（x－6）2，其中3＜x＜6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每
日可售出该商品11千克.
（1）求实数a的值；
解： ∵当x＝5时，y＝11，∴由函数式y＝ ＋10（x－6）2，得
＋10＝11，∴a＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销
售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.
解： 由（1）知该商品每日的销售量y＝ ＋10（x－6）2，
设商场每日销售该商品所获得的利润为f（x），则
f（x）＝（x－3） ＝2＋10（x－3）（x－6）2，3
＜x＜6，
f'（x）＝10 ＝30（x－4）（x－6），
令f'（x）＝0，得x＝4，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
当3＜x＜4时，f'（x）＞0，函数 f（x）在（3，4）上单调递增；
当4＜x＜6时，f'（x）＜0，函数f（x）在（4，6）上单调递减，
∴当x＝4时，函数f（x）取得最大值f（4）＝42，
∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最
大值为42元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
18. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝ln x＋ax2＋（2a＋1）x.
（1）讨论f（x）的单调性；
解：f（x）的定义域为（0，＋∞），f'（x）＝ ＋2ax＋2a＋1＝
.
若a≥0，则当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＞0，
故f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
若a＜0，则当x∈ 时，f'（x）＞0；
当x∈ 时，f'（x）＜0.
故f（x）在 上单调递增，在 上单调递减.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）当a＜0时，证明f（x）≤－ －2.
解：证明：由（1）知，当a＜0时，f（x）在x＝－ 处取得最大
值，最大值为f ＝ln －1－ .
所以f（x）≤－ －2等价于ln －1－ ≤－ －2，即ln ＋
＋1≤0.
设g（x）＝ln x－x＋1，则g'（x）＝ －1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
当x∈（0，1）时，g'（x）＞0；当x∈（1，＋∞）时，g'（x）＜0.
所以g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减.
故当x＝1时，g（x）取得极大值且为最大值，最大值为g（1）＝0.
所以当x＞0时，g（x）≤0.
从而当a＜0时，ln ＋ ＋1≤0，
即f（x）≤－ －2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
19. （本小题满分17分）设满足以下两个条件的有穷数列a1，a2，
a3，…，an为n（n＝2，3，4，…）阶“期待数列”：
①a1＋a2＋a3＋…＋an＝0，②｜a1｜＋｜a2｜＋｜a3｜＋…＋｜an｜＝1.
（1）若等比数列{an}为2k（k∈N*）阶“期待数列”，求公比q；
解： 若q≠1，则由①a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝ ＝0，
由a1≠0，所以1－q2k＝0，得q＝－1，
由②得a1＝ 或a1＝－ ，满足题意.
若q＝1，由①得，a1·2k＝0，得a1＝0，不合题意，舍去.
综上所述q＝－1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（2）若一个等差数列{an}既为2k（k∈N*）阶“期待数列”，又是递增
数列，求该数列的通项公式；
解：设等差数列a1，a2，a3，…，a2k（k∈N*）的公差为d（d＞0）.
因为a1＋a2＋a3＋…＋a2k＝0，
所以 ＝0.
所以a1＋a2k＝ak＋ak＋1＝0.
因为d＞0，所以由ak＋ak＋1＝0，
得ak＜0，ak＋1＞0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
由题中的①②得a1＋a2＋a3＋…＋ak＝－ ，ak＋1＋ak＋2＋ak＋3＋…＋a2k
＝ ，
两式相减得k2·d＝1，即d＝ .
又a1k＋ d＝－ ，得a1＝ ，
所以an＝a1＋（n－1）d
＝ ＋（n－1）· ＝ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
（3）记n阶“期待数列”{ai}的前k项和为Sk（k＝1，2，3，…，n），
求证：｜Sk｜≤ .
解： 证明：记a1，a2，a3，…，an中非负项和为A，负项和为B.
则A＋B＝0，A－B＝1，得A＝ ，B＝－ .
因为－ ＝B≤Sk≤A＝ ，所以｜Sk｜≤ .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
THANKS
演示完毕 感谢观看

展开更多......

收起↑