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第五章　三角函数
5.4　三角函数的图象与性质
5.4.2　正弦函数、余弦函数的性质
第二课时　正弦函数、余弦函数的单调性与最值
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
预习教材新知
y＝ sin x y＝ cos x
单调 性 增区间
减区间
最值 ymax＝1 x＝ x＝
ymin＝－1 x＝ x＝
（k∈Z）
[π＋2kπ，2π＋2kπ]
（k∈Z）
（k∈Z）
[2kπ，π＋2kπ]
（k∈Z）
2kπ，k∈Z　
π＋2kπ，k∈Z　
记一记：正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数， 即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调.
A
A. [1，3] B. [－1，3]
C. [－3，1] D. [－1，1]
B
　正弦函数、余弦函数的单调性
　求单调区间
∴y＝2 sin z单调递增时，
课堂互动探究
母题探究：1.（变条件）本例中，若x∈[0，2π]，试求函数的单调递增区间.
总结：用“基本函数法”求函数y＝A sin （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）或y ＝A cos （ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）的单调区间的步骤
第一步：写出基本函数y＝ sin x（或y＝ cos x）的相应单调区间；
第二步：将“ωx＋φ”视为整体替换基本函数的单调区间（用不等式（组） 表示）中的“x”；
第三步：解关于x的不等式（组）.
　利用正（余）弦函数的单调性比较大小
【例2】比较下列各组中函数值的大小：
（2） sin 194°与 cos 160°.
解：（2） sin 194°＝ sin （180°＋14°）＝－ sin 14°，
cos 160°＝ cos （180°－20°）＝－ cos 20°
＝－ sin 70°.
∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝ sin x在0°＜x＜90°时单调递增，
∴ sin 14°＜ sin 70°.
从而－ sin 14°＞－ sin 70°，
即 sin 194°＞ cos 160°.
A. sin 3＜ sin 2 B. cos 3＞ cos 2
AC
（k∈Z）　
解析：∵y＝ cos x在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数，
∴只有－π＜a≤0时满足条件，故a∈（－π，0].
（－π，
0]　
总结：利用单调性比较大小的解题思路
（1）比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一 单调区间内的角，再利用函数的单调性比较.
（2）比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先化为同名的三角函数 值，后面步骤同（1）.
　已知单调性求参数的值或取值范围
D
总结：已知函数y＝A sin （ωx＋φ）（Aω≠0）的单调区间求ω或φ，一般 将ωx＋φ代入y＝ sin x的相应的单调区间所对应的不等式组，求出x的范 围，对应已知的单调区间建立关于ω或φ的不等式（组）求解.
　正弦函数、余弦函数的最值（值域）问题
（2）求函数y＝ cos 2x＋4 sin x的最值及取到最大值和最小值时的x的集合.
7　
总结：三角函数最值（值域）问题的三种常见类型及求解方法
（1）形如y＝a sin x（或y＝a cos x）型，可利用正弦函数、余弦函数的有 界性，注意对a正负的讨论.
（2）形如y＝A sin （ωx＋φ）＋b（或y＝A cos （ωx＋φ）＋b）型，可 先由定义域求得ωx＋φ的范围，然后求得 sin （ωx＋φ）（或 cos （ωx＋ φ））的范围，最后求得最值.
（3）形如y＝A sin 2x＋B sin x＋C（A≠0）型，可利用换元思想，设t＝ sin x，转化为二次函数y＝At2＋Bt＋C求最值.t的范围需要根据定义域来 确定.
1. 知识链：（1）正弦、余弦函数的单调性与最值；（2）正弦、余弦函数单 调性的应用.
2. 方法链：整体代换、换元法.
3. 警示牌：单调区间漏写k∈Z；求值域时忽视 sin x， cos x本身具有的 范围.
参考答案
预习教材新知
正弦函数、余弦函数的单调性与最值
∴－2 sin x＋1∈[－1，3].
基础试练
题型一　正弦函数、余弦函数的单调性
角度1　求单调区间
课堂互动探究
角度2　利用正（余）弦函数的单调性比较大小
（2） sin 194°＝ sin （180°＋14°）＝－ sin 14°，
cos 160°＝ cos （180°－20°）＝－ cos 20°
＝－ sin 70°.
∵0°＜14°＜70°＜90°，且函数y＝ sin x在0°＜x＜90°时单调递增， ∴ sin 14°＜ sin 70°.
从而－ sin 14°＞－ sin 70°，
即 sin 194°＞ cos 160°.
角度3　已知单调性求参数的值或取值范围
练一练
（2）y＝ cos 2x＋4 sin x
＝1－ sin 2x＋4 sin x
＝－ sin 2x＋4 sin x＋1
＝－（ sin x－2）2＋5.
练一练

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