资源简介 (共38张PPT)第四章 几何初步与三角形第24课时 相似三角形(含位似)人教：九下P23～P59；华师：九上P48～P76，P80～P81；北师：九上P75～P123.考点1 相似多边形的概念与性质概念 两个边数相同的多边形，如果它们的对应角① ，对应边② ，那么这两个多边形叫作相似多边形，相似多边形对应边的比叫作③ . 性质 相似多边形的对应角④ ，对应边⑤ . 相等成比例相似比相等成比例例1 如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，则B'C'的长度x和∠β的大小分别是( )A.x＝2，β＝78°B.x＝2，β＝88°C.x＝4.5，β＝78°D.x＝4.5，β＝88°D变式1 如图，现将一张A3纸沿它的长边对折(EF为折痕)可以得到两张A4纸，如果A3纸和A4纸的长宽比例是相等的，那么A4纸的长边与短边的比是( )A. B.C. D.B考点2 比例线段与平行线分线段成比例1.比例的基本性质基本性质合(分)比性质等比性质2.平行线分线段成比例基本 事实 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段⑥ . 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段⑦ . 成比例成比例3.黄金分割点如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，AC＞BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫作AB的黄金分割点，AC与AB的比叫作黄金比，黄金比＝≈0.618.注意：一条线段有两个黄金分割点.例2 (2025成都)若＝3，则的值为 .4例3 (2025乐山)如图，l1∥l2∥l3，AB＝2，DE＝3，BC＝4，则EF的长为( )A.4B.6C.8D.10B变式3 如图，直线l1∥l2∥l3，另两条直线分别交l1，l2，l3于点A，B，C及点D，E，F，且AC＝8，DE＝6，EF＝3，则BC＝ .例4 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，利用圆规在AC上截取CD＝CB，在AB上截取AE＝AD，点E就是AB的黄金分割点.若AB＝4，则AE的长为( )A.2B.2－2C.D.－2B考点3 相似三角形的性质与判定重点性质 (1)相似三角形的对应角⑧ ，对应边⑨ ；(2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于 ；(3)相似三角形的周长比等于 ，面积比等于 . 判定 方法 (1)平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似(仅人教、华师有)；(2)三边 的两个三角形相似；(3)两边成比例且夹角 的两个三角形相似；(4)两角分别 的两个三角形相似相等成比例相似比相似比⑩相似比的平方成比例相等相等例5 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，若＝＝，则△ADE的面积与△ABC的面积的比是 .变式5 如图，在 ABCD中，延长BA到点E，连接EC交AD于点F，若＝，EA＝1.5，则AB的长是( )A.4.5B.3C.2D.1B例6 如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AB＝8，AC＝6，AD＝3，AE＝4.求证：∠AED＝∠B.证明：∵AB＝8，AC＝6，AD＝3，AE＝4，∴＝＝，＝＝.∴＝.∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.∴∠AED＝∠B.变式6 如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，过点D作DE⊥BD交BC于点E.求证：△CDE∽△CBD.证明：∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD.∵∠A＝90°，DE⊥BD，∴∠CDE＋∠ADB＝90°，∠ABD＋∠ADB＝90°.∴∠CDE＝∠ABD＝∠CBD.∵∠C＝∠C，∴△CDE∽△CBD.考点4 图形的位似概念 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫作位似图形，这个点叫作 .利用位似可以将图形放大或缩小性质 (1)位似图形的对应角 ；(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于同一点；(3)位似图形的对应边互相平行或在同一条直线上且成比例；(4)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于 ；(5)位似图形的周长比等于相似比，面积比等于 . 位似中心相等相似比相似比的平方例7 如图，在正方形网格中，两个阴影格点三角形位似，则位似中心是 ( )A.点MB.点NC.点ED.点FC例8 (2025眉山)如图，在4×3的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD，则△OAB与△OCD的周长之比是( )A.2∶1B.1∶2C.4∶1D.1∶4B变式8 如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O.若＝，则点A(－3，1)的对应点A'的坐标为( )A.(－6，2)B.(6，－2)C.(－2，6)D.(2，－6)A例9 (2025内江改编)如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，若动力臂OA＝150 cm，阻力臂OB＝50 cm，BD＝20 cm，则AC的长度是( )A.80 cmB.60 cmC.50 cmD.40 cm考点5 相似三角形的实际应用B变式9 步枪在瞄准时的示意图如图所示，眼睛到准星的距离OE为80 cm，眼睛到目标的距离OF为200 m，若射击时，由于抖动导致偏离目标25 cm，射击到点D处，已知AB∥FD，则视线偏离准星(即BE的长) mm.11.(2025贵州)如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝2∶1，若DF＝2，则AC的长为( )A.1B.2C.4D.8123456789101112C2.如图，在△ABC中，DE∥AB，若＝，CD＝6，则AC的长为( )A.4B.6 C.8D.10D1234567891011123.(2025浙江)如图，五边形ABCDE，A'B'C'D'E'是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，A'的坐标分别为(2，0)，(3，0).若DE的长为3，则D'E'的长为( )A.B.4C.D.5C1234567891011124.(2025河北)“这么近，那么美，周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm，笔的实际长度为14 cm，则该化石的实际长度为 ( )A.2 cmB.6 cmC.8 cmD.10 cmC1234567891011125.(2025绥化)两个相似三角形的最长边分别是10 cm和6 cm，并且它们的周长之和为48 cm，那么较小三角形的周长是( )A.14 cm B.18 cmC.30 cm D.34 cmB1234567891011126.若＝2，则＝ .7.如图，AB∥CD，AC，BD交于点E，若＝，则的值为 .1234567891011128.如图，∠BAC＝∠EAD，AB＝24，AC＝48，AE＝16，AD＝32，求证：∠C＝∠D.证明：∵AB＝24，AC＝48，AE＝16，AD＝32，∴＝＝，＝＝.＝＝.又∠BAC＝∠EAD，∴△ABC∽△AED.∴∠C＝∠D.1234567891011129.(2025河北)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC，延长BA，BC，分别交直线DE于点M，N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽△DCN，则这个条件是( )A.∠B＋∠4＝180°B.CD∥ABC.∠1＝∠4D.∠2＝∠3D12345678910111210.(2025宜宾)如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝2DB，沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分，则的值为( )A.1B.2C.3D.4C12345678910111211.如图，点A为反比例函数y＝－(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点B，则的值为 .12345678910111212.小强在学习相似时对“直角三角形斜边上作高”这一图形(如图1)产生了如下问题，请同学们帮他解决.123456789101112在△ABC中，点D为边AB上一点，连接CD.(1)如图2，若∠ACD＝∠B，求证：AC2＝AD·AB；证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC.∴＝.∴AC2＝AD·AB.123456789101112(2)在(1)的条件下，若点D为AB的中点，BC＝4，求CD的长；解：∵点D为AB的中点，∴设AD＝BD＝m.由(1)，知AC2＝AD·AB＝m·2m＝2m2.∴AC＝m.∴△ACD与△ABC的相似比为＝.∴＝.∵BC＝4，∴CD＝2.123456789101112(3)如图3，点E为CD的中点，连接BE.若∠CDB＝∠CBD＝30°，∠ACD＝∠EBD，AC＝2，求BE的长.解：如图3，过点C作EB的平行线交AB的延长线于点H，过点C作CY⊥AB于点Y，过点B作BF⊥EC于点F.∵点E为CD的中点，∴设CE＝DE＝a.∵∠CDB＝∠CBD＝30°，∴CB＝CD＝2a，∠DCB＝120°.在Rt△BCY中，CY＝CB＝a.123456789101112由勾股定理和等腰三角形的性质，得BD＝2a.∵∠DCB＝120°，∴∠FCB＝60°.∴∠CBF＝30°.∴CF＝BC.∴CF＝a，BF＝a.∴EF＝2a.由勾股定理，得BE＝a.∵CH∥BE，点E为CD的中点，123456789101112∴CH＝2BE＝2a，DH＝2BD＝4a，∠EBD＝∠H.又∠ACD＝∠EBD，∴∠ACD＝∠H，△ACD∽△AHC.∴＝＝＝＝.又AC＝2，∴AD＝2，AH＝14.∴DH＝12，即4a＝12.∴a＝.∴BE＝a＝.123456789101112(共15张PPT)第四章 几何初步与三角形核心微专题5 全等三角形模型类型 模型分析 图示 解题总结三垂直模型 一条线的同侧或两侧有三个直角 有三个直角，利用同(等)角的余角相等找相同的角，只需要找一组对应边相等，即可求得两个三角形全等类型 模型分析 图示 解题总结一线三等角模型 一条线的同侧有三个相等的锐(钝)角 三个等角在同一直线上(已知∠A＝∠B＝∠CPD)，利用三等角关系找全等三角形所需角相等的条件(如∠1＝∠2)类型 模型分析 图示 解题总结手拉手模型 两个等腰三角形的顶角共顶点，且顶角相等 得到一对能够旋转重合的全等三角形类型 模型分析 图示 解题总结半角 模型 当一个角包含着这个角的半角时，需将半角两边的三角形通过旋转与另一边合并形成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明新三角形与半角形成的三角形全等 等边三角形含半角 ∠BDC＝120° DB＝DC “半角”模型必旋转，旋转较大角，旋转后证一组共旋转点的三角形全等等腰直角三角形含半角 ∠BAC＝90° AB＝AC 类型 模型分析 图示 解题总结对角互补模型 ∠AOB＋∠DCE＝180°，OC平分∠AOB，常过顶点作角两边的垂线构造全等三角形 利用角平分线到角两边的距离相等，得对应边相等，利用垂直和互补得另外两个角相等1.(2025凉山州)如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为( )A.56°B.60°C.62°D.64°1234C2.(2025成都模拟)作业本横格线的一部分如图所示，三条线互相平行(即a∥b∥c)，且相邻两横线间的距离为1cm，若一个等腰直角三角形的三个顶点分别在三条平行线上，则这个三角形的斜边长为 cm.12343.如图，把两个全等的直角三角尺的斜边重合，组成一个四边形ACBD，以D为顶点作∠MDN，∠MDN的两边分别交边AC，BC于M，N.若∠ACD＝30°，∠MDN＝60°，当∠MDN绕点D旋转时，AM，MN，BN三条线段之间有何种数量关系？证明你的结论.解：AM＋BN＝MN.证明：如图，延长CB到E，使BE＝AM，连接DE.∵∠A＝∠CBD＝90°，∴∠A＝∠EBD＝90°.1234在△DAM和△DBE中，∴△DAM≌△DBE(SAS).∴∠MDA＝∠BDE，DM＝DE.∵∠MDN＝60°，∠ADB＝2×60°＝120°，∴∠MDA＋∠NDB＝∠ADB－∠MDN＝120°－60°＝60°.1234∴∠BDE＋∠NDB＝60°，即∠MDN＝∠NDE.在△MDN和△EDN中，∴△MDN≌△EDN(SAS).∴MN＝NE.∵NE＝BE＋BN＝AM＋BN，∴AM＋BN＝MN.12344.如图，∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，点B，D分别在射线AN，AM上.(1)在图1中，当∠ABC＝∠ADC＝90°时，求证：AD＋AB＝AC.1234证明：∵∠MAN＝120°，AC平分∠MAN，∴∠DAC＝∠BAC＝60°.∵∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠DCA＝∠BCA＝30°.在Rt△ACD和Rt△ACB中，∠DCA＝30°，∠BCA＝30°，∴AC＝2AD，AC＝2AB.∴AD＋AB＝AC.1234(2)若把(1)中的条件“∠ABC＝∠ADC＝90°”改为∠ABC＋∠ADC＝180°，其他条件不变，如图2所示，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由.解：结论AD＋AB＝AC成立.证明：如图2，在AN上截取AE＝AC，连接CE.∵∠DAC＝60°，∴△CAE为等边三角形.∴AC＝CE，∠AEC＝60°.∴∠BAC＝∠AEC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠EDC＋∠ADC＝180°，1234∴∠ABC＝∠EDC.∴△ABC≌△EDC(AAS).∴AB＝ED.∴AD＋AB＝AD＋ED＝AE.∴AD＋AB＝AC.1234(共13张PPT)第四章 几何初步与三角形核心微专题4 与角平分线有关的辅助线作法模型 条件 作辅助线 图示 结论构造全等 三角形 由一点向角两边作垂线 P是∠MON的平分线上一点 过点P作PA ⊥OM，PB ⊥ON △APO≌△BPO(HL)在角的一边截取相等线段 P是∠MON的平分线上一点，A是OM上任意一点，连接AP 在ON上截取OB＝OA，连接PB △APO≌△BPO(SAS)模型 条件 作辅助线 图示 结论构造 全等 三角形 在角的延长线上补相等线段 AD是△ABC的角平分线，即∠1＝∠2 延长AC至点E，使AE＝AB，连接DE △ABD≌△AED(SAS)构造全等(等腰)三角形 作角平分线的垂线 P是∠MON的平分线上一点，AP⊥ OP 延长AP交ON于点B △AOP≌△BOP(ASA)；△AOB为等腰三角形模型 条件 作辅助线 图示 结论构造等腰三角形 向内作一边的平行线 P是∠MON的平分线上一点 过点P作PQ∥ ON，交OM于点Q △POQ是等腰三角形向外作角平分线的平行线 OC是∠AOB的平分线，D是射线OA上一点 过点D作DE∥ CO，交BO的延长线于点E △DEO是等腰三角形模型 条件 作辅助线 图示 结论构造三角形的内切圆 三角形任意两条角平分线交于点P 过点P作PM⊥BC，交BC于点M1.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AC＝6，S△ACD＝6，则DE的长为( )A.2B.3C.4D.112345678A2.如图，∠AOB的平分线上有一点P，过点P作OA的平行线PC，∠CPO＝15°，OC＝2，则点P到射线OA的距离为( )A.B.1C.D.2B123456783.如图，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，∠A＝110°，则∠BOC的度数为( )A.145°B.140°C.135°D.120°A123456784.如图，点E在△ABC的内部，AE平分∠CAB，CE⊥AE于点E，F是BC的中点，连接EF，若AC＝10，AB＝18，则EF的长为( )A.6B.4.8C.4D.7C123456785.(2025成都模拟)如图，在 ABCD中，用尺规作∠ABC的平分线BG，交AD于点G，若AE＝10，AB＝13，则BG的长为( )A.18B.13C.13D.24D123456786.如图，BD是△ABC的角平分线，延长BD至点E，使DE＝AD，若∠ADB＝60°，∠BAC＝78°，则∠BEC＝ .102°123456787.如图，已知在△ABC中，∠A＝60°，D为AB上一点，且AC＝2AD＋BD，∠B＝4∠ACD，则∠DCB的度数是 .20°123456788.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝3，D是线段BC上一点，连接AD，∠BAD＝15°，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接BE交AC于点F，则CF的长度为 .12345678(共15张PPT)第四章 几何初步与三角形核心微专题3 与中点有关的辅助线作法模型 条件 作辅助线 图示 结论作中位线 在△ABC中，D为AB的中点 图1：取AC的中点E，连接DE； 图2：连接DC，作AF∥DC，交BC的延长线于点F模型 条件 作辅助线 图示 结论构造直角三 角形斜边上 的中线 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点 连接CD利用等腰三角形“三线合 一”的性质 在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点 连接AD ∠BAD＝∠CAD；BD＝CD；AD⊥BC模型 条件 作辅助线 图示 结论利用垂直平分线的性质 在△ABC中，ED垂直平分BC 连接BE EB＝EC；BD＝CD；∠BED＝∠CED模型 条件 作辅助线 图示 结论倍长中线(或类中线)构造全等三角形 在△ABC中，D是边BC的中点 图1：延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE； 图2：延长FD至点E，使ED＝DF，连接CE 图1：△ADC≌△EDB；图2：△BDF≌△CDE1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D，E，F分别是三边的中点，且AE＝6，则DF的长为( )A.3B.6C.6D.812345678910B2.如图，在四边形ABCD中，E，F分别是CD，AD的中点，EF⊥AB.若EF＝6，AB＝5，则BC的长为( )A.8B.10C.12D.13D123456789103.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝5，BC＝13，点D在BC上，且AB＝AD，点E和点F分别是BD和AC的中点，则EF的长是( )A.5B.6C.D.8B123456789104.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，E为AD的中点，EF⊥AD交AB于点F.若CD＝3，则AF的长为( )A.3B.3C.6D.5C123456789105.(2025成都模拟)如图，在△ABC中，BC＝2AB，∠ABC的平分线BD交AC于点D，在BD的延长线上取一点E，使得DE＝BD，连接CE，则的值是 .123456789106.如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝5，点D为BC的中点，则AD的取值范围是 .1＜AD＜6123456789107.如图，在△ABC中，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，AD⊥BC于点D，且BD＝DE.若AF＝6，CD＝10，则△ABC的周长为 .32123456789108.如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝10，AC＝6，D，E分别是边BC，AB上的动点，M，N分别是DE，AE的中点，则MN的最小值是 .123456789109.如图，在△ABC中，D为BC的中点，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F.若BE＝AC，AF＝2，CF＝8，则BF的长为 .121234567891010.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AC＝8，BD＝6，若点E为AB的中点，点F为CD的中点，连接EF，则EF的长为 .512345678910(共34张PPT)第四章 几何初步与三角形第23课时 直角三角形(含勾股定理)人教：八上P13～P14，八下P21～P39；华师：八上P107～P128；北师：八上P1～P19，八下P14～P21.考点1 直角三角形的概念与性质重点概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形角的关系 直角三角形两个锐角① . 边的 关系 (1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的② ；(2)勾股定理：若直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，则③ . 边角 关系 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的④ . 互余一半a2＋b2＝c2一半例1 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AD⊥AB交BC于点D.若AD＝5，则BC的长为 .15变式1 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，∠A＝30°，若BD＝2，则AB的长为( )A.4B.6C.8D.10C例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，D为AB的中点，则CD的长度为( )A.5B.6C.8D.10A变式2 (2025扬州)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°，若AC＝4，BC＝8，则DF的长是 .6例3 如图，阴影部分是两个正方形，其他三个图形是一个正方形和两个直角三角形，则阴影部分的面积之和为 .64变式3 如图，四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的较长直角边长为a，短直角边长为b，大正方形面积为10，且(a＋b)2＝16，则小正方形的面积为( )A.3B.4C.5D.6B例4 如图，当秋千静止时，踏板B离地的垂直高度BE＝0.5 m，将它往前推3 m至C处时(即水平距离CD＝3 m)，踏板离地的垂直高度CF＝2.5 m，若它的绳索始终拉直，则绳索AC的长是( )A.3.4 mB.3.25 mC.4 mD.5.5 mB变式4 如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AB生长在它的中央，高出水面的部分BC为1尺.如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深为 尺.12 考点2 直角三角形的判定角 (1)有一个角为⑤ 的三角形是直角三角形；(2)有两个角⑥ 的三角形是直角三角形边 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足⑦ ，那么这个三角形是直角三角形直角互余a2＋b2＝c2例5 如图，每个小正方形的边长都是1，解答下列问题：(1)线段AB的长为 ，AC的长为 ；(2)请连接BC，判断△ABC的形状，并说明理由.解：△ABC是直角三角形.理由如下：如图，连接BC.由勾股定理，得BC＝＝＝2.∵AB＝，AC＝，∴AC2＋BC2＝2＋8＝10＝AB2.∴△ABC为直角三角形.例6 把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上.若AB＝，则CD＝ .－1变式6 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC的延长线上，∠ADB＝60°，AD＝16，BD＝11，则BC的长为 .6在三角形中存在特殊角30°，45°，60°时，可作垂线，构造直角三角形.1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，∠ABC＝90°.若AC＝2，则BC的长为( )A.1B.C.D.412345678910111213B2.如图，一棵高为16 m的大树被台风刮断，若树在离地面6 m处折断，则树顶端落在地面的位置距离树底部 ( )A.5 mB.7 mC.8 mD.10 mC123456789101112133.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是( )A.a∶b∶c＝1∶1∶B.∠C＝∠A－∠BC.b2＝a2－c2D.∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5D123456789101112134.如图，已知△ABC≌△DBE.若AC⊥BE，且∠ABE＝20°，则∠D的度数为 .70°123456789101112135.(2025南通)南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图，这是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC.若AC＝4.8 m，∠C＝30°，则EF的长为 m.1.2123456789101112136.(2025连云港)如图，长为3 m的梯子靠在墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为1.8 m，则梯子顶端的高度h为 m.2.4123456789101112137.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E.求证：AE＝2CE.证明：如图，连接BE.∵AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，∴AE＝BE.∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠ABE＝30°，12345678910111213∠ABC＝60°.∴∠EBC＝30°.∴BE＝2CE.∴AE＝2CE.123456789101112138.如图，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一点，且AE＝BC，∠1＝∠2.求证：△CDE是直角三角形.证明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE.在Rt△ADE和Rt△BEC中，∴∠ADE＝∠BEC.∴Rt△ADE≌Rt△BEC(HL).12345678910111213∵∠ADE＋∠AED＝90°，∴∠BEC＋∠AED＝90°.∴∠DEC＝90°.∴△CDE是直角三角形.123456789101112139.(2025广安)如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，D是BC边上的一个动点，连接AD，则AD的最小值为 .21234567891011121310.(2025广西)如图，点A，D在BC同侧，AB＝BC＝CA＝2，BD＝CD＝，则AD＝ .－11234567891011121311.(2025扬州)清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 .11，60，611234567891011121312.如图，在△ABC中，AC＝AB，∠BAC＝90°，在AC右侧作等边三角形ACD.(1)求∠CBD的度数；解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，∴∠ABC＝∠ACB＝45°.∵△ACD为等边三角形，∴AB＝AC＝AD，∠CAD＝∠ACD＝60°.∴∠BAD＝150°.∴∠ADB＝∠ABD＝15°.∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝30°.12345678910111213(2)若BC＝4，求BD的长.解：如图，作CE⊥BD于点E.∵∠ACB＝45°，∠ACD＝60°，∠CBD＝30°，∴∠BDC＝45°.∵CE⊥BD，∴∠DCE＝45°.∴CE＝DE.∵BC＝4，CE⊥BD，∠CBD＝30°，12345678910111213∴CE＝DE＝BC＝2.∴BE＝＝2.∴BD＝2＋2.1234567891011121313.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，以BC为底作等腰直角三角形BCD，E是CD的中点，连接AE，BE.求证：AE⊥EB.证明：如图，取BD的中点F，连接EF.∵E是CD的中点，∴EF为△CBD的中位线.∴EF＝BC，EF∥BC.∵△BCD是等腰直角三角形，∴∠CBD＝∠BCD＝45°，∠D＝90°，CD＝BD.12345678910111213∴∠ACE＝∠ACB＋∠BCE＝135°，∠DFE＝∠DBC＝45°，CE＝BF.∴∠EFB＝135°，即∠EFB＝∠ACE.∵AC＝BC，∴EF＝AC.∴△EFB≌△ACE(SAS).∴∠DBE＝∠CEA.12345678910111213又∠DBE＋∠DEB＝90°，∴∠AEB＝90°.∴AE⊥EB.(共37张PPT)第四章 几何初步与三角形第22课时 等腰三角形人教：八上P75～P84；华师：八上P78～P85，P94～P95；北师：七下P121～P124，八下P2～P13，P22～P27.考点1 线段垂直平分线的性质与判定定义 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线图示性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离① .如图，DE垂直平分BC，则BD＝② . 判定 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上相等CD例1 (2025达州)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝5，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，则△BDC的周长为( )A.21B.14C.13D.9C变式1 如图，在△ABC中，AB＝AC，点O是△ABC内一点，连接OB，OC，连接AO并延长交BC于点D，若OB＝OC，BC＝8，则CD的长为( )A.4B.5C.2D.6A利用线段的垂直平分线的性质转化边的关系.考点2 等腰三角形的性质与判定 重点概念 有两边相等的三角形叫作等腰三角形性质 (1)等腰三角形两个底角③ (简称“等边对等角”)；(2)等腰三角形顶角的④ 、底边上的⑤ 、底边上的⑥ 相互重合(简称“三线合一”)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有⑦ 条对称轴，对称轴是⑧ 所在的直线判定 如果一个三角形有⑨ 相等，那么这两个角所对的边也相等(简称“等角对等边”)相等平分线中线高1顶角的平分线(或底边上的中线或底边上的高)两个角例2 如图，直线AB∥CD，EF＝EG，点F，G分别在直线CD，AB上，若∠E＝30°，∠1＝50°，则∠2的度数为( )A.85°B.70°C.65°D.55°D变式2 如图，在△ABC中，D为边BC上的点，满足AB＝AC＝BD，且∠DAC＝30°，则∠B的度数为( )A.30°B.35°C.40°D.45°C例3 (2025扬州)在如图所示的房屋人字梁架中，AB＝AC，点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC的是( )A.∠ADB＝∠ADCB.∠B＝∠CC.BD＝CDD.AD平分∠BACB变式3 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD为△ABC的角平分线，过点C作CE⊥BD交BD的延长线于点E，若CE＝2，则BD的长为 .4例4 如图，在△ABC和△DCB中，AB，CD相交于点O，∠ACB＝∠DBC＝90°，∠ABC＝∠DCB.求证：OA＝OD.证明：在△ABC和△DCB中，∴△ABC≌△DCB(ASA).∴AB＝DC.∵∠ABC＝∠DCB，∴OC＝OB.∴AB－OB＝DC－OC，即OA＝OD.考点3 等边三角形的性质与判定重点概念 三条边都相等的三角形叫作等边三角形性质 (1)三个内角都⑩ ，并且每个角都等于 ；(2)等边三角形是轴对称图形，有 条对称轴判定 (1)三个角都 的三角形是等边三角形；(2)有一个角是 的等腰三角形是等边三角形相等60°3相等60°例5 如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )A.15°B.30°C.45°D.60° A变式5 如图，在等边三角形ABC中，点D，E，F分别在BA，CB，AC的延长线上，且AD＝BE＝CF，连接DE，EF，求证：DE＝EF.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCA＝60°.∴∠DBE＝∠ECF＝120°.∵BE＝AD，∴BE＋BC＝AD＋AB，即CE＝BD.在△DBE和△ECF中，∴△DBE≌△ECF(SAS).∴DE＝EF.例6 如图，AB＝BC＝4，DA＝DC，若∠ACB＝60°，则OC的长度为( )A.1B.C.2D.C变式6 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝CD，E为对角线CA延长线上一点，且CE＝BC，连接DE.若∠ACB＝60°，求证：AB＝DE.证明：∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB＝60°.又AD＝CD，∴△ACD是等边三角形.∴∠ACD＝60°＝∠ACB，AC＝DC.在△ABC和△DEC中，∴△ABC≌△DEC(SAS).∴AB＝DE.1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝( )A.100°B.115°C.130°D.145°12345678910111213B2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，若BD＝5，则BC＝( )A.5B.6C.10D.13C123456789101112133.(2024凉山州)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D.若△ACD的周长为50 cm，则AC＋BC＝( )A.25 cmB.45 cmC.50 cmD.55 cmC123456789101112134.如图，AB∥CD，∠C＝33°，OC＝OE，则∠A＝ °.66 123456789101112135.如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AB交AC于点E，若DE＝7，CE＝8，则AC的长为 .15123456789101112136.(2025资阳)如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B，点E在线段AB上，CE∥DA.若使△BCE成为等边三角形，可增加的一个条件是 . .∠B＝60°(答案不唯一)123456789101112137.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D.若BC＝2，则AD的长度为 .2123456789101112138.如图，△ABC是等边三角形，BD是边AC上的高，延长BC至点E，使DB＝DE，则∠BDE的度数为 .120°123456789101112139.(2024宜宾)如图，点D，E分别是等边三角形ABC边BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F.求证：AD＝BE.证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°.又BD＝CE，∴△ABD≌△BCE(SAS).∴AD＝BE.1234567891011121310.(2025连云港)如图，在△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，则△AEG的周长为( )A.5B.6C.7D.8C1234567891011121311.如图，在△ABC中，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足为D，交AC于点E，∠A＝∠ABE.若AC＝6，BC＝4，则BD的长为 .11234567891011121312.(2025宜宾模拟)如图，分别以△ABC的边AB，AC向外作等边三角形ABD、等边三角形AEC，BE和DC相交于点M.(1)求证：BE＝DC；证明：∵△ABD和△AEC都是等边三角形，∴AB＝AD，AE＝AC，∠CAE＝∠BAD＝60°.∴∠BAC＋∠CAE＝∠BAC＋∠BAD，12345678910111213即∠BAE＝∠DAC.在△ABE和△ADC中，∴△ABE≌△ADC(SAS).∴BE＝DC.12345678910111213(2)求∠DME的度数.解：∵△ABE≌△ADC，∠BDA＝∠DBA＝60°，∴∠ADC＝∠ABE.∴∠ADC＋∠BDC＝∠ABE＋∠BDC＝∠BDA＝60°.∴在△DMB中，∠BMD＝180°－∠BDM－∠DBA－∠ABE＝180°－∠DBA－(∠ABE＋∠BDC)＝180°－60°－60°＝60°.∴∠DME＝180°－60°＝120°.1234567891011121313.已知在等边三角形ABC中，点D为射线BA上一点(点D与点B不重合)，连接CD，以DC为边在BC上方作等边三角形DCE，连接AE.(1)如图1，当点D是AB边中点时，∠ADE的度数为 ；30°12345678910111213(2)求证：AE＝BD；证明：分两种情况讨论：①当点D在线段AB上时(点D与点B不重合).∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°.∵△DCE是等边三角形，∴EC＝DC，∠DCE＝60°.∴∠ACB－∠ACD＝∠DCE－∠ACD，12345678910111213即∠BCD＝∠ACE.在△ACE和△BCD中，∴△ACE≌△BCD(SAS).∴AE＝BD.12345678910111213②当点D在线段BA的延长线上时，如答图.同理可证△ACE≌△BCD.∴AE＝BD.综上，AE＝BD.(3)如图2，当动点D在BA的延长线上时，以DC为边在其下方作等边三角形DCF，连接BF，求线段AB，AE，BF之间的等量关系.解：∵△ABC是等边三角形，△DCF是等边三角形，∴∠ACB＝∠DCF＝60°，AC＝BC，DC＝FC.∴∠ACD＋∠ACF＝60°，∠BCF＋∠ACF＝60°.∴∠ACD＝∠BCF.在△ACD和△BCF中，12345678910111213∴△ACD≌△BCF(SAS).∴AD＝BF.由(2)知，AE＝BD.∴AE－BF＝BD－AD＝AB.∴AE＝AB＋BF.12345678910111213(共39张PPT)第四章 几何初步与三角形第21课时 全等三角形人教：八上P30～P56；华师：七下P133～P135，八上P59～P77，P96～P99；北师：七下P92～P113，八下P28～P32.考点1 全等三角形的概念与性质概念 能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形性质 全等三角形的对应边① ，全等三角形的对应角② . 相等相等例1 如图，已知△ABC≌△ENM，BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠C＝54°，∠A＝66°，下列结论正确的是( )A.EM＝aB.EN＝cC.∠E＝60°D.∠N＝66°B变式1-1 如图，△ABC≌△DCB，若∠DBC＝40°，则∠AOB的度数是( )A.80°B.60°C.50°D.40°A变式1-2 如图，△ABC≌△CDE，点D在边AC上，若AB＝3，CE＝8，则AD＝ .5先明确全等三角形的顶点对应顺序，再标出对应的边和角，通过全等关系转移角或边，结合三角形内角和、外角等几何知识求解.考点2 三角形全等的判定重点一般 三角形 三边分别③ 的两个三角形全等(SSS)两边和它们的④ 分别相等的两个三角形全等(SAS)两角和它们的⑤ 分别相等的两个三角形全等(ASA)两角及其中一个角的⑥ 分别相等的两个三角形全等(AAS)直角 三角形 斜边和⑦ 分别相等的两个直角三角形全等(HL)相等夹角 夹边对边一条直角边例2 (2025乐山)如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.证明：∵线段AC，BD相交于点E，∴∠AEB＝∠DEC.∵AE＝DE，BE＝CE，∴△AEB≌△DEC(SAS).∴AB＝DC.变式2-1 (2025广州)如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD.求证：△ABC≌△EBD.证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠EBC＝∠2＋∠EBC，即∠ABC＝∠EBD.在△ABC和△EBD中，∴△ABC≌△EBD(SAS).变式2-2 (2025内江)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE.(1)求证：△ABC≌△DEF；证明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠E.∵AC＝DF，∠A＝∠D，∴△ABC≌△DEF(AAS).(2)若BF＝4，FC＝3，求BE的长.解：∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF.∴BF＋FC＝CE＋FC.∴BF＝CE.∵BF＝4，∴CE＝4.∴BE＝BF＋FC＋CE＝4＋3＋4＝11.变式2-3 如图，已知△ABC和△CDE，点E在AC上，DE∥BC，DE＝AC，∠A＝∠D.求证：AB＝CD.证明：∵DE∥BC，∴∠ACB＝∠DEC.在△ABC和△DCE中，∴△ABC≌△DCE(ASA).∴AB＝CD.变式2-4 如图，在正方形ABCD中，E是AD边上一点，AF⊥BE于点F，CG⊥BE于点G.求证：AF＝BG.证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°.∵AF⊥BE，CG⊥BE，∴∠AFB＝∠CGB＝90°.∴∠ABF＋∠CBG＝∠ABF＋∠BAF＝90°.∴∠BAF＝∠CBG.∴△ABF≌△BCG(AAS).∴AF＝BG.考点3 角的平分线的性质与判定图示性质 角的平分线上的点到角的两边的距离⑧ .∵OC平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，∴PM⑨ PN判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上.∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM＝PN，∴OC平分∠AOB相等＝例3 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB，垂足为E，若BC＝10，DE＝4，则BD的长为 .6变式3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，点E在边AB上，连接DE，则下列结论错误的是( )A.AM＝ANB.AD＝2CDC.∠CAD＝∠BADD.DE的最小值是DC的长B例4 如图，在△ABC中，点D到AB和AC的距离相等，∠B＝40°，∠C＝60°，则∠BAD的度数为 .40°变式4 如图，在四边形ABCD中，BC＝CD，过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，且DF＝BE.(1)求证：AC平分∠DAB；证明：∵CE⊥AB于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，∴∠CEB＝90°，∠CFD＝90°，即△BCE和△DCF均为直角三角形.∵BC＝CD，BE＝DF，∴Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).∴CE＝CF.又CE⊥AB，CF⊥AD，∴AC平分∠DAB.(2)若AB＝8 cm，DF＝2 cm，求AD的长.解：∵CE⊥AB，CF⊥AD，且AC＝AC，CE＝CF，∴Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).∴AE＝AF.又AB＝8，DF＝BE＝2，∴AE＝AF＝AB－BE＝8－2＝6.∴AD＝AF－DF＝6－2＝4(cm).1.如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为 ( )A.40°B.60° C.80°D.100°12345678910 C2.(2025山西)如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.测得C，D两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是( )A.SSS B.SAS C.ASA D.HLB123456789103.如图，网格中每个小正方形的边长相等，则∠1＋∠2的度数是 ( )A.100°B.90°C.80°D.60°B123456789104.如图，BD是△ABC的角平分线，∠C＝90°，若DC＝3，则D到AB的距离是 .3123456789105.如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上.若BC＝8，CE＝5，则CF的长为 .3123456789106.如图，已知∠1＝∠2，若添加一个条件使△ABC≌△ADC，则可添加 .AB＝AD(答案不唯一)123456789107.如图，点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接FC.若FC∥AB，AB＝5，CF＝3，则BD的长为 .2123456789108.(2025南充)如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，AC＝AD，∠BAD＝∠EAC.(1)求证：△ABC≌△AED；证明：∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD－∠CAD＝∠EAC－∠CAD.∴∠BAC＝∠EAD.12345678910在△ABC和△AED中，∴△ABC≌△AED(SAS).12345678910(2)求证：∠BCD＝∠EDC.证明：∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC.∵△ABC≌△AED，∴∠ACB＝∠ADE.∴∠ACB＋∠ACD＝∠ADE＋∠ADC，即∠BCD＝∠EDC.123456789109.如图，点E在∠BAC的平分线上，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥CD于点G，且EF＝EG.(1)求证：CE是∠ACD的平分线；证明：如图，过点E作EH⊥AC于点H.∵点E在∠BAC的平分线上，EF⊥AB，EH⊥AC，∴EF＝EH.∵EF＝EG，∴EH＝EG.又EG⊥CD，EH⊥AC，∴CE是∠ACD的平分线.12345678910(2)求证：AC＝AF＋CG.证明：∵EF⊥AB，EH⊥AC，∴∠AFE＝∠AHE＝90°.在Rt△AEF和Rt△AEH中，∴Rt△AEF≌Rt△AEH(HL).∴AF＝AH.同理，得CH＝CG.∴AC＝AH＋CH＝AF＋CG.1234567891010.(1)如图1，在△ABC与△CDE中，∠B＝∠E＝∠ACD＝90°，AC＝CD，B，C，E三点在同一直线上，AB＝2，ED＝3，则BE＝ ；123456789105(2)如图2，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝2，过点C作CD⊥AC，且CD＝AC，求△BCD的面积；解：如图2，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E.∵DE⊥BC，CD⊥AC，∴∠E＝∠ACD＝90°.∴∠ACB＝90°－∠DCE＝∠CDE.在△ABC和△CED中，12345678910∴△ABC≌△CED(AAS).∴ED＝BC＝2.∴S△BCD＝BC·DE＝2.12345678910(3)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠CAB＝∠ADC＝45°，△ACD的面积为14，且CD的长为7，直接写出△BCD的面积.解析：如图3，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD交DC延长线于点F.∵△ACD的面积为14，CD的长为7，即×7×AE＝14，∴AE＝4.∵∠ADC＝45°，AE⊥CD，解： 12345678910∴△ADE是等腰直角三角形.∴DE＝AE＝4.∴CE＝CD－DE＝3.∵∠ABC＝∠CAB＝45°，∴∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ACE＝90°－∠BCF＝∠CBF.在△ACE和△CBF中，12345678910∴△ACE≌△CBF(AAS).∴BF＝CE＝3.∴S△BCD＝CD·BF＝.12345678910(共36张PPT)第四章 几何初步与三角形第20课时 三角形(多边形)的基础知识人教：八上P1～P29；华师：七下P71～P96，九上P77～P80；北师：七下P81～P91，八上P178～P187，八下P150～P158.考点1 三角形的分类及三边关系分类三边 关系 三角形任意两边的和① 第三边，三角形任意两边的差② 第三边大于小于例1 下列各组数中，能作为三角形三边边长的是 ( )A.1，1，2 B.1，2，4C.2，3，4 D.2，3，5变式1 已知等腰三角形一边长为4，另一边长为9，则它的周长为 .C22角的 关系 (1)三角形三个内角的和等于③ ；(2)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的④ . 考点2 三角形的内角和与外角性质180°和例2 如图，若AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝20°，则∠AED的度数是( )A.70°B.100°C.110°D.80°C变式2-1 一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则图中∠α的度数是( )A.55°B.60°C.65°D.75°D变式2-2 如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE与BA的延长线交于点E.若∠B＝40°，∠ACB＝30°，则∠E的度数为 .35°考点3 三角形中的重要线段重点线段图示 性质高 ∠ADB＝∠ADC＝90°，S△ABD∶S△ACD＝BD∶DC中线BD＝⑤ ＝⑥ BC，S△ABD＝S△ADC，｜C△ABD－C△ACD｜＝｜AB－AC｜.提醒：三条中线的交点叫重心CD线段图示 性质角平分线中位线 AD＝BD，AE＝CE，⑧ ∥BC且DE＝⑨ BC∠2DE例3 如图，在△ABC中，AD是高，AE是边BC上的中线，若AD＝3，S△ABC＝6，则BE的长为( )A.1B.C.2D.4C变式3 如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，AD为边BC上的中线，若△ACD的周长为22，则△ABD的周长是 .24例4 一架人字梯及其侧面的示意图如图所示，AB，AC为支撑架，DE为拉杆，D，E分别是AB，AC的中点.若DE＝40 cm，则B，C两点间的距离是 cm.80变式4 (2024广安)如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点.若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为( )A.45°B.50°C.60°D.65°D例5 如图，在△ABC中，已知AD是△ABC的角平分线，DE是△ADC的高，∠BAC＝50°，则∠ADE的度数为 .65°变式5 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线BO，CO交于点O，CE为△ABC的外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，∠1＝60°，则∠2的大小为 .30°角平分线基本图形：双内角平分线 一内一外角平分线 双外角平分线通过掌握这三种模型，可以快速解决涉及三角形角平分线的角度计算问题.考点4 多边形的内角和与外角和重点多边形 (1)n边形的内角和为⑩ ；(2)n边形的外角和为 . 正多 边形180°·(n－2)360°例6 (2025遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则该多边形的边数为( )A.10 B.11C.12 D.13A变式6-1 已知正n边形的一个外角是45°，则n＝ .变式6-2 (2025自贡)如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则α＋β＝( )A.140°B.150°C.160°D.170°8B例7 如图，正六边形ABCDEF的对角线AD的长为8，则正六边形ABCDEF的边长为( )A.2B.2C.2D.4D变式7 如图，将正方形剪去四个角后得到边长为2 cm的正八边形，则正方形的边长为 cm.(2＋2)1.一个三角形的两边长分别为7和4，若第三条边的长为x，则x的值可能是( )A.1 B.2 C.8 D.1312345678910111213141516C2.(2024攀枝花)五边形的外角和为( )A.108° B.180°C.360° D.540°C123456789101112131415163.(2025福建)某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，∠BAC＝∠EDF＝90°，∠B＝45°，∠DEF＝60°.当AD∥BC时，∠ADE的大小为( )A.5°B.15°C.25°D.35°B123456789101112131415164.(2025资阳)三角形的周长为48 cm，则它的三条中位线组成的三角形的周长是( )A.12 cm B.24 cmC.28 cm D.30 cmB123456789101112131415165.(2025眉山)如图，直线l与正五边形ABCDE的边AB，DE分别交于点M，N，则∠1＋∠2的度数为( )A.216°B.180°C.144°D.120°C123456789101112131415166.若n边形的每个外角都等于40°，则n＝ .7.(2025成都)正六边形ABCDEF的边长为1，则对角线AD的长为 .8.(2024巴中)经过五边形的一个顶点最多可以画出 条对角线.922123456789101112131415169.(2024凉山州)如图，△ABC中，∠BCD＝30°，∠ACB＝80°，CD是边AB上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的度数是 .100°1234567891011121314151610.如图，在△ABC中，D是BC中点，CE是△ACD的中线，若S△CDE＝2，则S△ABC是 .81234567891011121314151611.(2025甘肃)如图，一个多边形纸片的内角和为1 620°，按图示的剪法剪去一个内角后，所得新多边形的边数为 ( )A.12B.11C.10D.9A1234567891011121314151612.(2025南充模拟)如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，AD⊥BD.∠DAC＝20°，∠C＝38°，则∠ABD的度数为( )A.28°B.29°C.31°D.32°D1234567891011121314151613.(2025湖南省卷)如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC，BD，AC与BD交于点M，∠AMB＝ °.451234567891011121314151614. 定义：在△ABC中，AE是它的中线，点F在BC上，若∠BAE＝∠CAF，则称AF是△ABC的“陪位中线”.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E是BC的中点，AF⊥BC，垂足为F，求证：AF是△ABC的“陪位中线”.证明：∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AE为边BC上的中线，∴AE＝BE＝CE.∴∠B＝∠BAE.∵AF⊥BC，12345678910111213141516∴∠CAF＋∠C＝90°.∵∠B＋∠C＝90°，∴∠B＝∠CAF.∴∠BAE＝∠CAF.∴AF是△ABC的“陪位中线”.1234567891011121314151615.(2025江西)如图，△ABC是面积为1的等边三角形，分别取AC，BC，AB的中点得到△A1B1C1；再分别取A1C，B1C，A1B1的中点得到△A2B2C2……依此类推，则△AnBnCn的面积为( )A. B.C. D.C1234567891011121314151616.(2024达州)如图，在△ABC中，AE1，BE1分别是内角∠CAB、外角∠CBD的三等分线，且∠E1AD＝∠CAB，∠E1BD＝∠CBD，在△ABE1中，AE2，BE2分别是内角∠E1AB、外角∠E1BD的三等分线，且∠E2AD＝∠E1AB，∠E2BD＝∠E1BD……以此规律作下去.若∠C＝m°，则∠En＝ °.m12345678910111213141516(共54张PPT)第四章 几何初步与三角形第19课时 线段、角、相交线和平行线人教：七上P125～P150，七下P2～P7；华师：七上P138～P184，八上P54～P58，P114～P118；北师：七上P106～P121，七下P38～P54，八上P172～P177.两个基本事实 (1)两点确定一条直线；(2)两点之间，① 最短两点的距离 连接两点间的线段的长度，叫作这两点的距离线段的中点考点1 直线和线段线段MB例1 在下列现象中，可以用基本事实“两点之间，线段最短”来解释的是( )C例2 如图，点D是AC的中点，点B是AC的三等分点，若BC＝4，则BD的长为( )A.1B.1.5C.2D.2.5A变式2 如图，E，F分别为AC，BD的中点，若AB＝24 cm，CD＝10 cm，则EF的长为( )A.7 cmB.14 cmC.17 cmD.34 cmC概念 有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，两条射线是角的边，公共端点是角的顶点.角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形角的 度量 (1)1周角＝③ 平角＝④ 直角；(2)1°＝⑤ '，1'＝⑥ ″考点2角的有关概念及运算246060角平 分线如图，若⑦ ，则射线OC是∠AOB的平分线；若射线OC是∠AOB的平分线，则⑧ . ∠AOC＝∠BOC＝∠AOB∠AOC＝∠BOC＝∠AOB例3 如图，∠BOD＝120°，∠COD是直角，OC平分∠AOB.求∠AOB的度数.解：∵∠BOD＝120°，∠COD是直角，∴∠BOC＝∠BOD－∠COD＝120°－90°＝30°.∵OC平分∠AOB，∴∠AOB＝2∠BOC＝60°.变式3 如图，已知轮船A在灯塔P的北偏西20°的方向上，轮船B在灯塔P的南偏东80°的方向上.轮船C在∠APB的平分线上，则轮船C在灯塔P的 方向上.北偏东40°余角 (1)定义：如果两个角的和等于⑨ °，那么这两个角互为余角；(2)性质：同角(等角)的余角⑩ . 补角 (1)定义：如果两个角的和等于 °，那么这两个角互为补角；(2)性质：同角(等角)的补角 . 考点3 余角与补角的概念及性质90相等180相等例4 已知∠α与∠β互为补角，若∠α＝130°，则∠β的余角的度数是 .40°例5 一副三角尺按图中的四个位置摆放，其中∠α和∠β互为余角的是( )B变式5 如图，将三个大小不同的正方形的一个顶点重合放置，则α，β，γ三个角的数量关系为( )A.α＋β＋γ＝90°B.α＋β－γ＝90°C.α－β＋γ＝90°D.α＋2β－γ＝90°C考点4 相交线的有关概念与性质相交线 如图，直线AB，CD相交于点O.(1)∠1和∠2有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角；(2)∠1和∠3有一个公共顶点，并且∠1的两边分别是∠3的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为 .对顶角 . 对顶角相等垂线与垂线段 (1)如图，当两条直线a，b相交所成的四个角中，有一个角是 时，称a与b互相垂直； (2)在同一平面内，过一点有且只有 直线与已知直线垂直；(3)连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段 ；(4)直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫作点到直线的距离直角一条最短三线 八角 如图，两条直线被第三条直线所截.(1)同位角：∠1与∠5，∠2与 ，∠4与 ，∠3与 ；(2)内错角：∠2与 ，∠3与 ；(3)同旁内角：∠2与 ，∠3与 . ∠6∠8∠7∠8∠5∠5∠8例6 一把剪刀如图所示，在使用过程中，若∠COD增加20°，则∠AOB( )A.减少20°B.增加20°C.不变D.增加40°B变式6 如图，直线AB，CD交于点E，EF⊥AB，如果∠BED＝32°，那么∠CEF的度数为( )A.29°B.32°C.45°D.58°D例7 如图，点A，B，C是直线l上的三点，点P在直线l外，PA⊥l，垂足为A，PA＝4 cm，PB＝6 cm，PC＝5 cm，则点P到直线l的距离是( )A.6 cmB.5 cmC.4 cmD.3 cmC变式7 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是( )A.3B.2.5C.2.4D.2C考点5 平行线的性质与判定重点平行线 在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线平行公理 经过直线外一点有且只有 直线与这条直线平行平行公理的推论 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相 . (如果a∥b，b∥c，那么a∥c)一条平行平行线的 判定与性质 (1)同位角 两直线平行；(2)内错角 两直线平行；(3)同旁内角 两直线平行平行线间的距离 两条平行线间的距离处处相等相等相等互补例8 (2025自贡)如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板.若∠1＝115°，则∠2的度数为( )A.75°B.90°C.100°D.115°D变式8 如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G，若∠ABE＝130°，∠CDF＝150°，则∠EGF的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°C例9 (2025威海)如图，直线CF∥DE，∠ACB＝90°，∠A＝30°.若∠1＝18°，则∠2等于( )A.42°B.38°C.36°D.30°A变式9 (2025凉山州)如图，DF∥AB，∠BAC＝120°，∠ACE＝100°，则∠CED＝( )A.30°B.40°C.60°D.80°B作法一：构造平行线 作法二：构造三角形 角度关系∠ABE＋∠DCE＝∠BEC∠ABE＋∠DCE＋∠BEC＝360°∠ABE－∠DCE＝∠BEC例10 如图，已知∠1＝∠2，BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F.(1)求证：AD∥BC；证明：∵BD⊥CD于点D，EF⊥CD于点F，∴∠BDC＝∠EFC＝90°.∴BD∥EF.∴∠3＝∠2.∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠3.∴AD∥BC.(2)若∠1＝36°，求∠BEF的度数.解：∵∠1＝36°，∠1＝∠2，∴∠2＝36°.∴∠BEF＝180°－∠2＝180°－36°＝144°.考点6 命题与定理命题 判断一件事情的语句叫作命题，命题由题设和结论两部分组成真命题 如果条件成立，结论一定成立的命题假命题 如果条件成立，不能保证结论一定成立的命题互逆 命题 两个命题中，如果一个命题的题设和结论是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫作互逆命题.其中一个命题叫作原命题，另一个命题叫作它的逆命题反例 要说明一个命题是假命题，可以举出一个例子，使它符合命题的题设但不满足结论例11 下列语句属于真命题的是( )A.a，b，c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥cB.a，b，c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D.两个锐角的和是钝角A变式11 判断命题“若a＞b，则a·c2＞b·c2”是假命题，只需要举出一个反例，反例中的c可以是( )A.2 B.0C. D.－5B1.(2025广安)若∠A＝25°，则∠A的余角为( )A.25° B.65°C.75° D.155°B123456789101112131415162.(2025南充)如图，把含有60°的直角三角尺斜边放在直线l上，则∠α的度数是( )A.120°B.130°C.140°D.150°D123456789101112131415163.(2025广西)在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短距离)，依据的数学原理是 ( )A.垂线段最短B.两点确定一条直线C.两点之间，线段最短D.两直线平行，内错角相等A123456789101112131415164.(2025陕西)如图，点O在直线AB上，OD平分∠AOC.若∠1＝52°，则∠2的度数为 ( )A.76°B.74°C.64°D.52°A123456789101112131415165.(2025乐山)如图，两条平行线a，b被第三条直线c所截.若∠1＝70°，则∠2＝( )A.130°B.110°C.90°D.70°D123456789101112131415166.(2025达州)如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F.若∠1＋∠2＝35°，则∠AFB的度数为( )A.35°B.55°C.70°D.145°A123456789101112131415167.(2025辽宁)如图，点C在∠AOB的边OA上，CD⊥OB，垂足为D，DE∥OA.若∠EDB＝40°，则∠ACD的度数为( )A.50°B.120°C.130°D.140°C123456789101112131415168.如图，点C在线段AB上，点D为线段BC的中点.若AB＝14 cm，BD＝3 cm，则线段AC的长为 cm.8123456789101112131415169.将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，两直角顶点重合于点A.若∠CAD＝22°，则∠BAE的度数为 .158°1234567891011121314151610.(2025北京)能说明命题“若a2＞4b2，则a＞2b”是假命题的一组实数a，b的值为a＝ ，b＝ . －31(本题答案不唯一)1234567891011121314151611.(2025江西)如图，已知点C在AE上，AB∥CD，∠1＝∠2.求证：AE∥DF.证明：∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠ACD＝∠2.∴AE∥DF.1234567891011121314151612.(2025甘肃)如图1，三根木条a，b，c相交成∠1＝80°，∠2＝110°，固定木条b，c，将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示，使木条a与木条b平行，则可将木条a旋转( )A.30°B.40°C.60°D.80°A1234567891011121314151613.如图，将一张矩形纸条按如图所示的方式折叠，若∠ABC＝130°，则∠1＝ °.651234567891011121314151614.已知射到平面镜上的光线(入射光线)和反射后的光线(反射光线)与平面镜所夹的角相等.如图，淇淇同学将支架平面镜放置在水平桌面b上，镜面AB与水平面b的夹角∠ABC＝50°，激光笔发出的光束PD射到平面镜上.若激光笔与水平天花板a的夹角∠EFD＝20°，反射光束为DE，则反射光束与平面镜的夹角∠ADE的度数为 .70°1234567891011121314151615.仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，小乐同学做仰卧起坐时的一个状态如图1所示，已知AB∥CG，AC∥DE.(1)求证：∠CAB＝∠CDE.证明：∵AB∥CG，∴∠CAB＋∠ACD＝180°.∵AC∥DE，∴∠CDE＋∠ACD＝180°.∴∠CAB＝∠CDE.12345678910111213141516(2)当小乐同学在做仰卧起坐的某个瞬间，她腿部的某个位置M与脚后跟D的连线恰好平分∠CDE，如图2所示.若∠FAB＝3∠MDE，求∠MDG的度数.解：∵∠CAB＝∠CDE，∠CAB＋∠BAF＝∠CDE＋∠EDG＝180°，∴∠BAF＝∠EDG.∵MD平分∠CDE，∴∠MDE＝∠CDM.设∠MDE＝α，则∠CDM＝α，∠BAF＝3∠MDE＝3α.12345678910111213141516∴∠EDG＝3α.∴α＋α＋3α＝180°.解得α＝36°.∴∠CDM＝36°.∴∠MDG＝180°－36°＝144°.1234567891011121314151616. 已知点A，B，P为数轴上三点，我们规定：若点P到点A的距离是点P到点B的距离的K倍，则称P是A，B的“K倍点”，记作P[A，B]＝K.例如，若点P表示的数为0，点A表示的数为－2，点B表示的数为1，则P是[A，B]的“2倍点”，记作P[A，B]＝2.(1)如图，A，B，P为数轴上三点，回答下面问题：①P[B，A]＝ ；412345678910111213141516②若点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，求点D表示的数.解：∵点D是数轴上一点，且D[A，B]＝2，∴DA＝2DB.∵点A表示的数为－1，点B表示的数为5，∴AB＝5－(－1)＝6.12345678910111213141516当点D在线段AB上时，DA＝AB，点D表示的数为－1＋×6＝3；当点D在线段AB的延长线上时，DA＝2AB，点D表示的数为－1＋2×6＝11.∴点D表示的数为3或11.12345678910111213141516(2)在数轴上，点E表示的数为－5，点F表示的数为25，点M，N为线段EF上的两点，且M[E，N]＝3，N[F，M]＝2，求线段MN的长.解：∵点E表示的数为－5，点F表示的数为25，∴EF＝25－(－5)＝30.∵M[E，N]＝3，N[F，M]＝2，∴ME＝3MN，NF＝2MN.设MN＝x，则ME＝3x，NF＝2x.点M，N在线段EF上的位置分两种情况：12345678910111213141516当点M在N的左边时，如图.∴3x＋x＋2x＝30.解得x＝5.∴MN＝5.当点M在N的右边时，如图.∴3x－x＋2x＝30.解得x＝7.5.∴MN＝7.5.综上，MN的长为5或7.5.12345678910111213141516(共16张PPT)第四章 几何初步与三角形核心微专题6 相似三角形模型模型 模型分析 图示 结论A字、8字型 两个三角形若有“一个公共角＋一组等角”，则出现“A”字型相似； 两个三角形若有“一组对顶角＋一组等角”，则出现“8”字型相似 △ADE∽△ABC模型 模型分析 图示 结论母子型 共边共角 两个三角形有“一公共角”，只需要再找一组角相等，即可构成相似 △ACD∽△ABC双垂直 图1：△ABD∽△CBA∽△CAD图2：△CED∽△CBA模型 模型分析 图示 结论一线 三等角型 一条直线上有三个相等的角，利用三角形的外角即可求出另外一组角相等 △ABC∽△CDE旋转型(手拉手型) 等角的顶点重合且等角的两边对应成比例的两个三角形旋转，得相似三角形模型 模型分析 图示 结论对角互补型 四边形的对角互补，过顶点向角两边作垂线，得到一组直角和另一组等角，得相似三角形 △DME∽△DNF△DEA∽△DFC1.如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AE＝4，则AC＝( )A.6B.8C.10D.121234567C2.如图，在 ABCD中，E是CD边上一点，AE与BD交于点F，若DE＝2EC，则的值为( )A.B.C.2D.3B12345673.如图，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，D为AC的中点，过点D作DE⊥AB，交AB于点E，则DE的长为( )A.B.C.2D.2A12345674.(2025自贡)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO平移，得到△EFG，点E，F在坐标轴上.若∠A＝90°，tanB＝，A(－4，3)，则点G坐标为( )A.(11，－4)B.(10，－3)C.(12，－3)D.(9，－4)B12345675.(2025广元节选)如图，△ABC和△ADE中，∠C＝90°，AE·AB＝AD·AC，∠CAD＝∠EAB，求∠E的度数.解：∵∠CAD＝∠EAB，∴∠CAD＋∠DAB＝∠EAB＋∠DAB，即∠CAB＝∠DAE.∵AE·AB＝AD·AC，∴＝.1234567∴△ADE∽△ABC.∴∠E＝∠C.∵∠C＝90°，∴∠E＝90°.12345676.如图，在△ABC中，AB＝AC，P为边BC上一动点(不与点B，C重合)，连接AP，过点P作射线PM交AC于点M，使∠APM＝∠B.求证：△ABP∽△PCM.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.在△ABP中，∠APC＝∠B＋∠BAP，∠APM＝∠B，∠APC＝∠APM＋∠CPM，∴∠BAP＝∠CPM.∴△ABP∽△PCM.12345677.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，延长ED，交AB的延长线于点F.求证：(1)DF2＝AF·BF；证明：∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠ABD＝90°，∠ABD＋∠C＝90°.∴∠BAD＝∠C.∵AD⊥BC，E是AC的中点，∴CE＝DE.∴∠C＝∠CDE.∵∠CDE＝∠BDF，∴∠C＝∠BDF.1234567∵∠BAD＝∠C，∴∠BAD＝∠BDF.又∠F＝∠F，∴△BDF∽△DAF.∴＝.∴DF2＝AF·BF.1234567(2)＝.证明：由(1)知，△BDF∽△DAF.∴＝.∵AD⊥BC，∠BAC＝90°，∴∠ADB＝∠BAC＝90°.∵∠ABD＋∠BAD＝∠DAC＋∠BAD，∴∠ABD＝∠DAC.1234567又∠ADB＝∠CDA，∴△BDF∽△DAF.∴＝.∴＝.1234567(共34张PPT)第四章 几何初步与三角形第25课时 锐角三角函数人教：九下P60～P74；华师：九上P99～P111；北师：九下P1～P19.考点1 锐角三角函数如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B， ∠C所对的边分别为a，b，c 正弦余弦正切例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝15，则cos A的值为( )A. B.C. D.A变式1-1 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，sin B＝，AC＝12，则AB的长是 .15变式1-2 如图，点A为∠B边上任意一点，过点A作AC⊥BC于点C，过点C作CD⊥AB于点D，下列用线段比表示tan B的值中，错误的是( )A. B.C. D.D变式1-3 如图，点A，B，C都是正方形网格的格点，连接BA，CA，则∠BAC的正弦值为( )A.B.C.D.2B考点2 特殊角的三角函数值示意图α 30° 45° 60°sin α ⑦ . cos α ⑧ . ⑨ . tan α ⑩ . 1 . 例2 计算：(1)2＋tan 45°；解：原式＝2×＋1＝－1＋1＝.(2)sin245°－cos 30°·tan 60°.解：原式＝－×＝－＝－1.变式2 已知在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且＋｜tan B－1｜＝0，则∠C＝ .75°考点3 解直角三角形解直角三角形的常用关系a2＋b2＝c2∠A＋∠B＝90°同角三角函数之间的关系：(1)平方关系：sin2A＋cos2A＝1；(2)商数关系：＝tan A.例3 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，解这个直角三角形.解：∵∠C＝90°，AC＝2，BC＝6，∴AB＝＝4.∵tan B＝＝＝，∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°.变式3-1 如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，tan C＝，AB＝6，则BC的长为 .9＋3变式3-2 如图，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为边AB上的点，将△CAD绕点C逆时针旋转得到△CBE.当AD＝2DB时，求tan∠CEB的值.解：如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F.∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝∠ACF＝∠BCF＝45°.设BD＝a，则AD＝2a.∴AF＝BF＝CF＝a.∴DF＝BF－BD＝a.又△CBE≌△CAD，∴∠CEB＝∠CDA.∴tan∠CEB＝tan∠CDA＝＝＝3.1.(2025云南)在Rt△ABC中，∠C＝90°.若AB＝13，BC＝5，则sin A＝( )A. B.C. D.12345678910111213D2.(2025天津)tan 45°－cos 45°的值等于( )A.0 B.1C.1－ D.1－A123456789101112133.在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝2BC，则cos A的值是( )A. B.2C. D.D123456789101112134.若∠A是锐角三角形ABC的内角，sin A＝，则tan A的值是 ( )A. B.C. D.C123456789101112135.计算：sin 45°－cos 45°＝ .6.若tan A＝，则锐角∠A＝ °.030123456789101112137.如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点.已知A，B，C三点都在格点上，则sin∠ABC＝ .123456789101112138.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，若AC＝3，CD＝2.5，则cos A的值是 .123456789101112139.(2025乐山)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝60°，AC＝2.(1)求AB的长；解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADC＝∠ADB＝90°.∵在Rt△ADC中，∠ACB＝60°，AC＝2，∴CD＝AC·cos∠ACD＝1，AD＝AC·sin∠ACD＝.∵在Rt△ADB中，∠B＝45°，∴∠DAB＝90°－∠B＝45°＝∠B.∴BD＝AD＝.∴AB＝＝.12345678910111213(2)求点C到线段AB的距离.解：如图，过点C作CE⊥AB于点E.∵CD＝1，BD＝，∴BC＝BD＋CD＝＋1.∵∠B＝45°，∴在Rt△BCE中，CE＝BC·sin B＝.∴点C到线段AB的距离为.1234567891011121310.如图，矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D分别在直线l3，l4，l2，l1上.若直线l1∥l2∥l3∥l4且间距相等，AB＝4，BC＝2，则tan α的值为 .1234567891011121311.若△ABC是直角三角形，AB＝2，tan∠ABC＝，则AC的长为 .2或1234567891011121312.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD＝∠C，tan C＝，BD＝3，求线段CD的长.解：∵AD⊥AC，∴∠DAC＝90°.∵tan C＝，∴＝.∵∠BAD＝∠C，∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBA.12345678910111213∴＝＝＝.∴BC＝2AB，AB＝2BD.∴BC＝4BD＝12.∴CD＝BC－BD＝9.1234567891011121313.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，BC＝8，AC＝2，sin∠DAC＝.(1)求BD的长；解：∵AD∥BC，∠BCD＝90°，∴∠ADC＝180°－∠BCD＝90°.∵在Rt△ADC中，AC＝2，12345678910111213sin∠DAC＝，∴CD＝AC·sin∠DAC＝2×＝6.在Rt△BCD中，BC＝8，CD＝6，由勾股定理，得BD＝＝＝10.12345678910111213(2)求∠ABD的正切值.解：由(1)，得CD＝6，BD＝10.∴AD＝＝＝2，cos∠DBC＝＝＝.如图，过点A作AE⊥BD，垂足为E.∴∠AEB＝∠AED＝90°.12345678910111213∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠DBC.∴cos∠ADE＝cos∠DBC＝.12345678910111213∵在Rt△AED中，AD＝2，cos∠ADE＝，∴DE＝AD·cos∠ADE＝2×＝.∴AE＝＝＝.在Rt△AEB中，AE＝，BE＝BD－DE＝10－＝，∴tan∠ABD＝＝＝.(共29张PPT)第四章 几何初步与三角形第26课时 解直角三角形的应用人教：九下P74～P85；华师：九上P111～P124；北师：九下P19～P27.考点1 仰角、俯角如图，在视线与水平线所夹的锐角中，视线在水平线上方的角叫作仰角，视线在水平线下方的角叫作俯角例1 (2025成都)在综合与实践活动中，某学习小组用无人机测量校园西门A与东门B之间的距离.如图，无人机从西门A处垂直上升至C处，在C处测得东门B的俯角为30°，然后沿AB方向飞行60 m到达D处，在D处测得西门A的俯角为63.4°.求校园西门A与东门B之间的距离.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 63.4°≈0.89，cos 63.4°≈0.45，tan 63.4°≈2.00，≈1.73)解：由题意，得∠CAB＝∠ACD＝90°，∠ABC＝30°，CD＝60.在Rt△ACD中，AC＝CD·tan 63.4°≈120；在Rt△ABC中，AB＝≈120≈207.6.答：校园西门A与东门B之间的距离约为207.6 m.变式1 (2025遂宁)在综合实践活动中，为了测得摩天轮(如图)的高度CF，在A处用高为1.6 m的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角α＝37°，再向摩天轮方向前进30 m至B处，又测得摩天轮顶端C的仰角β＝50°.求摩天轮CF的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75，sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19)解：如图，延长DE交CF于点H，则有EH⊥CF.∵∠EHF＝∠EBA＝∠BFC＝90°，∴四边形EBFH是矩形.同理，四边形DEBA，DAFH都是矩形.∴ED＝AB＝30 m，HF＝AD＝1.6.设CH＝r.∴DH＝EH＋ED＝EH＋30.在Rt△CDH中，tan∠CDH＝，即tan 37°＝.∴(30＋EH)×0.75＝r.整理，得EH＝r－30.在Rt△CEH中，tan∠CEH＝，即tan 50°＝.∴1.19＝.整理，得EH＝.∴＝r－30.解得r≈60.85.则CF＝CH＋HF＝60.85＋1.6≈62.5 (m).考点2 坡度、坡角如图，坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫作坡度(坡比)，用字母i表示；坡面与水平线的夹角α叫作坡角，i＝tan α＝ . 例2 如图，河堤横断面迎水坡AB的坡比为1∶3，堤高BC＝6 m，则坡面AB的长度是( )A.8 mB.18 mC.2 mD.6 mD变式2 如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道AB的上方进行跟踪拍摄，无人机伴随运动员水平向右飞行，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为45°的斜上方C处，当运动员到达地面点B时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知AB的坡度为1∶且长为300 m，无人机飞行距离CD为60 m，则无人机离地面高度BD的长约为 m.(参考数据：≈1.7)345考点3 方位角如图，指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫作方位角例3 如图，码头A在码头B的正东方向，一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，已知码头A与小岛C的距离是20 n mile，则码头B与小岛C的距离是 n mile.(结果保留根号)20例4 一把圆规的平面示意图如图所示.已知OA＝OB＝m，夹角∠AOB＝2α，则圆规画出的圆的半径AB长是( )A.2msin αB.2mtan αC.msin 2αD.mtan 2α考点4 其他问题A变式4 小媛研究光的折射现象，了解到当光从空气射入介质时，折射率n＝(i为入射角，r为折射角).如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直AC边的方向射出，若i＝30°，AB＝20 cm，BC＝5 cm，则该玻璃透镜的折射率n为( )A.2B.1.6C.1.5D.1.4A1.(2025长春)如图，已知某山峰的海拔高度为m m，一位登山者到达海拔高度为n m的点A处，测得山峰顶端B的仰角为α，则A，B两点之间的距离为( )A.(m－n)sin α mB. mC.(m－n)cos α mD. m12345678B2.(2025浙江)无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向.如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障.测得A处到P处的距离为500 m，从点A观测点P的仰角为α，cos α＝0.98，则A处到B处的距离为 m.490123456783.(2025眉山)人字梯为现代家庭常用的工具.如图，若AB，AC的长都为2 m，当α＝65°时，人字梯顶端离地面的高度是 m.(结果精确到0.1 m，参考依据：sin 65°≈0.91，cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)1.8123456784.(2025内蒙古)如图，因地形原因，湖泊两端A，B的距离不易测量，某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°，测得B点的俯角为30°(A，B，C三点在同一竖直平面内)，则湖泊两端A，B的距离为 m.(结果保留根号)120123456785.(2025绥化)如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度i＝1∶(斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比)，堤坝高BC＝15 m，则迎水坡面AB的长度是 .15 m123456786.(2025广元)为传承红色文化，广元人民在“九华岩战斗遗址”修建了纪念塔.该塔由基座、塔身和塔顶五角星三部分构成(如图1).小刚想知道塔顶五角星的高度，进行了如下测量(如图2)：他站在与塔底同一水平面的点E处，测得五角星最高点A的仰角∠ACD＝74°，最低点B的仰角∠BCD＝73°，点E到塔底中心O的距离OE为15 m.求五角星高度AB大约是多少米.(结果保留整数，参考数据：tan 74°≈3.49，tan 73°≈3.27)12345678解：如图，设射线CD与OA相交于点F.由题意可知，CD⊥OA，CD⊥CE，OE⊥CE，OE＝15，∴四边形OECF为矩形.∴CF＝OE＝15.在Rt△ACF中，∠ACF＝∠ACD＝74°.∵tan∠ACF＝，∴AF＝CF·tan 74°≈15×3.49＝52.35.12345678在Rt△BCF中，∠BCF＝∠BCD＝73°.∵tan∠BCF＝，∴BF＝CF·tan 73°≈15×3.27＝49.05.∵点A，B在同一直线OA上，∴AB＝AF－BF≈52.35－49.05＝3.3≈3.答：五角星高度AB大约是3 m.123456787.(2025凉山州)某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，如图1，货物M与点O的连线MO恰好平行于地面，BM＝3 m，∠BOM＝18.17°.(参考数据：sin 18.17°≈0.31，cos 18.17°≈0.95，tan 18.17°≈0.33，sin 36°≈0.59，cos 36°≈0.81，tan 36°≈0.73，结果精确到1 m)12345678(1)求直吊臂OB的长；解：由题意，得BM⊥OM.∵∠BOM＝18.17°，BM＝3，∴在Rt△BOM中，OB＝≈≈10.答：直吊臂OB的长约为10 m.12345678(2)如图2，直吊臂OB与BM的长度保持不变，OB绕点O逆时针旋转，当∠OBM＝36°时，货物M上升了多少米？解：如图2，延长BM交水平线于点F.则∠BFO＝90°.在Rt△BOF中，BF＝OB·cos∠OBF≈10×0.81＝8.1，∴MF＝BF－BM＝8.1－3＝5.1≈5.答：货物M上升了约5 m.123456788.(2025广安模拟)如图，小明为了测量小湖对岸大树BC的高度，先在点A处(点G，A，C在同一水平线上)测得大树顶端B的仰角为45°，然后沿着坡度i＝1∶的斜坡AE走6 m到达斜坡上的点D处，此时测得大树顶端B的仰角为31°，点A，B，C，D，E，G在同一平面内.12345678(1)求点D到AG的距离；解：如图，过点D作DF⊥AG于点F.在Rt△AFD中，＝，AD＝6.设DF＝x，则AF＝x.由题意，得DF2＋AF2＝AD2，即x2＋(x)2＝62，解得x＝3(负值舍去).答：点D到AG的距离为3 m.12345678(2)求大树BC的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 31°≈0.52，cos 31°≈0.86，tan 31°≈0.60，≈1.73，≈1.41)解：如图，过点D作DH⊥BC于点H.由题知，四边形DFCH是矩形，∴CH＝DF＝3.设BC＝y，则BH＝BC－CH＝y－3.在Rt△ACB中，∵∠BAC＝45°，∴AC＝BC＝y.12345678在Rt△AFD中，AF＝DF＝3，∴DH＝FC＝AC＋AF＝y＋3.在Rt△BHD中，tan∠BDH＝tan 31°＝，∴≈0.60，解得y≈≈15.3.答：大树BC的高度约为15.3 m.12345678 展开更多...... 收起↑ 资源列表 1 第19课时 线段、角、相交线和平行线.pptx 10 核心微专题6 相似三角形模型.pptx 11 第25课时 锐角三角函数.pptx 12 第26课时 解直角三角形的应用.pptx 2 第20课时 三角形(多边形)的基础知识.pptx 3 第21课时 全等三角形.pptx 4 第22课时 等腰三角形.pptx 5 第23课时 直角三角形(含勾股定理).pptx 6 核心微专题3 与中点有关的辅助线作法.pptx 7 核心微专题4 与角平分线有关的辅助线作法.pptx 8 核心微专题5 全等三角形模型.pptx 9 第24课时 相似三角形(含位似).pptx
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