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(共12张PPT)
第六章　圆
核心微专题10 求与圆有关的阴影部分面积的常用方法
直接 和差法 图形
计算方法 S阴影＝S扇形AOB－S△AOB S阴影＝S△ACB－S扇形CAD S阴影＝S扇形BAD－S半圆AB S阴影＝S扇形EAF－S△ADE
构造 和差法 图形 计算方法 S阴影＝S扇形AOC＋S△BOC S阴影＝S△ODC－S扇形DOE S阴影＝S扇形BOE＋S△OCE－S扇形COD 等积 变换法 图形 平行 对称 旋转 平移

转化后 图形
计算 方法 S阴影＝ S扇形COD S阴影＝S△ACD S阴影＝S扇形BOC S阴影＝
S正方形BCFE
1.如图，在边长为1的等边三角形ABC中，以顶点A为圆心，一定长为半径画弧，恰与底边BC相切，且分别交AB，AC于点D，E，则图中阴影部分的面积是(　　)
A.－ B.－
C.－ D.
A
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7
2.如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，若BC＝4，则阴影面积
为.
　　
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7
3.如图，边长为6的正六边形ABCDEF内接于☉O，则图中阴影部分的面积为　　.(结果保留π)
6π
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7
4.如图，在矩形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD＝2，则图中阴影部分的面积
为　　　　　.
　4－2π　
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7
5.如图，在△ABC中，已知AB＝4，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点B经过的路径为，求图中阴影部分的面积.
解：由旋转的性质，知
S△ABC＝S△ADE，∠BAD＝40°.
∴S阴影＝S△ADE＋S扇形BAD－S△ABC＝S扇形BAD
＝＝π.
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7
6.如图，在菱形ABCD中，以点A为圆心，AB为半径画弧，交线段AD于点D，以AB为直径画半圆，交线段AD于点E.若AB＝6，∠DAB＝60°，求图中阴影部分的面积.
解：如图，作半圆的圆心O，连接EO，并作EH⊥AB于点H.
∵AB＝6，
∴AO＝BO＝EO＝3.
∵∠DAB＝60°，
∴S扇形DAB＝×62×π＝6π，△EAO为等边三角形.
∴∠EOA＝60°.∴∠EOB＝120°.
1
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∴S扇形EOB＝×32×π＝3π.
∵EH⊥AB，∴AH＝HO＝.
在Rt△EHO中，由勾股定理，得
EH＝＝.
∴S△AEO＝×3×＝.
∴S阴影＝S扇形DAB－S扇形EOB－S△AEO＝6π－3π－＝3π－.
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7
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，BC＝6，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点D，以点D为圆心，CD的长为半径画弧，交AB于点F，交于点H，求图中阴影部分的面积.
解：如图，连接HC，HD.
在Rt△ACB中，
∠ACB＝90°，
∠B＝30°，BC＝6，
∴AC＝BC·tan 30°＝2，∠CAB＝60°.
∴AB＝2AC＝4.
∵CH＝CD＝CE＝CA＝DH＝2，
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7
∴△CHD，△ACE是等边三角形.
∴∠DCH＝∠CDH＝∠ACE＝60°.
∴∠ACH＝∠HCE＝∠DCE＝30°.
∴S阴影＝S扇形ECH＋(S扇形CDH－S△CDH)
＝＋－×2×2×＝3π－3.
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7(共34张PPT)
第六章　圆
人教：九上P105～P125；华师：九下P58～P76；
北师：九下P97～P102.
第32课时 与圆有关的计算
考点1　 正多边形与圆
图示
中心 正多边形的外接圆的圆心叫作这个正多边形的中心
半径 外接圆的半径叫作正多边形的半径
中心角 正n边形每一边所对的圆心角叫作正n边形的中心角，其中θ＝
边心距 中心到正多边形的一边的距离叫作正多边形的边心距，其中r＝
面积 S＝lr＝nar(l为正n边形的周长)
例1 如图，A，B，C，D是一个正多边形相邻的四个顶点，若∠CAD＝15°，则这个多边形的边数为(　　)
A.8 B.9
C.10 D.12
D
变式1-1 如图，正六边形ABCDEF内接于☉O，若☉O的周长是6π，则正六边形的边长是 　.
3
变式1-2 如图，五边形ABCDE是☉O的内接正五边形，直线HG与☉O相切于点B，则∠CBG＝　　°.
36
例2 如图，正方形ABCD内接于☉O，P为上的一点，连接DP，CP.
(1)求∠CPD的度数；
解：如图，连接OD，OC.
∵正方形ABCD内接于☉O，
∴∠DOC＝90°.
∴∠CPD＝∠DOC＝45°.
(2)当P为的中点时，CP是☉O的内接正n边形的一边，求n的值.
解：如图，连接PO，OB.
∵正方形ABCD内接于☉O，
∴∠COB＝90°.
∵P为的中点，∴＝.
∴∠COP＝∠COB＝45°.
∴n＝360°÷45°＝8.
考点2　 弧长、扇形面积计算　 重点
图示
弧长 在半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长l＝① 。
扇形面积 (1)若扇形的半径为r，圆心角为n°，则扇形的面积公式为S＝
② ；
(2)若扇形的弧长为l，半径为r，则扇形的面积公式为S＝③
　　
　　
　lr　
例3 (1)如图，在☉O中，∠C＝30°，OA＝2，则的长为.
　π　
(2)如图，已知圆心角为90°的扇形AOB的面积为4π，C为上一点，D，E分别为OA，OB上的点，连接CD，CE，DE.若四边形ODCE为矩形，则DE的长是(　　)
A.2
B.2
C.4
D.2
C
变式3-1 已知圆弧所对圆心角的度数为80°，弧长为8π，则圆弧的半径为　　.
变式3-2 现在从一块直径为8 cm的圆形玉料中刻出一个如图所示的扇形玉佩(A，B，C在圆上，且∠ABC＝90°)，则这个扇形玉佩的面积是(　　)
A.4π cm2
B.8π cm2
C.16π cm2
D.16π cm2
18
B
例4 (2025成都)如图，☉O的半径为1，A，B，C是☉O上的三个点.若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为.
　　
变式4-1 (2025烟台)如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为.
　－8　
变式4-2 (2025徐州)如图，☉O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB.
(1)判断直线CD与☉O的位置关系，并说明理由；
解：直线CD与☉O相切.理由如下：如图，连接OC.
∵△ABC是正三角形，
∴∠A＝∠ACB＝∠ABC＝60°.
∵O为正三角形ABC的外接圆的圆心，
∴O也是正三角形ABC的内接圆的圆心.
∴OC平分∠ACB.
∴∠OCB＝∠ACB＝30°.
∵CD∥AB，∴∠BCD＝∠ABC＝60°.
∴∠OCD＝∠OCB＋∠BCD＝30°＋60°＝90°.
∵OC是半径，∴直线CD与☉O相切.
(2)若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积.
解：如图，连接OB，作OH⊥BC于点H.
∵∠A＝60°，∴∠BOC＝2∠A＝120°.
∴S扇形BOC＝＝＝π.
∵OH⊥BC，∠OCB＝30°，
∴OH＝OC＝1，BC＝2CH.
∴CH＝＝＝.
∴BC＝2CH＝2.
∴S△OBC＝BC·OH＝×2×1＝.
∴S阴影＝S扇形BOC－S△OBC＝π－.
考点3　 圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个半径为l，弧长等于圆锥底面周长的扇形.圆锥的侧面积＝④　　.　

πrl
例5 用一个圆心角为120°，半径为4的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为.
变式5 若一个圆锥的高为1，母线长为2，则这个圆锥的侧面积是(　　)
A.π B.2π
C.2π D.4π
　　
C
1.如图，正八边形内接于☉O，连接OA，OB，则∠AOB的度数为(　　)
A.55°
B.50°
C.45°
D.40°
C
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11
2.圆心角为120°，半径为3的扇形的面积为(　　)
A.π B.3π
C.6π D.9π
B
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11
3.(2025绥化)在☉O中，如果75°的圆心角所对的弧长是2.5π cm，那么☉O的半径是(　　)
A.6 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
A
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11
4.(2025广安)如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为90°的扇形，若圆锥的母线长为5，则该圆锥的底面圆的半径为(　　)
A. B.
C. D.5
A
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5.(2025凉山州)如图，△ABC内接于☉O，∠B＝65°，∠C＝70°.若BC＝2，则的长为　　.
π
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6.(2025山西改编)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心，BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC＝4，则图中阴影部分的面积为　 　　.
4π－8
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11
7.如图，△ABC内接于☉O，直径BD交AC于点E，过点D作☉O的切线，交BC的延长线于点P.已知BE＝BC，∠P＝50°.
(1)求∠ACB的度数；
解：根据题意，得∠BDP＝90°.
∵∠P＝50°，
∴∠DBP＝40°.
∵BE＝BC，
∴∠BEC＝∠BCE＝70°，即∠ACB＝70°.
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(2)若BD＝6，求的长.
解：如图，连接AD，AO.
根据题意，得∠BAD＝90°.
∵∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠ABD＝20°.
∴∠AOD＝2∠ABD＝40°.
∵BD＝6，∴OD＝3.
∴的长为＝π.
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8.(2025苏州)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离)，圆心O到MN的距离为68 m，摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发，10 min后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径(即)长度为　　　m.(结果保留π)
40π
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9.(2025德阳)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形，它在我们的日常生活中应用比较广泛，例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图，分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分).如果AB＝1，那么这个等宽曲线的周长是　　.
π
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10.(2025资阳)如图，在正六边形ABCDEF中，AB＝2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是　　　.
　4－　
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11
11.(2025内江节选)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，点O是边AB上一点，以点O为圆心、OB长为半径作圆，☉O恰好经过点D，交AB于点E.
(1)求证：直线AC是☉O的切线；
证明：如图，连接OD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠OBD＝∠CBD.
∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD.
∴∠ODB＝∠CBD.∴OD∥BC.
∵∠C＝90°，∴∠ODA＝∠C＝90°.
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∴OD⊥AD.
∵OD是☉O的半径，
∴直线AC是☉O的切线.
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(2)若点E为AO的中点，AD＝3，求阴影部分的面积.
解：∵E为AO的中点，∴OA＝2OE.
∵OD＝OE，∴OA＝2OD.
由(1)，得∠ODA＝90°.
在Rt△ADO中，cos∠AOD＝＝.
∴∠AOD＝60°.
∴OD＝＝＝.
∴S阴影＝S△AOD－S扇形DOE＝×3×－＝.
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11(共17张PPT)
第六章　圆
核心微专题9　切线的判定
类型1　 利用等角代换证切线
1.(2025遂宁节选)如图，AB是☉O的直径，C是☉O上的一点，连接AC，BC，延长AB至点D，连接CD，使∠BCD＝∠A.求证：CD是☉O的切线.
证明：如图，连接OC.
∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，即∠1＋∠2＝90°.
∵OA＝OC，
∴∠A＝∠1.
∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＝∠1.
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∴∠BCD＋∠2＝90°，即∠OCD＝90°.
∴OC⊥CD.
又OC是☉O的半径，∴CD是☉O的切线.
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2.(2024资阳)如图，已知AB是☉O的直径，AC是☉O的弦，点D在☉O外，延长DC，AB相交于点E，过点D作DF⊥AB于点F，交AC于点G，DG＝DC.
(1)求证：DE是☉O的切线；
证明：如图，连接OC.
∵OA＝OC，DG＝DC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∠DGC＝∠DCG.
∵∠AGF＝∠DGC，
∴∠AGF＝∠DCG.
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又DF⊥AB，∴∠AFG＝90°.
∴∠OAC＋∠AGF＝90°.
∴∠OCD＝∠OCA＋∠DCG＝∠OAC＋∠AGF＝90°.
∵OC是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.
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(2)若☉O的半径为6，点F为线段OA的中点，CE＝8，求DF的长.
解：由(1)，知∠OCE＝90°.
又∠DFE＝90°，∠OEC＝∠DEF，
∴△OCE∽△DFE.∴＝.
∵☉O的半径为6，CE＝8.
∴OC＝OB＝OA＝6.
∴OE2＝OC2＋CE2，即OE＝＝10.
∵F为线段OA的中点，
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∴OF＝OA＝×6＝3.
∴EF＝OF＋OE＝3＋10＝13.
∴＝.∴DF＝.
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类型2　利用平行证切线
3.(2025乐山)如图，☉O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F.点C为圆外一点，连接BE，BC，CD，∠DBC＝∠DEB.
(1)求证：BC为☉O的切线；
证明：∵直径AB垂直于弦DE，
∴＝，∠AFD＝90°.
∴BE＝BD.
∴∠DEB＝∠BDE.
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∴DE∥CB.
∴∠ABC＝∠AFD＝90°，即OB⊥BC.
∵OB为☉O的半径，∴BC为☉O的切线.
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3
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5
∵∠DBC＝∠DEB，∴∠DBC＝∠BDE.
(2)若BE∥CD，tanC＝，CD＝5，求OF的长.
解：∵BE∥CD，DE∥CB，
∴四边形BCDE是平行四边形.
∴∠E＝∠C，BE＝CD＝5.
∴tan E＝tan C＝.
∵AB⊥ED，∴tan E＝＝.
设BF＝3x，则EF＝4x.
∴BE＝＝5x＝5.∴x＝1.
∴BF＝3，EF＝4.
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如图，连接OE.
设OE＝OB＝y，则OF＝y－3.
在Rt△OEF中，由勾股定理，得
OF2＋EF2＝OE2.
∴(y－3)2＋42＝y2.解得y＝.
∴OF＝－3＝.
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4.如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的☉O交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E.
(1)求证：DE是☉O的切线；
证明：如图，连接OD.
∵AB为☉O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵AC＝AB，∴DC＝BD.
∴OD是△BAC的中位线.∴OD∥AC.
∵DE⊥AC，∴OD⊥DE.
∵OD是☉O的半径，
∴DE是☉O的切线.
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(2)连接AD，若☉O的半径为5，DE＝4，求AD的长.
解：如图，过点O作OF⊥AC于点F.
∵DE⊥OD，DE⊥CF，
∴四边形ODEF为矩形.
∴EF＝OD＝OA＝5，OF＝DE＝4.
在Rt△OAF中，
AF＝＝＝3.
∴AE＝AF＋EF＝8.
在Rt△ADE中，
AD＝＝＝4.
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类型3　利用全等证切线
5.(2025济南)如图，AB是☉O的直径，C为☉O上一点，P为☉O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC.
(1)求证：PC与☉O相切；
证明：如图，连接OC.
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA.
∵OP∥AC，
∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP.
∴∠COP＝∠BOP.
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在△COP和△BOP中，
∴△COP≌△BOP(SAS).
∴∠OCP＝∠OBP＝90°.∴OC⊥PC.
∵OC是☉O的半径，
∴PC与☉O相切.
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(2)若AO＝3，OP＝5，求AC的长.
解：如图，连接BC交OP于点D.
∵△COP≌△BOP，∴PC＝PB.
又OB＝OC，∴OP垂直平分BC.
∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°，
∴在Rt△OBP中，BP＝＝＝4.
∵S△OBP＝OB·BP＝OP·BD，
∴BD＝＝＝.
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∴BC＝2BD＝.
∵AB是☉O的直径，
∴AB＝2OA＝6，∠ACB＝90°.
∴在Rt△ABC中，AC＝
＝＝.
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5(共36张PPT)
第六章　圆
人教：九上P92～P104；华师：九下P46～P58；
北师：九下P85～P96.
第31课时 与圆有关的位置关系
考点1　 点与圆的位置关系
设圆的半径为r，点到圆心的距离为d.
点的位置 d与r的关系 图示
点在圆外，如点A d①　　r
点在圆上，如点B d②　　r 点在圆内，如点C d③　　r ＞
＝
＜
例1 已知☉O的半径为6，在☉O外取一点P，连接OP，则OP的长可以是(　 )
A.2 B.4
C.6 D.8
变式1 如图，如果☉O的半径为5，那么图中到圆心O的距离为7的点可能是(　　)
A.点P B.点Q
C.点M D.点N
D
D
考点2　 直线与圆的位置关系
设☉O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d.
位置关系 相离 相切 相交
示意图
交点个数 0 1 2
d与r的关系 d④　　r d⑤　　r d⑥　　r
＞
＝
＜
例2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，判断以点C为圆心，下列r为半径的☉C与AB的位置关系：
(1)r＝2 cm；
解：如图，作CD⊥AB于点D.
∵∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，
∴AB＝＝＝5.
∵BC·AC＝CD·AB，
∴CD＝2.4 cm.
∵CD＞r，∴☉C与AB相离.
(2)r＝2.4 cm；
解：如图，作CD⊥AB于点D.
∵∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，
∴AB＝＝＝5.
∵BC·AC＝CD·AB，
∴CD＝2.4 cm.
∵CD＝r，∴☉C与AB相切.
(3)r＝3 cm.
解：如图，作CD⊥AB于点D.
∵∠C＝90°，AC＝3 cm，BC＝4 cm，
∴AB＝＝＝5.
∵BC·AC＝CD·AB，
∴CD＝2.4 cm.
∵CD＜r，∴☉C与AB相交.
考点3　 圆的切线　 重点
定义 直线与圆有唯一一个公共点，称直线与圆相切，公共点叫作切点，直线叫作圆的切线
性质 圆的切线⑦　　　过切点的半径
判定 经过半径的外端并且⑧　　　这条半径的直线是圆的切线
*切 线长 定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长⑨　　　，这一点和圆心的连线⑩　　　两条切线的夹角
垂直于
垂直于
相等
平分
例3 (2025安徽)如图，AB是☉O的弦，PB与☉O相切于点B，圆心O在线段PA上.已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为　　°.
20
变式3 (2025成都节选)如图，点C在以AB为直径的半圆O上，连接AC，BC，过点C作半圆O的切线，交AB的延长线于点D，在上取点E，使＝，连接BE，交AC于点F.求证：BE∥CD.
证明：如图，连接AE，OC.
∴OA＝OC.
∴∠OAC＝∠OCA.
∵CD为半圆O的切线，
∴OC⊥CD.∴∠BCD＋∠OCB＝90°.
∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠OCA＋∠OCB＝90°.
∴∠OCA＝∠BCD.∴∠CAB＝∠BCD.
∵＝，∴∠CAE＝∠CAB＝∠BCD.
∵∠CAB＝∠EBC，∴∠EBC＝∠BCD.
∴BE∥CD.
例4 如图，在☉O中，△ABC内接☉O，连接OB，作∠BAD＝∠C交OB延长线于点D.
求证：AD为☉O的切线.
证明：如图，连接OA，
则∠AOB＝2∠C.
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝(180°－∠AOB)＝(180°－2∠C)＝90°－∠C.
∵∠BAD＝∠C，
∴∠OAD＝∠OAB＋∠BAD＝90°－∠C＋∠C＝90°.∴OA⊥AD.
又∵OA为半径，∴AD为☉O切线.
变式4 (2025资阳)如图，☉O是△ABC的外接圆，AB是☉O的直径，∠BAC的平分线交☉O于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E.
(1)求证：DE是☉O的切线；
证明：如图，连接OD.
由题，知∠ACB＝90°，OA＝OD.
∴∠OAD＝∠ODA.
∵DE∥BC，∴∠AED＝∠ACB＝90°.
∵∠BAC的平分线交☉O于点D，
∴∠EAD＝∠BAD.
∴OD∥AE.
∴∠ODE＝180°－∠AED＝90°.
∵OD是☉O的半径，∴DE是☉O的切线.
∴∠EAD＝∠ODA.
(2)若∠BAC＝60°，CE＝，求☉O的半径.
解：如图，设OD交BC于点F.
∵∠BAC＝60°，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°.
∵CE∥DF，DE∥CF，∠E＝90°，
∴四边形CEDF为矩形.
∴∠DFC＝90°，DF＝CE＝.∴∠OFB＝90°.
设☉O的半径为r，则OB＝OD＝r，
OF＝OD－DF＝r－.
∵∠OFB＝90°，∠ABC＝30°，∴OB＝2OF.
∴r＝2(r－).∴r＝2.
∴☉O的半径为2.
证切线有关的辅助线添加方法：有切点连圆心，证垂直；无切点引垂线，证相等.
考点4　 三角形的外接圆与内切圆
三角形的 外接圆 (1)不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
(2)经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆.外接圆的圆心是三角形三条边的 　 　.　　　　　的交点，这个交点叫作三角形的 　　　.
三角形的 内切圆 与三角形三边都相切的圆叫作三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条 　　　　　的交点，这个交点叫作三角形的 　　　.
垂直平分线
外心
角平分线
内心
例5 如图，若△ABC的内切圆☉O与BC，AB，AC分别相切于点D，E，F，且AB＝AC，BC＝6，则CF的长是　 .
3
变式5-1 如图，若点O是等边三角形ABC的外心，连接AO，BO，则∠AOB的度数为　　　.
120°
变式5-2 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
(1)请用尺规作出Rt△ABC的内切圆；
解：如图，☉O即为所作.
(2)当AC＝6，BC＝8时，求此内切圆的半径.
解：设☉O的半径为r.
∵∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10.
如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F.
∵☉O为△ABC的内切圆，
∴OD＝OE＝OF＝r.
∵S△AOC＋S△AOB＋S△BOC＝S△ABC，
∴r×6＋r×10＋r×8＝×6×8.
解得r＝2.∴☉O的半径为2.
1.已知☉O的半径为4，在☉O内取一点P，连接OP，则OP的长可以是(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
A
1
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3
4
5
6
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8
9
10
11
2.若半径为5 cm的圆，其圆心到某直线的距离是4 cm，则该直线和圆的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
B
1
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4
5
6
7
8
9
10
11
3.如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上且关于直径AB对称，MN是☉O的切线，切点为B，若∠CBO＝50°，则∠DBN的大小为(　　)
A.50°　
B.40°　
C.35°　
D.25°
B
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
4.如图，AB为☉O的切线，切点为B，AC⊥AB交☉O于点C，连接OC，OB，BC.若BC＝OC＝6，则AC的长为(　　)
A.2
B.3
C.2
D.3
B
1
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5
6
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9
10
11
5.(2025德阳模拟)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则△ABC的内切圆的半径r是(　　)
A.2
B.
C.1
D.无法判断
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
C
6.(2025龙东地区)如图，PA，PB是圆O的切线，A，B为切点，AC是直径，∠BAC＝35°，∠P＝　　　.
70°
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8
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10
11
7.(2025湖北省卷)如图，☉O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°.过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交☉O于点F.过点F作☉O的切线，交CA的延长线于点G.
(1)求证：FD＝FG；
证明：∵DF⊥AB，GF是☉O的切线，即DF⊥GF，
∴AB∥GF.
∴∠BAC＝∠G＝45°.
∴∠FDG＝90°－45°＝45°，
即△DFG是等腰直角三角形.
∴FD＝FG.
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11
(2)若AB＝12，FG＝10，求☉O的半径.
解：∵DF⊥AB，
∴AE＝BE＝AB＝6.
∵∠BAC＝45°，
∴∠ADE＝90°－45°＝45°，
即△ADE是等腰直角三角形.
∴AE＝DE＝6.
由(1)，得FD＝FG＝10，
∴EF＝FD－DE＝10－6＝4.
如图，连接OA.
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11
设OE＝x，则OF＝OE＋EF＝x＋4＝OA，
∵在Rt△AOE中，OA2＝AE2＋OE2，
∴(x＋4)2＝62＋x2.解得x＝.
∴OA＝x＋4＝＋4＝.
∴☉O的半径为.
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11
8.(2025自贡)PA，PB分别与☉O相切于A，B两点，点C在☉O上，不与点A，B重合.若∠P＝80°，则∠ACB的度数为(　　)
A.50°　 B.100°　
C.130°　 D.50°或130°
D
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11
9.如图，∠AOB＝90°，P为OA上一点，且OP＝2，以点P为圆心作半径为1的☉P，将☉P绕点O顺时针旋转60°，则旋转后的☉P与射线OB的位置关系是　　　.(填“相交”“相切”或“相离”)
相切
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10. (2025北京)如图，☉O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB＝∠FOB＝23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O的切线FI所成的锐角)的大小为　　°.
43
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11.(2025成都模拟)如图，AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，且C是的中点，连接BD.过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，连接AC，BC，CD.
(1)求证：CE是☉O的切线；
证明：如图，连接OC，OD.
∵C是的中点，
∴＝.
∴∠AOC＝∠COD.
∵OA＝OC＝OD，
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∴∠A＝∠OCA＝∠OCD＝∠ODC.
∵∠CDE＝∠A＝180°－∠BDC，
∴∠CDE＝∠OCD.∴OC∥DE.
∵CE⊥BD，∴∠E＝90°.
∴∠OCE＝90°，即OC⊥CE.
∵OC是☉O的半径，
∴CE是☉O的切线.
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(2)若AC＝3，AB＝5，求CE，DE的长.
解：∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠E.
∵∠A＝∠CDE，∴△ABC∽△DCE.
∴＝＝.
∵＝，∴CD＝AC＝3.
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝4.
∴＝＝.
∴CE＝，DE＝.
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11(共12张PPT)
第六章　圆
核心微专题8　辅助圆问题
类型 模型分析 图形 结论
定点 定长 根据圆的定义，平面内点A为定点，点B为动点，AB的长为定值，点B的运动轨迹就是一个圆 点A为圆心，AB为半径
定弦 定角 根据弦、弧、角的关系，有一固定线段AB，若线段AB所对的∠C大小固定，则点C的运动轨迹就是一个圆 ∠AOB＝2∠ACB
类型 模型分析 图形 结论
定角 定高 如图，A为直线l外一点，∠A＝α(定角)，A到直线l的距离为h(定高)，过点A的两条射线与直线l交于B，C两点 当AB＝AC时，弦BC取得最
小值
四点 共圆 四边形对角互补或同一条边所对的角相等 点A，B，C，D在同一个圆上
1.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是边AB的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D，则B'D的最小值是　 　　.
　2－2　
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5
6
2.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G，连接DG.在点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为　 　　.
　2－2　
1
2
3
4
5
6
3.(2025南充改编)如图，AC为正方形ABCD的对角线，CE平分∠ACB，交AB于点E.把△CBE绕点B逆时针方向旋转90°得到△ABF，延长CE交AF于点M，连接DM，交AC于点N，则∠CMD的度数为　　　.
45°
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5
6
4.如图，在平行四边形ABCD中，∠B＝60°，BC＝2AB，将AB绕点A逆时针旋转角α(0°＜α＜270°)得到AP，连接PC，PD.当△PCD为直角三角形时，旋转角α的度数为　　　　　　.
90°或180°
1
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6
5.如图，在边长为6的等边三角形ABC中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE＝CF，连接BE，AF交于点P，连接CP，求CP的最小值.
解：由题意，得AC＝AB＝6，∠ACB＝∠CAB＝60°.
∵AE＝CF，∴△ACF≌△BAE(SAS).
∴∠CAP＝∠PBA.
∴∠EPA＝∠PBA＋∠PAB＝∠CAP＋∠PAB＝∠CAB＝60°.∴∠APB＝120°.
∴点P的运动轨迹是以点O为圆心，OA为半径的弧，如图，此时∠AOB＝120°.
连接CO交☉O于点P'，当点P运动到P'处时，CP取得最小值.
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6
∵CA＝CB，CO＝CO，OA＝OB，
∴△ACO≌△BCO(SSS).
∴∠ACO＝∠BCO＝30°，∠AOC＝∠BOC＝60°.
∴∠CAO＝∠CBO＝90°.
又AC＝6，
∴OP'＝OA＝AC·tan 30°＝6×＝2，
OC＝＝＝4.
∴CP'＝OC－OP'＝4－2＝2，
即CP的最小值为2.
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6.如图，已知正方形ABCD的边长为4，动点E，F分别在BC，CD上.若∠EAF＝45°，求△AEF面积的最小值.
解：如图，延长CB，作BG＝DF，连接AG.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADF＝∠BAD＝∠ABG＝90°.
又BG＝DF，∴△ABG≌△ADF(SAS).
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF.
∵∠EAF＝45°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°.
∴∠BAE＋∠BAG＝45°.
∴∠EAG＝∠EAF＝45°.
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又AE＝AE，∴△AEG≌△AEF(SAS).
∴S△AEF＝S△AEG.
如图，作△AGE的外接圆☉O，连接OA，
OG，OE，过点O作OH⊥GE于点H.
设☉O的半径为r.
∵∠EAG＝∠EAF＝45°，
∴∠EOG＝90°.∴∠HOG＝45°.
在Rt△OGH中，OH＝OG＝r.
∴OA＋OH＝r.
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又OA＋OH≥AB，AB＝AD＝4，
∴r≥4.∴r≥8－4.
∴当r＝8－4时，GE取得最小值，即
GE＝r＝8－8.
∴△AEG的最小面积为
GE·AB＝×(8－8)×4＝16－16.
∴△AEF的最小面积为16－16.
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6(共40张PPT)
第六章　圆
人教：九上P79～P91；
华师：九下P36～P46；
北师：九下P65～P88.
第30课时 圆的有关概念及性质
考点1　 圆的有关概念
圆 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆.固定的端点O叫作①　　　，线段OA叫作②　　　；圆的位置由圆心O确定，大小由半径r确定.圆可以看作所有到③　　 　的距离等于④　　　的点的集合

圆心
半径
定点O
定长r
弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径.⑤　 　.
是圆内最长的弦
弧 圆上任意两点间的部分叫弧，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作⑥　 　.⑦　　 半圆的弧叫优弧，⑧　　 半圆的弧叫劣弧，在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧
等圆 能够重合的两个圆是等圆
直径
半圆
大于
小于
例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，求证：A，B，C三点在同一个圆上.
证明：如图，取AB的中点O，连接OC.
∵∠C＝90°，
∴在Rt△ABC中，
OC＝OA＝OB＝AB.
∴A，B，C三点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上.
常根据圆的定义判定三点共圆.
变式1 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.
证明：如图，连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD.
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴OB＝AC，OD＝AC.
∴OB＝OA＝OC＝OD.
∴A，B，C，D四点在同一个圆上.
考点2　垂径定理及其推论
对称性 (1)圆是⑨　　　图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴；
(2)圆又是⑩　　　　　图形，圆心是它的对称中心
垂径 定理 (1)垂直于弦的直径 　　弦，并且平分弦所对的两条 　　；
(2)平分弦(不是直径)的直径 　　　这条弦，并且平分弦所对的两条 　　.
轴对称
中心对称
平分
弧
垂直于
弧
例2 如图，AB是☉O的直径，CD是☉O的弦，AB⊥CD于点E.
(1)若OE＝5，☉O的半径为13，则CD的长为　　.
24
(2)若CD＝16，BE＝4，求☉O的半径.
解：∵AB⊥CD，∴CE＝CD＝8.
设CO＝x，
则OE＝OB－BE＝x－4.
在Rt△CEO中，
∵CO2＝CE2＋OE2，
∴x2＝82＋(x－4)2.解得x＝10.
∴☉O的半径为10.
遇到弦长计算或证明时，往往是构造以半径，弦心距和半弦为三边的直角三角形，再利用勾股定理解直角三角形.
变式2 如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB＝1 m，CD＝2.5 m，则拱门所在圆的半径为(　　)
A.1.25 m
B.1.3 m
C.1.4 m
D.1.45 m
B
考点3　 弧、弦、圆心角之间的关系
图示
圆心角 顶点在圆心上的角叫作圆心角.
如图，∠AOB，∠COD
定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 　　　，所对的弦也 　　　.
结论 如图，在☉O中有三个等量关系：∠AOB＝∠COD，＝，AB＝CD.只要其中一个结论成立，其他两个结论也成立
相等
相等
例3 (2025成都模拟)如图，AB是☉O的直径，C是的三等分点，D是的中点，且位于直径AB的两侧.连接OC，BC，AD，CD，则∠OCD的度数为　　.
15°
变式3 如图，AB是☉O的直径，BC，CD，DA是☉O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD等于(　　)
A.100°
B.110°
C.120°
D.130°
C
考点4　 圆周角定理及其推论　 重点
圆周角 顶点在圆周上，并且两边都与圆相交的角
定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 　　.
推论 同弧或等弧所对的圆周角 　　　；
半圆(或直径)所对的圆周角是 　　　；
90°的圆周角所对的弦是 　　　.
圆内接四边 形的性质 圆内接四边形的对角 　　.
一半
相等
直角
直径
互补
例4 (2025泸州)如图，四边形ABCD内接于☉O，BD为☉O的直径.若AB＝AC，∠ACB＝70°，则∠CBD＝(　　)
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
B
变式4-1 (2025宜宾)如图，已知∠BAC是☉O的圆周角，∠BAC＝40°，则∠OBC＝　　°.
50
变式4-2 (2025陕西)如图，AB为☉O的直径，＝，∠CDB＝24°，则∠ACD的度数为　　　.
66°
变式4-3 如图，AB是☉O的直径，D是弦AC的延长线上一点，且CD＝AC，DB的延长线交☉O于点E.
(1)求证：CD＝CE；
证明：如图，连接BC.
∵AB是☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，即BC⊥AD.
∵CD＝AC，∴BC垂直平分AD.
∴AB＝BD.∴∠A＝∠D.
∵∠A＝∠E，∴∠D＝∠E.
∴CD＝CE.
(2)连接AE，若∠D＝26°，求∠BAE的度数.
解：如图，连接AE.
∵∠D＝26°，∴∠BAC＝∠D＝26°.
∵∠ABE是△ABD的一个外角，
∴∠ABE＝∠BAC＋∠D＝52°.
∵AB是☉O的直径，
∴∠AEB＝90°.
∴∠BAE＝90°－52°＝38°.
作弦(或直径)构造出直径所对的圆周角是常见的辅助线.
例5 如图，在☉O中，∠BOD＝80°，则∠C的度数是　　　.
140°
变式5-1 (2025平凉)如图，四边形ABCD内接于☉O，＝，连接BD，若∠ABC＝70°，则∠BDC的度数为(　　)
A.20°
B.35°
C.55°
D.70°
C
变式5-2 如图，在四边形ABCD中，∠D＝90°，且AD＞BC，以AB为直径的☉O与边DE相切于点E，交AD于点F，连接AE，EF.求证：△DEF∽△DAE.
证明：如图，连接OE，BE.
∵DE与☉O相切于点E，
∴∠OED＝90°.
∴∠AED＋∠OEA＝90°.
∵AB为☉O的直径，∴∠AEB＝90°.
∴∠EAB＋∠EBA＝90°.
又OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE.
∴∠AED＝∠EBA.
又A，B，E，F四点共圆，
∴∠AFE＋∠EBA＝180°.
∵∠DFE＋∠AFE＝180°，
∴∠DFE＝∠EBA＝∠AED.
又∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DAE.
1.如图，在☉O中，AB＝CD，则下列结论错误的是(　　)
A.＝
B.＝
C.AC＝BD
D.AD＝BD
D
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4
5
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8
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10
11
2.(2025宜宾)如图，AB是☉O的弦，半径OC⊥AB于点D.若AB＝8，OC＝5，则OD的长是(　　)
A.3　 B.2　
C.6 D.
A
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
3.(2025重庆)如图，点A，B，C在☉O上，∠AOB＝100°，∠C的度数是(　　)
A.40°
B.50°　
C.80°　
D.100°
B
1
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5
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7
8
9
10
11
4.(2025青海)如图，AB是☉O的直径，∠CAB＝40°，则∠ADC的度数是(　　)
A.80°
B.50°
C.40°
D.25°
B
1
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3
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5
6
7
8
9
10
11
5.如图，☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D＝35°，则∠C
＝　 °.
55
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8
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10
11
6.如图，四边形ABCD为☉O的内接四边形.若四边形ABCO为菱形，则∠ABC＝　　°.
120
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5
6
7
8
9
10
11
7.(2025广西)如图，已知AB是☉O的直径，点C，D在☉O上，∠ABC＝65°，＝.
(1)求证：△BOC≌△DOC；
证明：∵＝，
∴∠BOC＝∠DOC.
∵OC＝OC，OB＝OD，
∴△BOC≌△DOC(SAS).
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11
(2)求∠ABD的度数.
解：∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB＝65°.
∴∠BOC＝180°－∠ABC－∠OCB＝50°.
∴∠DOC＝∠BOC＝50°.
∴∠AOD＝180°－∠DOC－∠BOC＝80°.
∴∠ABD＝∠AOD＝40°.
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10
11
8.(2025山西)如图，AB为☉O的直径，点C，D是☉O上位于AB异侧的两点，连接AD，CD.若＝，则∠D的度数为(　　)
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
B
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7
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9
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9.(2025广安)如图，四边形ABCD是☉O的内接四边形，∠BCD＝120°，☉O的半径为6，则BD的长为　 　.
　6　
1
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3
4
5
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10.(2025安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.
(1)求证：OC∥AD；
证明：∵∠AOC＝2∠ABC，
∠DAB＋2∠ABC＝180°，
∴∠DAB＋∠AOC＝180°.
∴OC∥AD.
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(2)若AD＝2，BC＝2，求AB的长.
解：如图，连接BD，交OC于点E.
∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.
∵OC∥AD，∴OC⊥BD.
∴点E为BD的中点.
又O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线.
∴OE＝AD＝1.
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设半圆的半径为r，则CE＝r－1.
由勾股定理，知
OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2，
即r2－1＝－(r－1)2.
解得r1＝3，r2＝－2(舍去).
∴AB＝2r＝6.
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11.如图，已知△ABC内接于☉O，点D在☉O上，连接AD，AO，分别交BC于点E，F，连接CD，∠CAD＝∠BAO.
(1)求证：AD⊥BC；
证明：如图，延长AO交☉O于点M，连接CM.
∵AM为☉O的直径，
∴∠ACM＝90°.
∴∠BCM＋∠ACE＝90°.
∵∠BCM＝∠BAO，
∴∠BAO＋∠ACE＝90°.
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∵∠CAD＝∠BAO，
∴∠CAD＋∠ACE＝90°，
即∠AEC＝90°.
∴AD⊥BC.
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(2)若AO∥CD，求证：CA＝CF.
证明：∵AO∥CD，
∴∠FAE＝∠D.
∵∠D＝∠B，
∴∠FAE＝∠B.
∵∠CAF＝∠CAE＋∠FAE，
∠AFC＝∠FAB＋∠B，
又∠CAD＝∠BAO，
即∠CAE＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFC.
∴CA＝CF.
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