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专题01 匀变速直线运动的规律及应用
目录
题型一 匀变速直线运动基本规律的应用 1
类型1　基本公式和速度位移关系式的应用 2
类型2 逆向思维法解决匀变速直线运动问题 4
题型二 匀变速直线运动的推论及应用 6
类型1 平均速度公式 7
类型2 位移差公式 11
类型3 初速度为零的匀变速直线运动比例式 13
类型4 第n秒内位移问题 18
题型三 自由落体运动和竖直上抛运动 20
类型1 自由落体运动基本规律的应用 21
类型2 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题 24
类型3 竖直上抛运动的基本规律 25
类型4 自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题 28
题型四 多过程问题 33
题型一 匀变速直线运动基本规律的应用
【解题指导】1．v＝v0＋at、x＝v0t＋at2、v2－v02＝2ax原则上可解任何匀变速直线运动的问题，公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时要规定正方向.
对于末速度为零的匀减速直线运动，常用逆向思维法.
3.对于汽车刹车做匀减速直线运动问题，要注意汽车速度减为零后保持静止，而不发生后退(即做反向的匀加速直线运动)，一般需判断减速到零的时间．
【必备知识与关键能力】
1.基本规律
2．对于运动学公式的选用可参考下表所列方法
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量) 没有涉及的物理量　 适宜选用的公式
v0、v、a、t x 【速度公式】v＝v0＋at
v0、a、t、x v 【位移公式】x＝v0t＋at2
v0、v、a、x t 【速度位移关系式】v2－v＝2ax
v0、v、t、x a 【平均速度公式】x＝t
类型1　基本公式和速度位移关系式的应用
【例1】（2024·北京·高考真题）一辆汽车以10m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2s停止，汽车的制动距离为（ ）
A．5m B．10m C．20m D．30m
【答案】B
【详解】速度公式汽车做末速度为零的匀减速直线运动，则有
故选B。
【变式演练1】（2024·湖南永州·三模）质点做直线运动的位移x与时间t的关系为（各物理量均采用国际单位制单位），下列说法正确的是（　　）
A．该质点的加速度大小为 B．该质点在1s末的速度大小为6m/s
C．前2s内的位移为8m D．该质点第2s内的平均速度为8m/s
【答案】D
【详解】A．质点做直线运动的位移x与时间t的关系为
结合匀变速直线运动位移与时间关系
可得质点的初速度和加速度分别为
，
故A错误；
B．该质点在末的速度大小为
故B错误；
CD．质点前内的位移为
质点前内的位移为
该质点第内的平均速度为
所以C错误，D 正确。
故选D。
【变式演练2】（2024·全国·高考真题甲卷）为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从时由静止开始做匀加速运动，加速度大小，在时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速，求：
（1）救护车匀速运动时的速度大小；
（2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
【答案】（1）20m/s；（2）680m
【详解】（1）根据匀变速运动速度公式
可得救护车匀速运动时的速度大小
（2）救护车加速运动过程中的位移
设在时刻停止鸣笛，根据题意可得
停止鸣笛时救护车距出发处的距离
代入数据联立解得
类型2 逆向思维法解决匀变速直线运动问题
1.方法简介
很多物理过程具有可逆性(如运动的可逆性)，在沿着正向过程或思维(由前到后或由因到果)分析受阻时，有时“反其道而行之”，沿着逆向过程或思维(由后到前或由果到因)来思考，可以化难为易、出奇制胜。解决物理问题常用的逆向思维有过程逆向、时间反演等。
2.实例特点
刹车类问题或子弹打木块问题的特点都是匀减速至0后保持静止，在分析问题时，都看成反向的初速度为0的匀加速直线运动来处理。
【例2】（2024·山东潍坊·三模）2024潍坊市足球联赛于3月24日在潍坊四中和利昌学校开赛。在赛前训练中，运动员将足球用力踢出，足球沿直线在草地上向前滚动，其运动可视为匀变速运动，足球离脚后，在0 ~ t时间内位移大小为2x，在t ~ 3t时间内位移大小为x。则足球的加速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】若足球在3t时刻停止，根据逆向思维法可知，相等时间间隔内的位移之比为1：3：5：…，由0 ~ t时间内位移大小为2x，则在t ~ 3t时间内位移大小应为1.6x，而题干为x，则说明在3t之前足球就已经停止运动。根据逆向思维法则有
v2 = 2ax
联立解得
故选A。
【变式演练1】（2024·贵州铜仁·二模）汽车行驶时应与前车保持一定的安全距离，通常情况下，安全距离与驾驶者的反应时间和汽车行驶的速度有关。郭老师采用如下方法在封闭平直道路上测量自己驾驶汽车时的反应时间：汽车以速度匀速行驶，记录下从看到减速信号至汽车停下的位移；然后再以另一速度匀速行驶，记录下从看到减速信号至汽车停下的位移，假设两次实验的反应时间不变，加速度相同且恒定不变。可测得郭老师的反应时间为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设司机的反应时间为，匀减速运动的加速度大小为，第一次匀减速运动的时间为，第二次匀减速运动的时间为，则由逆向思维，根据位移与时间的关系有
①
②
由平均速度公式有
③
④
可得
⑤
⑥
将⑤代入①解得
⑦
将⑥⑦代入②解得
故选A。
【变式演练2】（2023·甘肃陇南·一模）具有“主动刹车系统”的汽车遇到紧急情况时，会立即启动“主动刹车系统”。某汽车以v0=28m/s的速度在公路上匀速行驶时，其前方L=50m处突然出现一群羚羊横穿公路，“主动刹车系统”立即启动，汽车开始做匀减速直线运动，恰好在羚羊前l=1m处停车。求：
（1）汽车开始“主动刹车”时的加速度大小a；
（2）汽车在“主动刹车”最后1s通过的位移大小x。
【答案】（1）8m/s2；（2）4m
【详解】（1）汽车刹车时做匀减速直线运动，有
解得
（2）汽车在“主动刹车”最后1s内的运动可以等效为反向的匀加速直线运动，有
解得
题型二 匀变速直线运动的推论及应用
【解题指导】
凡问题中涉及位移及发生这段位移所用时间或一段运动过程的初、末速度时，要尝试运用平均速度公式.
若问题中涉及两段相等时间内的位移，或相等Δv的运动时可尝试运用Δx＝aT2.
若从静止开始的匀加速直线运动，涉及相等时间或相等位移时，则尝试应用初速度为零的比例式．
【必备知识与关键能力】
1．三个推论
(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等，
即x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.
(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．
平均速度公式：＝＝.
(3)位移中点速度＝.
2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)∶…∶(－)．
3.思维方法
迁移角度 适用情况 解决办法
比例法 常用于初速度为零的匀加速直线运动且运动具有等时性或等距离 由连续相邻相等时间(或长度)的比例关系求解
推论法 适用于“纸带”类问题 由Δs＝aT2求加速度
平均速度法 常用于“等分”思想的运动，把运动按时间(或距离)等分之后求解 根据中间时刻的速度为该段位移的平均速度来求解问题
图象法 常用于加速度变化的变速运动 由图象的斜率、面积等条件判断
类型1 平均速度公式
(1)平均速度法：若知道匀变速直线运动多个过程的运动时间及对应时间内的位移，常用此法。
(2)逆向思维法：匀减速到0的运动常用此法。　　
(3).两段时间内平均速度的平均速度
第一段时间内的平均速度为，第一段时间内的平均速度为，则全程的平均速度
(4).两段位移内平均速度的平均速度
第一段位移内的平均速度为，第一段位移内的平均速度为，则全程的平均速度
(5).两种特殊情况
【例1】（2024·广西·高考真题）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时，从2号锥筒运动到3号锥筒用时。求该同学
（1）滑行的加速度大小；
（2）最远能经过几号锥筒。
【答案】（1）；（2）4
【详解】（1）根据匀变速运动规律某段内的平均速度等于中间时刻的瞬时速度可知在1、2间中间时刻的速度为
2、3间中间时刻的速度为
故可得加速度大小为
（2）设到达1号锥筒时的速度为，根据匀变速直线运动规律得
代入数值解得
从1号开始到停止时通过的位移大小为
故可知最远能经过4号锥筒。
【变式演练1】（2024·辽宁丹东·一模）2024年，东北地区：哈尔滨、长春、沈阳、大连四座城市将有新的地铁线路开通，新线路将会大大减轻交通压力，加快城市的发展。沈阳地铁一号线从S站到T站是一段直线线路，全程1.6km，列车运行最大速度为72km/h。为了便于分析，我们用图乙来描述这个模型，列车在S站从静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后立即做匀速直线运动，进站前从最大速度开始做匀减速直线运动，直至到T站停车，且加速的加速度大小为减速加速度大小的倍。现匀加速运动过程中连续经过A、B、C三点，S→A用时2s，B→C用时4s，且SA长2m，BC长24m。求：
（1）列车在C点的速度大小；
（2）列车匀速行驶的时间。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）由可知
根据
可知段平均速度
（2）由得
匀加速阶段
匀减速阶段
由得
匀加速阶段
匀减速阶段
匀速运动时间
【变式演练2】某型号新能源汽车在一次测试中从静止开始沿直线运动，其位移x与时间t图像为如图所示的一条过原点的抛物线，为图像上一点，虚线PQ与图像相切于P点，与t轴相交于。时间内车的平均速度记作，时间内车的平均速度记作，下列说法正确的是（ ）
A．时刻小车的速度大小为
B．小车加速度大小为
C．
D．
【答案】D
【详解】A．图线切线的斜率等于速度，则时刻小车的速度大小为
选项A错误；
B．车的初速度为零，根据
可得小车加速度大小为
选项B错误；
CD．因为
联立
可得
则t0为的中间时刻，则时间内车的位移等于时间内车的位移的3倍，根据
可知时间内车的平均速度等于时间内车的平均速度的3倍，即
故选项C错误，D正确。
故选D。
类型2 位移差公式
【例2】某物体沿着一条直线做匀减速运动，依次经过三点，最终停止在D点。A、B之间的距离为，之间的距离为，物体通过与两段距离所用时间都为，则下列正确的是（　　）
A．B点的速度是
B．由C到D的时间是
C．物体运动的加速度是
D．CD之间的距离
【答案】B
【详解】A．物体通过与两段距离所用时间都为，所以为AC的中间时刻速度，根据匀变速直线运动的中间时刻速度推论式可得
故A错误；
BC．与两段为连续相邻相同时间的位移，根据匀变速直线运动的推论式可得
解得
根据速度时间关系式，代入数据可得物体从B到D的时间为
则物体从C到D的时间为
故选项B正确，C错误；
D．根据匀变速直线运动的速度位移公式，代入数据可得BD间距离为
则CD间距离为
故D错误。
故选B。
【变式演练1】．（2024·陕西渭南·一模）如图（a）所示，某同学用智能手机拍摄物块从台阶旁的斜坡上自由滑下的过程，物块运动过程中的五个位置A、B、C、D、E及对应的时刻如图（b）所示，，，，，。已知斜坡是由长为的地砖拼接而成，且A、C、E三个位置物块的下边缘刚好与砖缝平齐。下列说法正确的是（　　）

A．位置A与D间的距离为
B．物体在位置A时的速度为零
C．物块在位置D时的速度大小为
D．物块下滑的加速度大小为
【答案】BC
【详解】C．由图（b）可知相邻两点间的时间间隔
T=0.4s
物块从C到D的时间间隔与物块从D点到E点的时间间隔相等，所以物块在位置D时的速度为C到E中间时刻的速度，则有
故C正确；
D．AC段与CE段的时间间隔为
t=2T=0.80s
且
由
可知
代入数据解得
a=1.875m/s2
故D错误；
AB．由
代入数据解得
vA=0
则位置A、D间距离
故A错误B正确。
故选BC。
【变式演练2】一物体从A点由静止开始做匀加速运动，途经B、C、D三点，B、C两点间的距离为，C、D两点间距离为，通过BC段的时间与通过CD段的时间相等，则A、D之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】之间的距离为，由连续相等时间内的位移之差公式得
解得
由平均速度公式
A与C的距离
A、D之间的距离为
故选B。
【变式演练3】（2024·河南·模拟预测）如图所示，小球从斜面上的A点以一定的初速度开始下滑，加速度恒为a，小球在B点的速度等于小球从A运动到C的平均速度，且A、B两点间的距离为L1，A、C两点间的距离为L2，则小球从A到C的运动时间为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，小球在B点的速度等于小球从A运动到C的平均速度，根据匀变速直线运动中间时刻的速度是全程的平均速度，则小球从A到B的运动时间与小球从B到C的运动时间相等，设这个相等的时间为T，由
L2-L1-L1=aT
解得
小球从A到C的运动时间为
故选D。
类型3 初速度为零的匀变速直线运动比例式
【例3】（2024·山东·高考真题）如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度L，通过A点的时间间隔为；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为。为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】木板在斜面上运动时，木板的加速度不变，设加速度为，木板从静止释放到下端到达A点的过程，根据运动学公式有
木板从静止释放到上端到达A点的过程，当木板长度为L时，有
当木板长度为时，有
又
，
联立解得
故选A。
【变式演练1】某次冰壶训练中，一冰壶以某初速度在水平冰面上做匀减速直线运动，通过的距离为x时其速度恰好为零，若冰壶通过第一个的距离所用的时间为t，则冰壶通过最后的距离所用的时间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由逆向思维可知，冰壶从静止开始做匀加速直线运动，由
可知，冰壶通过连续相等距离所用时间之比为，n为大于或等于1的整数，冰壶通过最后的距离所需时间为
故选D。
【变式演练2】钢架雪车也被称为俯式冰橇，是2022年北京冬奥会的比赛项目之一。运动员需要俯身平贴在雪橇上，以俯卧姿态滑行。比赛线路由起跑区、出发区、滑行区及减速区组成。若某次运动员练习时，恰好在终点停下来，且在减速区AB间的运动视为匀减速直线运动。运动员通过减速区时间为t，其中第一个时间内的位移为，第四个时间内的位移为，则等于（　　）
A．1：16 B．1：7 C．1：5 D．1：3
【答案】B
【详解】由题意知，在减速区AB间的运动视为匀减速直线运动，且最终减为零，将此减速过程由逆向思维，可看作初速度为零的匀加速直线运动，则根据初速度为零的匀加速直线运动，连续相等时间内位移之比为1:3:5……可知，之比即为初速度为零的匀加速直线中第一个时间内的位移与第四个时间内的位移之比，即
故选B。
【变式演练3】一汽车沿平直公路做匀减速直线运动刹车，从开始减速到刹车停止共运动。汽车在刹停前的内前进了，则该汽车的加速度大小和从开始减速到刹车停止运动的距离为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【详解】按照逆向思维刹车运动是初速度为零的匀加速直线运动，由初速度为零的匀变速直线运动推论可知，汽车共运动了，每内的位移之比为5:3:1，又
可得
故选C。
【变式演练4】（2024·辽宁·一模）某同学原地竖直起跳进行摸高测试，从离地到上升到最高点所用时间为t，重心上升的总高度为H。若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，克服重力做功之比为
B．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，克服重力做功之比为
C．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，重力的冲量之比为
D．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，重力的冲量之比为
【答案】D
【详解】AB．根据题意，由逆向思维可看成自由落体运动，则该同学在上升第一个与上升第三个的位移之比为，由公式可知，克服重力做功之比为，故AB错误；
CD．根据题意，由逆向思维可看成自由落体运动，该同学在上升第一个与上升第三个的时间之比为，由公式可知，重力的冲量之比为，故C错误，D正确。
故选D。
类型4 第n秒内位移问题
1.第秒内指的是1s的时间，前秒指的是秒的时间，二者不同；
2.第秒内位移等于前秒内位移减去前秒内位移；
3.第秒内的平均速度数值上等于第秒内位移,也等于时刻的瞬时速度,还等于；
4.第秒内的位移和第秒内的位移之差。
【例4】（2024·四川成都·二模）如图所示是一辆汽车正在以的速度匀速行驶，突然公路上横冲出三只小动物，司机马上刹车，假设刹车过程可视为匀减速直线运动，加速度大小为，小动物与汽车距离约为55m，以下说法正确的是（ ）
A．从汽车刹车开始计时，第4s末到第6s末汽车的位移大小为2m
B．从汽车刹车开始计时，6s末汽车的位移大小为48m
C．从汽车刹车开始计时，6s末汽车的速度大小为
D．汽车将撞上小动物
【答案】A
【详解】A．汽车刹车速度减为零所用的时间
因此第4s末到第6s末汽车的位移即为第4s末到第5s末汽车的位移，运用逆向思维，向汽车速度减为零的运动看成逆向的匀加速直线运动，可得第4s末到第5s末汽车的位移为
故A正确；
B．从汽车刹车开始计时，6s末汽车已经停止运动，其位移运用逆向思维，可得
故B错误；
C．根据以上分析可知，5s末汽车已经停止，因此6s末汽车的速度大小为0，故C错误；
D．汽车停止运动的位移为50m，小于汽车开始刹车时距小动物的距离55m，因此汽车不会撞上小动物，故D错误。
故选A。
【变式演练1】做匀加速直线运动的质点，在第5 s内及第6 s内的平均速度之和是56 m/s，平均速度之差是4 m/s，则此质点运动的加速度大小和初速度大小分别为(　　)
A．4 m/s2；4 m/s B．4 m/s2；8 m/s
C．26 m/s2；30 m/s D．8 m/s2；8 m/s
【答案】　B
【解析】　根据匀变速直线运动规律：某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段的平均速度．依题意，可得4.5 s末及5.5 s末的速度之和及速度之差为v4.5＋v5.5＝56 m/s，v5.5－v4.5＝4 m/s，联立求得v4.5＝26 m/s，v5.5＝30 m/s，即有26 m/s＝v0＋a×(4.5 s)，30 m/s＝v0＋a×(5.5 s)，联立求得a＝4 m/s2，v0＝8 m/s，故选B.
【变式演练2】中国自主研发的 “暗剑”无人机，时速可超过2马赫．在某次试飞测试中，起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120m的测试距离，用时分别为2s和l s，则无人机的加速度大小是（ ）
A. 20m/s2 B. 40m/s2 C. 60m/s2 D. 80m/s2
【答案】B
【解析】
第一段的平均速度；第二段的平均速度，中间时刻的速度等于平均速度，则，故选B.
【变式演练3】（2024·青海·二模）一辆汽车在平直公路上由静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后保持匀速运动。已知汽车在启动后的第2s内前进了6m，第4s内前进了13.5m，下列说法正确的是（　　）
A．汽车匀加速时的加速度大小为6m/s2
B．汽车在前4s内前进了32m
C．汽车的最大速度为14m/s
D．汽车的加速距离为20m
【答案】C
【详解】AC．由于汽车从静止开始做匀加速直线运动，则在连续相等时间内位移之比为1:3:5:7……，第2s内前进了6m，则第3s内前进10m，第4s内前进14m，但实际汽车在第4s内前进了13.5m，由此可知，汽车在第4s内的某一时刻达到最大速度，开始匀速，所以
解得
，，
故A错误，C正确；
BD．由以上分析可知，汽车在3.5s达到最大速度，所以加速阶段的位移为
前4s内的位移为
故BD错误。
故选C。
题型三 自由落体运动和竖直上抛运动
【解题指导】1.自由落体运动是初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动，匀变速直线运动的一切推论公式也都适用.
竖直上抛运动是初速度方向竖直向上、加速度大小为g的匀变速直线运动，可全过程应用匀变速直线运动规律列方程，也可分成上升、下降阶段分段处理，特别应注意运动的对称性.
3.“双向可逆类运动”是a不变的匀变速直线运动，参照竖直上抛运动的分析方法，可分段处理，也可全过程列式，但要注意v0、a、x等物理量的正负号．
【必备知识与关键能力】
一.自由落体运动
(1)运动特点：初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动．
(2)基本规律：
①速度与时间的关系式：v＝gt.
②位移与时间的关系式：x＝gt2.
③速度与位移的关系式：v2＝2gx.
(3)方法技巧：
①比例法等初速度为0的匀变速直线运动规律都适用．
②Δv＝gΔt.相同时间内，竖直方向速度变化量相同．
③位移差公式：Δh＝gT2.
二．竖直上抛运动
(1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动．
(2)基本规律
①速度与时间的关系式：v＝v0－gt；
②位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2.
(3)研究方法
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度为－g的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落 若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方
类型1 自由落体运动基本规律的应用
【例1】.（2024·河南·模拟预测）某兴趣小组用频闪投影的方法研究自由落体运动，实验中把一高中物理书竖直放置，将一小钢球从与书上边沿等高处静止释放，整个下落过程的频闪照片如图所示，已知物理书的长度为l，重力加速度为g，忽略空气阻力，该频闪摄影的闪光频率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由图可知，小钢球下落过程经过5段间隔，则运动时间为
根据
得该频闪摄影的闪光频率为
故选C。
【变式演练1】（2024·江西南昌·二模）屋檐的同一位置先后滴落两雨滴，忽略空气阻力，两雨滴在空中运动的过程中，它们之间的距离（ ）
A．保持不变 B．不断减小 C．不断增大 D．与雨滴质量有关
【答案】C
【详解】设两雨滴的时间间隔为，它们之间的距离
整理得
随着时间的增加，两雨滴之间的距离不断增大。
故选C。
【变式演练2】小球从靠近竖直砖墙的某个位置（可能不是图中1的位置）由静止释放，用频闪方法拍摄的小球位置如图中1、2、3和4所示。已知连续两次闪光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d，重力加速度为g，可知小球（　　）
A．经过位置2时的瞬时速度大小约
B．从位置1到4过程中的平均速度大小约为
C．下落过程中的加速度大小约为
D．小球的静止释放点距离位置1为d
【答案】C
【详解】A．由题知因1位置不一定是释放点，故经过位置2时的瞬时速度不一定等于
应根据小球经过位置2的瞬时速度等于1、3段的平均速度进行计算，即
故A错误；
B．位置1到位置4的平均速度为
故B错误；
C．由图可知，2、3与1、2两段的位移差为，根据
解得下落过程中的加速度大小为
故C正确；
D．设释放点距离位置1为h，则从释放点到2位置，则有
将、代入可得
小球的静止释放点距离位置1为，故D错误。
故选C。
【变式演练3】如图所示，长为4m的竖直杆从竖直管道正上方由静止释放，它完全通过这一竖直管道的时间为2s，已知竖直杆释放时其下端到竖直管道上端的高度为5m，不计空气阻力，取重力加速度大小，则这个管道长为（　　）
A．40m B．36m C．32m D．30m
【答案】B
【详解】设竖直杆的下端到管道上端的时间为，设竖直杆的上端到管道下端的时间为，由自由落体运动公式得
其中
，，
联立解得，这个管道长为
故选B。
【变式演练4】（2024·辽宁辽阳·一模）某人坐在树下看到熟透的苹果（视为质点）从树上掉下来，从与头顶相同高度处落到水平地面的时间为0.1s。已知头顶到地面的高度为1.25m，取重力加速度大小为，则苹果（ ）
A．经过与头顶相同高度处时的速度大小为10m/s B．在空中运动的时间为1.2s
C．刚掉落时离地的高度为8.45m D．落地时的速度大小为12m/s
【答案】C
【详解】设经过与头顶相同高度处时的速度大小为，根据运动学公式可得
其中
，
可得经过与头顶相同高度处时的速度大小为
苹果在空中的时间为
苹果刚掉落时离地的高度为
苹果落地时的速度大小为
故选C。
类型2 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题
【例2】（2024·吉林白山·一模）两个弹性小球A、B相互挨着，A在B的正上方，一起从某一高度处由静止开始下落，小球下落的高度远大于两小球直径。若小球B与水平地面、小球A与小球B之间发生的都是弹性正碰，B球质量是A球质量的2倍，则A球第一次的下落高度与其碰后第一次上升的最大高度之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】规定竖直向下为正方向，设A、B球开始下落的高度为h，B球与地面碰撞后等速率反弹，则由运动学公式
可知，A、B碰前的速度分别为
，
A、B碰撞过程中，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得
其中
联立解得
，（舍去）
A球碰后第一次上升的最大高度为
所以A球第一次的下落高度与其碰后第一次上升的最大高度之比为
故选B。
【变式演练1】（2024·山西·二模）如图所示，在做自由落体运动与竖直上抛运动的杂技表演中，表演者让甲球从离地高度为H的位置由静止释放，同时让乙球在甲的正下方的某点由静止释放，已知乙球与水平地面碰撞后的速度大小是刚落地时速度大小的0.5倍，且碰撞后的速度方向竖直向上，两小球均视为质点，忽略空气阻力，乙球与地面的碰撞时间忽略不计，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．若乙释放时的高度为0.5H，则乙与地面碰撞刚结束时的速度大小为
B．若乙释放时的高度为0.5H，则乙从释放到再次到达最高点的运动时间为
C．若乙第一次上升到最高点时刚好与甲相撞，则乙第一次上升的最大高度为
D．若乙在第一次上升的过程中能与甲相撞，则乙释放时的高度h的范围为
【答案】C
【详解】AB．若乙释放时的高度为0.5H，则由
可得乙落地时的速度大小为
落地时间为
乙与地面碰撞刚结束时的速度大小为
与地面碰后上升的时间为
乙从释放到再次到达最高点的运动时间为
故AB错误；
C．若乙第一次上升到最高点时刚好与甲相撞，设乙第一次上升的最大高度为h，与地面碰后速度大小为v3，则有
由乙球与水平地面碰撞后的速度大小是刚落地时速度大小的0.5倍可知，乙第一次下落的时间
则甲与乙碰撞时运动的总时间为
则有
联立可得
故C正确；
D．若乙第一次上升到最高点时刚好与甲相撞，则乙下落高度为
所以若乙在第一次上升的过程中能与甲相撞，则乙释放时的高度h的范围为
故D错误。
故选C。
【变式演练2】如图所示，在水平线某竖直平面内，距地面高度为，一条长为的轻绳两端分别系小球A和B，小球在水平线上，竖直向上的外力作用在A上，A和B都处于静止状态。现从上另一点静止释放小球1，当小球1下落至与小球B等高位置时，从上静止释放小球A和小球2，小球2在小球1的正上方。则下列说法正确的是（　　）
A．小球1将与小球B同时落地
B．在小球B下落过程中，轻绳对B的拉力竖直向上
C．越大，小球与小球B的落地时间差越大
D．在小球1落地前，小球1与2之间的距离随时间的增大而增大
【答案】D
【详解】A．设小球1下落到与B等高的位置时的速度为v，设小球1还需要经过时间t1落地，则
设B运动的时间为t2，则
比较可知
故A错误；
B．小球与B都做自由落体运动，所以二者之间的轻绳没有作用力，故B错误。
C．设A运动时间为t3，则
可得
可知l是一个定值时，h越大，则小球A与小球B的落地时间差越小，故C错误；
D．1与2两球的距离
可见在小球1落地前，小球1与2之间的距离随时间的增大而增大，故D正确。
故选D。
类型3 竖直上抛运动的基本规律
1.竖直上抛运动的重要特性
①对称性
如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，如图所示，则：
②多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
2.竖直上抛运动的v-t图和x-t图
【例3】小球从高空被竖直向上抛出。以向上为正，若2s内它的平均速度为－5m/s，g取10 m/s2，则上抛的初速度为（　　）
A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．25 m/s
【答案】A
【详解】设小球的初速度为v0，后的速度为
小球抛出后做竖直上抛运动，根据匀变速直线运动的平均速度公式，有
代入数据，得
解得
故选A。
【变式演练1】甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据竖直上抛运动规律，竖直向上运动到同一水平线上时，乙小球的运动时间为
甲小球到达的最高点高度为
甲小球下落的高度为
故该位置距离抛出点的高度为
故选D。
【变式演练2】升降机从井底以5m/s的速度向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，再经过4s升降机底板上升至井口，此时螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度，下列说法正确的是（　　）
A．螺钉松脱后做自由落体运动
B．矿井的深度为45 m
C．螺钉落到井底时的速度大小为40 m/s
D．螺钉松脱后先做竖直上抛运动，到达最高点后再做自由落体运动
【答案】D
【详解】AD．螺钉松脱后先做竖直上抛运动，到达最高点后再做自由落体运动，故A错误，D正确；
C．规定向下为正方向，根据
螺钉落到井底时的速度大小为
故C错误；
B．螺钉下降距离为
因此井深
故B错误。
故选D。
类型4 自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题
(1)同时运动，相遇位移方程： gt2+v0t- gt2=H,解得t=H/v0
(2)上升、下降过程中相遇问题
①若在a球上升时两球相遇，则有t
②若在a球下降时两球相遇，则有v0/g (3)中点相遇问题
若两球在中点相遇，有H/2= gt2,H/2=v0t- gt2;解得v0=,t=.
此时a球速度va=v0-gt=-g=0；b球速度vb=gt=g=v0.
交换速度大小。
(4)相遇时速率相等问题
若两球相遇时速率相等，则必然是速度大小相等，方向相反。有gt=v0-gt，且t=H/v0，联立解得v0=，
t=。此时a球下降ha= gt2=H/4；b球上升hb=3H/4.
【例4】如图所示，某同学将球A以速度v竖直向上抛出，到达最高点的同时，将球B也以速度v从同一位置竖直向上抛出。不计空气阻力，A、B两球均可视为质点，重力加速度为g。求：
（1）自球A抛出到与球B相遇所经历的时间；
（2）两球相遇时，A、B两球的速度大小；
（3）自球A抛出到两球相遇的过程中，A、B两球的速度变化量。

【答案】（1）；（2）；；（3）；；方向均竖直向下
【详解】（1）根据竖直上抛运动性质可知，球A运动到最高点的时间
球A上升的最大高度为h，则
当球A运动到最高点后将向下做自由落体运动，球B此时做竖直上抛运动，设运动t2时间后两球在空中相遇，由运动学公式有
联立解得
而自球A抛出到与球B相遇所经历的时间
（2）设相遇时A、B两球的速度大小分别为v1、v2，则根据运动学公式可得
（3）设自球A抛出到两球相遇过程中，A、B两球的速度变化量分别为、，取竖直向上为正方向，可得
则A、B两球速度变化量的大小分别为，，方向均竖直向下
【变式演练1】如图所示，a、b、c三点位于空中同一竖直线上且b为ac中点，小球甲、乙完全相同，甲从a由静止释放的同时，乙从b以速度竖直向上抛出，两球在ab中点发生弹性碰撞。已知重力加速度大小为g，则甲、乙经过c点的时间差为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】从开始到两球在ab中点发生弹性碰撞，对甲、乙分别有
，
，
解得
，，，
两球发生弹性碰撞，则有
解得
，
两球碰后运动到c点过程中，对甲、乙分别有
，
解得甲、乙经过c点的时间差为
故选B。
【变式演练2】如图所示，从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度H处有一物体B开始自由下落，两物体在空中同时到达同一高度h时速度大小均为v，则下列说法正确的是（　　）
A．两物体在空中运动的加速度相同，运动的时间相等
B．A上升的最大高度小于B开始下落时的高度H
C．两物体在空中同时达到的同一高度的位置h一定在B开始下落时高度H的中点下方
D．A上抛的初速度与B落地时速度大小均为2v
【答案】D
【详解】AD．设两物体从下落到相遇的时间为t，竖直上抛物体的初速度为v0，则由题有
解得
v0=2v
根据竖直上抛运动的对称性可知，B自由落下到地面的速度为2v，在空中运动时间为
A竖直上抛物体在空中运动时间为
故D正确，A错误。
B．物体A能上升的最大高度为
B开始下落的高度为
显然两者相等。故B错误。
C．两物体在空中同时达到同一高度时，B下降的高度为
两物体在空中同时达到的同一高度的位置h在B开始下落时高度H的中点上方，故C错误。
故选D。
【变式演练3】如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，将小球从点由静止释放，一段时间后在点正下方的点时追上，此过程中两小球均末落地且末发生碰撞。若两点间的高度差为，两点间的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点，则小球相对抛出点上升的最大高度为（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【详解】Q做自由落体运动，有
解得
从抛出到相遇，以向下为正方向，可得
据几何关系可得
解得
P上升的最大高度为
故选B。
题型四 多过程问题
【解题指导】1．多过程问题一般情景复杂、条件多，可画运动草图或作v－t图像形象地描述运动过程，这有助于分析问题，也往往能从中发现解决问题的简单方法.
2.多过程运动中各阶段运动之间的“连接点”的速度是两段运动共有的一个物理量，用它来列方程能减小复杂程度．
【必备知识与关键能力】
1．一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程．
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量．
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程．
2．解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键．
【例1】（2024·湖北武汉·二模）为满足旅客乘坐高铁出行的不同需要，城际高铁开通了“一站直达”列车和“站站停”列车两种班次。假设两城高铁站之间均匀分布了4个车站，若列车在进站和出站过程中做匀变速直线运动，加速度大小均为2m/s2，其余行驶时间内保持最高时速288km/h匀速运动，“站站停”列车在每个车站停车时间均为t0=2min，则一站直达列车比“站站停”列车节省的时间为（　　）
A．10min40s B．11min20s
C．13min20s D．14min40s
【答案】A
【详解】由题可知，列车加速到速度最大所用的时间为
列车进站加速与出站减速时的加速度相等，故
设一站直达列车匀速行驶用时为t，“站站停”列车匀速行驶用时t′，根据题意可知
一站直达列车比“站站停”列车节省的时间为
联立解得
故选A。
【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示的自由落锤式强夯机将8~30 t的重锤从6~30m高处自由落下，对土进行强力夯实。某次重锤从某一高度自由落下，已知重锤在空中运动的时间为、从自由下落到运动至最低点经历的时间为，重锤从地面运动至最低点的过程可视为做匀减速直线运动，当地重力加速度为g，则该次夯土作业（　　）
A．重锤下落时离地高度为
B．重锤接触地面后下降的距离为
C．重锤接触地面后的加速度大小为
D．重锤在空中运动的平均速度大于接触地面后的平均速度
【答案】AC
【详解】AD．由题意可知，重锤在运动过程中受到的空气阻力可以忽略不计。作出图像，如图所示，根据自由落体公式可知，重锤下落时离地高度为
根据匀变速直线运动中平均速度可知，重锤在空中运动的平均速度等于接触地面后的平均速度，A正确，D错误；
B．根据
可知，重锤下落时离地高度和重锤接触地面后下降距离之比为
故重锤接触地面后下降的距离为
B错误；
C．根据可知，重锤接触地面后的加速度大小为
C正确。
故选AC。
【变式演练1】如图所示，游船从某码头沿直线行驶到湖对岸，小明对过程进行观测，记录数据如下表：
运动过程 运动时间 运动状态
匀加速运动 初速度；末速度
匀速运动
匀减速运动 靠岸时的速度
（1）求游船匀加速运动过程中加速度大小及位移大小；
（2）求游船匀减速运动过程中加速度大小及位移大小；
（3）求游船在整个行驶过程中的平均速度大小。
【答案】（1），；（2），；（3）
【详解】（1）根据题意，结合表中数据，由公式
可得，游船匀加速运动过程中加速度大小为
由公式
可得，位移大小为
．
（2）根据题意，结合表中数据，由公式
可得，游船匀减速运动过程中加速度为
即游船匀减速运动过程中加速度大小为，由公式
可得，位移大小为
（3）游船在整个行驶过程中的总位移
游船在整个行驶过程中的平均速度大小
【变式演练2】．足球比赛中，某运动员以12m/s的速度将球踢出的同时，立即起跑追赶足球。若足球沿草地做加速度大小为2m/s的匀减速直线运动，该运动员沿足球运动方向，先从静止开始做加速度为4m/s的匀加速直线运动，达到最大速度8m/s后保持该速度不变做匀速直线运动。则该运动员从起跑到追上足球所用的时间为（　　）
A．s B．4s
C．s D．2s
【答案】A
【详解】设运动员、足球的加速度大小分别为、，该运动员从起跑到追上足球所用的时间为t，运动员的加速时间为t1，则有
追上时
代入数据
解得
或
（不符合实际舍去）
因为足球减速到零的时间为
所以符合实际。
【变式演练3】（2024·河南·模拟预测）两列高铁交会时会对周围的空气产生强烈的扰动，造成车体表面的压力变化，突变的压力会冲击车体。实际在交会时可以适度降低车速以减小该冲击现象，假设长度均为L的两列高铁列车在平直轨道上以速率正常行驶，当两列车的任一部分侧视重叠时，列车速率都不允许超过。已知两列车同时减速和加速，且两列车加速和减速时加速度的大小均为，列车从减速开始至回到正常行驶速率所用时间至少为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】减速时间
匀速时间
加速度时间
所以用时间至少
故选A。
【变式演练4】为激发飞行学员的职业荣誉感，空军于2022年7月31日首次派出运—20飞机运送新录取飞行学员到空军航空大学报到。运—20飞机沿直线跑道由静止开始以最大加速度匀加速起飞，经过时间达到起飞速度。
（1）求飞机起飞时的加速度大小和发生的位移大小x1；
（2）跑道上有一个航线临界点（如图所示），超过临界点就必须起飞，如果放弃起飞飞机将可能冲出跑道，已知跑道长度，飞机减速的最大加速度大小，求临界点距跑道起点的距离。
【答案】（1）3m/s2，600m；（2）480m
【详解】（1）飞机起飞时的加速度大小
加速起飞发生的位移为
解得
（2）假如飞机加速至临界点，则飞机以最大加速度减速能刚到达跑道的末端。设此过程中飞机的最大速度为，则加速过程有
减速过程有
解得专题01 匀变速直线运动的规律及应用
目录
题型一 匀变速直线运动基本规律的应用 1
类型1　基本公式和速度位移关系式的应用 2
类型2 逆向思维法解决匀变速直线运动问题 4
题型二 匀变速直线运动的推论及应用 6
类型1 平均速度公式 7
类型2 位移差公式 11
类型3 初速度为零的匀变速直线运动比例式 13
类型4 第n秒内位移问题 18
题型三 自由落体运动和竖直上抛运动 20
类型1 自由落体运动基本规律的应用 21
类型2 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题 24
类型3 竖直上抛运动的基本规律 25
类型4 自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题 28
题型四 多过程问题 33
题型一 匀变速直线运动基本规律的应用
【解题指导】1．v＝v0＋at、x＝v0t＋at2、v2－v02＝2ax原则上可解任何匀变速直线运动的问题，公式中v0、v、a、x都是矢量，应用时要规定正方向.
对于末速度为零的匀减速直线运动，常用逆向思维法.
3.对于汽车刹车做匀减速直线运动问题，要注意汽车速度减为零后保持静止，而不发生后退(即做反向的匀加速直线运动)，一般需判断减速到零的时间．
【必备知识与关键能力】
1.基本规律
2．对于运动学公式的选用可参考下表所列方法
题目中所涉及的物理量(包括已知量、待求量和为解题设定的中间量) 没有涉及的物理量　 适宜选用的公式
v0、v、a、t x 【速度公式】v＝v0＋at
v0、a、t、x v 【位移公式】x＝v0t＋at2
v0、v、a、x t 【速度位移关系式】v2－v＝2ax
v0、v、t、x a 【平均速度公式】x＝t
类型1　基本公式和速度位移关系式的应用
【例1】（2024·北京·高考真题）一辆汽车以10m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2s停止，汽车的制动距离为（ ）
A．5m B．10m C．20m D．30m
【变式演练1】（2024·湖南永州·三模）质点做直线运动的位移x与时间t的关系为（各物理量均采用国际单位制单位），下列说法正确的是（　　）
A．该质点的加速度大小为 B．该质点在1s末的速度大小为6m/s
C．前2s内的位移为8m D．该质点第2s内的平均速度为8m/s
【变式演练2】（2024·全国·高考真题甲卷）为抢救病人，一辆救护车紧急出发，鸣着笛沿水平直路从时由静止开始做匀加速运动，加速度大小，在时停止加速开始做匀速运动，之后某时刻救护车停止鸣笛，时在救护车出发处的人听到救护车发出的最后的鸣笛声。已知声速，求：
（1）救护车匀速运动时的速度大小；
（2）在停止鸣笛时救护车距出发处的距离。
类型2 逆向思维法解决匀变速直线运动问题
1.方法简介
很多物理过程具有可逆性(如运动的可逆性)，在沿着正向过程或思维(由前到后或由因到果)分析受阻时，有时“反其道而行之”，沿着逆向过程或思维(由后到前或由果到因)来思考，可以化难为易、出奇制胜。解决物理问题常用的逆向思维有过程逆向、时间反演等。
2.实例特点
刹车类问题或子弹打木块问题的特点都是匀减速至0后保持静止，在分析问题时，都看成反向的初速度为0的匀加速直线运动来处理。
【例2】（2024·山东潍坊·三模）2024潍坊市足球联赛于3月24日在潍坊四中和利昌学校开赛。在赛前训练中，运动员将足球用力踢出，足球沿直线在草地上向前滚动，其运动可视为匀变速运动，足球离脚后，在0 ~ t时间内位移大小为2x，在t ~ 3t时间内位移大小为x。则足球的加速度大小为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练1】（2024·贵州铜仁·二模）汽车行驶时应与前车保持一定的安全距离，通常情况下，安全距离与驾驶者的反应时间和汽车行驶的速度有关。郭老师采用如下方法在封闭平直道路上测量自己驾驶汽车时的反应时间：汽车以速度匀速行驶，记录下从看到减速信号至汽车停下的位移；然后再以另一速度匀速行驶，记录下从看到减速信号至汽车停下的位移，假设两次实验的反应时间不变，加速度相同且恒定不变。可测得郭老师的反应时间为（　　）
A． B．
C． D．
【变式演练2】（2023·甘肃陇南·一模）具有“主动刹车系统”的汽车遇到紧急情况时，会立即启动“主动刹车系统”。某汽车以v0=28m/s的速度在公路上匀速行驶时，其前方L=50m处突然出现一群羚羊横穿公路，“主动刹车系统”立即启动，汽车开始做匀减速直线运动，恰好在羚羊前l=1m处停车。求：
（1）汽车开始“主动刹车”时的加速度大小a；
（2）汽车在“主动刹车”最后1s通过的位移大小x。
题型二 匀变速直线运动的推论及应用
【解题指导】
凡问题中涉及位移及发生这段位移所用时间或一段运动过程的初、末速度时，要尝试运用平均速度公式.
若问题中涉及两段相等时间内的位移，或相等Δv的运动时可尝试运用Δx＝aT2.
若从静止开始的匀加速直线运动，涉及相等时间或相等位移时，则尝试应用初速度为零的比例式．
【必备知识与关键能力】
1．三个推论
(1)连续相等的相邻时间间隔T内的位移差相等，
即x2－x1＝x3－x2＝…＝xn－xn－1＝aT2.
(2)做匀变速直线运动的物体在一段时间内的平均速度等于这段时间初、末时刻速度矢量和的一半，还等于中间时刻的瞬时速度．
平均速度公式：＝＝.
(3)位移中点速度＝.
2．初速度为零的匀加速直线运动的四个重要推论
(1)T末、2T末、3T末、…、nT末的瞬时速度之比为v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n.
(2)前T内、前2T内、前3T内、…、前nT内的位移之比为x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2.
(3)第1个T内、第2个T内、第3个T内、…、第n个T内的位移之比为xⅠ∶xⅡ∶xⅢ∶…∶xN＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)．
(4)从静止开始通过连续相等的位移所用时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶(2－)∶…∶(－)．
3.思维方法
迁移角度 适用情况 解决办法
比例法 常用于初速度为零的匀加速直线运动且运动具有等时性或等距离 由连续相邻相等时间(或长度)的比例关系求解
推论法 适用于“纸带”类问题 由Δs＝aT2求加速度
平均速度法 常用于“等分”思想的运动，把运动按时间(或距离)等分之后求解 根据中间时刻的速度为该段位移的平均速度来求解问题
图象法 常用于加速度变化的变速运动 由图象的斜率、面积等条件判断
类型1 平均速度公式
(1)平均速度法：若知道匀变速直线运动多个过程的运动时间及对应时间内的位移，常用此法。
(2)逆向思维法：匀减速到0的运动常用此法。　　
(3).两段时间内平均速度的平均速度
第一段时间内的平均速度为，第一段时间内的平均速度为，则全程的平均速度
(4).两段位移内平均速度的平均速度
第一段位移内的平均速度为，第一段位移内的平均速度为，则全程的平均速度
(5).两种特殊情况
【例1】（2024·广西·高考真题）如图，轮滑训练场沿直线等间距地摆放着若干个定位锥筒，锥筒间距，某同学穿着轮滑鞋向右匀减速滑行。现测出他从1号锥筒运动到2号锥筒用时，从2号锥筒运动到3号锥筒用时。求该同学
（1）滑行的加速度大小；
（2）最远能经过几号锥筒。
【变式演练1】（2024·辽宁丹东·一模）2024年，东北地区：哈尔滨、长春、沈阳、大连四座城市将有新的地铁线路开通，新线路将会大大减轻交通压力，加快城市的发展。沈阳地铁一号线从S站到T站是一段直线线路，全程1.6km，列车运行最大速度为72km/h。为了便于分析，我们用图乙来描述这个模型，列车在S站从静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后立即做匀速直线运动，进站前从最大速度开始做匀减速直线运动，直至到T站停车，且加速的加速度大小为减速加速度大小的倍。现匀加速运动过程中连续经过A、B、C三点，S→A用时2s，B→C用时4s，且SA长2m，BC长24m。求：
（1）列车在C点的速度大小；
（2）列车匀速行驶的时间。
【变式演练2】某型号新能源汽车在一次测试中从静止开始沿直线运动，其位移x与时间t图像为如图所示的一条过原点的抛物线，为图像上一点，虚线PQ与图像相切于P点，与t轴相交于。时间内车的平均速度记作，时间内车的平均速度记作，下列说法正确的是（ ）
A．时刻小车的速度大小为
B．小车加速度大小为
C．
D．
类型2 位移差公式
【例2】某物体沿着一条直线做匀减速运动，依次经过三点，最终停止在D点。A、B之间的距离为，之间的距离为，物体通过与两段距离所用时间都为，则下列正确的是（　　）
A．B点的速度是
B．由C到D的时间是
C．物体运动的加速度是
D．CD之间的距离
【变式演练1】．（2024·陕西渭南·一模）如图（a）所示，某同学用智能手机拍摄物块从台阶旁的斜坡上自由滑下的过程，物块运动过程中的五个位置A、B、C、D、E及对应的时刻如图（b）所示，，，，，。已知斜坡是由长为的地砖拼接而成，且A、C、E三个位置物块的下边缘刚好与砖缝平齐。下列说法正确的是（　　）

A．位置A与D间的距离为
B．物体在位置A时的速度为零
C．物块在位置D时的速度大小为
D．物块下滑的加速度大小为
【变式演练2】一物体从A点由静止开始做匀加速运动，途经B、C、D三点，B、C两点间的距离为，C、D两点间距离为，通过BC段的时间与通过CD段的时间相等，则A、D之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【变式演练3】（2024·河南·模拟预测）如图所示，小球从斜面上的A点以一定的初速度开始下滑，加速度恒为a，小球在B点的速度等于小球从A运动到C的平均速度，且A、B两点间的距离为L1，A、C两点间的距离为L2，则小球从A到C的运动时间为（　　）

A． B． C． D．
类型3 初速度为零的匀变速直线运动比例式
【例3】（2024·山东·高考真题）如图所示，固定的光滑斜面上有一木板，其下端与斜面上A点距离为L。木板由静止释放，若木板长度L，通过A点的时间间隔为；若木板长度为2L，通过A点的时间间隔为。为（　　）
A．
B．
C．
D．
【变式演练1】某次冰壶训练中，一冰壶以某初速度在水平冰面上做匀减速直线运动，通过的距离为x时其速度恰好为零，若冰壶通过第一个的距离所用的时间为t，则冰壶通过最后的距离所用的时间为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练2】钢架雪车也被称为俯式冰橇，是2022年北京冬奥会的比赛项目之一。运动员需要俯身平贴在雪橇上，以俯卧姿态滑行。比赛线路由起跑区、出发区、滑行区及减速区组成。若某次运动员练习时，恰好在终点停下来，且在减速区AB间的运动视为匀减速直线运动。运动员通过减速区时间为t，其中第一个时间内的位移为，第四个时间内的位移为，则等于（　　）
A．1：16 B．1：7 C．1：5 D．1：3
【变式演练3】一汽车沿平直公路做匀减速直线运动刹车，从开始减速到刹车停止共运动。汽车在刹停前的内前进了，则该汽车的加速度大小和从开始减速到刹车停止运动的距离为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【变式演练4】（2024·辽宁·一模）某同学原地竖直起跳进行摸高测试，从离地到上升到最高点所用时间为t，重心上升的总高度为H。若不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，克服重力做功之比为
B．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，克服重力做功之比为
C．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，重力的冲量之比为
D．该同学在上升第一个与上升第三个的过程中，重力的冲量之比为
类型4 第n秒内位移问题
1.第秒内指的是1s的时间，前秒指的是秒的时间，二者不同；
2.第秒内位移等于前秒内位移减去前秒内位移；
3.第秒内的平均速度数值上等于第秒内位移,也等于时刻的瞬时速度,还等于；
4.第秒内的位移和第秒内的位移之差。
【例4】（2024·四川成都·二模）如图所示是一辆汽车正在以的速度匀速行驶，突然公路上横冲出三只小动物，司机马上刹车，假设刹车过程可视为匀减速直线运动，加速度大小为，小动物与汽车距离约为55m，以下说法正确的是（ ）
A．从汽车刹车开始计时，第4s末到第6s末汽车的位移大小为2m
B．从汽车刹车开始计时，6s末汽车的位移大小为48m
C．从汽车刹车开始计时，6s末汽车的速度大小为
D．汽车将撞上小动物
【变式演练1】做匀加速直线运动的质点，在第5 s内及第6 s内的平均速度之和是56 m/s，平均速度之差是4 m/s，则此质点运动的加速度大小和初速度大小分别为(　　)
A．4 m/s2；4 m/s B．4 m/s2；8 m/s
C．26 m/s2；30 m/s D．8 m/s2；8 m/s
【变式演练2】中国自主研发的 “暗剑”无人机，时速可超过2马赫．在某次试飞测试中，起飞前沿地面做匀加速直线运动，加速过程中连续经过两段均为120m的测试距离，用时分别为2s和l s，则无人机的加速度大小是（ ）
A. 20m/s2 B. 40m/s2 C. 60m/s2 D. 80m/s2
【变式演练3】（2024·青海·二模）一辆汽车在平直公路上由静止开始做匀加速直线运动，达到最大速度后保持匀速运动。已知汽车在启动后的第2s内前进了6m，第4s内前进了13.5m，下列说法正确的是（　　）
A．汽车匀加速时的加速度大小为6m/s2
B．汽车在前4s内前进了32m
C．汽车的最大速度为14m/s
D．汽车的加速距离为20m
题型三 自由落体运动和竖直上抛运动
【解题指导】1.自由落体运动是初速度为0、加速度为g的匀加速直线运动，匀变速直线运动的一切推论公式也都适用.
竖直上抛运动是初速度方向竖直向上、加速度大小为g的匀变速直线运动，可全过程应用匀变速直线运动规律列方程，也可分成上升、下降阶段分段处理，特别应注意运动的对称性.
3.“双向可逆类运动”是a不变的匀变速直线运动，参照竖直上抛运动的分析方法，可分段处理，也可全过程列式，但要注意v0、a、x等物理量的正负号．
【必备知识与关键能力】
一.自由落体运动
(1)运动特点：初速度为0，加速度为g的匀加速直线运动．
(2)基本规律：
①速度与时间的关系式：v＝gt.
②位移与时间的关系式：x＝gt2.
③速度与位移的关系式：v2＝2gx.
(3)方法技巧：
①比例法等初速度为0的匀变速直线运动规律都适用．
②Δv＝gΔt.相同时间内，竖直方向速度变化量相同．
③位移差公式：Δh＝gT2.
二．竖直上抛运动
(1)运动特点：初速度方向竖直向上，加速度为g，上升阶段做匀减速运动，下降阶段做自由落体运动．
(2)基本规律
①速度与时间的关系式：v＝v0－gt；
②位移与时间的关系式：x＝v0t－gt2.
(3)研究方法
分段法 上升阶段：a＝g的匀减速直线运动 下降阶段：自由落体运动
全程法 初速度v0向上，加速度为－g的匀变速直线运动，v＝v0－gt，h＝v0t－gt2(以竖直向上为正方向) 若v＞0，物体上升；若v＜0，物体下落 若h＞0，物体在抛出点上方；若h＜0，物体在抛出点下方
类型1 自由落体运动基本规律的应用
【例1】.（2024·河南·模拟预测）某兴趣小组用频闪投影的方法研究自由落体运动，实验中把一高中物理书竖直放置，将一小钢球从与书上边沿等高处静止释放，整个下落过程的频闪照片如图所示，已知物理书的长度为l，重力加速度为g，忽略空气阻力，该频闪摄影的闪光频率为（　　）
A． B． C． D．
【变式演练1】（2024·江西南昌·二模）屋檐的同一位置先后滴落两雨滴，忽略空气阻力，两雨滴在空中运动的过程中，它们之间的距离（ ）
A．保持不变 B．不断减小 C．不断增大 D．与雨滴质量有关
【变式演练2】小球从靠近竖直砖墙的某个位置（可能不是图中1的位置）由静止释放，用频闪方法拍摄的小球位置如图中1、2、3和4所示。已知连续两次闪光的时间间隔均为T，每块砖的厚度为d，重力加速度为g，可知小球（　　）
A．经过位置2时的瞬时速度大小约
B．从位置1到4过程中的平均速度大小约为
C．下落过程中的加速度大小约为
D．小球的静止释放点距离位置1为d
【变式演练3】如图所示，长为4m的竖直杆从竖直管道正上方由静止释放，它完全通过这一竖直管道的时间为2s，已知竖直杆释放时其下端到竖直管道上端的高度为5m，不计空气阻力，取重力加速度大小，则这个管道长为（　　）
A．40m B．36m C．32m D．30m
【变式演练4】（2024·辽宁辽阳·一模）某人坐在树下看到熟透的苹果（视为质点）从树上掉下来，从与头顶相同高度处落到水平地面的时间为0.1s。已知头顶到地面的高度为1.25m，取重力加速度大小为，则苹果（ ）
A．经过与头顶相同高度处时的速度大小为10m/s B．在空中运动的时间为1.2s
C．刚掉落时离地的高度为8.45m D．落地时的速度大小为12m/s
类型2 自由落体运动中的“两物体先后下落”问题
【例2】（2024·吉林白山·一模）两个弹性小球A、B相互挨着，A在B的正上方，一起从某一高度处由静止开始下落，小球下落的高度远大于两小球直径。若小球B与水平地面、小球A与小球B之间发生的都是弹性正碰，B球质量是A球质量的2倍，则A球第一次的下落高度与其碰后第一次上升的最大高度之比为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练1】（2024·山西·二模）如图所示，在做自由落体运动与竖直上抛运动的杂技表演中，表演者让甲球从离地高度为H的位置由静止释放，同时让乙球在甲的正下方的某点由静止释放，已知乙球与水平地面碰撞后的速度大小是刚落地时速度大小的0.5倍，且碰撞后的速度方向竖直向上，两小球均视为质点，忽略空气阻力，乙球与地面的碰撞时间忽略不计，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（ ）
A．若乙释放时的高度为0.5H，则乙与地面碰撞刚结束时的速度大小为
B．若乙释放时的高度为0.5H，则乙从释放到再次到达最高点的运动时间为
C．若乙第一次上升到最高点时刚好与甲相撞，则乙第一次上升的最大高度为
D．若乙在第一次上升的过程中能与甲相撞，则乙释放时的高度h的范围为
【变式演练2】如图所示，在水平线某竖直平面内，距地面高度为，一条长为的轻绳两端分别系小球A和B，小球在水平线上，竖直向上的外力作用在A上，A和B都处于静止状态。现从上另一点静止释放小球1，当小球1下落至与小球B等高位置时，从上静止释放小球A和小球2，小球2在小球1的正上方。则下列说法正确的是（　　）
A．小球1将与小球B同时落地
B．在小球B下落过程中，轻绳对B的拉力竖直向上
C．越大，小球与小球B的落地时间差越大
D．在小球1落地前，小球1与2之间的距离随时间的增大而增大
类型3 竖直上抛运动的基本规律
1.竖直上抛运动的重要特性
①对称性
如图所示，物体以初速度v0竖直上抛，A、B为途中的任意两点，C为最高点，如图所示，则：
②多解性：当物体经过抛出点上方某个位置时，可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段，造成多解，在解决问题时要注意这个特性。
2.竖直上抛运动的v-t图和x-t图
【例3】小球从高空被竖直向上抛出。以向上为正，若2s内它的平均速度为－5m/s，g取10 m/s2，则上抛的初速度为（　　）
A．5 m/s B．10 m/s C．15 m/s D．25 m/s
【变式演练1】甲、乙两个小球先后从同一水平面的两个位置，以相同的初速度竖直向上抛出，小球距抛出点的高度h与时间t的关系图像如图所示。不计空气阻力，重力加速度为，则两小球同时在同一水平线上时，距离抛出点的高度为（　　）
A． B． C． D．
【变式演练2】升降机从井底以5m/s的速度向上匀速运行，某时刻一螺钉从升降机底板松脱，再经过4s升降机底板上升至井口，此时螺钉刚好落到井底，不计空气阻力，取重力加速度，下列说法正确的是（　　）
A．螺钉松脱后做自由落体运动
B．矿井的深度为45 m
C．螺钉落到井底时的速度大小为40 m/s
D．螺钉松脱后先做竖直上抛运动，到达最高点后再做自由落体运动
类型4 自由落体运动和竖直上抛运动的相遇问题
(1)同时运动，相遇位移方程： gt2+v0t- gt2=H,解得t=H/v0
(2)上升、下降过程中相遇问题
①若在a球上升时两球相遇，则有t
②若在a球下降时两球相遇，则有v0/g (3)中点相遇问题
若两球在中点相遇，有H/2= gt2,H/2=v0t- gt2;解得v0=,t=.
此时a球速度va=v0-gt=-g=0；b球速度vb=gt=g=v0.
交换速度大小。
(4)相遇时速率相等问题
若两球相遇时速率相等，则必然是速度大小相等，方向相反。有gt=v0-gt，且t=H/v0，联立解得v0=，
t=。此时a球下降ha= gt2=H/4；b球上升hb=3H/4.
【例4】如图所示，某同学将球A以速度v竖直向上抛出，到达最高点的同时，将球B也以速度v从同一位置竖直向上抛出。不计空气阻力，A、B两球均可视为质点，重力加速度为g。求：
（1）自球A抛出到与球B相遇所经历的时间；
（2）两球相遇时，A、B两球的速度大小；
（3）自球A抛出到两球相遇的过程中，A、B两球的速度变化量。

【变式演练1】如图所示，a、b、c三点位于空中同一竖直线上且b为ac中点，小球甲、乙完全相同，甲从a由静止释放的同时，乙从b以速度竖直向上抛出，两球在ab中点发生弹性碰撞。已知重力加速度大小为g，则甲、乙经过c点的时间差为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练2】如图所示，从地面竖直上抛一物体A，同时在离地面某一高度H处有一物体B开始自由下落，两物体在空中同时到达同一高度h时速度大小均为v，则下列说法正确的是（　　）
A．两物体在空中运动的加速度相同，运动的时间相等
B．A上升的最大高度小于B开始下落时的高度H
C．两物体在空中同时达到的同一高度的位置h一定在B开始下落时高度H的中点下方
D．A上抛的初速度与B落地时速度大小均为2v
【变式演练3】如图所示，从空中将小球从点竖直向上抛出的同时，将小球从点由静止释放，一段时间后在点正下方的点时追上，此过程中两小球均末落地且末发生碰撞。若两点间的高度差为，两点间的高度差为。不计空气阻力，重力加速度为，两小球均可视为质点，则小球相对抛出点上升的最大高度为（　　）

A． B． C． D．
题型四 多过程问题
【解题指导】1．多过程问题一般情景复杂、条件多，可画运动草图或作v－t图像形象地描述运动过程，这有助于分析问题，也往往能从中发现解决问题的简单方法.
2.多过程运动中各阶段运动之间的“连接点”的速度是两段运动共有的一个物理量，用它来列方程能减小复杂程度．
【必备知识与关键能力】
1．一般的解题步骤
(1)准确选取研究对象，根据题意画出物体在各阶段运动的示意图，直观呈现物体运动的全过程．
(2)明确物体在各阶段的运动性质，找出题目给定的已知量、待求未知量，设出中间量．
(3)合理选择运动学公式，列出物体在各阶段的运动方程及物体各阶段间的关联方程．
2．解题关键
多运动过程的连接点的速度是联系两个运动过程的纽带，因此，对连接点速度的求解往往是解题的关键．
【例1】（2024·湖北武汉·二模）为满足旅客乘坐高铁出行的不同需要，城际高铁开通了“一站直达”列车和“站站停”列车两种班次。假设两城高铁站之间均匀分布了4个车站，若列车在进站和出站过程中做匀变速直线运动，加速度大小均为2m/s2，其余行驶时间内保持最高时速288km/h匀速运动，“站站停”列车在每个车站停车时间均为t0=2min，则一站直达列车比“站站停”列车节省的时间为（　　）
A．10min40s B．11min20s
C．13min20s D．14min40s
【例2】（2023·全国·模拟预测）如图所示的自由落锤式强夯机将8~30 t的重锤从6~30m高处自由落下，对土进行强力夯实。某次重锤从某一高度自由落下，已知重锤在空中运动的时间为、从自由下落到运动至最低点经历的时间为，重锤从地面运动至最低点的过程可视为做匀减速直线运动，当地重力加速度为g，则该次夯土作业（　　）
A．重锤下落时离地高度为
B．重锤接触地面后下降的距离为
C．重锤接触地面后的加速度大小为
D．重锤在空中运动的平均速度大于接触地面后的平均速度
【变式演练1】如图所示，游船从某码头沿直线行驶到湖对岸，小明对过程进行观测，记录数据如下表：
运动过程 运动时间 运动状态
匀加速运动 初速度；末速度
匀速运动
匀减速运动 靠岸时的速度
（1）求游船匀加速运动过程中加速度大小及位移大小；
（2）求游船匀减速运动过程中加速度大小及位移大小；
（3）求游船在整个行驶过程中的平均速度大小。
【变式演练2】．足球比赛中，某运动员以12m/s的速度将球踢出的同时，立即起跑追赶足球。若足球沿草地做加速度大小为2m/s的匀减速直线运动，该运动员沿足球运动方向，先从静止开始做加速度为4m/s的匀加速直线运动，达到最大速度8m/s后保持该速度不变做匀速直线运动。则该运动员从起跑到追上足球所用的时间为（　　）
A．s B．4s
C．s D．2s
【变式演练3】（2024·河南·模拟预测）两列高铁交会时会对周围的空气产生强烈的扰动，造成车体表面的压力变化，突变的压力会冲击车体。实际在交会时可以适度降低车速以减小该冲击现象，假设长度均为L的两列高铁列车在平直轨道上以速率正常行驶，当两列车的任一部分侧视重叠时，列车速率都不允许超过。已知两列车同时减速和加速，且两列车加速和减速时加速度的大小均为，列车从减速开始至回到正常行驶速率所用时间至少为（　　）
A． B． C． D．
【变式演练4】为激发飞行学员的职业荣誉感，空军于2022年7月31日首次派出运—20飞机运送新录取飞行学员到空军航空大学报到。运—20飞机沿直线跑道由静止开始以最大加速度匀加速起飞，经过时间达到起飞速度。
（1）求飞机起飞时的加速度大小和发生的位移大小x1；
（2）跑道上有一个航线临界点（如图所示），超过临界点就必须起飞，如果放弃起飞飞机将可能冲出跑道，已知跑道长度，飞机减速的最大加速度大小，求临界点距跑道起点的距离。

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