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23.1 一次函数的概念
1.理解一次函数和正比例函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系.
2.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.（重点、难点）
一、情境导入
[课件展示]问题：某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃ .试用函数解析式表示y与x的关系.
分析：y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5 ℃减少6℃.因此，y与x的函数解析式为
y＝5－6x.
这个函数也可以写为y＝－6x＋5.
当登山队员由大本营向上登高0.5 km时，他们所在位置的气温就是当x＝0.5时函数 y＝－6x＋5 的值，即y＝－6×0.5＋5 ＝2(℃).
二、新知探究
（一）一次函数的概念
问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）铁的密度约为7.9g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化；
（2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．
（3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是m 的值；
（4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
解：（1）m= 7.9 V；
（2）h=0.5n；
（3）m= h-105；
（4）y=-5x+50.
问题2 观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？
[归纳总结]一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
一次函数的特点如下：
（1）解析式中自变量x的次数是 1 次;
（2）比例系数 k≠0 ；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
思考：一次函数与正比例函数有什么关系？
答：（1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
练一练：
1.下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1）y=-8x；（2）y=;（3）C=2πr;
（4）y=5x +6；（5）y=2（x-4）.
解：（1）（3）（6）是一次函数，
（1）（3）是正比例函数.
2.已知函数y=(m-1)x+1-m2.
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
解：（1）由题意可得
m-1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
（2）由题意可得
m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
（二）根据实际问题列一次函数解析式
[例题讲解]例 一个弹簧不挂物体时长 12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂 1 kg的物体，弹簧伸长 2 cm.
（1）求弹簧的长度 y（单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式；
（2）当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？
解：（1）由每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm 可知，
挂 x kg 的物体时，弹簧伸长 2x cm.因此，y 关于 x 的函数解析式为 y=2x+12.
（2）把 x=5代入 y=2x+12，得y=2×5+12=22.
因此，当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是 22 cm.
练一练：
我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的函数解析式.
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
解:（1）y=0.03×(x-3500) (3500(2)当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
(3)令y=19.2，则19.2=0.03×(x-3500),
解得 x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
三、课堂小结
四、课堂训练
1.下列说法正确的是（　D　）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
2.在函数①y=2-x;②y=8+0.03t;③y=1+x+;④y=中，是一次函数的有__①②__.
3. 要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 n=2 , m≠2 .
4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
解 ：(1)设y＝k(x－3)，
把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)，
解得k＝3，∴y＝3(x－3)，
∴ y＝3x－9，y是x的一次函数．
(2) 当x＝2.5时，y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
5.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其
速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：s）的函数解析式;
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
解：（1）小球速度v关于时间t的函数解析式为v=2t.
(2)当t=2.5时，v=2×2.5=5(m/s).
(3)时间每增加1 s，速度增加2 m/s，速度增加量不随着时间的变化而变化.
五、布置作业
完成对应练习。
本节课主要学习了一次函数和正比例函数的概念．教学过程中充分调动了学生的学习积极性，让学生参与到学习活动中，在活动的过程中，理解并掌握知识，同时也培养了学生的学习能力及参与意识，取得了良好的教学效果．(共21张PPT)
23.1 一次函数的概念
学习目标
1.理解一次函数和正比例函数的概念，明确一次函数与正比例函数之间的联系.
2.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数的解析式.（重点、难点）
问题 某登山队大本营所在地的气温为 5 ℃，海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时，他们所在位置的气温是y ℃ .试用函数解析式表示y与x的关系.
y随x变化的规律是：从大本营向上，当海拔
增加x km时，气温从5 ℃减少6℃.因此，y
与x的函数解析式为y＝5－6x.
这个函数也可以写为y＝－6x＋5.
当登山队员由大本营向上登高0.5 km时，他们所在位置的气温就是当x＝0.5时函数 y＝－6x＋5 的值，即
y＝－6×0.5＋5 ＝2(℃).
分析：
情境导入
新知探究
问题1 下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，请写出函数解析式.
（1）铁的密度约为7.9g/cm3,铁块的质量m（单位：g）随它的体积V（单位：cm3）的变化而变化；
（2）每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h（单位：cm）随练习本的本数n的变化而变化．
h=0.5n
m= 7.9 V
一、一次函数的概念
新知探究
（3）一种计算成年人标准体重m（单位：kg）的方法是，以厘米为单位量出身高值 h ，再减常数105，所得差是m 的值；
（4）把一个长10 cm，宽5 cm的矩形的长减少 x cm，宽不变，矩形面积 y（单位：cm2）随x的值而变化．
m= h-105
问题2 观察以上出现的四个函数解析式，很显然它们不是正比例函数，那么它们有什么共同特征呢？
（1）m = 7.9 V
（2）
（3）
（4）
h = 0.5 n
新知探究
m = h - 105
y = -5 x + 50
c
y = k(常数) x + b(常数)
归纳总结
一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫作一次函数.特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
一次函数的特点如下：
（1）解析式中自变量x的次数是 次;
（2）比例系数 ；
（3）常数项：通常不为0，但也可以等于0.
1
k≠0
新知探究
思考：一次函数与正比例函数有什么关系？
（2）正比例函数是一种特殊的一次函数.
（1）当b=0时，y=kx+b 即y=kx(k≠0)，此时该一次函数是正比例函数.
思考
为什么强调k是常数， k≠0呢？
新知探究
（5） .
1.下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
（1） ；
（2） ；
（3）C=2πr；
练一练
提示：一次函数右边必须是整式，然后紧扣一次函数的概念进行判断.
解：（1）（3）（6）是一次函数，
（1）（3）是正比例函数.
新知探究
（4） ；
2.已知函数 y=(m-1)x+1-m2.
（1）当m为何值时，这个函数是一次函数
解：由题意可得
m-1≠0，解得m≠1.
即m≠1时，这个函数是一次函数.
注意：利用定义求一次函数 的解析式时，必须保证：
（1）k ≠ 0；（2）自变量x的指数是“1”
新知探究
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数
解：由题意可得
m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
新知探究
例 一个弹簧不挂物体时长 12 cm，在弹簧的弹性限度内，每挂 1 kg的物体，弹簧伸长 2 cm.
（1）求弹簧的长度 y（单位：cm）关于所挂物体质量 x（单位：kg）的函数解析式；
（2）当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是多少？
新知探究
二、根据实际问题列一次函数解析式
新知探究
解：（1）由每挂 1 kg 的物体，弹簧伸长 2 cm 可知，
挂 x kg 的物体时，弹簧伸长 2x cm.因此，y 关于 x 的
函数解析式为
y=2x+12.
（2）把 x=5代入 y=2x+12，得y=2×5+12=22.
因此，当挂 5 kg 的物体时，弹簧的长度是 22 cm.
我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于3500元的部分不收税；月收入超过3500元但低于5000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入3860元,他应缴个人工资、薪金所得税为:（3860-3500）×3%=10.8元.
(1)当月收入大于3500元而又小于5000元时,写出应缴所得税y(元)与收入x(元)之间的函数解析式.
解:y=0.03×(x-3500) (3500练一练
新知探究
(2)某人月收入为4160元，他应缴所得税多少元？
解:当x=4160时，y=0.03×(4160-3500)=19.8（元）.
解:令y=19.2，则19.2=0.03×(x-3500),
解得 x=4140.
答:此人本月工资是4140元.
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元，那么此人本月工资是多少元？
新知探究
一次函数的概念
形式：y=kx+b（k≠0）
特别地，当b=0时，y=kx(k≠0)是正比例函数
一次函数的简单应用
课堂小结
1.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
D
课堂训练
2.在函数①y=2-x;②y=8+0.03t;③y=1+x+ ;
④y= 中，是一次函数的有_________.
①②
3. 要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足 , .
m≠2
n=2
课堂训练
4.已知y与x－3成正比例，当x＝4时，y＝3．
(1)写出y与x之间的函数关系式，并指出它是什么函数；
(2)求x＝2.5时，y的值．
∴ y＝3x－9，
y是x的一次函数．
y＝3×2.5 - 9＝ -1.5．
解 ：(1) 设 y＝k(x－3)，
把 x＝4，y＝3 代入上式，得 3＝ k(4－3)，
解得 k＝3，
(2) 当x＝2.5时，
∴y＝3(x－3)
新知探究
5.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其
速度每秒增加2 m/s．
（1）求小球速度v（单位：m/s）关于时间t（单位：
s）的函数解析式;
解：小球速度v关于时间t的函数解析式为v=2t.
课堂训练
（2）求第2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
解：
(2)当t=2.5时，v=2×2.5=5(m/s).
(3)时间每增加1 s，速度增加2 m/s，速度增加量不随着时间的变化而变化.
课堂训练

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