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24.2 数据的离散程度
第1课时 离差平方和与方差
1.理解离差、方差的意义，会进行离差、方差的计算．（重点、难点）
2.了解离差平方和的意义，掌握离差平方和的计算方法．（重点）
一、新课导入
问题 某射击队三位运动员某次选拔赛的射击成绩如图所示，你认为甲、乙、丙三人中谁的发挥更稳定？
能不能通过计算说明这三人成绩的稳定程度？
实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况.
为了反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均速的差异来刻画.
二、新知探究
（一）离差、离差平方和
一般地，有n个数据x1，x2，...，xn，用表示它们的平均数，我们把叫作关于平均数的离差或偏差.
一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画这一组数据与平均数的差异.所以还需要用离差平方和来刻画数据的离散程度.
离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即.
[典例精析]
例1 课程导入中，甲、乙、丙这三位运动员成绩的离差平方和分别是多少？
通过计算可知，甲、乙、丙这三位运动员的离差平方和分别为14，12，26，但仅仅只有他们成绩的离差平方和还不足以刻画他们发挥的稳定程度，因此，我们还将计算他们成绩的方差.
（二）方差
方差是离差的平方的平均数，即
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度.能较好地反映出数据的离散程度，数刻画数据离散程度最常用的统计量.
方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小.
[典例精析]
例2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？
练一练：
为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取了10株麦苗，测得高度(单位：cm)如下：
甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15；
乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11.
哪种麦苗长势整齐？
分析：根据题意，要比较哪种麦苗长势整齐，需比较它们高度的方差，先求出其平均数，再根据方差的公式计算方差，进行比较可得结论．
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
[典例精析]
例3 (1)观察下列各组数据并填空：
A：1　2　3　4　5　＝ 3 ，sA2＝ 2 ；
B：11　12　13　14　15 ＝ 13 ，sB2＝ 2 ；
C：10　20　30　40　50 ＝ 30 ，sC2＝ 200 ；
D：3　5　7　9　11 ＝ 7 ，sD2＝ 8 .
(2)比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？
导引：分别求平均数与方差，寻找四者之间的规律，然后根据规律解决问题．
解：(2)A与B比较，B组中各数据比A组中对应各数据多10，所以，而方差不变，即sB2＝sA2.
A与C比较，C组各数据为A组中对应各数据的10倍，所以＝30，sC2＝102×sA2＝200.A与D比较，D组各数据为A组中对应各数据的2倍多1，所以＝2＋1＝2×3＋1＝7，sD2＝22×sA2＝4×2＝8.
(3)若已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为，方差为s2， 那么另一组数据3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数是 ，方差是 ．
三、课堂小结
四、课堂训练
1.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下：，，，则成绩较为稳定的班级是（ B ）
A.甲班 B.乙班
C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
2.数据－2，－1，0，1，2的离差平方和是 10 ，方差是 2 .
3.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a= 3 ，这五个数的方差 5.6 .
五、布置作业
完成对应练习。
本次教学在解决引例问题时，通过对数据的分析，发现以前学过的统计知识不能解决新问题，引出矛盾，这里设计了小组讨论的环节，让学生在交流中得到启发，进而使学生的思维发生碰撞，产生创新的火花，真正体现“不同的人，在数学上得到不同的发展”．(共21张PPT)
第二十四章 数据的分析
24.2 数据的离散程度
第1课时 离差平方和与方差
学习目标
1.理解离差、方差的意义，会进行离差、方差的计算．（重点、难点）
2.了解离差平方和的意义，掌握离差平方和的计算方法．（重点）
问题 某射击队三位运动员某次选拔赛的射击成绩如图所示，你认为甲、乙、丙三人中谁的发挥更稳定？
新课导入
能不能通过计算说明这三人成绩的稳定程度？
新知探究
实际生活中，除了关心数据的集中趋势外，人们往往还关注数据的离散程度，即它们相对于集中趋势的偏离情况.
为了反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均速的差异来刻画.
新知探究
离差、离差平方和
离差平方和是各个数据与它们平均数之差的平方和，即
一般地，有n个数据x1，x2，...，xn ，用 表示它们的平均数，我们把 叫作 关于平均数 的离差或偏差.
一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画这一组数据与平均数的差异.所以还需要用离差平方和来刻画数据的离散程度.
新知探究
典例精析
例1 课程导入中，甲、乙、丙这三位运动员成绩的离差平方和分别是多少？
甲成绩的平均数为： ，离差平方和为：
乙成绩的平均数为： ，离差平方和为：
丙成绩的平均数为： ，离差平方和为：
新知探究
通过计算可知，甲、乙、丙这三位运动员的离差平方和分别为14，12，26，但仅仅只有他们成绩的离差平方和还不足以刻画他们发挥的稳定程度，因此，我们还将计算他们成绩的方差.
新知探究
方差
方差是离差的平方的平均数，即
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度.能较好地反映出数据的离散程度，数刻画数据离散程度最常用的统计量.
方差越大，数据的离散程度越大；方差越小 ，数据的离散程度越小.
新知探究
典例精析
例2 小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示.谁的成绩较为稳定？为什么？
测试次数 1 2 3 4 5
小明 10 14 13 12 13
小兵 11 11 15 14 11
新知探究
1 2 3 4 5 求平方和
小明 每次测试成绩 10 14 13 12 13
（每次成绩－ 平均成绩）2 5.76 2.56 0.36 0.16 0.36 9.2
小兵 每次测试成绩 11 11 15 14 11
（每次成绩－ 平均成绩）2 1.96 1.96 6.76 2.56 1.96 15.2
新知探究
计算可得：
小明5次测试成绩的标准差为 1.84；
小兵5次测试成绩的标准差为 3.04.
所以根据结果小明的成绩比较稳定
新知探究
练一练
为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽取了10株麦苗，测得高度(单位：cm)如下：
甲：15，15，14，11，16，14，12，14，13，15；
乙：17，14，12，16，15，14，14，14，13，11.
哪种麦苗长势整齐？
分析：根据题意，要比较哪种麦苗长势整齐，需比较它们高度的方差，先求出其平均数，再根据方差的公式计算方差，进行比较可得结论．
新知探究
解：
因为s甲2＜s乙2，所以甲种麦苗长势整齐．
新知探究
方法拓展
任取一个基准数a
将原数据减去a，得到一组新数据
求新数据的方差
1
2
3
求一组较大数据的方差，有如下简便计算方法：
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度，但只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受限制.
新知探究
典例精析
例3 (1)观察下列各组数据并填空：
A：1　2　3　4　5　 ＝________，sA2＝________；
B：11　12　13　14　15 ＝_______，sB2＝_______；
C：10　20　30　40　50 ＝_______，sC2＝_______；
D：3　5　7　9　11 ＝________，sD2＝________；
(2)比较A与B，C，D的计算结果，你能发现什么规律？
导引：分别求平均数与方差，寻找四者之间的规律，然后根据规律解决问题．
3
2
8
7
2
200
30
13
新知探究
(2) A与B比较，B组中各数据比A组中对应各数据多10，
所以 ，而方差不变，即sB2＝sA2.
A与C比较，C组各数据为A组中对应各数据的10倍，所以
A与D比较，D组各数据为A组中对应各数据的2倍多1，
所以 ＝2 ＋1＝2×3＋1＝7，
sD2＝22×sA2＝4×2＝8.
＝30，sC2＝102×sA2＝200.
新知探究
(3)若已知一组数据x1，x2，…，xn的平均数为 ，方差为s2， 那么另一组数据3x1－2，3x2－2，…，3xn－2的平均数是________，方差是_______．
课堂小结
数据的离散程度
离差平方和
方差
课堂训练
1.人数相同的八年级（1）、（2）两班学生在同一次数学单元测试中，班级平均分和方差如下： ，
， ，则成绩较为稳定的班级是（ ）
A.甲班 B.乙班
C.两班成绩一样稳定 D.无法确定
B
课堂训练
2.数据－2，－1，0，1，2的离差平方和是_____， 方差是_____.
3.五个数1，3，a，5，8的平均数是4，则a =_____，这五个数的方差_____.
2
3
5.6
10
课堂训练
4. 甲、乙两台编织机纺织一种毛衣，在5天中两台编织机每天出的合格品数如下（单位：件）：甲：7 10 8 8 7 ；乙：8 9 7 9 7 . 计算在这5天中，哪台编织机出合格品的波动较小？
解：
所以是乙台编织机出的产品的波动性较小.
=（7+10+8+8+7）÷5=8
=（8+9+7+9+7）÷5=8

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