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4.2 4.2.5 第2课时　课后达标检测
1．设随机变量X服从正态分布N(2，σ2)且P(X<4)＝0.9，则P(0A．0.3 B．0.4
C．0.5 D．0.9
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2．已知随机变量X服从正态分布N(0，1)，若X落在区间(－2，－1)和(1，2)内的概率分别为p1，p2，则(　　)
A．p1＞p2 B．p1＜p2
C．p1＝p2 D．p1≤p2
解析：易知标准正态分布N(0，1)对应的正态曲线关于直线x＝0对称，因此p1＝p2.故选C.
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3．设随机变量X～N(0，1)，已知Φ(－2.8)＝0.037，则P(|X|>2.8)＝(　　)
A．0.037 B．0.074
C．0.926 D．0.975
解析：P(|X|>2.8)＝P(X<－2.8)＋P(X>2.8)＝Φ(－2.8)＋1－Φ(2.8)＝Φ(－2.8)＋Φ(－2.8)＝2×0.037＝0.074.故选B.
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该地水稻株高的方差为σ2＝100，所以B错误；
对于C，根据正态曲线的对称性可知，P(100＜x＜110)＝P(90＜x＜100)＞P(80＜x＜90)，所以株高在(80，90)和在(100，110)(单位：cm)的概率不一样大，所以C错误；
对于D，P(x＞120)＝P(x＜80)＞P(x＜70)，所以株高在120 cm以上的概率比株高在70 cm以下的概率大，所以D正确．故选D.
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6．(多选)设随机变量X服从正态分布N(0，1)，则下列结论中正确的是(　　)
A．P(|X|＜a)＝P(|X|＜a)＋P(|X|＝a)(a＞0)
B．P(|X|＜a)＝2P(X＜a)－1(a＞0)
C．P(|X|＜a)＝1－2P(X＜a)(a＞0)
D．P(|X|＜a)＝1－P(|X|＞a)(a＞0)
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解析：服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以P(|X|＝a)＝0，A正确；
X～N(0，1)，μ＝0，所以正态曲线关于直线x＝0对称，因为a>0，所以P(|X|＜a)＋2P(X＞a)＝1.又P(X＞a)＋P(X＜a)＝1，所以P(|X|＜a)＋2[1－P(X＜a)]＝1，即P(|X|＜a)＝2P(X＜a)－1(a＞0)，B正确，C错误；
P(|X|＜a)＋P(|X|＞a)＝1(a＞0)，D正确．
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7．小明所在的公司上午9：00上班，小明上班通常选择自驾、公交或地铁这三种方式．若小明选择自驾，则从家到公司所用的时间(单位：min)服从正态分布N1(38，25)；若小明选择地铁，则从家到公司所用的时间(单位：min)服从正态分布N2(45，9)；若小明选择公交，则从家到公司所用的时间(单位：min)服从正态分布N3(36，16).若小明上午8：12从家出发，则选择________上班迟到的可能性最小．(填“自驾”“公交”或“地铁”)
参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈68.3%，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
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8．某工厂生产一批零件(单位：cm)，其尺寸X服从正态分布N(μ，σ2)，且P(X≤20)＝0.2，P(X＜26)＝0.8，则μ＝________．
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10．已知某公司人均月收入X服从正态分布，其概率密度函数的图象如图所示．
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(1)写出此公司人均月收入的概率密度函数的解析式；
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(2)求此公司人均月收入在[8 000，8 500]之间的人数所占的百分比．
11．(2024·山东德州期末)为了检测自动包装线生产的罐装咖啡，检验员每天从生产线上随机抽取k(k∈N＋)罐咖啡，并测量其质量(单位：g).由于存在各种不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的质量与标准质量之间存在一定的误差，已知这条包装线在正常状态下，每罐咖啡的质量服从正态分布N(μ，σ2).假设生产状态正常，记X表示每天抽取的k罐咖啡中质量在[μ－3σ，μ＋3σ]之外的罐数，若X的数学期望E(X)＞0.03，则k的最小值为(　　)
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈99.7%.
A．10 B．11
C．12 D．13
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解析：因为P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997，所以1－0.997≈0.003，故X～B(k，0.003)，所以E(X)＝0.003k＞0.03，解得k＞10，因为k∈N＋，故k的最小值为11.故选B.
12.阿鑫上学有时坐公交车，有时骑自行车．若阿鑫坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，其正态曲线如图所示，则以下结论错误的是(　　)
A．Y的数据较X更集中
B．若有34 min可用，那么坐公交车不迟到的概率大
C．若有38 min可用，那么骑自行车不迟到的概率大
D．P(X＞30)＋P(Y≤30)＝1
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13．在某次大型人才招聘活动中，共有2 000人参加笔试，笔试成绩位于区间[70，80)，[80，90)，[90，100]的人数分别为683，271，46，已知此次笔试满分为100分，且成绩近似服从正态分布，则笔试成绩的标准差约为_________________．
(参考数据：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈95.4%)
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14．某人骑自行车上班，第一条路线较短但拥挤，到达时间X(单位：min)服从正态分布N(5，1)；第二条路线较长不拥挤，到达时间Y(单位：min)服从正态分布N(6，0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟，问他应选哪一条路线？若离点名时间还有6.5分钟，问他应选哪一条路线？
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16．“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用．某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名职员，其中275个高薪职位和25个普薪职位．实际报名人数为2 000名，考试满分为400分．本次招聘考试的命题和组考非常科学，是一次成功的考试，考试成绩服从正态分布．考试后考生成绩的部分统计结果如下：考试平均成绩是180分，360分以上(含360分)的高分考生有30名．
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(1)求最低录取分数(结果按四舍五入保留整数)；
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