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培优3　导数中的函数构造问题
　　导数中的构造函数问题常以选择题或填空题的形式考查，函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想，而导数中的构造函数问题的解题思路恰好是这两种思想的良好体现，在解决问题的过程中，应有目的、有意识地进行构造，始终“盯住”要解决的目标．怎样合理的构造函数就是问题的关键，下面就从以下两种类型谈谈构造函数的技巧．
类型一　构造和与差形式的函数
(1)若f′(x)＞a(a≠0)，即导函数大于某个非零常数(a＝0，则无须构造)，构造函数h(x)＝f(x)－ax.
(2)对于不等式f′(x)＋g′(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；对于不等式f′(x)－g′(x)＞0(或＜0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x).
　　　　函数y＝f(x)，x∈R，f(1)＝2 025，对任意的x∈R，都有f′(x)－3x2＞0成立，则不等式f(x)＜x3＋2 024的解集为(　　)
A．(－∞，1)
B．(－∞，－1)
C．(－1，1)
D．(1，＋∞)
√
【解析】　设h(x)＝f(x)－x3，
则h′(x)＝f′(x)－3x2＞0，
所以h(x)在R上单调递增，
h(1)＝f(1)－13＝2 024，
而f(x)＜x3＋2 024，所以f(x)－x3＜h(1)，
即h(x)＜h(1)，
所以x＜1，所以不等式f(x)　　　　(1)若函数y＝f(x)在R上可导，且满足xf′(x)＋f(x)>0恒成立，a，b(a>b)为常数，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．af(a)>bf(b) B．af(b)>bf(a)
C．af(a)【解析】　令g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)>0恒成立，故g(x)在R上单调递增．因为a>b，所以g(a)>g(b)，即af(a)>bf(b).故选A．
√
(1，＋∞)
√
2．已知f(x)为定义在R上的可导函数，且满足f(x)>f′(x)，对任意的正数a，b，若aA．eaf(a)>ebf(b)　　 B．eaf(a)C．eaf(b)ebf(a)
√
c＞b＞a
4．已知f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，f′(x)是f(x)的导函数，当x＞0时，xf′(x)＋2f(x)＞0，若f(2)＝0，则不等式x2f(x)＞0的解集是________________________．
解析：令G(x)＝x2f(x)，
G′(x)＝2xf(x)＋x2f′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]，
因为当x＞0时，xf′(x)＋2f(x)＞0，
所以G′(x)＞0，G(x)单调递增，
(－2，0)∪(2，＋∞)
因为f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，
所以在(－∞，0)∪(0，＋∞)上，f(－x)＝－f(x)，
所以G(－x)＝x2f(－x)＝－x2f(x)＝－G(x)，
所以G(x)是奇函数，所以当x＜0时，G(x)单调递增，
因为f(2)＝0，所以G(2)＝4f(2)＝0，
又G(x)为奇函数，所以G(－2)＝0，作出G(x)的大致图象如图，
所以在(－∞，－2)上，
G(x)＜0，
在(－2，0)上，G(x)＞0，
在(0，2)上，G(x)＜0，在(2，＋∞)上，G(x)＞0，
所以不等式x2f(x)＞0的解集为(－2，0)∪(2，＋∞).

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