资源简介

(共39张PPT)
章末综合检测(二)
√
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．f(x)＝x ln x在x＝e处的导数f′(e)＝(　　)
A．1 B．2
C．e D．e＋1
解析：由f(x)＝x ln x，得f′(x)＝ln x＋1，
所以f′(e)＝ln e＋1＝2.故选B．
√
√
4．已知函数f(x)＝(x－2 022)(x－2 023)(x－2 024)(x－2 025)，则f(x)的图象在x＝2 024处的切线方程为(　　)
A．2x＋y－4 048＝0 B．x＋y－2 024＝0
C．2x－y－4 048＝0 D．x－y－2 024＝0
解析：由题意知f′(x)＝(x－2 022)(x－2 023)(x－2 025)＋(x－2 024)[(x－2 022)(x－2 023)(x－2 025)]′，所以f′(2 024)＝2×1×(－1)＝－2，又f(2 024)＝0，所以f(x)的图象在x＝2 024处的切线方程为y－0＝－2(x－2 024)，即2x＋y－4 048＝0.故选A．
√
5．已知函数f(x)＝x3－3x，x∈(a，a＋4)存在最小值，则实数a的取值范围为(　　)
A．[－2，1)
B．(－2，1)
C．[－3，1)
D．(－3，1)
√
解析：因为f(x)＝x3－3x，所以f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＝0得x＝±1，且x<－1时，f′(x)>0，－11时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，－1)上单调递增，在(－1，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，又f(－1)＝2，f(1)＝－2，令f(x)＝x3－3x＝－2，解得
x＝－2或x＝1，所以其图象如图，由图可知，
x∈(a，a＋4)时f(x)存在最小值，所以－2≤a<1解得－2≤a<1，即实数a的取值范围为[－2，1).故选A．
√
7．已知函数f(x)的定义域是R，f(1)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式exf(x)>ex＋e的解集为(　　)
A．{x|x>1} B．{x|x<1}
C．{x|x<－1或01}
解析：令g(x)＝exf(x)－ex－e，因为f(1)＝2，所以g(1)＝ef(1)－e－e＝0，又g′(x)＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]>0，所以g(x)在R上单调递增，不等式exf(x)>ex＋e，即g(x)>0，所以g(x)>g(1)，所以x>1，即不等式exf(x)>ex＋e的解集为{x|x>1}．故选A．
√
√
√
√
10．函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　)
A．－1是函数f(x)的极值点
B．3是函数f(x)的极大值点
C．f(x)在区间(－1，4)上单调递减
D．1是函数f(x)的极小值点
√
√
解析：对于A项，由题图可知，当x<－1时，f′(x)>0，所
以f(x)在(－∞，－1)上单调递增；当－1f′(x)<0，所以f(x)在(－1，3)上单调递减．所以f(x)在
x＝－1处取得极大值，故A正确；
对于B项，由题图可知，当x>－1时，f′(x)≤0恒成立，且不恒为0，所以f(x)在(－1，＋∞)上单调递减，所以3不是函数f(x)的极大值点，故B错误；
对于C项，由B可知，f(x)在区间(－1，4)上单调递减，故C正确；
对于D项，由B可知，f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．所以1不是函数f(x)的极小值点，故D错误．故选AC．
11．f(x)是定义在R上的连续可导函数，其导函数为f′(x)，下列命题中正确的是(　　)
A．若f(x)＝f(－x)，则f′(x)＝－f′(－x)
B．若f′(x)＝f′(x＋T)(T≠0)，则f(x)＝f(x＋T)
C．若f(x)的图象关于点(a，b)中心对称，则f′(x)的图象关于直线x＝a对称
D．若f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2，f′(x＋2)的图象关于原点对称，则f(－1)＋f′(2)＝1
√
√
√
解析：A中，由f(x)＝f(－x)，根据导数的运算法则，可得f′(x)＝－f′(－x)，所以A正确；
B中，例如函数f(x)＝x，可得f′(x)＝1，此时满足f′(x)＝f′(x＋T)(T≠0)，但f(x)≠f(x＋T)，所以B错误；
C中，由f(x)的图象关于点(a，b)中心对称，可得f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，两边同时取导数，可得f′(a＋x)－f′(a－x)＝0，即f′(a＋x)＝f′(a－x)，所以f′(x)的图象关于直线x＝a对称，所以C正确；
D中，由f(－1＋x)＋f(－1－x)＝2，令x＝0，可得f(－1)＋f(－1)＝2，即f(－1)＝1，又由f′(x＋2)的图象关于原点对称，令x＝0，可得f′(2)＝0，所以f(－1)＋f′(2)＝1，所以D正确．故选ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知函数f(x)＝ex－ax在R上单调，则实数a的取值范围为____________．
解析：由函数f(x)＝ex－ax，可得f′(x)＝ex－a，
要使得函数f(x)在R上单调，
则f′(x)≥0或f′(x)≤0在 R上恒成立，
即a≤ex或a≥ex在R上恒成立，
当a≤ex在R上恒成立，可得a≤0；
当a≥ex 在R上恒成立，此时不存在，舍去．
综上可得，实数a的取值范围为(－∞，0].
(－∞，0]
13．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为__________．
解：易知f′(x)＝x2－4x＋m，
依题意f′(1)＝12－4×1＋m＝0，解得m＝3，
此时f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)，
当x<1或x>3时，f′(x)>0；
当1即函数f(x)在(－∞，1)，(3，＋∞)上单调递增，在(1，3)上单调递减，
因此函数f(x)在x＝1时取得极值，
所以m＝3.
17．(本小题满分15分)已知函数f(x)＝ex＋1，若函数y＝f(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q都在函数g(x)的图象上．
(1)求函数g(x)的解析式；
解：设Q(x，y)为g(x)图象上任意一点，
则P(－x，－y)是点Q关于原点的对称点，
因为P(－x，－y)在y＝f(x)的图象上，
所以－y＝e－x＋1，
即y＝－e－x＋1，故g(x)＝－e－x＋1.
已知函数f(x)＝ex＋1，若函数y＝f(x)的图象上任意一点P关于原点对称的点Q都在函数g(x)的图象上．
(2)若存在x∈[0，1)，使f(x)＋g(x)≥m成立，求实数m的取值范围．
解：f(x)＋g(x)≥m，即ex＋1－e－x＋1≥m，
设F(x)＝ex＋1－e－x＋1，则F′(x)＝ex＋1＋e－x＋1，
易知F′(x)>0，所以F(x)在[0，1)上单调递增，
所以F(x)故实数m的取值范围是(－∞，e2－1).
18．(本小题满分17分)某公园有一块如图所示的区域OACB，
该场地由线段OA，OB，AC及曲线段BC围成．经测量，
∠AOB＝90°，OA＝OB＝100 m，曲线段BC是以OB为对
称轴的抛物线的一部分，点C到OA，OB的距离都是50 m．
现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF，其中点D在曲线段BC上，点E，F分别在线段OA，OB上，且该游乐场最短边长不低于30 m．设DF＝x m，游乐场的面积为S m2.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；
(2)求面积S关于x的函数解析式S＝f(x)；
当01时，g′(x)>0，则函数g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g(x)≥g(1)＝0，即 x∈(0，＋∞)，f′(x)≥0，当且仅当x＝1时，等号成立．所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，即函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，无单调递减区间．

展开更多......

收起↑