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4．2　平面向量及运算的坐标表示
新知学习 探究
PART
01
第一部分
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力为F2.

思考　这三个力的方向如何？三个力之间有什么关系？
提示：重力G竖直向下，下滑力F1沿斜面向下，木块对斜面的压力F2垂直于斜面向下；三个力之间的关系是G＝F1＋F2.
(x，y)　
(x，y)
√
√
√
向量的坐标表示实质上是向量的代数表示，引入向量的坐标后，可使向量运算代数化，将数和形紧密结合起来，从而使许多几何问题的证明转化为代数运算．求平面向量的坐标时，应注意以下两点：
(1)(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，为加以区别，常说点(x，y)和向量(x，y)．
(2)在向量的坐标表示中含有等号，即a＝(x，y)，不能写成a(x，y)．
[跟踪训练1] (1)如图，{e1，e2}是平面内的一组基，
且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，则向量a的坐标为(　　)
A．(1，3) B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
解析：因为e1，e2分别是与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，由题图可知a＝e1＋3e2，根据平面向量坐标的定义可知a＝(1，3)．故选A.
√
(4，3)，(－4，3)
(x1＋x2，y1＋y2)
(x1－x2，y1－y2)
(λx1，λy1)
(x2－x1，y2－y1)
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
向量坐标运算的法则
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算．
(3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行．
(2)设点P在第三象限，求实数λ的取值范围．
x1y2－x2y1＝0
角度1　利用向量共线求参数
已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？
【解】　ka＋b＝k(1，2)＋(－3，2)＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(1，2)－3(－3，2)＝(10，－4)．
【变式探究】
1．(综合变式)例题中的a＝(1，2)，b＝(－3，2)，改成a＝(1，2)，b＝(1，m)，若a与a＋b共线，则实数m＝________．
解析：因为向量a＝(1，2)，b＝(1，m)，所以向量a＋b＝(2，2＋m)，因为a与a＋b共线，所以1×(2＋m)－2×2＝0，解得m＝2.
2
由向量共线求参数值的步骤
√
用坐标证明向量共线：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a与b共线的充要条件为x1y2－x2y1＝0.
√
√
√
√
课堂巩固 自测
PART
02
第二部分
1．(教材P104T2改编)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝(　　)
A．(－23，－12) B．(23，12)
C．(7，0) D．(－7，0)
解析：因为3a－2b＋c＝0，所以c＝－3a＋2b＝－3(5，2)＋2(－4，－3)＝(－23，－12)．故选A.
√
√
(5，4)
4．已知向量a＝(－1，2)，b＝(2，0)，c＝(1，－1)，若向量(λa＋b)∥c，则实数λ＝____________．
解析：λa＋b＝(－λ＋2，2λ)，因为(λa＋b)∥c，所以－1×(－λ＋2)＝1×2λ，解得λ＝－2.
－2
1．已学面向量的坐标表示、平面向量运算的坐标表示、两个向量共线(平行)的坐标表示．
2．须贯通：平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式，只是要求两个向量互相垂直；向量的和与差的坐标就是它们对应向量坐标的和与差；两个向量相等，则它们的坐标相同．
3．应注意：(1)向量的坐标不一定是终点的坐标；
(2)两个向量共线的坐标表示的公式易记错．

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