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(共48张PPT)
培优课　活用基本不等式求最值
1.会根据题目特征选用常数代换法、分式分离法、消元法求最值（逻辑推理、数学运算）.
2.会利用基本不等式求参数的值（范围）（逻辑推理、数学运算）.
重点解读
一、常数代换法求最值
01
二、分式分离法求最值
02
三、消元法求最值
03
目录
课时作业
04
课时作业
05
一、常数代换法求最值
01
PART
【例1】　（1）已知x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，则 ＋ 的最小值为
（　A　）
A. 5
A
解析：因为x＞0，y＞0，且4x＋y＝1，所以 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
＋1≥2 ＋1＝5.当且仅当 即 时等号成立，故
＋ 的最小值为5.故选A.
C. 4
（2）已知正实数a，b满足a＋4b＝ab，则a＋b的最小值为（　B　）
A. 4 B. 9
C. 10 D. 20
B
解析：因为a，b为正实数，方程a＋4b＝ab两边同时乘以 得 ＋ ＝
1，所以a＋b＝（a＋b） ＝ ＋4＋1＋ ≥2 ＋5＝9，当
且仅当 即 时等号成立，故a＋b的最小值为9.故选B.
【规律方法】
常数代换法的应用技巧
　　常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值
的式子，然后利用基本不等式求解最值.应用此种方法求解最值时，应把
“常数”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商.
训练1　（1）已知x＞0，y＞0，且 ＋ ＝1，求x＋y的最小值；
解：因为 ＋ ＝1，所以x＋y＝（x＋y） ＝10＋ ＋ .
因为x＞0，y＞0，
所以 ＋ ≥2 ＝6，当且仅当 ＝ ，即y＝3x时，等号成立.
因为 ＋ ＝1，
所以当x＝4，y＝12时，（x＋y）min＝16，所以x＋y的最小值为16.
（2）已知a＞0，b＞0，若a＋b＝2，求 ＋ 的最小值.
解：因为a＞0，b＞0，且a＋b＝2，
则 ＋ ＝ （a＋b） ＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18，当且
仅当b＝2a即a＝ ，b＝ 时，等号成立，因此 ＋ 的最小值为18.
二、分式分离法求最值
02
PART
【例2】　函数y＝ （x＞－1）的最小值是（　　）
A. 10 B. 12
C. 13 D. 14
解析：　法一　y＝ ＝ ＝（x＋1）＋
＋4≥2 ＋4＝10，当且仅当x＋1＝ ，即x＝2时，等号成立.
√
法二　令x＋1＝t＞0，所以x＝t－1，所以y＝ ＝
＝ ＝t＋ ＋4≥2 ＋4＝10，当且仅当t＝
，t＝3，即x＝2时，等号成立.故选A.
【规律方法】
　　分式分离法是指对分子的次数不低于分母的次数的分式进行整式分
离——将分式分离为整式与“真分式”的和，再根据分式分母的情况对整
式进行拆项，为应用基本不等式求最值创造条件，进而求出最值.
训练2　已知x＞1，则 的最大值为（　　）
解析：　因为x＞1，所以x－1＞0， ＝ ＝
≤ ＝ ，当且仅当x－1＝ ，即x＝3时取等
号.故选A.
√
03
PART
三、消元法求最值
【例3】　已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，求x＋2y的最小值.
解：由x＋2y＋2xy＝8，可知y＝ ，
因为x＞0，y＞0，所以0＜x＜8.
所以x＋2y＝x＋ ＝x＋ ＝x＋ －1＝x＋1＋ －2≥2 －2
＝4，
当且仅当x＋1＝ ，即x＝2时等号成立.
所以x＋2y的最小值为4.
【规律方法】
消元法求最值的思路
　　对含有多个变量的最值问题，若无法直接利用基本不等式求解，可尝
试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个变量，再代入代数式中
转化为只含有一个变量的最值问题.
训练3　已知a＞0，且a2－b＋4＝0，则 （　　）
解析：　因为a2－b＋4＝0，所以b＝a2＋4，所以 ＝3－ ＝3
－ ＝3－ ≥3－ ＝ ，当且仅当a＝2，b＝8时取等
号，所以 有最小值 ，故选D.
√
四、利用基本不等式求参数的值（范围）
04
PART
【例4】　已知a＞0，b＞0，若不等式 ＋ ≥ 恒成立，则m的最大
值为（　　）
A. 10 B. 9
C. 8 D. 7
√
解析：　因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＞0，所以要使 ＋ ≥ 恒
成立，只需m≤（2a＋b）· 恒成立，又（2a＋b） ＝4＋
＋ ＋1≥5＋4＝9，当且仅当a＝b时，等号成立，所以m≤9，故实数
m的最大值为9.
【规律方法】
求参数的值或取值范围的一般方法
（1）分离参数，转化为求代数式的最值问题；
（2）观察题目特点，利用基本不等式确定成立条件，从而求得参数的值
或取值范围；
（3）注意等号的取舍，防止失误.
训练4　若两个正实数x，y满足 ＋ ＝1，并且x＋2y＞4＋2m恒成立，
则实数m的取值范围是 .　
解析：∵x＞0，y＞0，且 ＋ ＝1，∴x＋2y＝（x＋2y） ＝2＋
＋ ＋2≥4＋2 ＝8，当且仅当 ＝ ，即4y2＝x2时等号成立.由x
＋2y＞4＋2m恒成立，可知4＋2m＜8，解得m＜2.
m＜2
基本不等式链的探究与证明
（链接教材P46练习1题）“已知a，b∈R，求证ab≤ ”是基本不
等式的变形，此变形在求最值中经常用到.
【问题探究】
基本不等式可进一步变式， ≥ ≥ab（a，b∈R），也可
表示为 ≥ ≥ （a＞0，b＞0），当且仅当a＝b时，等号
成立，即为基本不等式链.
证明：若a，b为正数，则 ≥ ，当且仅当a＝b时等式成立.
所以 ≥ab，即 ≥ab，
又因为 － ＝ ≥0，
所以 ≥ ≥ab.
【迁移应用】
〔多选〕设正实数x，y满足x＋y＝2，则下列说法正确的是（　　）
A. xy的最小值为1
D. x2＋y2的最小值为2
√
√
解析：xy≤ ＝1，∵x＞0，y＞0，x＋y＝2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，即xy的最大值为1，故选项A错误；∵x＋y＝2，∴ （x＋y）＝1.∴ ＋ ＝ （x＋y） ＝ ＝1＋ （ ＋ ）≥1＋ ×2 ＝2.当且仅当x＝y＝1时等号成立，故选项
B正确；∵ ≤ ＝1.∴ ＋ ≤2，当且仅当x
＝y＝1时等号成立，即 ＋ 的最大值为2，故选项C错误；由 ≤ 得x2＋y2≥ ＝2，当且仅当x＝y＝1时等号成立，即x2＋y2的最小值为2，故选项D正确.故选B、D.
课时作业
05
PART
1. 已知a＞0，b＞0，ab＝1，且m＝b＋ ，n＝a＋ ，则m＋n的最小
值是（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：∵a＞0，b＞0，ab＝1，∴m＋n＝b＋ ＋a＋ ＝2a＋2b≥2 ＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故m＋n的最小值为4.
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√
2. 设m＞0，n＞0，且m＋2n＝1，则 ＋ 的最小值为（　　）
A. 4
D. 6
解析：由 ＋ ＝ （m＋2n）＝3＋ ＋ ≥3＋2 ＝3
＋2 ，当且仅当m＝ n＝ －1时等号成立.
√
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3. 若正数x，y满足x2＋xy－2＝0，则3x＋y的最小值是（　　）
A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
解析：因为x2＋xy－2＝0，所以y＝ ＝ －x，所以3x＋y＝3x＋ －x＝2x＋ ≥4，当且仅当x＝1时，等号成立，所以3x＋y的最小值是4.
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4. 已知a＞0，b＞0，若 ＋ ≥ 恒成立，则实数λ的取值范围为
（　　）
A. λ≥5 B. λ≥9
C. λ≤5 D. λ≤9
解析：　因为a＞0，b＞0，由已知可得λ≤（a＋b）· ，因为
（a＋b）＝ ＋ ＋5≥2 ＋5＝9，当且仅当b＝2a时等号
成立，故实数λ的取值范围为λ≤9.故选D.
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5. 已知x＞0，y＞0，x＋y＝1，则 的最小值为（　　）
A. 4
解析：　因为x＞0，y＞0，x＋y＝1，所以原式＝
＝ ＝ ＋ ＋1≥2 ＋1＝2
＋1，当且仅当 ＝ 且x＋y＝1，即x＝ －1，y＝2－ 时取等号，
所以 的最小值为2 ＋1.故选D.
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6. 〔多选〕若a＞0，b＞0，且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是
（　　）
D. a2＋b2≥8
解析：∵a＞0，b＞0，a＋b＝4，∴ ≤ ＝2（当且仅当a＝b＝2时取“＝”），∴ab≤4，∴ ≥ ，∴A正确，C错误；由以上分析得 ＋ ＝ ＝ ≥ ＝1，∴B正确；∵2（a2＋b2）≥（a＋b）2＝16，∴a2＋b2≥8，当且仅当a＝b＝2时取等号，∴D正确.故选A、B、D.
√
√
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7. 〔多选〕已知a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，则下列结论正确的是
（　　）
D. （a＋1）（b＋1）的最大值为2
√
√
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解析：　∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴由基本不等式可得，1＝2a
＋b≥2 ，解得ab≤ ，当且仅当2a＝b＝ ，即a＝ ，b＝ 时等
号成立，故A错误； ＋ ＝ （2a＋b）＝4＋ ＋ ≥4＋2
＝8，当且仅当 ＝ ，即a＝ ，b＝ 时取等号，故B正确；
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∵a＞0，b＞0，且2a＋b＝1，∴1＝2a＋b≥2 ， ＋ ＞0，∴（ ＋ ）2＝2a＋b＋2 ≤2a＋b＋2a＋b＝2，∴ ＋ ≤ ，当且仅当2a＝b＝ ，即a＝ ，b＝ 时等号成立，∴ ＋ 的最大值为 ，故C正确；（a＋1）（b＋1）＝（a＋2a＋b）（b＋2a＋b）＝2（3a＋b）（a＋b）＝2（3a2＋4ab＋b2）＝2[（2a＋b）2－a2]＝2（1－a2）＜2，故D错误.故选B、C.
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8. 已知x＞0，则 的最大值为 　 　.
解析：因为 ＝ ，x＋ ≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以 的
最大值为 .

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9. 若实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋ 的最小值为 .
解析：实数a，b满足ab＞0，则a2＋4b2＋ ≥4ab＋ ≥4，当且仅当a
＝2b且ab＝ 时等号成立.
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10. 已知x＞－1，则 的最小值为 .
解析：
＝
＝ ＝（x＋1）＋ ＋10，因为x＞－1，所以x＋1
＞0，所以（x＋1）＋ ＋10≥2 ＋10＝16，当且仅当x＋1＝ ，即
x＝2时，等号成立.
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11. 已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求：
（1）xy的最小值；
解：由2x＋8y－xy＝0，
得 ＋ ＝1，又x＞0，y＞0，
则1＝ ＋ ≥2 ＝ ，得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立.
所以xy的最小值为64.
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（2）x＋y的最小值.
解：由2x＋8y－xy＝0，
得 ＋ ＝1，
则x＋y＝ ·（x＋y）＝10＋ ＋ ≥10＋2 ＝18，
当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，所以x＋y的最小值为18.
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12. 已知x＞0，y＞0，4x2＋y2＋xy＝1，求：
（1）4x2＋y2的最小值；
解：∵x＞0，y＞0，
∴4x2＋y2≥2 ＝4xy＝4[1－（4x2＋y2）]，
∴4x2＋y2≥ ，当且仅当x＝ ，y＝ 时等号成立，
∴4x2＋y2的最小值是 .
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（2）2x＋y的最大值.
解：由x＞0，y＞0，且4x2＋y2＋xy＝1，得（2x＋y）2－1＝3xy＝
·2x·y≤ × ，
∴（2x＋y）2≤ ，
∴2x＋y≤ ，
当且仅当x＝ ，y＝ 时等号成立，
∴2x＋y的最大值是 .
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13. 设x＞0，y＞0.
（1）若x＋y＝2，求 ＋ 的最大值；
解：因为（ ＋ ）2＝（x＋1）＋（y＋1）＋
2 ≤（x＋1）＋（y＋1）＋（x＋1）＋（y＋1）＝2
（x＋y）＋4＝8，所以 ＋ ≤2 ，当且仅当x＋1＝y＋1，
即x＝y＝1时等号成立，所以 ＋ 的最大值为2 .
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（2）若x2＋ ＝1，求x 的最大值.
解：法一　因为x＞0，y＞0，x2＋ ＝1，所以x ＝
≤ · ＝ ，
当且仅当x2＝ ＋ ，即x＝ ，y＝ 时，等号成立，所以x 的
最大值为 .
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法二　因为x2＋ ＝1，所以y2＝2－2x2.
因为x＞0，y＞0，所以 解得0＜x＜1.
故x ＝x ＝x ＝ ≤
× ＝ ，
当且仅当2x2＝3－2x2，即x＝ 时，等号成立，
故x 的最大值为 .
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THANKS
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