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(共34张PPT)
培优课 一元二次不等式恒、能成立问题
1.理解一元二次不等式恒、能成立问题的区别及不同的表述形式（直观想象、逻辑推理）.
2.会求一元二次不等式在R上（或在给定区间上）的恒成立问题（逻辑推理、数学运算）.
3.会求一元二次不等式中简单的能成立问题（直观想象、逻辑推理）.
重点解读
一、在R上恒成立问题
01
二、在给定范围上的恒成立问题
02
三、简单的能成立问题
03
目录
课时作业
04
一、在R上恒成立问题
01
PART
【例1】　已知不等式kx2＋2kx－（k＋2）＜0恒成立，求实数k的取值
范围.
解：当k＝0时，原不等式化为－2＜0，显然符合题意.
当k≠0时，令y＝kx2＋2kx－（k＋2），由y＜0恒成立，
∴其图象都在x轴的下方，即开口向下，且与x轴无交点.
∴ 解得－1＜k＜0.
综上，实数k的取值范围是{k｜－1＜k≤0}.
【规律方法】
　　一元二次不等式在R上的恒成立问题，转化为一元二次不等式解集为R
的情况，即
ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≥0（a≠0）恒成立
ax2＋bx＋c≤0（a≠0）恒成立
　　提醒：若题目中未强调是一元二次不等式，且二次项系数含参，一定
要讨论二次项系数是否为0.
训练1　已知 x∈R，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，则实数a的取值范围
为 .
解析：原不等式可化为x2＋ax＋3－a≥0，∵函数y＝x2＋ax＋3－a的图
象开口向上，∴Δ＝a2－4（3－a）＝a2＋4a－12≤0，即（a－2）（a＋
6）≤0，∴－6≤a≤2，∴实数a的取值范围为{a｜－6≤a≤2}.
{a｜－6≤a≤2}
二、在给定范围上的恒成立问题
02
PART
【例2】　当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4＜0恒成立，求实数m的取值
范围.
解：令y＝x2＋mx＋4，
∵y＜0在1≤x≤2上恒成立，
∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2.
如图，可得 解得m＜－5，
∴实数m的取值范围是{m｜m＜－5}.
【规律方法】
在给定范围上恒成立问题的解题策略
（1）当a＞0时，ax2＋bx＋c＜0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2
＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时小于0；
（2）当a＜0时，ax2＋bx＋c＞0在x∈{x｜α≤x≤β}上恒成立 y＝ax2
＋bx＋c在x＝α，x＝β时的函数值同时大于0.
训练2　若对任意的－1≤x≤2，都有x2－2x＋a≤0（a为常数），则a的
取值范围是（　　）
A. a≤－3 B. a≤0
C. a≥1 D. a≤1
解析：令y＝x2－2x＋a，则由题意，得
解得a≤－3.故选A.
√
03
PART
三、简单的能成立问题
【例3】　已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围
为（　　）
A. {a｜－1≤a≤4} B. {a｜－1＜a＜4}
C. {a｜a≥4或a≤－1} D. {a｜－4≤a≤1}
解析：由于－x2＋4x＝－（x－2）2＋4≤4，又因为－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，则实数a的取值范围为{a｜－1≤a≤4}.
√
【规律方法】
解决能成立问题的方法
（1）结合二次函数图象，将问题转化为端点值的问题解决；
（2）对一些简单的问题，m＞y能成立可转化为m＞ymin，m＜y能成立
可转化为m＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取值范
围.当y取不到最小值或最大值时，注意参数取值范围的变动.
训练3　若关于x的方程x2＋kx－k＋3＝0有实数解，则实数k的取值范围
是 .
解析：由题设，Δ＝k2－4（3－k）＝k2＋4k－12＝（k＋6）（k－2）
≥0，所以k≤－6或k≥2.
k≤－6或k≥2
课时作业
04
PART
1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数的条件是（　　）
解析：　一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为全体实数等价于二次
函数y＝ax2＋bx＋c的图象全部在x轴下方，需要开口向下，且与x轴无交
点，故需要
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√
2. 关于x的不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，则实数m的取值范围是
（　　）
A. {m｜0＜m＜4}
B. {m｜m＜－2或m＞2}
C. {m｜－2≤m≤2}
D. {m｜－2＜m＜2}
解析：　∵不等式x2－mx＋1＞0的解集为R，∴函数y＝x2－mx＋1的图
象在x轴上方，∴方程x2－mx＋1＝0无实数解，∴Δ＜0，即m2－4＜0，解
得－2＜m＜2，∴实数m的取值范围是{m｜－2＜m＜2}.故选D.
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3. 对任意实数x，式子 均有意义，则实数k的取值范围是
（　　）
A. k≤8 B. 0≤k＜8
C. 0≤k≤8 D. k＞8
解析：　由对任意实数x，式子 均有意义知，kx2＋kx＋
2≥0恒成立，若k＝0，则2≥0恒成立，满足题意；若k≠0，则有
解得0＜k≤8.综上可知，实数k的取值范围是
0≤k≤8.
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4. 若关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，则实数m的取值范围是（　　）
A. {m｜m≤－2或m≥2}
B. {m｜－2≤m≤2}
C. {m｜m＜－2或m＞2}
D. {m｜－2＜m＜2}
解析：∵关于x的不等式－x2＋mx－1≥0有解，且函数y＝－x2＋mx－1的图象开口向下，∴函数图象与x轴有交点，∴Δ＝m2－4≥0，解得m≥2或m≤－2.故选A.
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5. 若关于x的一元二次不等式x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，则实数t的
取值范围是（　　）
A. t≤2 B. t≥2
C. t≤4 D. t≥4
解析：　∵x2－tx＋4≥0在x≥1时恒成立，∴t≤ ＝x＋ 在x≥1时
恒成立，∴t≤ ，∵x＋ ≥2 ＝4，当且仅当x＝ ，即x＝
2时取等号，∴ ＝4，则t≤4.
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6. 〔多选〕不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的一个必要不充分条件是
（　　）
A. a＜1 B. a≤1
C. a＜2 D. a＜0
解析：因为ax2－2x＋1＜0的解集非空，显然当a≤0时恒成立，又由
解得0＜a＜1.综上，ax2－2x＋1＜0的解集非空的充要
条件为a＜1，所以不等式ax2－2x＋1＜0的解集非空的必要不充分条件应
该比a＜1的范围大，故选项B、C正确.
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7. 〔多选〕不等式x2＋bx＋c≥2x＋b对任意的x∈R恒成立，则（　　）
A. b2－4c＋4≤0 B. b≤0
C. c≥1 D. b＋c≥0
√
√
√
解析：x2＋bx＋c≥2x＋b可整理为x2＋（b－2）x＋c－b≥0，则Δ＝（b－2）2－4（c－b）＝b2－4c＋4≤0，故A正确；当b＝1，c＝2时，满足Δ≤0，即原不等式成立，故B错误；由Δ≤0，得c≥ ＋1，所以c≥1，故C正确；b＋c≥ ＋b＋1＝ ≥0，故D正确.
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解析：当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不
满足题意，舍去；当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需
解得a＞ .综上，所求实数a的取值范围是
.

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9. 若不等式x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则实数m的取值范围是
.
解析：x2＋（m－3）x＋m＜0无解，则Δ＝（m－3）2－4m＝m2－10m
＋9≤0，解得1≤m≤9.
{m｜
1≤m≤9}
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10. 命题p： x∈R，（m－3）x2－mx＋3＜0为真命题，则实数m的取值
范围为 .
解析：因为命题p： x∈R，（m－3）x2－mx＋3＜0为真命题，所以不
等式（m－3）x2－mx＋3＜0在R上有解.当m＝3时，不等式可化为－3x
＋3＜0，得x＞1，符合题意；当m＞3时，由题意得Δ＝（－m）2－12
（m－3）＞0，即m2－12m＋36＝（m－6）2＞0，解得m≠6；当m＜3
时，一定存在x∈R，使得（m－3）x2－mx＋3＜0成立.综上，实数m的
取值范围为{m｜m≠6}.
{m｜m≠6}
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11. 已知关于x的不等式（m2＋4m－5）x2－4（m－1）x＋3＞0对一切实
数x恒成立，求实数m的取值范围.
解：令y＝（m2＋4m－5）x2－4（m－1）x＋3.
①当m2＋4m－5＝0，即m＝1或m＝－5时，显然m＝1符合条件，m＝－
5不符合条件；
②当m2＋4m－5≠0时，由二次函数大于0对一切实数x恒成立，
得
解得1＜m＜19.
综合①②得，实数m的取值范围为{m｜1≤m＜19}.
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12. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点A（1，－2），B
（－1，0），且与反比例函数y＝ 交于点M（3，4）.
（1）求二次函数与反比例函数的表达式；
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解：∵点M（3，4）在反比例函数y＝ 的图象上，故有4＝ ，
解得k＝12，从而反比例函数为y＝ .
又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点A，B，M，
∴ 解得
∴二次函数为y＝x2－x－2.
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（2）若对 x∈R，ax2＋bx＋c≥mx－3恒成立，求实数m的取值范围.
解：由（1）知，二次函数的表达式为y＝x2－x－2，故有x2－x－
2≥mx－3在R上恒成立，即x2－（m＋1）x＋1≥0在R上恒成立，
∴Δ≤0，
又Δ＝[－（m＋1）]2－4＝m2＋2m－3，
∴m2＋2m－3≤0，解得－3≤m≤1.
故实数m的取值范围为{m｜－3≤m≤1}.
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13. 已知关于x的函数y＝x2－（a＋2）x＋4（a∈R）.
（1）若关于x的不等式y≤4－2a的解集恰好为{x｜2≤x≤5}，求实数a
的值；
解：y≤4－2a，即x2－（a＋2）x＋2a≤0，即（x－a）（x－2）≤0，
因为不等式的解集恰好为{x｜2≤x≤5}，所以a＝5.
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（2）若对任意的x∈{x｜1≤x≤4}，y＋a＋1≥0恒成立，求实数a的取
值范围.
解：由题意得，对任意的x∈{x｜1≤x≤4}，x2－（a＋2）x＋5＋a≥0恒成立，
即a（x－1）≤x2－2x＋5恒成立.
当x＝1时，0≤4恒成立，此时a∈R；
当x∈{x｜1＜x≤4}时，a≤ ＝x－1＋ 恒成立，
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因为0＜x－1≤3，所以x－1＋ ≥2 ＝4，当且仅当x－
1＝ ，即x＝3时等号成立，
所以a≤4.
综上可得a的取值范围为{a｜a≤4}.
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