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(共56张PPT)
第二课时　等式性质与不等式性质
知识点一　等式的性质
01
知识点二　不等式的性质
02
提能点　利用不等式的性质求代数式的范围
04
目录
课时作业
05
知识点三　利用不等式的性质证明不等式
03
知识点一
等式的性质
01
PART
【知识梳理】
性质 别名 内容
1 对称性 如果a＝b，那么b＝a
2 传递性 如果a＝b，b＝c，那么a＝c
3 同加（减）性 如果a＝b，那么a±c＝b±c
4 同乘性 如果a＝b，那么ac＝bc
5 同除性
　　提醒：（1）性质1，2反映了相等关系自身的特性：对称性和传递
性；（2）性质3，4，5反映了等式在运算中保持的不变性.
训练1　（1）〔多选〕若ma＝mb，则下列等式一定成立的是
（　BCD　）
A. a＝b B. ma－3＝mb－3
D. ma＋8＝mb＋8
解析：当m＝0时，a＝b不一定成立；根据等式的性质3可知ma－3＝mb
－3，ma＋8＝mb＋8均成立；根据等式的性质4可知，－ ma＝－ mb.
BCD
（2）利用等式的基本性质，在横线上填上适当的数.
①若2x－3＝－5，则2x＝ ，x＝ ；
②若5x＋2＝2x－4，则3x＝ ，x＝ .
－2
－1
－6
－2
解析：①根据等式的性质3，等式两边同加3，得2x＝－2.再根据等式的性
质5，等式两边同除以2，得x＝－1.
②根据等式的性质3，等式两边同减（2x＋2），得3x＝－6.再根据等式的
性质5，等式两边同除以3，得x＝－2.
知识点二
不等式的性质
02
PART
问题　（1）如果甲比乙高，乙比丙高，那么甲与丙谁高？你能提炼出什
么样的不等关系？
提示：甲比丙高.如果a＞b，b＞c，那么a＞c.
（2）若甲班的男生比乙班多，甲班的女生也比乙班多，则甲班的人数一
定比乙班多吗？如何用符号语言表述这种不等关系？
提示：一定.若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d.
【知识梳理】
性质 别名 性质内容 注意
1 对称性 a＞b b a 可逆
2 传递性 a＞b，b＞c a＞c 不可逆
3 可加性 a＞b a＋c b＋c 可逆
4 可乘性 c的符号
＜　
＞　
＞　
＜　
性质 别名 性质内容 注意
5 同向可加性 同向
6 同向同正 可乘性 同向
同正
7 可乘方性 a＞b＞0 an bn（n∈N，n≥2） 同正
＞　
＞　
＞　
【例1】　〔多选〕下列命题中为真命题的是（　　）
A. 若a＞b，c＞d则a－d＞b－c
B. a2＞b2 a＞b＞0
√
√
解析：对于A，由c＞d，则－d＞－c，又因为a＞b，所以a－d＞b－c，故A为真命题；对于B，性质7不具有可逆性，故B为假命题；对于C，取a＝－1，b＝－2，c＝2，d＝1满足a＞b且c＞d＞0，而 ＝－1， ＝－1， ＝ ，故C为假命题；对于D，由 ＞ ，可知 － ＝ ＞0.因为a＞b，所以b－a＜0，于是ab＜0.又因为a＞b，所以a＞0，b＜0，故D为真命题.
【规律方法】
利用不等式的性质判断命题真假的2种方法
（1）直接法：对于真命题，利用不等式的相关性质或函数的相关性质证
明；对于假命题只需举出一个反例即可；
（2）特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二
是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性.
训练2　（1）已知a＞b，则下列关系中正确的是（　A　）
A. a－c＞b－c B. ac＞bc
C. ｜a｜＞｜b｜ D. a2＞b2
解析：对于A，由a＞b，得a－c＞b－c，故A正确；对于B，当c＝0
时，ac＝bc，故B错误；对于C，D，当a＝－3，b＝－7时，a＞b，
而｜a｜＝3，｜b｜＝7，则｜a｜＜｜b｜，故C错误；a2＝9，b2＝49，
则a2＜b2，故D错误.
A
（2）〔多选〕对于实数a，b，c，下列命题中正确的有（　AD　）
AD
解析：由ab＞0，得 ＞0.又a＞b，所以 ·a＞ ·b，即 ＜ ，A正
确；取a＝－1，b＝1，c＝1，满足 ＜ 且c＞0，但a＜b，B错误；由c
＜d＜0，得－c＞－d＞0， ＞ ＞0.又a＞b＞0，所以 ＞ ， ＜
，C错误；因为a＞b＞0，c＞d＞0，所以 ＞ ＞0，所以 ＞ ，D
正确.
知识点三
利用不等式的性质证明不等式
03
PART
【例2】　（链接教材P42例2）已知c＞a＞b＞0，求证： ＞ .
证明：因为a＞b＞0，所以－a＜－b，c－a＜c－b.
因为c＞a＞b＞0，所以0＜c－a＜c－b.
上式两边同乘 ，得 ＞ ＞0.
又因为a＞b＞0，所以 ＞ .
【规律方法】
利用不等式的性质证明不等式的注意事项
（1）利用不等式的性质证明不等式时，一定要在理解的基础上，记准、
记熟不等式的性质并在解题中灵活准确地加以应用；
（2）应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条
件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则.
训练3　已知a＞b＞0，求证： ＞ .
证明：∵a＞b＞0，∴ ＞ ＞0.　①
又∵a＞b＞0，两边同乘正数 ，得 ＞ ＞0.　②
由①②得 ＞ .
04
PART
提能点
利用不等式的性质求代数式的范围
【例3】　已知1＜a＜6，3＜b＜4，则 的取值范围是 　 ＜ ＜2　，2a
－b的取值范围为 .
解析：因为3＜b＜4，所以 ＜ ＜ ，所以 ＜ ＜2.因为1＜a＜6，3＜b
＜4，所以2＜2a＜12，－4＜－b＜－3，所以2－4＜2a－b＜12－3，即
－2＜2a－b＜9.
＜ ＜2
－2＜2a－b＜9
变式1　本例条件不变，则－ 的取值范围为 　－8＜－ ＜－1　.
解析：因为1＜a＜6，3＜b＜4，所以 ＜ ＜1，所以 ＜ ＜4，所以－4
＜－ ＜－ ，所以－8＜－ ＜－1.
－8＜－ ＜－1
变式2　若将本例条件变为“2＜a＜7，1＜b＜2”，求2a－b， 的取值
范围.
解：因为2＜a＜7，1＜b＜2，所以4＜2a＜14，－2＜－b＜－1， ＜
＜1，所以2＜2a－b＜13，1＜ ＜7.
【规律方法】
利用不等式的性质求代数式范围的策略
（1）建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用不等式的
性质进行运算，求得待求的范围；
（2）同向（异向）不等式的两边可以相加（相减），这种转化不是等价
变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大其范围.
训练4　已知－ ＜β＜α＜ ，求2α－β的取值范围.
解：因为－ ＜α＜ ，－ ＜β＜ ，
所以－ ＜－β＜ ，所以－π＜α－β＜π.
又因为β＜α，所以α－β＞0，所以0＜α－β＜π，
又2α－β＝α＋（α－β），所以－ ＜2α－β＜ π.
糖水不等式的探究与应用
（链接教材P43习题10题）已知b克糖水中含有a克糖（b＞a＞0），再添
加m克糖（m＞0）（假设全部溶解），糖水变甜.
【问题探究】
试将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立.
解：已知b＞a＞0，m＞0，则 ＞ （糖水不等式）.
证明如下：法一　 － ＝ ＝ .
∵b＞a，m＞0，
∴b－a＞0， ＞0，即 ＜ .
法二　要证 ＜ ，
只需证a（b＋m）＜b（a＋m），
只需证am＜bm，
即证a＜b，由已知条件可得显然成立.
【拓展延伸】
“糖水不等式”常见变形如下：
①a，b，m都为正实数，且a＞b，则 ＞ ；
②a，b，m都为正实数，且a＜b，则 ＜ ；
③a，b，m都为正实数，且a＜b，a＞m，则 ＜ ；
④a，b，m，n都为正实数，且a＜b，n＜m，则 ＜ ；
⑤a，b，m，n都为正实数，且a＞b，n＜m，则 ＞ ；
⑥a，b，c，d都为正实数，且 ＜ ，则 ＜ .
【迁移应用】
1. 已知p：m＞n＞0，q： ＞ ，则p是q的（　　）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
解析：　由糖水不等式得m＞n＞0时， ＞ 成立；反之当n＝0，m
＝1时， ＞ 成立，m＞n＞0不成立.故选B.
√
2. （链接教材P58复习参考题7题）一般认为，民用住宅的窗户面积必须小
于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越
大，采光效果越好.
（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220 m2，则这所公寓的窗户
面积至少为多少m2？
解：设公寓窗户面积为a m2，则地板面积为（220－a）m2.由题意知
≥10%，解得a≥20.所以这所公寓的窗户面积至少为20 m2.
（2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了
还是坏了？
解：设窗户面积为a m2，地板面积为b m2，增加的面积为m m2.
因为a，b，m＞0，且a＜b，所以 － ＝ ＝
＞0，即 ＞ .所以公寓的采光效果变好了.
1. 与a＞b等价的不等式是（　　）
A. ｜a｜＞｜b｜ B. a2＞b2
D. a3＞b3
解析：　可利用赋值法.令a＝1，b＝－2，满足a＞b，但｜a｜＜｜
b｜，a2＜b2， ＝－ ＜1，故A、B、C都不正确.
√
2. 〔多选〕已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是（　　）
A. ac2＞bc2 a＞b
解析：由ac2＞bc2可知c≠0，∴c2＞0，∴a＞b，A成立；当c＜0时，B不成立；ab＜0，a＞b ＜ ，即 ＞ ，C成立；同理可证D不成立.
√
√
3. 已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则3x＋2y的取值范围为 .
解析：由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x
＋2y＜18.
4. 已知a＞b，c＜d，求证：a－c＞b－d.
证明：因为a＞b，c＜d，所以a＞b，－c＞－d.则a－c＞b－d.
1＜3x＋2y＜18
课堂小结
1.理清单
（1）等式的性质；
（2）不等式的性质及其应用.
2.应体会
不等式的性质是解不等式或证明不等式的理论依据，变形要等价，条件
要满足.
3.避易错
注意不等式性质的单向性或双向性，即每条性质是否具有可逆性.
课时作业
05
PART
1. 若a＞0，b＜0，且｜a｜＜｜b｜，则a＋b一定是（　　）
A. 正数 B. 负数
C. 非正数 D. 非负数
解析：因为a＞0，b＜0，所以｜a｜＝a，｜b｜＝－b.又因为｜a｜＜｜b｜，所以a＜－b，所以a＋b＜0，所以a＋b一定是负数.
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√
2. 已知a＜b＜0，则（　　）
A. a2＜ab B. ab＜b2
C. a2＜b2 D. a2＞b2
解析：由a＜b＜0，不妨取a＝－2，b＝－1.对于A，a2＝4，ab＝2，故a2＜ab不成立；对于B，b2＝1，ab＝2，故ab＜b2不成立；对于C，a2＝4，b2＝1，故a2＜b2不成立；对于D，因为a＜b＜0，所以－a＞－b＞0，所以（－a）2＞（－b）2＞0，即a2＞b2.故选D.
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3. 若a，b，m都是正数，则不等式 ＞ 成立的条件是（　　）
A. a＞b B. b＞a
C. a＞m D. m＞b
解析：　 ＞ － ＞0 － ＝
＞0，因为a，b，m都是正数，所以要想使不等式成立，只需
b－a＞0，即b＞a.
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4. 下列命题中正确的是（　　）
A. 若a＞b，则ac4＞bc4
B. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd
C. 若a＞b且k∈N*，则ak＞bk
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解析：　A项，当c4＝0时，ac4＝bc4，故A不正确.B项，当a＝－1，b
＝－2，c＝－3，d＝－4时，满足a＞b，c＞d，但ac＝3，bd＝8，此
时ac＜bd，故B不正确.C项，当a＝1，b＝－2，k＝2时，命题不成立，
故C不正确.D项，因为a＞b＞0，所以 ＞ ＞0①，又a＞b＞0两边同
乘正数 得 ＞ ＞0②，由①②得 ＞ ，故D正确.
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5. 〔多选〕若m＋n＜0，且m＞0，则（　　）
A. n＜0 B. －mn＞n2
C. －mn＞m2 D. ｜m｜＞｜n｜
解析：因为m＋n＜0，且m＞0，所以n＜0，且｜m｜＜｜n｜，A正确，D错误；因为m＋n＜0，所以－m＞n，不等式两边同时乘以n（n＜0）得－mn＜n2，B错误；因为m＋n＜0，所以－m＞n，不等式两边同时乘以－m（m＞0）得m2＜－mn，故－mn＞m2，C正确.故选A、C.
√
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6. 〔多选〕已知1≤a≤2，3≤b≤5，则（　　）
A. 4≤a＋b≤7 B. 2≤b－a≤3
C. 3≤ab≤10
解析：因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，故A正确；因为－2≤－a≤－1，所以1≤b－a≤4，故B错误；因为1≤a≤2，3≤b≤5，所以3≤ab≤10，故C正确；因为 ≤ ≤ ，所以 ≤ ≤ ，故D错误，故选A、C.
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7. 设x＞1，－1＜y＜0，将x，y，－y按从小到大的顺序排列为
.
解析：因为－1＜y＜0，所以0＜－y＜1，所以y＜－y，又x＞1，所以y
＜－y＜x.
y＜－
y＜x
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8. 不等式a＞b和 ＞ 同时成立的条件是 .
解析：∵ － ＝ ，∴a＞b和 ＞ 同时成立的条件是a＞0＞b.
a＞0＞b
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9. 若a，b都是实数，则“ － ＞0”是“a2－b2＞0”的
条件.
解析：∵ － ＞0，∴ ＞ ，∴（ ）2＞（ ）2，∴a＞b＞
0，∴a2－b2＞0，∴“ － ＞0”是“a2－b2＞0”的充分条件，又
∵a2－b2＞0，不妨取a＝－2，b＝1，无法推出 － ＞0.
充分不必
要
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10. （1）若a＜b＜0，求证： ＜ ；
证明：由于 － ＝ ＝ .
∵a＜b＜0，
∴b＋a＜0，b－a＞0，ab＞0，
∴ ＜0，故 ＜ .
（2）若bc－ad≥0，bd＞0，求证： ≤ .
证明：∵bc－ad≥0，∴bc≥ad，∴bc＋bd≥ad＋bd，即b（c＋d）≥d（a＋b），又bd＞0，∴ ＞0，两边同乘以 得， ≤ .
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11. 若1＜a＜3，－4＜b＜2，那么a－｜b｜的范围是（　　）
A. －3＜a－｜b｜≤3 B. －3＜a－｜b｜＜5
C. －3＜a－｜b｜＜3 D. 1＜a－｜b｜＜4
解析：　∵－4＜b＜2，∴0≤｜b｜＜4，∴－4＜－｜b｜≤0.又1＜a
＜3，∴－3＜a－｜b｜＜3.
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12. 有外表相同，质量不同的4个小球，它们的质量分别为a，b，c，d，
且满足a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，b＞a＋c，则这4个小球由重到轻
的顺序为（　　）
A. d＞b＞a＞c B. b＞c＞d＞a
C. d＞b＞c＞a D. c＞a＞d＞b
解析：由于a＋b＝c＋d，a＋d＞b＋c，则a＋d＋（a＋b）＞b＋c＋（c＋d），所以a＞c，b＜d.又b＞a＋c，则a＜b.综上，d＞b＞a＞c.故选A.
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13. 若实数x，y满足－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，则x＋2y的取值范围
为 .
解析：∵x＋2y＝2（x＋y）＋（－x），且－2＜x＜1，0＜x＋y＜2，
∴－1＜－x＜2，0＜2（x＋y）＜4，∴－1＋0＜2（x＋y）＋（－x）＜
4＋2，即－1＜x＋2y＜6.
－1＜x＋2y＜6
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14. 证明下列不等式：
（1）若a＞0，b＞0，求证： ＋ ≥a＋b；
证明：因为 －（a＋b）＝ ＝
，
又因为a＞0，b＞0，所以 ≥0，所以 ＋ ≥a＋b.
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（2）若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证： ＞ .
证明：由 － ＝
＝ ，
因为a＞b＞0，c＜d＜0，所以a＋b＞0，c＋d＜0，b－a＜0，c－d＜0，
所以（a＋b）－（c＋d）＞0，（b－a）＋（c－d）＜0.
又因为e＜0，所以e[（a＋b）－（c＋d）][（b－a）＋（c－d）]＞0.
又因为（a－c）2（b－d）2＞0，
所以 － ＞0，即 ＞ .
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15. 对于四个正数m，n，p，q，若满足mq＜np，则称有序数对（m，
n）是（p，q）的“下位序列”.
（1）对于2，3，7，11，有序数对（3，11）是（2，7）的“下位序列”
吗？请简单说明理由；
解：有序数对（3，11）是（2，7）的“下位序列”.
因为3×7＜11×2，
所以（3，11）是（2，7）的“下位序列”.
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（2）设a，b，c，d均为正数，且（a，b）是（c，d）的“下位序
列”，试判断 ， ， 之间的大小关系.
解：因为（a，b）是（c，d）的“下位序列”，所以ad＜bc，因
为a，b，c，d均为正数，
所以 － ＝ ＞0，
所以 ＞ ，又 － ＝ ＜0，
所以 ＜ ，综上所述， ＜ ＜ .
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