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培优课　函数性质的综合问题
1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件（直观想象、数学抽象）.
2.掌握函数性质的综合应用问题（逻辑推理、数学运算）.
重点解读
一、函数的奇偶性与对称性
01
二、函数的奇偶性与最值（值域）
02
三、函数性质的综合应用
03
目录
课时作业
04
一、函数的奇偶性与对称性
01
PART
函数图象的对称性
（1）轴对称
设函数f（x）的定义域为I，且x＝a是f（x）的对称轴，则有：
①f（a＋x）＝f（a－x）；
②f（x）＝f（2a－x）；
③f（－x）＝f（2a＋x）.
（2）中心对称
设函数f（x）的定义域为I，且（a，0）是f（x）的对称中心，则有：
①f（a＋x）＝－f（a－x）；
②f（x）＝－f（2a－x）；
③f（－x）＝－f（2a＋x）.
（3）拓展
①若f（a＋x）＝f（b－x），则f（x）关于x＝ 对称；
②若f（x）＝－f（a－x），则f（x）关于 对称；
③若f（a＋x）＝－f（b－x），则f（x）关于 对称；
④f（a＋x）＋f（b－x）＝c，则f（x）关于 对称.
　提醒：（1）若函数f（x＋a）是偶函数，则函数f（x）关于x＝a对称；
（2）若函数f（x＋a）是奇函数，则函数f（x）关于（a，0）对称.
【例1】　（1）定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点（1，0）
对称，且x∈[0，2]时，f（x）＝－x＋1，则f ＝（　D　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. －
解析：∵y＝f（x）的图象关于点（1，0）对称，∴f（2＋x）＋f（－
x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（2＋x）
＋f（x）＝0，即f（2＋x）＝－f（x），∴f ＝－f ＝－ .
D
（2）〔多选〕已知y＝f（x＋4）是定义域为R的奇函数，y＝g（x－2）
是定义域为R的偶函数，且y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于y轴对
称，则（　ACD　）
A. y＝f（x）是奇函数
B. y＝g （x）是偶函数
C. y＝f（x）关于直线x＝2对称
D. y＝g（x）关于点（4，0）对称
ACD
解析：由于y＝f（x＋4）是定义域为R的奇函数，则y＝f（x）的图象关
于点（4，0）成中心对称，y＝g（x－2）是定义域为R的偶函数，则y＝
g（x）的图象关于x＝－2对称，因为y＝f（x）与y＝g（x）的图象关
于y轴对称，则y＝f（x）的图象关于x＝2对称，C正确；又y＝f（x）
的图象关于点（4，0）成中心对称，则y＝f（x）的图象关于点（0，0）
成中心对称，故y＝f（x）为奇函数，A正确；因为y＝f（x）为奇函
数，故f（－x）＝－f（x），由y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于y轴
对称，可得f（x）＝g（－x），g（x）＝f（－x），故g（－x）＝f
（x）＝－f（－x）＝－g（x），故y＝g（x）为奇函数，B错误；
由A的分析可知y＝f（x）的图象关于点（4，0）成中心对称，y＝f（x）
为奇函数，则y＝f（x）的图象也关于点（－4，0）成中心对称，而y＝f
（x）与y＝g（x）的图象关于y轴对称，则y＝g（x）的图象关于点（4，
0）成中心对称，故D正确，故选A、C、D.
【规律方法】
解决对称性和奇偶性综合问题的方法
（1）图象法，根据题意，作出符合要求的草图，便可得出结论；
（2）性质法，根据对称性和奇偶性的性质，逐步推导转化，即结合奇偶
性将已知函数进行转化，利用合适的式子判断函数图象的对称轴或对称中
心.也可利用图象变换关系得出函数图象的对称轴或对称中心.也可由对称
性判断函数的奇偶性；
（3）若函数y＝f（x）的图象与函数y＝g（x）的图象关于直线x＝m对
称，则函数f（x）上的任意一点（x0，y0）关于直线x＝m的对称点（2m
－x0，y0）必然在函数g（x）的图象上，反之亦成立.
训练1　已知函数f（x）的定义域为R，若f（1－x）为奇函数，f（x－
1）为偶函数.设f（－2）＝1，则f（2）＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析：∵f（x－1）为偶函数，∴f（－x－1）＝f（x－1），∴f（x）图象关于直线x＝－1对称，∴f（－2）＝f（0）＝1；∵f（1－x）为奇函数，∴f（1＋x）＝－f（1－x），∴f（x）图象关于点（1，0）对称，∴f（2）＝－f（0）＝－1，故选A.
√
二、函数的奇偶性与最值（值域）
02
PART
【例2】　（1）已知f（x），g（x）均为奇函数，且F（x）＝af（x）
＋bg（x）＋2在（0，＋∞）上的最大值为5，则F（x）在（－∞，0）
上的最小值为 ；
－1
解析：法一（利用奇函数对称性）　F（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在
（0，＋∞）上的最大值为5，则F（x）－2＝af（x）＋bg（x）在（0，
＋∞）上的最大值为3.因为f（x），g（x）均为奇函数，所以F（－x）
－2＝af（－x）＋bg（－x）＝－af（x）－bg（x）＝－[af（x）＋bg
（x）]＝－[F（x）－2]，所以y＝F（x）－2为奇函数.根据奇函数的性
质可知，F（x）－2＝af（x）＋bg（x）在（－∞，0）上的最小值为－
3，故F（x）＝af（x）＋bg（x）＋2在（－∞，0）上的最小值为－3＋
2＝－1.
法二（巧用结论）　设G（x）＝af（x）＋bg（x），因为f（x），g
（x）均为奇函数，所以G（x）为奇函数，所以F（x）max＋F（x）min
＝2×2＝4.又因为F（x）max＝5，所以F（x）min＝4－5＝－1.
（2）奇函数f（x）在区间[3，6]上单调递增，且在区间[3，6]上的最大
值是4，最小值是－1，则2f（－6）＋f（－3）＝ .
解析：由题意，函数f（x）在[3，6]上单调递增，在区间[3，6]上的最大
值为4，最小值为－1，故f（3）＝－1，f（6）＝4.∵f（x）是奇函数，
∴2f（－6）＋f（－3）＝－2f（6）－f（3）＝－2×4＋1＝－7.
－7
【规律方法】
已知奇偶性求函数的值域或最值的方法
（1）利用奇、偶函数的对称性：对于奇（偶）函数，若在[a，b]上，f
（x）的最大值是f（x0），在图象上表现为点（x0，f（x0））是函数图
象在[a，b]上的最高点，由图象的对称性可知，（－x0，－f（x0））
（（－x0，f（x0）））一定是图象在[－b，－a]上的最低（高）点，结
合图象即可得出最值；
（2）利用结论：①若f（x）为奇函数，则f（x）max＋f（x）min＝0；②
若g（x）为奇函数，f（x）＝g（x）＋m，则f（x）max＋f（x）min＝
2m.
训练2　已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，且图象经过点
（－1，0）和（3，5），则当x∈[－3，－1]时，函数f（x）的值域是
（　　）
A. [0，5] B. [－1，5]
C. [1，3] D. [3，5]
解析：　因为偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则函数f
（x）在[－3，－1]上单调递减，且f（－3）＝f（3）＝5，f（－1）＝
0，故当x∈[－3，－1]时，函数f（x）的值域为[0，5].
√
03
PART
三、函数性质的综合应用
【例3】　函数y＝f（x）在区间（0，2）上单调递增，函数y＝f（x＋
2）是偶函数，则下列结论正确的是（　　）
A. f（1）＜f ＜f
B. f ＜f（1）＜f
C. f ＜f ＜f（1）
D. f ＜f（1）＜f
√
解析：　因为y＝f（x＋2）是偶函数，所以f（2－x）＝f（2＋x），
所以y＝f（x）的图象关于直线x＝2对称，f（1）＝f（3）.又f（x）在
区间（0，2）上单调递增，所以f（x）在（2，4）上单调递减.又2＜ ＜3
＜ ＜4，所以f ＞f（3）＞f ，即f ＜f（1）＜f .
【规律方法】
函数性质综合应用中的等价转化
（1）奇函数与单调性的等价结论
①若奇函数f（x）在R上单调递增，则a＋b≥0 f（a）＋f（b）≥0；
②若奇函数f（x）在R上单调递减，则a＋b≥0 f（a）＋f（b）≤0；
③偶函数的一个重要性质：f（｜x｜）＝f（x），它能使自变量化归到
[0，＋∞）上，避免分类讨论.
（2）奇偶性与对称性的等价结论
①若f（x＋a）为奇函数 f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称；
②若f（x＋a）为偶函数 f（x）的图象关于直线x＝a对称；
③函数y＝f（｜x－a｜）的图象关于直线x＝a对称.
训练3　已知f（x），g（x）是定义域为R的函数，且f（x）是奇函数，
g（x）是偶函数，满足f（x）＋g（x）＝ax2＋x＋2，若对任意的1＜x1
＜x2＜2，都有 ＞－3成立，求实数a的取值范围.
解：由题意可得f（－x）＋g（－x）＝ax2－x＋2，
因为f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，
所以－f（x）＋g（x）＝ax2－x＋2，
联立 解得g（x）＝ax2＋2，
又因为对于a任意的1＜x1＜x2＜2，都有 ＞－3成立，
所以g（x1）－g（x2）＜－3x1＋3x2，
所以g（x1）＋3x1＜g（x2）＋3x2成立，
构造h（x）＝g（x）＋3x＝ax2＋3x＋2，
所以由上述过程可得h（x）＝ax2＋3x＋2在x∈（1，2）单调递增，
（2）若a＝0，则h（x）＝3x＋2在x∈（1，2）单调递增，满足题意；
（3）若a＞0，则对称轴x0＝－ ≤1恒成立；
综上，a∈ .
（1）若a＜0，则对称轴x0＝－ ≥2，解得－ ≤a＜0；
　　函数y＝f（x）图象关于点P（a，b）成中心对称的充要条件及其
推广
　　教材P87习题13题的结论及其推广.
1. （1）函数F（x）＝f（x＋a）－b为奇函数 f（－x＋a）－b＝－
[f（x＋a）－b] f（－x＋a）＋f（x＋a）＝2b；
（2）几何解析：将奇函数y＝f（x＋a）－b的图象向上平移b个单位长
度，得到函数y＝f（x＋a）的图象，再向右平移a个单位长度，得到函
数y＝f（x）的图象.因此函数y＝f（x）的图象关于点P（a，b）成中
心对称图形.
2. （1）函数F（x）＝f（x＋a）为偶函数 f（－x＋a）＝f（x＋a）；
（2）几何解析：将偶函数y＝f（x＋a）的图象向右平移a个单位长度得
到函数y＝f（x）的图象，因此函数y＝f（x）的图象关于直线x＝a成轴
对称图形.
【典例】　〔多选〕对于定义在R上的函数f（x），下列结论正确的有
（　　）
A. 若f（x）是奇函数，则f（x－1）的图象关于点A（1，0）对称
B. 若f（x＋1）＝f（x－1），则f（x）的图象关于直线x＝1对称
C. 若函数f（x－1）的图象关于直线x＝1对称，则f（x）为偶函数
D. 函数y＝f（1＋x）与函数y＝f（1－x）的图象关于直线x＝1对称
√
√
解析：　∵f（x）是奇函数，∴f（x）的图
象关于原点对称，而f（x－1）的图象是将f
（x）的图象向右平移1个单位长度得到的，∴f
（x－1）的图象关于点A（1，0）对称，故A正确.令t＝x－1，则由f（x＋1）＝f（x－1）可知，f（t）＝f（t＋2），即f（x）＝f（x＋
2），其图象不一定关于直线x＝1对称.如图所示，函数图象不关于直线x＝1对称，故B不正确.若g（x）＝f（x－1）的图象关于直线x＝1
对称，则有g（x＋1）＝g（－x＋1），即f（x）＝f（－x），故C正确.易知函数y＝f（x＋1）的图象与函数y＝f（1－x）的图象关于y轴对称，故D不正确.
【迁移应用】
设f（x）是定义在R上的奇函数，且y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对
称，则f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝ .
解析：因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，f（－x）＝－f
（x）.因为f（x）的图象关于直线x＝ 对称，所以f（x）＝f（1－
x），所以f（1）＝f（0）＝0，f（2）＝f（－1）＝－f（1）＝0，f
（3）＝f（－2）＝－f（2）＝0，f（4）＝f（－3）＝－f（3）＝0，f
（5）＝f（－4）＝－f（4）＝0，所以f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）
＋f（5）＝0.
0
课时作业
04
PART
1. 已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（4－x），当－
2≤x＜0时，f（x）＝ ，则f（ ）＝（　　）
A. －2 B. － C. D. 2
解析：　∵f（x）＝f（4－x），∴f（x）的图象关于直线x＝2对称，
∴f（ ）＝f（ ）.又∵函数f（x）为奇函数，∴f（ ）＝－f（－ ）
＝－（－2）＝2，即f（ ）＝2.
√
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2. 已知定义在R上的奇函数f（x），且当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调
递增，则不等式f（2x＋1）＋f（1）≥0的解集是（　　）
A. （－∞，1） B. （－1，＋∞）
C. [－1，＋∞） D. （－∞，1]
解析：　因为函数f（x）是奇函数，所以不等式f（2x＋1）＋f（1）
≥0等价于f（2x＋1）≥f（－1）.又当x≥0时，函数f（x）单调递增，
所以函数f（x）在R上为增函数，所以f（2x＋1）≥f（－1）等价于2x
＋1≥－1，解得x≥－1.
√
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3. 已知定义在R上的偶函数y＝f（x），其图象关于点 对称，且
当x∈[0，1]时，f（x）＝－x＋ ，则f ＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D.
√
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解析：∵y＝f（x）的图象关于点 对称，∴f ＋f ＝0，即f（1＋x）＋f（－x）＝0.又∵y＝f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），∴f（1＋x）＋f（x）＝0，即f（1＋x）＝－f（x），∴f ＝－f ＝0.
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4. 已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的图象关于（1，0）中心对
称，f（2x＋2）是偶函数，则（　　）
A. f（0）＝0 B. f ＝0
C. f（2）＝0 D. f（3）＝0
解析：f（x）的图象关于（1，0）中心对称，则f（x）＝－f（－x＋2）①；f（2x＋2）是偶函数，则f（2x＋2）＝f（－2x＋2），则f（x）的图象关于x＝2轴对称，则f（x）＝f（－x＋4）②；令x＝1代入①得，f（1）＝－f（1），解得f（1）＝0，代入②得到f（1）＝f（3）＝0.
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5. 若函数y＝f（x）是奇函数，且函数g（x）＝af（x）＋b ＋2在
（0，＋∞）上有最大值10，则函数y＝g（x）在（－∞，0）上有（　）
A. 最大值－8 B. 最小值－8
C. 最小值－6 D. 最小值－4
解析：　由题意知f（x）为奇函数，所以af（x）＋b 为奇函数.因
为g（x）＝af（x）＋b ＋2在（0，＋∞）上有最大值10，即af（x）
＋b 在（0，＋∞）上有最大值8，则af（x）＋b 在（－∞，0）上
有最小值－8，故函数y＝g（x）在（－∞，0）上有最小值－6，故选C.
√
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6. 〔多选〕若函数f（x）是定义域为R的偶函数，且该函数图象与x轴的
交点有3个，则下列说法正确的是（　　）
A. 3个交点的横坐标之和为0
B. 3个交点的横坐标之和不是定值，与函数解析式有关
C. f（0）＝0
D. f（0）的值与函数解析式有关
解析：因为函数f（x）是定义域为R的偶函数，所以其图象关于y轴对称，所以当函数图象与x轴的交点有3个时，则必有一个交点是原点，另两个交点关于y轴对称，所以3个交点的横坐标之和为0，且f（0）＝0，故A、C正确，B、D错误.
√
√
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7. 〔多选〕设y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋1）＝－f
（x），且在[－1，0]上单调递增，给出下列关于函数y＝f（x）的判断
正确的是（　　）
A. f（x＋2）＝f（x）
B. y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称
C. y＝f（x）在[0，1]上单调递增
D. f ＝0
√
√
√
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解析：因为y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋1）＝－f（x），f（x＋2）＝f（x＋1＋1）＝－f（x＋1）＝－（－f（x））
＝f（x），所以A正确；因为f（－x）＝f（x），所以f（－x）＝f（x
＋2），所以对称轴x＝ ＝1，即关于x＝1对称，所以B正确；由函
数f（x）为偶函数，图象关于y轴对称，又在[－1，0]上单调递增，所以
在[0，1]上单调递减，故C不正确；因为f（x＋1）＝－f（x），令x＝
－ 可得f（ ）＝－f（－ ），即f（ ）＝－f（ ），所以f（ ）＝0，
所以D正确.故选A、B、D.
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8. 已知函数f（x）＝ 若f（x－1）＜f（2x＋1），则
x的取值范围为 .
解析：若x＞0，则－x＜0，f（－x）＝（－x）2＋2x＝x2＋2x＝f
（x），同理可得，当x＜0时，f（－x）＝f（x），且x＝0时，f（0）
＝0，所以f（x）是偶函数.因为当x＞0时，函数f（x）单调递增，所以
不等式f（x－1）＜f（2x＋1）等价于｜x－1｜＜｜2x＋1｜，整理得x
（x＋2）＞0，解得x＞0或x＜－2.
（－∞，－2）∪（0，＋∞）
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9. 已知定义域为R的函数f（x）在（－∞，－1）上单调递增，且f（x－
1）为偶函数，给出下列结论：①f（x）的图象关于直线x＝1对称；②f
（x）在（－1，＋∞）上单调递减；③f（－1）为f（x）的最大值；④f
（－3）＜f（0）＜f .正确的为 （填序号）.
②④
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解析：因为f（x－1）为偶函数，且函数f（x）在（－∞，－1）上单调
递增，所以f（x）的图象关于直线x＝－1对称，且f（x）在（－1，＋
∞）上单调递减，①错误，②正确；因为f（x）在（－∞，－1）上单调
递增，在（－1，＋∞）上单调递减，但没有明确函数是否连续，不能确
定f（－1）的值，所以③错误；因为f（0）＝f（－2），f ＝
f ，且f（x）在（－∞，－1）上单调递增，所以f（－3）＜f（－
2）＜f ，即f（－3）＜f（0）＜f ，所以④正确.
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10. 定义在R上的函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线x＝1对
称，且函数y＝g（2x－1）＋1为奇函数，则函数y＝f（x）图象的对称
中心是 .
解析：因为y＝g（2x－1）＋1为奇函数，所以g（－2x－1）＋1＝－g
（2x－1）－1，即g（－2x－1）＋g（2x－1）＝－2，故g（x）的对称
中心为 ，即（－1，－1），由于函数y＝f（x）与y＝g
（x）的图象关于直线x＝1对称，且（－1，－1）关于x＝1的对称点为
（3，－1），故y＝f（x）的对称中心为（3，－1）.
（3，－1）
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11. 已知函数f（x）是R上的增函数，设F（x）＝f（x）－f（a－x）.
（1）用函数单调性的定义证明F（x）是R上的增函数；
证明： x1，x2∈R，且x1＜x2，
则F（x1）－F（x2）
＝[f（x1）－f（a－x1）]－[f（x2）－f（a－x2）]
＝[f（x1）－f（x2）]＋[f（a－x2）－f（a－x1）].
∵函数f（x）是R上的增函数，x1＜x2，
∴a－x2＜a－x1，
∴f（x1）＜f（x2），f（a－x2）＜f（a－x1），
∴[f（x1）－f（x2）]＋[f（a－x2）－f（a－x1）]＜0，
∴F（x1）＜F（x2），
∴F（x）是R上的增函数.
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（2）证明：函数y＝F（x）的图象是关于点 成中心对称的图形.
证明：设点M（x0，F（x0））是函数F（x）图象上的任意一点，
则点M（x0，F（x0））关于点 对称的点为M'（a－x0，－F
（x0））.
∵F（a－x0）＝f（a－x0）－f[a－（a－x0）]
＝f（a－x0）－f（x0）
＝－[f（x0）－f（a－x0）]
＝－F（x0），
∴点M'（a－x0，－F（x0））也在函数F（x）的图象上.
又∵点M（x0，F（x0））是函数F（x）的图象上任意一点，
∴函数y＝F（x）的图象是关于点 成中心对称的图形.
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12. 定义在（－∞，0）∪（0，＋∞）上的函数y＝f（x）满足f（xy）
＝f（x）－f ，且函数f（x）在（－∞，0）上单调递减.
（1）求f（－1），并证明函数y＝f（x）是偶函数；
解：令y＝ ≠0，则f ＝f（x）－f（x），得f（1）＝0，
再令x＝1，y＝－1，可得f（－1）＝f（1）－f（－1），　
得2f（－1）＝f（1）＝0，所以f（－1）＝0，
令y＝－1，可得f（－x）＝f（x）－f（－1）＝f（x），
又该函数的定义域关于原点对称，所以f（x）是偶函数.
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（2）若f（2）＝1，解不等式f －f ≤1.
解：因为f（2）＝1，又该函数为偶函数，所以f（－2）＝1.
因为函数f（x）在（－∞，0）上单调递减，所以函数f（x）在（0，＋
∞）上单调递增.
又f －f ＝f ＝f（2x－4），
所以f（｜2x－4｜）≤f（2），即
解得1≤x＜2或2＜x≤3.
所以不等式f －f ≤1的解集为[1，2）∪（2，3].
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13. 设a为实数，函数f（x）＝x2＋｜x－a｜＋1.
（1）讨论f（x）的奇偶性；
解：当a＝0时，函数f（－x）＝（－x）2＋｜－x｜＋1＝f
（x），此时f（x）为偶函数；
当a≠0时，f（a）＝a2＋1，f（－a）＝a2＋2｜a｜＋1，
则f（－a）≠f（a），f（－a）≠－f（a），
此时函数f（x）既不是奇函数，也不是偶函数.
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（2）求f（x）的最小值.
解：①当x＜a时，f（x）＝x2－x＋a＋1＝（x－ ）2＋a＋ .
若a≤ ，则函数f（x）在（－∞，a]上单调递减，从而函数f（x）在
（－∞，a]上的最小值为f（a）＝a2＋1；
若a＞ ，则函数f（x）在（－∞，a]上的最小值为f（ ）＝ ＋a，且f
（ ）＜f（a）.
②当x≥a时，f（x）＝x2＋x－a＋1＝（x＋ ）2－a＋ .
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若a≤－ ，则函数f（x）在[a，＋∞）上的最小值为f（－ ）＝ －a，
且f（－ ）≤f（a）；
若a＞－ ，则函数f（x）在[a，＋∞）上单调递增，从而函数f（x）在
[a，＋∞）上的最小值为f（a）＝a2＋1.
综上所述，当a≤－ 时，函数f（x）的最小值是 －a；
当－ ＜a≤ 时，函数f（x）的最小值是a2＋1；
当a＞ 时，函数f（x）的最小值是a＋ .
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