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(共49张PPT)
第二课时　函数奇偶性的应用
1.会根据函数奇偶性求函数值或函数的解析式（逻辑推理）.
2.能利用函数的奇偶性与单调性，解决较简单的综合问题（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
知识点一　利用函数的奇偶性求解析式
01
知识点二　利用函数的单调性和奇偶性比较大小
02
知识点三　利用函数的单调性和奇偶性解不等式
03
目录
课时作业
04
知识点一
利用函数的奇偶性求解析式
01
PART
角度1　定义法求函数解析式
【例1】　若f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝x2－2x
＋3，求f（x）的解析式.
解：设x＜0，则－x＞0，f（－x）＝（－x）2－2（－x）＋3＝x2＋2x
＋3，由于f（x）是奇函数，故f（x）＝－f（－x），所以f（x）＝－x2
－2x－3.即当x＜0时，f（x）＝－x2－2x－3.又因为f（x）是定义在R
上的奇函数，所以f（0）＝0.
故f（x）＝
【规律方法】
利用函数奇偶性的定义求解析式的一般步骤
（1）“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；
（2）利用已知区间的解析式进行代入；
（3）利用f（x）的奇偶性写出－f（x）或f（－x），从而解出f（x）.
　　提醒：注意f（x）定义域内含0时，解析式的特殊表示.
角度2　方程组法求函数解析式
【例2】　设f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝
，求函数f（x）、g（x）的解析式.
解：∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，
∴f（－x）＝f（x），g（－x）＝－g（x）.
由f（x）＋g（x）＝ ，　①
用－x代替x得f（－x）＋g（－x）＝ ，
∴f（x）－g（x）＝ ，　②
（①＋②）÷2，得f（x）＝ .
（①－②）÷2，得g（x）＝ .
【规律方法】
方程组法求函数解析式的技巧
　　已知函数f（x），g（x）的组合运算解析式与奇偶性，则把x换为
－x，构造方程组求解.
训练1　（1）设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝1，当x＜
0时，f（x）＝x＋1，求函数f（x）的解析式；
解：设x＞0，则－x＜0，
则f（－x）＝－x＋1.
又f（x）是R上的偶函数，
∴f（x）＝f（－x）＝－x＋1.
又∵f（0）＝1，
综上可知f（x）＝
（2）设f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）＋2g（x）＝2x2
＋x－2，求f（x）和g（x）的表达式.
解：∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，
∴f（－x）＝－f（x），g（－x）＝g（x），
由f（x）＋2g（x）＝2x2＋x－2，　①
用－x代替上式中的x，得
f（－x）＋2g（－x）＝2（－x）2＋（－x）－2，
即－f（x）＋2g（x）＝2x2－x－2，　②
①②联立，得f（x）＝x，g（x）＝x2－1.
知识点二
利用函数的单调性和奇偶性比较大小
02
PART
【例3】　设偶函数f（x）的定义域为R，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单
调递增，则f（－2），f（π），f（－3）的大小关系是（　　）
A. f（π）＞f（－3）＞f（－2）
B. f（π）＞f（－2）＞f（－3）
C. f（π）＜f（－3）＜f（－2）
D. f（π）＜f（－2）＜f（－3）
√
解析：由偶函数与单调性的关系知，当x∈[0，＋∞）时，f（x）单调递增，则x∈（－∞，0）时，f（x）单调递减，故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小，则其函数值越小，∵｜－2｜＜｜－3｜＜π，∴f（π）＞f（－3）＞f（－2）.
【规律方法】
比较函数值大小的求解策略
　　奇函数在对称区间上单调性一致（相同）；偶函数在对称区间上单调
性相反.
（1）若自变量在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；
（2）若自变量不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化
到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小.
训练2　已知f（x）是奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递增，则f（－
0.5），f（1），f（2）的大小关系是（　　）
A. f（－0.5）＜f（2）＜f（1）
B. f（－0.5）＜f（1）＜f（2）
C. f（2）＜f（－0.5）＜f（1）
D. f（1）＜f（2）＜f（－0.5）
解析：　∵函数f（x）为奇函数，且f（x）在区间[0，＋∞）上单调递
增，∴f（x）在R上为增函数，∴f（－0.5）＜f（1）＜f（2）.
√
03
PART
知识点三
利用函数的单调性和奇偶性解不等式
【例4】　已知函数f（x）是奇函数，其定义域为（－1，1），且在[0，
1）上单调递增.若f（a－2）＋f（3－2a）＜0，试求a的取值范围.
解：∵f（a－2）＋f（3－2a）＜0，
∴f（a－2）＜－f（3－2a）.
∵f（x）为奇函数，
∴－f（3－2a）＝f（2a－3），
∴f（a－2）＜f（2a－3）.
∵f（x）在[0，1）上单调递增，
∴f（x）在（－1，1）上为增函数，
∴ 解得1＜a＜2.
故实数a的取值范围为（1，2）.
【规律方法】
利用单调性和奇偶性解不等式的方法
（1）充分利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f
（x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再利用单调性脱掉“f”求
解；
（2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，
列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参
数的影响.
训练3　已知定义在[－2，2]上的函数f（x）在[0，2]上单调递减，且f
（1－m）＜f（m）.
（1）若f（x）是奇函数，求m的取值范围；
解：若f（x）是奇函数，则f（x）在[－2，2]上单调递减，由f（1－
m）＜f（m）得
解得m∈ ，故m的取值范围为 .
（2）若f（x）是偶函数，求m的取值范围.
解：若f（x）是偶函数，因为f（x）在[0，2]上单调递减，故在[－2，
0）上单调递增，
由f（1－m）＜f（m）得f（｜1－m｜）＜f（｜m｜），
故 解得m∈ ，
故m的取值范围为 .
1. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x＋2，则
当x＜0时，f（x）＝（　　）
A. －x－2 B. －x＋2
C. x－2 D. x＋2
解析：　∵当x＜0时，－x＞0，f（－x）＝－x＋2，∴f（x）＝－f
（－x）＝x－2，故选C.
√
2. 定义在R上的偶函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增，若f（a）＜f
（b），则一定可得（　　）
A. a＜b B. a＞b
C. ｜a｜＜｜b｜ D. 0≤a＜b或a＞b≥0
解析：　∵f（x）是R上的偶函数，且在[0，＋∞）上单调递增，∴由f
（a）＜f（b）可得｜a｜＜｜b｜.
√
3. 已知f（x）＝ 是奇函数，则f（g（－3））＝ .
解析：因为函数f（x）是奇函数，所以f（－3）＝g（－3）＝－f（3）
＝－6，所以f（g（－3））＝f（－6）＝－f（6）＝－33.
－33
4. 已知函数f（x）为（－10，0）∪（0，10）上的偶函数，且当x∈（－
10，0）时，f（x）＝x（x－1），则f（x）的解析式为
.
解析：当x∈（0，10）时，－x∈（－10，0），则f（－x）＝－x（－x
－1）＝x（x＋1），因为函数f（x）为定义域为（－10，0）∪（0，
10）上的偶函数，故当x∈（0，10）时，f（x）＝f（－x）＝x（x＋
1），故f（x）的解析式为f（x）＝
f（x）＝
课堂小结
1.理清单
（1）利用奇偶性求函数的解析式；
（2）利用奇偶性和单调性比较大小；
（3）利用奇偶性和单调性解不等式.
2.应体会
转化与化归思想、数形结合思想.
3.避易错
（1）解不等式易忽视函数的定义域；
（2）利用函数的奇偶性求解析式时，转化混乱导致求解错误.
课时作业
04
PART
1. 下列四个函数中是偶函数，且在（－∞，0）上单调递减的是（　　）
A. f（x）＝－｜x｜ B. f（x）＝
C. f（x）＝1－x2 D. f（x）＝－
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解析：　对于A，f（x）＝－｜x｜，x∈R，f（－x）＝－｜－x｜＝
－｜x｜＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝x，在
（－∞，0）上单调递增，不符合题意；对于B，f（x）＝ ，定义域为
{x｜x≠0}，f（－x）＝－ ＝－f（x），为奇函数，不符合题意；对于
C，f（x）＝1－x2，x∈R，f（－x）＝1－（－x）2＝1－x2＝f（x），
所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝1－x2，在（－∞，0）上单
调递增，不符合题意；对于D，f（x）＝－ ，定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝－ ＝f（x），所以f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）＝ ，在（－∞，0）上单调递减，符合题意.故选D.
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2. 设函数f（x）＝ 若f（x）是奇函数，则g（－1）
＝（　　）
A. －1 B. 0
C. 1 D. 2
解析：由已知可得g（－1）＝f（－1）＝－f（1）＝－（1－2）＝1.
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3. 已知函数f（x）＝ 为奇函数，则3a＋2b＝（　　）
A. －1 B. 1
C. 0 D. 2
解析：　当x＜0时，－x＞0，∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f
（x）.即ax2－bx＝－x2－x，∴a＝－1，b＝1.故3a＋2b＝－1.
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4. 已知函数f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递减，则
下列结论正确的是（　　）
A. f（3）＜f（－1）＜f（2）
B. f（3）＜f（2）＜f（－1）
C. f（－1）＜f（2）＜f（3）
D. f（2）＜f（－1）＜f（3）
解析：　因为f（x）是R上的奇函数，且在区间[0，＋∞）上单调递
减，则f（x）在（－∞，0]上也单调递减，所以f（x）在R上为减函数，
因为－1＜0＜2＜3，所以f（3）＜f（2）＜f（－1）.
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5. 已知偶函数f（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足f（2x－1）
＜f（1）的x的取值范围是（　　）
A. （－1，0） B. （0，1）
C. （1，2） D. （－1，1）
解析：　首先函数定义域是R，再者根据f（2x－1）＜f（1）和偶函数f
（x）在区间[0，＋∞）上单调递增，可得｜2x－1｜＜1，解得0＜x＜1.
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6. 〔多选〕一个偶函数定义在区间[－7，7]上，它在[0，7]上的图象如图
所示，下列说法正确的是（　　）
A. 这个函数有三个单调递增区间
B. 这个函数有两个单调递减区间
C. 这个函数在其定义域内有最大值7
D. 这个函数在其定义域内有最小值－7
√
√
解析：AC　根据偶函数在[0，7]上的图象及其对称性，
作出函数在[－7，0]上的图象，如图所示，可知这个函数
有三个单调递增区间，有三个单调递减区间，在其定义域
内有最大值7，在其定义域内的最小值不是－7.
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7. 〔多选〕函数y＝f（x）是R上的奇函数，当x＞0时f（x）＝x2－2x
－3，则下列说法正确的是（　　）
A. x＜0时f（x）＝x2＋2x＋3
B. f（0）＝－3
C. x＜0时f（x）＝－x2－2x＋3
D. f（－2）＝3
解析：当x＝0时，f（0）＝0，选项B错误；函数y＝f（x）是R上的奇函数，故f（－x）＝－f（x）.当x＜0时，－x＞0，则f（－x）＝x2＋2x－3＝－f（x），故f（x）＝－x2－2x＋3，故C正确，A错误；又x＝－2＜0，故f（－2）＝－4＋4＋3＝3，故D正确.故选C、D.
√
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8. 若二次函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（－∞，0]上单调递减，
且f（2）＝0，则使得f（x）＜0的x的取值范围是 .
解析：由题意知，画出函数f（x）的草图如图所示，所以使得f（x）＜0的x的取值范围是（－2，2）.
（－2，2）
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9. 已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）＋g（x）＝x2＋x
－2，则f（x）＝ ，g（x）＝ .
解析：f（－x）＋g（－x）＝x2－x－2，由f（x）是偶函数，g（x）
是奇函数得，f（x）－g（x）＝x2－x－2，又f（x）＋g（x）＝x2＋x
－2，两式联立得f（x）＝x2－2，g（x）＝x.
x2－2
x
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10. 设定义在[－2，2]上的奇函数f（x）＝x5＋x3＋b.
（1）求b的值；
解：因为函数f（x）是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f（0）＝
0，解得b＝0（经检验符合题意）.
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（2）若f（x）在[0，2]上单调递增，且f（m）＋f（m－1）＞0，求实
数m的取值范围.
解：因为函数f（x）在[0，2]上单调递增，又f（x）是奇函数，所以f（x）在[－2，2]上是增函数.
因为f（m）＋f（m－1）＞0，
所以f（m－1）＞－f（m）＝f（－m），
所以m－1＞－m，　①
又需要不等式f（m）＋f（m－1）＞0在函数f（x）定义域内有意义，
所以 　②
解①②得 ＜m≤2，
所以m的取值范围为 .
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11. 若奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x），
则f（x）在（0，＋∞）上有（　　）
A. 最大值－ B. 最大值
C. 最小值－ D. 最小值
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解析：　法一（奇函数的图象特征）　当x＜0时，f（x）＝x2＋x＝
－ ，所以f（x）有最小值－ ，因为f（x）是奇函数，所以当x
＞0时，f（x）有最大值 .
法二（直接法）　当x＞0时，－x＜0，所以f（－x）＝－x（1－x）.又
f（－x）＝－f（x），所以f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x＝－
＋ ，所以f（x）有最大值 .故选B.
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12. 设函数f（x）＝ 是奇函数，则实数a的值为
（　　）
A. 0 B. 1
C. －1 D. ±1
解析：　f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）＝2x2－x，
所以当x＜0时，－x＞0，f（x）＝－f（－x）＝－[2×（－x）2－（－
x）]＝－2x2－x，所以a＝－1.
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13. 设奇函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，且f（1）＝0，则不等式
＜0的解集为 　 　 .
（－∞，－1）∪（1， ＋∞）
解析：因为f（x）为奇函数， ＜0，即 ＜0，因为f
（x）在（0，＋∞）上单调递减且f（1）＝0，所以当x＞1时，f（x）＜
0.因为奇函数图象关于原点对称，所以在（－∞，0）上f（x）单调递减
且f（－1）＝0，即x＜－1时，f（x）＞0.综上使 ＜0的解集
为（－∞，－1）∪（1，＋∞）.
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14. 已知偶函数f（x）和奇函数g（x）的定义域都是（－4，4），且在
（－4，0]上的图象如图所示，求关于x的不等式f（x）g（x）＜0的解
集.
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解：设h（x）＝f（x）g（x），
则h（－x）＝f（－x）g（－x）＝－f（x）·g（x）＝－h（x），
所以h（x）是奇函数，
由图象可知，当－4＜x＜－2时，
f（x）＞0，g（x）＜0，即h（x）＜0，
当0＜x＜2时，f（x）＜0，g（x）＞0，即h（x）＜0，
所以h（x）＜0的解集为（－4，－2）∪（0，2）.
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15. 已知f（x）是定义在[－1，1]上的奇函数，且f（1）＝1，若a，
b∈[－1，1]，当a＋b≠0时，则有 ＞0成立.
（1）判断f（x）在[－1，1]上的单调性，并证明；
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解：f（x）在[－1，1]上单调递增.证明如下：
任取x1，x2∈[－1，1]，且x1＜x2，则－x2∈[－1，1].
∵f（x）为奇函数，
∴f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝ ·（x1－x2）.
由已知得 ＞0，又x1－x2＜0，
∴f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.
∴f（x）在[－1，1]上单调递增.
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（2）解不等式：f ＜f .
解：∵f（x）在[－1，1]上单调递增，
∴ ∴－ ≤x＜－1.
故原不等式的解集为{x｜－ ≤x＜－1}.
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