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(共51张PPT)
第二课时　指数函数及其性质的应用
1.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式（逻辑推理、数学运算）.
2.能利用指数函数的图象与性质解决较为一般的综合问题（直观想象、逻辑推理）.
课标要求
知识点一　利用单调性比较大小
01
知识点二　简单的指数不等式的解法
02
提能点　指数函数图象和性质的综合运用
04
目录
课时作业
05
知识点三　利用换元法转化求值
03
知识点一
利用单调性比较大小
01
PART
【例1】　（链接教材P117例3）比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.11.1，1.10.9；（2）0.1－0.2，0.10.9；
（3）1.70.1，0.91.1；（4）0.70.8，0.80.7.
解：（1）因为y＝1.1x是增函数，1.1＞0.9，故1.11.1＞1.10.9.
（2）因为y＝0.1x是减函数，－0.2＜0.9，故0.1－0.2＞0.10.9.
（3）因为1.70.1＞1.70＝1，0.91.1＜0.90＝1，故1.70.1＞0.91.1.
（4）取中间值0.70.7，因为0.70.8＜0.70.7＜0.80.7，故0.70.8＜0.80.7.
【规律方法】
比较指数幂大小的3种类型及处理方法
训练1　设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是
（　　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. b＜a＜c D. b＜c＜a
解析：　∵1.50.6＞1.50＝1，0.60.6＜0.60＝1，故1.50.6＞0.60.6，又函
数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5＞0.6，∴0.61.5＜0.60.6，故0.61.5＜
0.60.6＜1.50.6.即b＜a＜c.
√
知识点二
简单的指数不等式的解法
02
PART
【例2】　求解下列不等式：
（1）已知3x≥ ，求实数x的取值范围；
解：因为 ＝30.5，所以由3x≥ 可得：3x≥30.5，因为y＝3x为
增函数，故x≥ ，故x的取值范围为 .
②当a＞1时，函数y＝ax是增函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＞x＋7，解
得x＜－ .
综上，当0＜a＜1时，x的取值范围是 ；当a＞1时，x的取值
范围是 .
（2）若a－5x＞ax＋7（a＞0且a≠1），求x的取值范围.
解：①当0＜a＜1时，函数y＝ax是减函数，则由a－5x＞ax＋7可得－5x＜x
＋7，解得x＞－ .
【规律方法】
解指数不等式的方法
（1）利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相
同的指数式；
（2）解不等式af（x）＞ag（x）（a＞0，a≠1）的依据是指数型函数的单调
性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨
论，即af（x）＞ag（x） f（x）＞g（x）（a＞1）或f（x）＜g（x）（0
＜a＜1）.
训练2　（1）已知函数f（x）＝ 若f（a）＜1，则实
数a的取值范围是（　C　）
A. （－∞，－3） B. （1，＋∞）
C. （－3，1） D. （－∞，－3）∪（1，＋∞）
C
解析：由题意，知f（a）＜1等价于 或 解得－3
＜a＜0或0≤a＜1，所以－3＜a＜1.故选C.
（2）不等式23－2x＜0.53x－4的解集为 .
解析：原不等式可化为23－2x＜24－3x，因为函数y＝2x是R上的增函数，所
以3－2x＜4－3x，解得x＜1，则不等式的解集为{x｜x＜1}.
{x｜x＜1}
知识点三
利用换元法转化求值
03
PART
【例3】　函数y＝ ＋ ＋1的值域为 .
解析：令t＝ ，则t＞0，则原函数转化为f（t）＝t2＋t＋1＝
＋ ，t＞0，因为函数f（t）＝ ＋ 在（0，＋∞）上为增函数，
所以f（t）＞1，即原函数的值域为（1，＋∞）.
（1，＋∞）
【规律方法】
　　把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简
化，这种方法叫做换元法，换元的实质是转化.本题令t＝ax，可将问题转
化成二次函数的最值问题，需注意换元后t的取值范围.

解析：令ax＝t（t＞0），则原函数可化为g（t）＝t2＋3t－2，易知函数
g（t）在（0，＋∞）上单调递增.当0＜a＜1时，t∈[a，a－1]，g（t）
max＝a－2＋3a－1－2＝8，解得a－1＝2，所以a＝ .所以g（t）min＝
＋3× －2＝－ .当a＞1时，t∈[a－1，a]，g（t）max＝a2＋3a－2＝
8，解得a＝2.所以g（t）min＝2－2＋3×2－1－2＝－ .综上可知，f（x）
在[－1，1]上的最小值为－ .
－
04
PART
提能点
指数函数图象和性质的综合运用
【例4】　已知定义域为R的函数f（x）＝ 是奇函数.
（1）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；
解：由题意，得f（0）＝ ＝0，
所以a＝1，所以f（x）＝ ，
该函数是减函数，证明如下：
任取x1，x2∈R，x1＜x2，
f（x2）－f（x1）＝ － ＝ .
因为x1＜x2，所以0＜ ＜ ，
所以 － ＜0，（1＋ ）（1＋ ）＞0，
所以f（x2）－f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）.
所以该函数在定义域R上是减函数.
（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0恒成立，求
实数k的取值范围.
解：由f（t2－2t）＋f（2t2－k）＜0，得f（t2－2t）＜－f（2t2－k）.
因为f（x）是奇函数，所以f（t2－2t）＜f（k－2t2），
由（1）知，f（x）是减函数，所以t2－2t＞k－2t2，
即3t2－2t－k＞0对任意t∈R恒成立，
所以Δ＝4＋12k＜0，得k＜－ .
【规律方法】
函数性质的综合应用
（1）解题过程中要关注、体会性质的应用，如果性质应用不充分，会导
致解题步骤烦琐或无法求解，如本题中奇偶性、单调性的应用，可以将复
杂的指数运算转化为一元二次不等式问题；
（2）一元二次不等式的恒成立问题，可以结合相应的一元二次函数的图
象，转化为等价的条件求解，恒成立问题还可以利用分离参数、转化为最
值问题等方法求解.
训练4　设a＞0，函数f（x）＝ ＋ 是定义域为R的偶函数.
（1）求实数a的值；
解：由f（x）＝f（－x），得 ＋ ＝ ＋ ，
即4x ＋ ＝0，
所以 ＝0，
根据题意，可得 －a＝0，
又a＞0，所以a＝1.
（2）求f（x）在[0，1]上的值域.
解：由（1）可知f（x）＝4x＋ ，
设任意的x1，x2∈[0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝ ＋ － － ＝（ － ） .
因为0≤x1＜x2，所以 ＜ ，所以 － ＜0.
又因为x1＋x2＞0，所以 ＞1，所以1－ ＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）.
所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增.
所以函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）＝4＋ ＝ ；最小值为f
（0）＝1＋1＝2.
故f（x）在[0，1]上的值域为 .
1. 已知0.3m＞0.3n，则m，n的大小关系为（　　）
A. m＞n B. m＜n
C. m＝n D. 不能确定
解析：　因为函数y＝0.3x在定义域R上是减函数，且0.3m＞0.3n，所
以m＜n.
√
2. f（x）＝2｜x｜，x∈R，那么f（x）是（　　）
A. 奇函数且在（0，＋∞）上单调递增
B. 偶函数且在（0，＋∞）上单调递增
C. 奇函数且在（0，＋∞）上单调递减
D. 偶函数且在（0，＋∞）上单调递减
解析：　由x∈R且f（－x）＝f（x）知f（x）是偶函数，当x＞0时，
f（x）＝2｜x｜单调递增.
√
3. 不等式 ＞ 的解集为 .
解析：因为y＝ 是减函数，且 ＞ ，所以x2－2x－2
＜x－4，即x2－3x＋2＜0，解得1＜x＜2.
（1，2）
4. 已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点 ，则函数g
（x）＝ （x≥0）的最大值为 .
解析：由已知得a2＝ ，解得a＝ ，则f（x）＝ 在R上是减函数，因
为x≥0，所以x2－2x≥－1，所以0＜ ≤3，即函数g（x）＝
（x≥0）的最大值为3.
3
课堂小结
1.理清单
（1）比较大小及解不等式；
（2）利用换元法转化求值；
（3）指数函数性质的综合运用.
2.应体会
解决比较大小问题、利用换元法转化求值问题及指数函数性质的综合问
题均利用转化与化归思想.
3.避易错
研究y＝af（x）型函数，易忽视讨论a＞1还是0＜a＜1.
课时作业
05
PART
1. 方程 ＝16的解是（　　）
C. x＝1 D. x＝2
解析：∵ ＝42，∴2x－1＝2，∴x＝ .
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2. 若 ＜ ，则实数a的取值范围是（　　）
B. （1，＋∞）
C. （－∞，1）
解析：　因为函数y＝ 在R上为减函数，且 ＜ ，所
以2a＋1＞8－2a，所以a＞ .
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3. 函数y＝ －1的值域为（　　）
A. [1，＋∞） B. （－1，1）
C. [－1，＋∞） D. [－1，1）
解析：　∵2x＞0，∴4－2x＜4.又∵4－2x≥0，∴0≤4－2x＜4.令t＝4
－2x，则t∈[0，4），∴ ∈[0，2），∴y∈[－1，1），即函数的值域
是[－1，1）.故选D.
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4. 函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值是最小值的
2倍，则a＝（　　）
D. 2
解析：　函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在区间[1，2]上的最大值是
最小值的2倍.当a＞1时，函数f（x）＝ax是增函数，f（x）max＝2f
（x）min，∴f（2）＝2f（1），∴a2＝2a，∴a＝2.当0＜a＜1时，函数
f（x）＝ax是减函数，f（x）max＝2f（x）min，∴f（1）＝2f（2），
∴a＝2a2，∴a＝ .综上所述，a＝2或a＝ .故选B.
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5. 设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A. a＞c＞b B. a＞b＞c
C. c＞a＞b D. b＞c＞a
解析：　因为y＝ （x＞0）为增函数，所以a＞c.因为y＝
（x∈R）为减函数，所以c＞b，所以a＞c＞b.
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6. 〔多选〕若f（x）＝3x＋1，则（　　）
A. f（x）在[－1，1]上单调递增
C. f（x）的图象过点（0，1）
D. f（x）的值域为[1，＋∞）
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解析：f（x）＝3x＋1在R上是增函数，A正确；因为y＝3x与y＝3－x的图象关于y轴对称，将它们的图象都向上平移1个单位长度仍关于y轴对称，即y＝3x＋1与y＝3－x＋1＝ ＋1的图象关于y轴对称，则B正确；由f（0）＝2，得f（x）的图象过点（0，2），则C错误；由3x＞0，可得f（x）＞1，则D错误.故选A、B.
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7. 已知函数f（x）＝ 为奇函数，则n的值为 .
解析：因为f（x）为定义在R上的奇函数，所以f（0）＝ ＝0，解得n
＝2.
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8. 已知指数函数f（x）＝（3a－1）x，且f（－3）＞f（－2），则实数
a的取值范围是 .
解析：因为指数函数f（x）＝（3a－1）x，且f（－3）＞f（－2），所
以函数f（x）为减函数，所以0＜3a－1＜1，解得 ＜a＜ .

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解析：因为不等式 ＞ 对一切实数x恒成立，所以
＞（3－1）x＋1，即 ＞3－x－1对一切实数x恒成立，又因为y＝3x为R
上的增函数，所以x2－2ax＞－x－1对一切实数x恒成立，所以x2＋（1－
2a）x＋1＞0对一切实数x恒成立，故Δ＝（1－2a）2－4＜0，解得－ ＜
a＜ .
9. 若不等式 ＞ 对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围
为 .

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10. 已知函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，9）.
（1）求实数a的值；
解：依题意，函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图象经过点（2，
9），所以a2＝9.
又因为a＞0且a≠1，所以a＝3.
（2）若b∈R，比较f（2b）与f（b2＋1）的大小.
解：由（1）知f（x）＝3x，
所以f（x）为R上的增函数.
又2b－（b2＋1）＝－（b－1）2≤0，
所以2b≤b2＋1，所以f（2b）≤f（b2＋1）.
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11. 已知方程9x－2·3x＋3k－1＝0有两个实数解，则实数k的取值范围是
（　　）
C. （1，2）
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解析：法一　令t＝3x，则t＞0.原方程有两个实数解，即方程t2－2t
＋3k－1＝0有两个不相等的正实数解，设为t1，t2，则
解得 ＜k＜ ，即k的取值范围是 .
法二　令a＝3x，则a＞0，原方程可化为3k＝－a2＋2a＋1，即3k＝－（a－1）2＋2（a＞0），由图可知，当1＜3k＜2，即 ＜k＜ 时，符合题意，故实数k的取值范围是 .
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12. 函数y＝ 的图象大致为（　　）
√
解析：函数有意义，需使ex－e－x≠0，其定义域为{x｜x≠0}，故排除C、D；又因为y＝ ＝ ＝1＋ ，所以当x＞0时，函数单调递减.
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13. 定义运算：a b＝ 则函数f（x）＝3－x 3x的值域
为 .
解析：由题意得，f（x）＝ 函数f（x）的图象如图实线部分，由图可知f（x）的值域为（0，1].
（0，1]
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14. 设函数f（x）＝kax－a－x（a＞0，且a≠1）是定义在R上的奇函数.
（1）求k的值；
解：法一　∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（0）＝0，即k－1＝0，∴k＝1.
当k＝1时，f（x）＝ax－a－x，f（－x）＝a－x－ax＝－（ax－a－x）＝
－f（x），
故k＝1符合题意.
法二　∵f（－x）＝ka－x－ax，－f（x）＝－kax＋a－x，又f（x）是奇
函数，∴f（－x）＝－f（x）在定义域R上恒成立，
∴ 解得k＝1.
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解： ∵f（1）＝a－ ＞0，
又a＞0，且a≠1，∴a＞1.
∴y＝ax，y＝－a－x都是R上的增函数，
∴f（x）是R上的增函数.
故f（x2＋2x）＋f（4－x2）＞0 f（x2＋2x）＞－f（4－x2）＝f（x2－
4） x2＋2x＞x2－4 x＞－2.
∴f（x）是在R上的增函数，且不等式的解集为{x｜x＞－2}.
（2）若f（1）＞0，试判断函数的单调性（不需证明），并求不等式f
（x2＋2x）＋f（4－x2）＞0的解集.
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15. 对于函数f（x），若在定义域内存在实数x0满足f（－x0）＝－f
（x0），则称函数f（x）为“倒戈函数”.设f（x）＝3x＋2m－1
（m∈R，且m≠0）是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，求实数m的取
值范围.
解：∵f（x）＝3x＋2m－1是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，
∴ x0∈[－1，1]满足f（－x0）＝－f（x0），
∴ ＋2m－1＝－ －2m＋1，
∴4m＝－ － ＋2.
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构造函数g（x）＝－3－x－3x＋2，x∈[－1，1]，令t＝3x，则
t∈ ，则g（x）可转化为y＝－ －t＋2，
易知y＝－ －t＋2在 上单调递增，在[1，3]上单调递减，
∴y∈ .
∴－ ≤4m≤0，∴－ ≤m≤0，
又m≠0，∴m∈ .
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