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(共49张PPT)
第二课时　对数函数的图象和性质的应用
1.进一步掌握对数函数的图象和性质（逻辑推理）.
2.利用单调性进一步求函数的定义域和简单值域问题（数学运算）.
3.了解反函数的概念和图象特点（数学抽象、直观想象）.
课标要求
知识点一　反函数
01
知识点二　对数型函数图象的应用
02
知识点三　对数型函数的最值与值域
03
目录
课时作业
04
知识点一
反函数
01
PART
（1）函数y＝2x的定义域与y＝log2x的值域分别是什么？函数y＝2x的值
域与y＝log2x的定义域分别是什么？函数y＝2x与y＝log2x的定义域和值
域之间有什么关系？
提示：函数y＝2x的定义域与y＝log2x的值域相同，都是R；函数y＝2x的
值域与y＝log2x的定义域相同，都是（0，＋∞）；函数y＝2x与y＝log2x
的定义域和值域恰好互换.
问题　在同一坐标系下，画出函数y＝2x与y＝log2x的图象：
（2）函数y＝2x与y＝log2x的图象是否关于某一条直线对称？
提示：两个函数图象关于直线y＝x对称.
【知识梳理】
1. 指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）和对数函数y＝logax（a＞0，且
a≠1）互为反函数.
2. 性质：（1）互为反函数的两个函数图象关于直线y＝x对称；（2）反
函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域.
【例1】　若函数y＝f（x）是函数y＝2x的反函数，则f（f（2））＝
（　　）
A. 16 B. 0
C. 1 D. 2
解析：　函数y＝2x的反函数是y＝log2x，即f（x）＝log2x.∴f（f
（2））＝f（log22）＝f（1）＝log21＝0.
√
【规律方法】
反函数的性质
（1）同底数的指数函数与对数函数互为反函数；
（2）互为反函数的两个函数的定义域与值域互换；
（3）互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称.
训练1　（1）函数y＝log3x 的反函数的定义域为（　D　）
A. （0，＋∞） B.
C. （1，4） D. [－1，4]
解析：由y＝log3x ，可知y∈[－1，4].所以其反函数的定义
域为x∈[－1，4].
D
（2）若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数f（x）＝
，则f（2）＋g（4）＝（　D　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，f（x）＝
＝2x，∴g（x）＝log2x，∴f（2）＋g（4）＝22＋log24＝6.
D
知识点二
对数型函数图象的应用
02
PART
【例2】　（1）如图所示，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f
（x）≥log2（x＋1）的解集是（　C　）
A. {x｜－1＜x≤0} B. {x｜－1≤x≤1}
C. {x｜－1＜x≤1} D. {x｜－1＜x≤2}
解析：在平面直角坐标系中作出函数y＝log2（x＋1）
的大致图象，如图所示，且y＝log2（x＋1）的定义域
为（－1，＋∞）.由图可知，f（x）≥log2（x＋1）的
解集是{x｜－1＜x≤1}.
C
（2）〔多选〕已知f（x）＝｜log2x｜，若f（a）＞f（2），则a的值可
以是（　ABD　）
A. B.
C. D. 3
解析：作出函数f（x）的图象，如图所示，由于f（2）＝f ，故结合图象可知0＜a＜ 或a＞2.
ABD
【规律方法】
　　正确作出函数y＝f（x）的图象，由数形结合思想将对数型不等式转
化为代数不等式，此方法是求解对数型不等式或求参数值（范围）的常用
方法.
训练2　当0＜x≤ 时，4x＜logax，则a的取值范围是（　　）
A. B.
C. （1， ） D. （ ，2）
√
解析：　易知0＜a＜1，函数y＝4x与y＝logax的大致
图象如图，则由题意可知只需满足loga ＞ ，解得a＞
，∴ ＜a＜1.故选B.
03
PART
知识点三
对数型函数的最值与值域
【例3】　求下列函数的值域：
（1）y＝log3（2x－1），x∈[1，2]；
解：∵1≤x≤2，∴1≤2x－1≤3，∴0＝log31≤log3（2x－1）≤log33
＝1.
∴函数y＝log3（2x－1），x∈[1，2]的值域是[0，1].
（2）f（x）＝log2 ·log2 （1≤x≤4）.
解：∵f（x）＝log2 ·log2 ＝（log2x－2）·（log2x－1）＝
－ ，
又∵1≤x≤4，∴0≤log2x≤2，
∴当log2x＝ ，即x＝ ＝2 时，f（x）取最小值－ ；
当log2x＝0，即x＝1时，f（x）取得最大值2，
∴函数f（x）的值域是 .
【规律方法】
求对数型函数值域（最值）的方法
　　对于形如y＝logaf（x）（a＞0，且a≠1）的复合函数，其值域（最
值）的求解步骤如下：
（1）分解成y＝logau，u＝f（x）两个函数；
（2）求f（x）的定义域；
（3）求u的取值范围；
（4）利用y＝logau的单调性求解.
训练3　（1）已知函数f（x）＝3lo x的定义域为[3，9]，则函数f
（x）的值域是 ；
解析：∵y＝lo x在（0，＋∞）上是减函数，∴当3≤x≤9时，lo
9≤lo x≤lo 3，即－2≤lo x≤－1，∴－6≤3lo x≤－3，∴函数f
（x）的值域是[－6，－3].
[－6，－3]
（2）函数y＝logax（a＞0，且a≠1）在[2，4]上的最大值与最小值的差
是1，则a＝ .
解析：当a＞1时，函数y＝logax在[2，4]上单调递增，所以loga4－loga2
＝1，即loga ＝1，所以a＝2.当0＜a＜1时，函数y＝logax在[2，4]上单
调递减，所以loga2－loga4＝1，即loga ＝1，所以a＝ .综上可知a＝2或
a＝ .
2或
1. 函数f（x）＝ 的定义域为（　　）
A. （0，2） B. （0，2]
C. （2，＋∞） D. [2，＋∞）
解析：若函数f（x）有意义，则 即 解
得x＞2.∴函数f（x）的定义域为（2，＋∞）.
√
2. 函数y＝2＋log2x（x≥2）的值域为（　　）
A. （3，＋∞） B. （－∞，3）
C. [3，＋∞） D. （－∞，3]
解析：因为x≥2，所以log2x≥1，所以y≥3.
√
3. 若函数f（x）＝ax＋loga（x＋1）在[0，1]上的最大值和最小值之和
为a，则a＝（　　）
A. B.
C. 2 D. 4
解析：由题意得f（x）在[0，1]上单调递增或单调递减，∴f（x）的
最大值或最小值在端点处取得，即f（0）＋f（1）＝a，即1＋a＋loga2
＝a，∴loga2＝－1，解得a＝ .
√
4. 若函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的反函数，其图象
经过点 ，则a＝ 　 　.
解析：由题意得f（x）＝logax（a＞0，且a≠1，x＞0），因为f（x）
的图象过点 ，所以loga ＝ ，所以 ＝ ，所以a2＝2，所
以a＝ （负值舍去）.

课堂小结
1.理清单
（1）反函数；
（2）对数型函数图象的应用；
（3）对数型函数值域与最值.
2.应体会
对数型函数图象的应用体现了数形结合思想；解决对数型函数的值域与
最值问题，应用了转化与化归思想.
3.避易错
解决对数型函数的值域与最值问题时应注意函数的定义域.
课时作业
04
PART
1. 已知函数f（x）＝5－log3x，x∈（3，27]，则f（x）的值域是
（　　）
A. （2，4] B. [2，4）
C. [－4，4） D. （6，9]
解析：　f（x）＝5－log3x在x∈（3，27]上单调递减，所以f（27）
≤f（x）＜f（3），即2≤f（x）＜4.
√
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2. 函数y＝lg ｜x｜是（　　）
A. 偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递增
B. 偶函数，且在区间（－∞，0）上单调递减
C. 奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递增
D. 奇函数，且在区间（0，＋∞）上单调递减
解析：易知函数y＝lg ｜x｜是偶函数.当x＞0时，y＝lg ｜x｜＝lg x，所以在区间（0，＋∞）上单调递增.由偶函数的性质知，函数在区间（－∞，0）上单调递减.
√
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3. 函数f（x）＝log2（1－x）的图象为（　　）
解析：　函数的定义域为（－∞，1），排除B、D项；函数f（x）＝
log2（1－x）为减函数，排除C项，故A项正确.
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4. 已知函数y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为R，则k的取值范围是
（　　）
A. 0＜k＜1 B. 0≤k＜1
C. k≤0或k≥1 D. k＝0或k≥1
解析：令t＝x2－2kx＋k，由y＝log2（x2－2kx＋k）的值域为R，得函数t＝x2－2kx＋k的图象一定恒与x轴有交点，所以Δ＝4k2－4k≥0，即k≤0或k≥1.
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5. 函数f（x）＝lg（ ＋x）的奇偶性为（　　）
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数
解析：　易知该函数的定义域为R，又f（x）＋f（－x）＝lg（
＋x）＋lg（ －x）＝lg[（ ＋x）·（ －x）]＝lg 1
＝0，∴f（x）＝－f（－x），∴f（x）为奇函数.
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6. 〔多选〕已知函数f（x）＝（log2x）2－log2x2－3，则下列说法正确的
是（　　）
A. f（4）＝－3
B. 函数y＝f（x）的图象与x轴有两个交点
C. 函数y＝f（x）的最小值为－4
D. 函数y＝f（x）的最大值为4
√
√
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解析：A正确，f（4）＝（log24）2－log242－3＝－3；B正确，令f（x）＝0，得（log2x＋1）（log2x－3）＝0，解得x＝ 或x＝8，即f（x）的图象与x轴有两个交点；C正确，因为f（x）＝（log2x－1）2－4（x＞0），所以当log2x＝1，即x＝2时，f（x）取最小值－4；D错误，f（x）没有最大值.
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7. 函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，则下列结论
正确的是 （填写序号）.
①f（x2）＝2f（x）；②f（2x）＝f（x）＋f（2）；③f ＝f（x）
－f（2）；④f（2x）＝2f（x）.
解析：因为函数y＝f（x）是函数y＝ax（a＞0且a≠1）的反函数，所以
f（x）＝logax（a＞0且a≠1）.所以f（x2）＝logax2＝2logax＝2f
（x），f（2x）＝loga2x＝loga2＋logax＝f（x）＋f（2），f ＝
loga x＝logax－loga2＝f（x）－f（2）.所以①②③正确.
①②③
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8. 设a＞1，函数f（x）＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差
为 ，则a＝ .
解析：∵a＞1，∴f（x）＝logax在[a，2a]上单调递增，∴loga（2a）
－logaa＝ ，即loga2＝ ，∴ ＝2，a＝4.
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9. 函数f（x）＝log2 ·lo （2x）的最小值为 　－ 　.
解析：由题意得f（x）＝ log2x·（2＋2log2x）＝（log2x）2＋log2x＝
－ ≥－ ，当且仅当log2x＝－ ，即x＝ 时，等号成立，
因此函数f（x）的最小值为－ .
－
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10. 已知函数f（x）＝loga（1＋x）＋loga（3－x）（a＞0，且a≠1）.
（1）求函数f（x）的定义域；
解：由题意得 解得－1＜x＜3.所以f（x）的定义域为
（－1，3）.
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（2）若函数f（x）的最小值为－2，求实数a的值.
解：f（x）＝loga[（1＋x）（3－x）]＝loga（－x2＋2x＋3）＝
loga[－（x－1）2＋4]，－1＜x＜3，
若0＜a＜1，则当x＝1时，f（x）有最小值loga4，
所以loga4＝－2，即a－2＝4.又0＜a＜1，所以a＝ .
若a＞1，则当x＝1时，f（x）有最大值loga4，f（x）无最小值.
综上可知，a＝ .
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11. 〔多选〕任取x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2，若f ＞
恒成立，则f（x）称为[a，b]上的凸函数，下列函数中
在其定义域上为凸函数的是（　　）
A. y＝2x B. y＝log2x
C. y＝－x2 D. y＝
√
√
√
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解析：由题意知，若函数f（x）为凸函数，则在函数y＝f（x）的图象上任取两个不同的点A，B，线段AB（原点除外）总在f（x）图象的下方，分别作出四个函数的图象，如图所示.观察各函数在定义域上的图
象，知y＝log2x，y＝－x2，y＝ 是凸函数，故选B、C、D.
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12. 若函数f（x）＝｜log2x｜的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则b－
a的最小值为 .
解析：根据题意，画出函数f（x）的图象如图，
令｜log2x｜＝2可得x＝ 或x＝4.由图象可知，当
值域为[0，2]时，定义域的最小区间是 ，则
b－a的最小值为1－ ＝ .

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13. 已知函数f（x）＝lo 的图象关于原点对称，其中a为常数，则
a＝ .
解析：∵函数f（x）的图象关于原点对称，∴函数f（x）的定义域关于
原点对称，∵ ＞0，∴（x－1）（1－ax）＞0，令（x－1）（1－
ax）＝0，得x1＝1，x2＝ ，∴ ＝－1，a＝－1，经验证，a＝－1满足
题意.
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14. 已知函数f（x）＝log2（1＋x2）.
求证：（1）函数f（x）是偶函数；
证明：函数f（x）的定义域是R，
f（－x）＝log2[1＋（－x）2]＝log2（1＋x2）＝f（x），
所以函数f（x）是偶函数.
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（2）函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.
证明： x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，则f（x1）－f（x2）＝
log2（1＋ ）－log2（1＋ ）＝log2 .
由于0＜x1＜x2，则0＜ ＜ ，0＜1＋ ＜1＋ ，
所以0＜ ＜1，所以log2 ＜0，
所以f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增.
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15. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C
分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y＝logax（a＞1）的图象上，求实
数a的值.
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解：设B（x，2logax），∵BC平行于x轴，∴C（x'，2logax），即
logax'＝2logax，∴x'＝x2，
∴正方形ABCD的边长｜BC｜＝x2－x＝2，解得x＝2.
由已知得AB垂直于x轴，∴A（x，3logax），
正方形ABCD边长｜AB｜＝3logax－2logax＝logax＝2，即loga2＝2，∴a
＝ .
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