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(共35张PPT)
章末检测（五）　三角函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. sin （－1 290°）的值为（　　）
解析：　 sin （－1 290°）＝ sin （150°－360°×4）＝ sin 150°＝
，故选A.
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2. cos （45°－α） cos （α＋15°）－ sin （45°－α） sin （α＋15°）＝
（　　）
解析：　原式＝ cos [（45°－α）＋（α＋15°）]＝ cos 60°＝ ，
故选A.
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3. 已知角α的终边经过点（－4，3），则 cos （2α＋π）＝（　　）
解析：　由题意知，r＝ ＝5， cos α＝ ＝－ ， cos （2α
＋π）＝－ cos 2α＝－（2 cos 2α－1），即 cos （2α＋π）＝1－2×（－ ）2
＝－ ，故选B.
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4. 如图，被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮是一座跨河建造、桥轮
合一的摩天轮.假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，
则经过5分钟，点B转过的角的弧度是（　　）
解析：由题意可知，点B转过的角的弧度是 ×2π＝ .故选B.
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5. 已知α∈（0，π），且3 cos 2α－8 cos α＝5，则 sin α＝（　　）
解析：　由3 cos 2α－8 cos α＝5，得6 cos 2α－8 cos α－8＝0，即3 cos 2α
－4 cos α－4＝0，解得 cos α＝－ 或 cos α＝2（舍去），又∵α∈（0，
π），∴ sin α＝ ＝ .故选A.
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6. 将函数y＝ sin （2x＋φ）的图象沿x轴向左平移 个单位长度后，得到
一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（　　）
C. 0
解析：　y＝ sin （2x＋φ）的图象沿x轴向左平移 个单位长度后，得y
＝ sin ［2（x＋ ）＋φ］＝ sin （2x＋ ＋φ）.若该函数为偶函数，则
＋φ＝kπ＋ ，k∈Z，故φ＝kπ＋ ，k∈Z. 当k＝0时φ＝ .故选B.
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7. 函数f（x）＝ （－ ＜x＜ ）的图象是（　　）
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解析：　因为f（x）＝ （－ ＜x＜ ），所以f（ ）＝ ＝ ＞
0，故排除C；f（－ ）＝ ＝－ ＜0，故排除B；而f（ ）＝
＝ ＜ ＝f（ ），所以f（x）在（0， ）上不可能单调递减，故
排除D；因为排除了B、C、D，而A又满足上述性质，故A正确.故选A.
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8. 已知f（x）＝ sin ，ω＞0，｜φ｜＜ ，f（x）是奇函数，直
线y＝1与函数f（x）的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为 ，
则（　　）
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解析：　因为f（x）是奇函数，所以φ＝0，所以f（x）＝ sin ωx.又由
已知得T＝ ，所以 ＝ ，所以ω＝4，所以f（x）＝ sin 4x.由函数的解
析式可知f（x）在 上单调递减.故选A.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的
四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部
分分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（　　）
D. 若角α为锐角，则角2α为钝角
√
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解析：A：－ ＋2π＝ 是第三象限角，故A正确；B：若圆心角为 的扇形的弧长为 ，则半径r＝ ＝3，则该扇形的面积为S＝ × ×3＝ ，故B错误；C：若角α的终边上有一点P（－3，4），则 cos α＝ ＝－ ，故C正确；D：若角α为锐角，设α＝ ，则角2α＝ ，为直角，故D错误.故选A、C.
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10. 下列函数中最小正周期为π的有（　　）
B. y＝｜ sin x｜
C. y＝ cos ｜2x｜
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解析：　选项A：y＝ cos 2 ＝ ，它的最小正周期为 ＝2π，
不符合题意；选项B：函数y＝｜ sin x｜的图象是把y＝ sin x的图象中横轴
下方的部分以横轴为对称轴翻折上去，而y＝ sin x的最小正周期是2π，所
以y＝｜ sin x｜的最小正周期为π，符合题意；选项C：函数y＝ cos ｜
2x｜的图象与y＝ cos 2x的图象一样，而y＝ cos 2x的最小正周期为
＝π，故y＝ cos ｜2x｜的最小正周期也是π，符合题意；选项D：y＝tan
（2x－ ）的最小正周期为 ＝ ，不符合题意.故选B、C.
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11. 如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则这些函数为“互为生
成函数”.下列函数中，与f（x）＝ sin x＋ cos x构成“互为生成函数”的
有（　　）
C. f3（x）＝ sin x
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解析：f（x）＝ sin x＋ cos x＝ sin （x＋ ），由f1（x）＝ sin x＋ ，则将f1（x）的图象向下平移 个单位长度，再向左平移 个单位长度即可与f（x）的图象重合；由f2（x）＝ （ sin x＋ cos x）＝ × sin （x＋ ）＝2 sin （x＋ ），则f2（x）图象无法经过平移与f（x）的图象重合；由f3（x）＝ sin x，则f3（x）的图象无法经过平移与f（x）的图象重合； 由f4（x）＝2 cos （ sin ＋ cos ）＝2 cos · sin ＋2 cos 2 ＝ sin x＋ cos x＋1＝ sin （x＋ ）＋1，则将f4（x）的图象向下平移1个单位长度，与f（x）的图象重合.故A、D中的函数与f（x）“互为生成函数”.故选A、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横
线上）
12. 已知角α的终边过点P（5，a），且tan α＝－ ，则 sin α＋ cos α的值
为 .
解析：由三角函数的定义得，tan α＝ ＝－ ，∴a＝－12，∴P（5，－
12）.此时r＝13，∴ sin α＝－ ， cos α＝ ，从而 sin α＋ cos α＝－ .
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13. 已知函数f（x）＝ sin 2x，若存在非零实数a，b使得f（x＋a）＝
bf（x）对x∈R都成立，则满足条件的一组值可以是a＝ ，b＝
.（只需写出一组）
解析：当a＝ 时，f（x＋ ）＝ sin （2x＋π）＝－ sin 2x，即b＝－1，
故当a＝ ，b＝－1时，f（x＋a）＝bf（x）对x∈R都成立.

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1（答案不唯一）
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14. 已知函数f（x）＝2 sin （2x＋ ）－m，x∈［0， ］有三个不同
的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则x1＋2x2＋x3＝ .

解析：由题意知，令f（x）＝0，得2 sin （2x＋ ）＝m，令 sin （2x＋ ）＝1，∵0≤x≤ ，则 ≤2x＋ ≤ ，可得2x＋ ＝ 或2x＋ ＝ ，解得x＝ 或x＝ ，令 sin （2x＋ ）＝－1，可得2x＋ ＝ ，解得x＝ ，
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画出函数y＝2 sin （2x＋ ）在区间［0， ］内的图象以及函数y＝m的图象如图所示，由图可知，x1，x2关于直线x＝ 对称，
x2，x3关于直线x＝ 对称，所以x1＋2x2
＋x3＝x1＋x2＋x2＋x3＝ ×2＋ ×2＝ .
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证
明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知 cos α＝ ，α∈（0， ）.
（1）求 sin α，tan α的值；
解：由 cos α＝ ，α∈（0， ），则 sin α＝ ，tan α＝ .
（2）求 ＋ cos （ －α）tan（π＋α）的值.
解：原式＝ ＋ sin αtan α＝－ sin αtan α＋ sin αtan α＝0.
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16. （本小题满分15分）将自行车支起来，使后轮能平衡地匀速转动，观
察后轮气针的运动规律，若将后轮放入如图所示的坐标系中，轮胎以角速
度ω rad/s做圆周运动，P0是气针的初始位置，气针（看作一个点P）到原
点O的距离为r.
（1）求气针P的纵坐标y关于时间t的函数解析式，并求出P的运动周
期；
解：过点P作x轴的垂线，设垂足为M（图略），则
MP就是正弦线.
所以y＝r sin （ωt＋φ），因此P的运动周期T＝ .
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（2）当φ＝ ，r＝ω＝1时，作出其图象.
解：当φ＝ ，r＝ω＝1时，y＝ sin （t＋ ），其图象可由y＝ sin t的图象向左平移 个单位长度得到，如图所示.
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17. （本小题满分15分）已知 ＜α＜π， ＜β＜π， cos α＝－ ，tan β
＝－ .
（1）求 sin （α－ ）的值；
解：因为 ＜α＜π， cos α＝－ ，所以 sin α＝ ＝ ，
所以 sin （α－ ）＝ sin α cos － cos α sin ＝ ×（－ ）－（－
）× ＝ .
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（2）求α＋β的值.
解：因为 ＜β＜π，所以π＜α＋β＜2π.
由（1）可得tan α＝ ＝－ .
因为tan β＝－ ，所以tan（α＋β）＝ ＝ ＝－
1，故α＋β＝ .
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18. （本小题满分17分）已知函数f（x）＝A sin （ωx＋φ）（ω＞0，0＜
φ＜ ）的部分图象如图所示.
（1）求函数的解析式；
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解：由题图可得， ＝ － ＝ ，
∴T＝2π，则ω＝ ＝ ＝1，
由五点作图的第二点知，1× ＋φ＝ ，则φ＝ ，
∴f（x）＝A sin （x＋ ），
又f（0）＝A sin ＝2，得A＝4，
∴f（x）＝4 sin （x＋ ）.
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（2）将函数f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的
，再将所得图象向右平移 个单位长度，得到函数y＝g（x）的图象，
求g（x）的单调递增区间；
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解：将函数y＝f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 ，所得图象对应函数解析式为y＝4 sin （2x＋ ），再将所得函数图象向右平移 个单位长度，所得函数图象对应解析式为y＝4 sin ［2（x－ ）＋ ］，
∴g（x）＝4 sin （2x－ ），
由－ ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，得－ ＋
kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z，
∴g（x）的单调递增区间为［－ ＋kπ， ＋kπ］，k∈Z.
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（3）当x∈［－ ， ］时，求函数y＝f（x＋ ）－ f（x＋ ）的
最值.
解：y＝f（x＋ ）－ f（x＋ ）
＝4 sin （x＋ ＋ ）－4 sin （x＋ ＋ ）＝4 sin （x＋ ）－4 cos x
＝4 sin x cos ＋4 cos x sin －4 cos x＝4 sin （x－ ），
∵x∈［－ ， ］，
∴x－ ∈［－ ，－ ］，
∴y＝f（x＋ ）－ f（x＋ ）的最小值为－4，最大值为－2.
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19. （本小题满分17分）对于函数f（x）（x∈D），若存在非零常数
T，使得对任意的x∈D，都有f（x＋T）≥f（x）成立，我们称函数f
（x）为“T函数”，若对任意的x∈D，都有f（x＋T）＞f（x）成
立，则称函数f（x）为“严格T函数”.
（1）求证：f（x）＝ sin x，x∈R是“T函数”；
解：证明：取非零常数T＝2π，
则对任意的x∈R，都有f（x＋2π）＝ sin （x＋2π）＝ sin x，
因为 sin x≥ sin x，即f（x＋T）≥f（x）成立，
故f（x）＝ sin x，x∈R是“T函数”.
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（2）若函数f（x）＝kx＋ sin 2x是“ 函数”，求k的取值范围；
解：函数f（x）＝kx＋ sin 2x是“ 函数”，D＝R，
则f（x＋ ）≥f（x），即k（x＋ ）＋ sin 2（x＋ ）≥kx＋ sin 2x，
整理得 k≥－ cos 2x，而 cos 2x∈[－1，1]，
故 k≥1，所以k≥ ，
即k的取值范围为［ ，＋∞）.
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解：因为对于任意x∈R，对任意的正实数T，都有f（x＋T）＞f（x）成立，
则f（x）在R上为增函数，
令g（x）＝ sin f（x），x∈R，
由题意知g（x）＝ sin f（x）为奇函数，
因为f（a）＝ ，f（b）＝－ ，
所以g（a）＝ sin （f（a））＝1，g（b）＝ sin （f（b））＝－1，
所以g（a）＋g（b）＝0，由奇函数的性质，则a＋b＝0.
（3）对于定义域为R的函数f（x），f（0）＝0.函数 sin f（x）是奇函
数，且对任意的正实数T， sin f（x）均是“严格T函数”.若f（a）＝
，f（b）＝－ ，求a＋b的值.
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