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(共44张PPT)
培优课　集合
1.掌握集合的基本概念及关系（逻辑推理）.
2.会进行集合的综合运算（数学运算）.
3.能运用所学知识解决集合中的创新性问题（创新迁移）.
重点解读
一、集合的基本概念及关系
01
二、集合的运算
02
三、集合的综合应用
03
目录
四、集合中的创新性问题
04
课时作业
04
一、集合的基本概念及关系
01
PART
【例1】　（1）若U＝R，A＝{x｜x＜0}，B＝{x｜x＞1}，则（　B　）
A. A B B. B （ UA）
C. （ UA） B D. B A
解析：因为U＝R，A＝{x｜x＜0}，所以 UA＝{x｜x≥0}，又B＝
{x｜x＞1}，故B （ UA），故B正确，C错误；易知－1∈A，－1 B，
2∈B，2 A，所以A、D错误.
B
（2）已知集合A＝{x｜－ ＜x－ ＜ }，B＝{x｜a＜x＜ }.若
B A，则实数a的取值范围是 .
解析：由题意可得，A＝{x ｜0＜x＜ }.当a≥ 时，B＝ ，满足B A；
当a＜ 时，因为B A，所以0≤a＜ .综上，实数a的取值范围是{a｜
a≥0}.
{a｜a≥0}
【规律方法】
1. 判断两集合关系的两种常用方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集
合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系.
2. 已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间
的关系，进而转化为参数满足的关系.
训练1　（1）已知集合U＝{（x，y）｜x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则
集合U中的元素的个数为（　C　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
解析：当x＝－1时，y＝0；当x＝0时，y＝－1，0，1；当x＝1时，y＝
0.所以U＝{（－1，0），（0，－1），（0，0），（0，1），（1，
0）}，共有5个元素.
C
（2）设a∈R，若集合S＝{－1，a，a2＋2}中的最大元素为3，则a
＝ .
解析：因为集合S＝{－1，a，a2＋2}中的最大元素为3，所以3∈{－1，
a，a2＋2}，所以a＝3或a2＝1.当a＝3时，a2＋2＝11＞3不合题意，舍
去；当a＝－1时，不符合集合的互异性，舍去；当a＝1时，集合S＝{－
1，a，a2＋2}中的最大元素为3.所以a＝1.
1
二、集合的运算
02
PART
【例2】　设全集U＝R，集合A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜2＜x＜4}，
C＝{x｜a≤x≤a＋1，a∈R}.
（1）分别求A∩B，A∪（ UB）；
解：A∩B＝{x｜2＜x≤3}， UB＝{x｜x≤2或x≥4}，A∪（ UB）＝
{x｜x≤3或x≥4}.
（2）若B∩C＝C，求实数a的取值范围.
解：由B∩C＝C可得C B，由题可得C≠ ，
所以 解得2＜a＜3，即实数a的取值范围为{a｜2＜a＜3}.
【规律方法】
集合运算问题的关注点
（1）运算口诀：交集元素仔细找，属于A且属于B；并集元素勿遗漏，切
记重复仅取一；全集U是大范围，去掉U中A元素，剩余元素成补集；
（2）数形结合法：利用Venn图或数轴解决集合的运算问题，能将复杂问
题直观化.
　　提醒：要注意端点值是否符合题意，以免增解或漏解.
训练2　（1）已知全集U＝{x∈N｜－2≤x＜7}， U（A∪B）＝{1，
5，6}，B＝{2，4}，则A∩（ UB）＝（　B　）
A. {－2，－1，0，3} B. {0，3}
C. {0，2，3，4} D. {3}
解析：全集U＝{x∈N｜－2≤x＜7}＝{0，1，2，3，4，5，6}.又 U
（A∪B）＝{1，5，6}，所以A∪B＝{0，2，3，4}.又B＝{2，4}，所
以A∩（ UB）＝{0，3}.
B
（2）已知全集U＝R，集合A＝{x｜x＜－1或x＞4}，B＝{x｜－
2≤x≤3}，那么阴影部分表示的集合为（　D　）
A. {x｜－2≤x＜4}
B. {x｜x≤3或x≥4}
C. {x｜－2≤x≤－1}
D. {x｜－1≤x≤3}
D
解析：由题意得，阴影部分所表示的集合为（ UA）∩B＝{x｜－
1≤x≤4}∩{x｜－2≤x≤3}＝{x｜－1≤x≤3}.
（3）设全集U＝R，集合A＝{x｜x≤1或x≥3}，集合B＝{x｜k＜x＜k
＋1，k∈R}，且B∩（ UA）≠ ，则（　C　）
A. k＜0或k＞3 B. 2＜k＜3
C. 0＜k＜3 D. －1＜k＜3
解析：∵A＝{x｜x≤1或x≥3}，∴ UA＝{x｜1＜x＜3}.若B∩
（ UA）＝ ，则k＋1≤1或k≥3，即k≤0或k≥3，∴若B∩（ UA）
≠ ，则0＜k＜3.
C
03
PART
三、集合的综合应用
【例3】　某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或
游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球
又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（　　）
A. 62% B. 56%
C. 46% D. 42%
解析：设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占的比例之间的关系如图，则（60%－x）＋（82%－x）＋x＝96%，解得x＝46%.
√
【规律方法】
　　解决此类以生活实际为背景的集合问题，通常是先将各种对象用不同
的集合表示，再借助Venn图直观分析各集合中的元素个数，最后转化为实
际问题求解.
训练3　某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学
至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，
15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的
有4人，则同时参加数学和化学小组的有 人.
解析：设参加数学、物理、化学小组的人构成的集
合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有
x人，由题意可得如图所示的Venn图，由题意可得
（26－6－x）＋6＋（15－4－6）＋4＋（13－4－
x）＋x＝36，解得x＝8.即同时参加数学和化学小
组的有8人.
8
四、集合中的创新性问题
04
PART
角度1　集合的新定义问题
【例4】　若x∈A，则－x∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M＝{－
2，－1，0，1，2，3}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是
（　　）
A. 31 B. 7
C. 3 D. 1
解析：　若x＝－2，则－x＝2；若x＝－1，则－x＝1；若x＝0，则－x
＝0，则{－2，2}，{－1，1}，{0}，{－2，2，0}，{－1，1，0}，{－2，
2，－1，1}，{－2，2，0，－1，1}为伙伴关系集合，共7个.故选B.
√
【规律方法】
解决集合新定义问题的策略
（1）紧扣“新”定义，首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题
的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集
合问题的关键所在；
（2）按照新定义要求与已知的相关知识进行逻辑推理和计算，从而达到
解决问题的目的.
角度2　集合的新运算问题
【例5】　定义A－B＝{x｜x∈A，x B}，A*B＝（A－B）∪（B－
A）叫做集合的对称差，若集合A＝{x｜ ＜x≤ }，B＝{x｜－1＜x＜
3}，则A*B＝ .
解析：由题得A－B＝{x｜3≤x≤ }，B－A＝{x｜－1＜x≤ }，故A*B
＝（A－B）∪（B－A）＝{x ｜－1＜x≤ 或3≤x≤ }.
{x｜－1＜x≤ 或3≤x≤ }
【规律方法】
　　集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规
则，这些运算规则类似于交集、并集、补集，要求按照此集合运算规则结
合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的.
训练4　设集合A＝{－1，0}，集合B＝{x∈N｜0≤x＜a}，若B中恰有2
个元素，且定义A*B＝{（x，y）｜x∈A∩B，y∈A∪B}，则A*B的子
集个数是 .
解析：因为集合B＝{x∈N｜0≤x＜a}且B中恰有2个元素，则1＜a≤2，
所以B＝{0，1}，又A＝{－1，0}，所以A∩B＝{0}，A∪B＝{－1，0，
1}，又A*B＝{（x，y）｜x∈A∩B，y∈A∪B}，所以A*B＝{（0，－
1），（0，0），（0，1）}，所以A*B的子集有23＝8个.
8
课时作业
05
PART
1. 已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为
（　　）
A. 1 B. 1或0
C. 0 D. －1或0
解析：　因为－1∈A，若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，
不符合集合元素的互异性；若a2－a－1＝－1，得a＝1（舍去）或a＝0，
当a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.
1
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√
2. 已知全集U＝R，集合M＝{x｜－2≤x－1≤2}和N＝{x｜x＝2k－
1，k＝1，2，…}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元
素共有（　　）
A. 3个 B. 2个
C. 1个 D. 无穷多个
解析：　由M＝{x｜－2≤x－1≤2}得M＝{x｜－1≤x≤3}，则M∩N
＝{1，3}，有2个元素.
√
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3. 给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，对于x∈S，如果x＋1 S，
x－1 S，那么x是S的一个“好元素”.由S的3个元素构成的所有集合
中，不含“好元素”的集合共有（　　）
A. 6个 B. 12个
C. 9个 D. 5个
解析：　要不含“好元素”，说明这三个数必须是连续的，故不含“好
元素”的集合有{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，
6，7}，{6，7，8}，共6个，故选A.
√
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4. 已知集合A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜x＞m}，且A∪B＝A，则实数m
的取值集合是（　　）
A. {m｜m＞3} B. {m｜m≥3}
C. {m｜m＜3} D. {m｜m≤3}
解析：　由A＝{x｜x＞3}，B＝{x｜x＞m}，因为A∪B＝A，所以
B A，则m≥3，即实数m的取值集合是{m｜m≥3}.故选B.
√
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5. 已知集合U＝{x∈N*｜x≤6}，A U，且同时满足：①若x∈A，则
2x A；②若x∈（ UA），则2x （ UA），则集合A的个数为（　　）
A. 4 B. 8
C. 16 D. 20
解析：由题得U＝{x∈N*｜x≤6}＝{1，2，3，4，5，6}，A U，由题意可知若1∈A则2 A且4∈A，若1 A则2∈A且4 A，若3∈A则6 A，若3 A则6∈A，而元素5没有限制可5∈A或5 A. 综上，集合A可为：{1，4，3}，{1，4，6}，{1，4，3，5}，{1，4，6，5}，{2，3}，{2，6}，{2，3，5}，{2，6，5}.所以集合A的个数为8.故选B.
√
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6. 〔多选〕已知全集U＝Z，集合A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}，B＝{－
1，0，1，2}，则下列结论正确的是（　　）
A. A∩B＝{0，1，2}
B. A∪B＝{x｜x≥0}
C. （ UA）∩B＝{－1}
D. A∩B的真子集个数是7
√
√
√
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解析：由题得A＝{x｜2x＋1≥0，x∈Z}＝{x｜x≥－ ，x∈Z}，B＝{－1，0，1，2}，A∩B＝{0，1，2}，故A正确；A∪B＝{x｜x≥－1，x∈Z}，故B错误； UA＝{x｜x＜－ ，x∈Z}，所以（ UA）∩B＝{－1}，故C正确；由A∩B＝{0，1，2}，得A∩B的真子集个数是23－1＝7，故D正确.
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7. 〔多选〕设集合M＝{x｜（x－a）（x－3）＝0}，N＝{x｜（x－
4）（x－1）＝0}，则下列说法错误的是（　　）
A. 若M∪N有4个元素，则M∩N≠
B. 若M∩N≠ ，则M∪N有4个元素
C. 若M∪N＝{1，3，4}，则M∩N≠
D. 若M∩N≠ ，则M∪N＝{1，3，4}
√
√
√
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解析：由题得N＝{x｜（x－4）（x－1）＝0}＝{1，4}，若M∪N有4个元素，则集合M＝{x｜（x－a）·（x－3）＝0}＝{a，3}，且a {1，3，4}，∴M∩N＝ ，故A错误；若M∩N≠ ，则a∈{1，4}，∴M∪N＝{1，3，4}，∴M∪N有3个元素，故B错误，D正确；当a＝3时，满足M∪N＝{1，3，4}，但M∩N＝ ，故C错误.故选A、B、C.
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8. 设集合A＝{x｜x2－4x－5＝0}，若 ∈A，则a＝ 　1或 　.
解析：由题意得A＝{－1，5}，则 ＝－1或 ＝5，解得a＝1或a＝
.
1或
1
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9. 设集合A＝{x｜1≤x≤3}，集合B＝{x｜x≥1}，若A C B，写出
一个符合条件的集合C，则C＝ .（写
出一个即可）
解析：A＝{x｜1≤x≤3}，B＝{x｜x≥1}，若A C B，则可有C＝
{x｜1≤x≤4}.
{x｜1≤x≤4}（答案不唯一）
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10. 某班同学参加课外兴趣小组，有三个兴趣小组可供选择，要求每位同
学至少选择一个小组，经统计有20人参加奥数小组，16人参加编程小组，
10人参加书法小组，同时参加奥数小组和编程小组的有12人，同时参加奥
数小组和书法小组的有6人，同时参加编程小组和书法小组的有5人，三个
小组都参加的有3人，则该班学生人数为 .
解析：作出Venn图，如图所示，可知5人只参加奥数小
组，2人只参加编程小组，2人只参加书法小组，同时参
加奥数和编程小组但不参加书法小组的有9人，同时参加
编程和书法小组但不参加奥数小组的有2人，同时参加奥
数和书法小组但不参加编程小组的有3人，三个小组都参
加的有3人，则该班学生人数为5＋2＋2＋2＋3＋3＋9＝26.
26
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11. 已知全集U＝R，集合A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜0＜x≤3}.
求：（1）A∩B；
解：因为A＝{x｜－1＜x＜2}，B＝{x｜0＜x≤3}，所以A∩B＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜0＜x≤3}＝{x｜0＜x＜2}.
（2） U（A∪B）；
解：A∪B＝{x｜－1＜x＜2}∪{x｜0＜x≤3}＝{x｜－1＜x≤3}， U（A∪B）＝{x｜x≤－1，或x＞3}.
（3）A∩（ UB）.
解：A∩（ UB）＝{x｜－1＜x＜2}∩{x｜x＞3，或x≤0}＝{x｜－1＜x≤0}.
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12. 已知集合A＝{x｜－2＜x＜6}，B＝{x｜2m＋1≤x≤5m－2，
m∈R}.
（1）当m＝2时，求 R（A∩B）；
解：当m＝2时，B＝{x｜5≤x≤8}，则A∩B＝{x｜5≤x＜6}，
故 R（A∩B）＝{x｜x＜5，或x≥6}.
1
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（2）若（ RA）∩B＝ ，求实数m的取值范围.
解：由（ RA）∩B＝ ，得B A，
因为A＝{x｜－2＜x＜6}，
①当B＝ 时，有2m＋1＞5m－2，解得m＜1；
②当B≠ 时，有 解得1≤m＜ .
综上得m＜ ，故实数m的取值范围是{m｜ m＜ }.
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13. 已知集合P＝{x｜x2－3x＋b＝0，x∈R}，Q＝{x｜（x＋1）（x2
＋3x－4）＝0，x∈R}.
（1）若b＝4，存在集合M，使得P M Q，求出这样的集合M；
解：当b＝4时，方程x2－3x＋4＝0的判别式Δ＝（－3）2－4×1×4＝－7＜0，故P＝ ，且Q＝{－4，－1，1}.由已知，M应是一个非空集合，且是Q的一个真子集，用列举法可得这样的集合M共有6个，分别为{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4，1}，{－1，1}.
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（2）P能否成为Q的一个子集？若能，求b的取值或取值范围；若不能，
请说明理由.
解：①当P＝ 时，P显然是Q的一个子集，此时Δ＝9－4b＜0，∴b＞ ；
②当P≠ 时，Q＝{－4，－1，1}，可以通过假设存在性成立来逐一验
证，从而判断b的取值.
当－1∈P时，（－1）2－3×（－1）＋b＝0，∴b＝－4，P＝{x｜x2－
3x－4＝0}＝{－1，4}.
∵4 Q，∴P不是Q的子集.
当－4∈P时，此时P＝{－4，7}，也不是Q的子集；
当1∈P时，此时P＝{1，2}，也不是Q的子集.
综上所述，b的取值范围是 .
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THANKS
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