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(共58张PPT)
第二课时　直线与圆的方程的实际应用
1.在平面直角坐标系中，探索直线与圆的方程的实际应用（数学抽象）.
2.能用直线与圆的方程解决实际问题，体会坐标法在解题中的应用（数学建模）.
课标要求
知识点一　圆的方程的实际应用
01
知识点二　直线与圆的方程的实际应用
02
课时作业
03
目录
01
PART
知识点一
圆的方程的实际应用
问题1　初中时，我们多用综合法研究几何问题，它有什么特点？现在我
们给圆建立了方程，那么还可以用什么方法？
提示：运用综合法有时需添加辅助线，侧重于解题技巧，同时对运算能力
也有要求，往往计算复杂.还可以用坐标法.
【知识梳理】
用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直
线、圆，将 问题转化为 问题；然后通过代数运算解决代
数问题；最后解释代数运算结果的几何含义，得到几何问题的结论.这就
是用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：
几何　
代数　
　　提醒：建立不同的平面直角坐标系，对解决问题有着直接的影响.因
此，建立直角坐标系，应使所给图形尽量对称，所需的几何元素的坐标或
方程尽量简单.
【例1】（链接教材P93例3）一座圆拱桥，当水面在如图所示的位置时，
拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（　　）
A. 13米 B. 14米
C. 15米 D. 16米
√
解析：　建立如图所示的平面直角坐标系，则A（－6，
－2），B（6，－2），设圆的方程为x2＋（y＋m）2＝
m2（m＞0），将A点坐标代入圆的方程，则有m＝10，故
圆的方程为x2＋（y＋10）2＝100，令y＝－4，则x＝
±8，故｜EF｜＝16（米）.
【规律方法】
解决与圆有关的应用题的方法步骤
（1）建坐标系：充分利用线段及其垂直平分线，建立平面直角坐标系；
（2）求出方程：根据几何性质，确定圆心与半径，求圆的标准方程；
（3）计算求值：利用圆的方程，确定点的坐标，转化为实际问题的解.
训练1　河道上有一座圆拱桥，在正常水位时，拱圈内部最高点距水面9
m，拱圈内部水面宽22 m.一条船在水面以上部分高6.5 m，船顶部宽4 m，
可以通行无阻，近日水位暴涨了2.7 m，为此必须加重船载，降低船身，
才能使船通过桥洞，则船身应该降低 m.（精确到0.01）
0.38
解析：以正常水位时河道中央为原点O，建立平面直角
坐标系，如图所示.易知拱桥所在圆过点（11，0），
（－11，0），（0，9），设拱桥所在圆的方程为x2＋
y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0）.故
解得 故拱桥所在圆的方程是x2＋y2＋
y－121＝0.当x＝2时，可得y≈8.82.故当水位暴涨2.7 m后，船身应该
降低6.5＋2.7－8.82＝0.38（m）.故船身应降低0.38 m，才能通过桥洞.
02
PART
知识点二
直线与圆的方程的实际应用
问题2　比较坐标法与向量法，它们在解决几何问题时，有什么异同点？
提示：向量法是将点、线、面等几何要素用向量表示，通过向量运算将结
果“翻译”成相应结论，为几何问题的解决带来极大便利性.坐标法与它
类似，也是将几何问题“代数化”，通过计算使繁杂的问题得到解决.
【例2】（链接教材P94例4）如图，某海面上有O，A，B三个小岛（面积
大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40 千米处，B岛
在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴
的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O，A，B
三点.
（1）求圆C的方程；
解：由题意，得A（40，40），B（20，0），设过O，A，B三点的圆C
的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得
∴圆C的方程为x2＋y2－20x－60y＝0.
（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O
岛40千米处，正沿着北偏东45°方向行驶，若不改变方向，试问该船有没
有触礁的危险？
解：该船初始位置为点D，
则D（－20，－20 ），
且该船航线所在直线l的斜率为1，
故该船航行方向为直线l：x－y＋20－20 ＝0，
由（1）得圆C的圆心为C（10，30），半径r＝10 ，
由于圆心C到直线l的距离d＝ ＝10 ＜10 ，
故该船有触礁的危险.
【规律方法】
直线与圆的方程实际应用的步骤
训练2　某考点配备的信号检测设备的监测范围是半径为100米的圆形区
域，一名工作人员持手机以每分钟50米的速度从设备正东方向50 米的A
处出发，沿西北方向走向位于设备正北方向的B处，则这名工作人员被持
续监测的时长为（　　）
A. 1分钟
C. 2分钟
√
解析：　以设备的位置为坐标原点O，其正东方向为x
轴正方向，正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系
Oxy，如图所示， 则A（50 ，0），B（0，
50 ），可得lAB：x＋y＝50 ，圆O：x2＋y2＝10
000.记从N处开始被监测，到M处监测结束，因为O到lAB的距离为｜OO'｜＝ ＝50 （米），所以｜MN｜＝2 ＝100（米），故监测时长为 ＝2（分钟）.
1. 如图是一个圆曲隧道的截面，若路面AB宽为10米，净高CD为7米，则
此隧道圆的半径是（　　）
A. 5米
D. 7米
解析：　∵OD⊥AB，∴AD＝DB＝ AB＝ ×10＝5米，在Rt△OAD
中，设半径OA＝R，则OD＝CD－R＝7－R，∴OA2＝OD2＋AD2，即
R2＝（7－R）2＋52，解得R＝ .∴此隧道圆的半径OA是 米，故选B.
√
2. 一辆货车宽2米，要经过一个半径为 米的半圆形隧道，则这辆货车
的车顶（平顶）距离地面的高度不得超过（　　）
A. 2米 B. 2.4米
C. 3米 D. 3.6米
√
解析：　以半圆直径所在直线为x轴，过圆心且与x轴垂直
的直线为y轴，建立如图所示的坐标系.由半圆的半径为
可知，半圆所在圆的方程为x2＋y2＝10.由图可知，当
货车恰好在隧道中间经过时车顶可达到最高.此时x＝1或x
＝－1，代入x2＋y2＝10，得y＝3（负值舍去）.
3. 如图，已知一艘停在海面上的海监船O上配有雷达，其监测范围是半径
为25 km的圆形区域，一艘轮船从位于海监船正东40 km的A处出发，径直
驶向位于海监船正北30 km的B处岛屿，速度为28 km/h.问这艘轮船被海盗
船监测多长时间？
解：如图，以O为坐标原点，东西方向为x轴，南北方向
为y轴建立平面直角坐标系，则A（40，0），B（0，
30），圆O的方程为x2＋y2＝252，直线AB的方程为 ＋
＝1，即3x＋4y－120＝0，设点O到AB的距离为d，
则d＝ ＝24＜25，
所以轮船能被海监船检测到，设监测时间为t，则t＝
＝0.5（小时），
所以这艘轮船被海监船监测0.5小时.
课堂小结
1.理清单
（1）圆的方程的实际应用；
（2）直线与圆的方程的实际应用.
2.应体会
解决直线与圆的实际问题，通常利用数形结合思想，建立数学模型解决
问题.
3.避易错
不能正确进行数学建模.
03
PART
课时作业
1. 一涵洞的横截面是半径为5 m的半圆，建立如图所示的直角坐标系，则
该半圆的方程是（　　）
A. x2＋y2＝25
B. x2＋y2＝25（y≥0）
C. （x＋5）2＋y2＝25（y≤0）
D. x2＋y2＝25（y≤0）
解析：在给定的坐标系中，上半圆方程中满足y≥0，故选B.
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√
2. 如图，圆弧形拱桥的跨度｜AB｜＝12米，拱高｜CD｜＝4米，则拱桥
的直径为（　　）
A. 15米 B. 13米
C. 9米 D. 6.5米
解析：　如图，设圆心为O，半径为r，则由勾股定理
得｜OB｜2＝｜OD｜2＋｜BD｜2，即r2＝（r－4）2＋
62，解得r＝ ，所以拱桥的直径为13米.
√
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3. 一艘科考船在点O处监测到北偏东30°方向40海里处有一个小岛A，距
离小岛10海里范围内可能存在暗礁.若以点O为原点，正东、正北方向分
别为x轴、y轴正方向建立平面直角坐标系，则暗礁所在区域边界的方程为
（　　）
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解析：　易得暗礁所在区域边界为一个圆，过A作y轴的垂线，垂足为B
（图略），则∠AOB＝30°，∵｜OA｜＝40，∴｜AB｜＝20，｜OB｜
＝ ＝20 ，∴暗礁所在区域边界方程为（x－20）2＋（y－
20 ）2＝100.
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4. 小明家附近的一座桥是仿赵州桥建造的一座圆拱桥，已知在某个时间
段，这座桥的水面跨度是20米，拱顶离水面4米，当水面上涨2米后，桥在
水面的跨度为（　　）
A. 10米
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解析：　根据题意，建立如图所示的圆拱桥模型.设圆
O的半径为R，当水面跨度是20米，拱顶离水面4米时，
水面为AB，M为AB的中点，即｜AB｜＝20，｜OM｜
＝R－4，由勾股定理，得｜AM｜2＝（ ）2＝｜
OA｜2－｜OM｜2，即100＝R2－（R－4）2，解得R＝ .当水面上涨2米后，水面为CD，N为CD的中点，此时｜ON｜＝R－2，由勾股定理，得｜CD｜＝2｜CN｜＝2 ＝6 （米）.
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5. 设某公园外围成圆形，其所在曲线的方程可用x2＋y2－2x＝0表示，在
公园外两点A（－2，0），B（0，2）与公园边上任意一点修建一处三角
形舞台，则舞台面积的最小值为（　　）
解析：　因为直线lAB：x－y＋2＝0，圆心为（1，0），半径为1，则圆
心到直线lAB的距离为d＝ ＝ ，所以AB边上的高的最小值为 －
1，所以三角形舞台面积Smin＝ ×2 ×（ －1）＝3－ .
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6. 〔多选〕从点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射
到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是（　　）
A. 若反射光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0
B. 若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0
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解析：点A（－3，3）关于x轴的对称点为A'（－3，－3）.圆的方程为（x－2）2＋（y－2）2＝1，由题意知反射光线的斜率存在，设反射光线方程为y＋3＝k（x＋3），即kx－y＋3k－3＝0.由反射光线与圆C相切知 ＝1，解得k＝ 或k＝ .所以反射光线方程为y＋3＝ （x＋3）或y＋3＝ （x＋3）.即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A错误；过A'（－3，－3），C（2，2）的直线方程为y＝x，故B正确；因为｜A'C｜＝ ＝5 ，所以光线经过的最短路程为5 －1，故C正确；由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为（1，0）和（－ ，0），所以被挡住的范围是［－ ，1］，故D正确.
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7. 〔多选〕某圆拱桥的示意图如图所示，该圆拱的跨度AB是36 m，拱高
OP是6 m，在建造时，每隔3 m需用一个支柱支撑，则下列结论正确的是
（　　）
A. 该圆拱所在圆的半径为30 m
√
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解析：　如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段
AB的中点O为坐标原点建立平面直角坐标系，那么
点A，B，P的坐标分别为（－18，0），（18，0），（0，6）.设圆拱所在的圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.因为A，B，P在此圆上，故有 解得 故圆拱所在圆的方程是x2＋y2＋48y－324＝0，即x2＋（y＋24）2＝302，圆的半径为30 m，选项A正确；
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将点P1的横坐标x＝3代入上式，结合图形解得y＝－24＋9 ，故支柱A1P1的高为（9 －24）m，选项B正确；将点P2的横坐标x＝6代入上式，结合图形解得y＝－24＋12 ，故支柱A2P2的高为（12 －24）m，选项C错误，D正确.故选A、B、D.
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8. 台风中心从A地以20 km/h的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内
的地区为危险区，城市B在A地正东40 km处，则城市B处于危险区的时间
为 h.
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解析：如图，以A地为坐标原点，AB所在直线为x轴，建
立平面直角坐标系，则台风中心经过以B（40，0）为圆
心，30为半径的圆内时城市B处于危险区，即B处于危险
区时，台风中心在线段MN上，由题意知，台风路径用方
程表示为y＝x，则圆心B（40，0）到直线y＝x的距离d＝ ＝20 ，可求得｜MN｜＝2 ＝20，所以城市B处于危险区的时间为1 h.
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9. 为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地（如图），它的
附近有一条公路，从基地中心O处向正东方向走1 km是储备基地的边界上
的点A，接着向东走7 km到达公路上的点B. 从基地中心O向正北方向走8
km到达公路的另一点C. 现准备在储备基地的边界上选一点D，修建一条
由D通往公路BC的专用线DE，则｜DE｜的最小值为 .
（4 －1）（km）
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解析：以O为坐标原点，OB，OC所在的直线分别为x轴，y轴，正东方
向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略），
则圆O的方程为x2＋y2＝1.因为点B（8，0），C（0，8），所以直线BC
的方程为 ＋ ＝1，即x＋y－8＝0.易知，当O，D，E三点共线且
OE⊥BC时，DE的长最小，｜DE｜的最小值为 －1＝（4 －
1）（km）.故｜DE｜的最小值为（4 －1）（km）.
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10. 设有半径长为3 km的圆形村落，甲、乙两人同时从村落中心出发，甲向东前进而乙向北前进，甲离开村后不久，改变前进方向，斜着沿切于村落边界的方向前进，后来恰好与乙相遇.设甲、乙两人的速度都一定，且
其速度比为3∶1，甲、乙两人在何处相遇？
解：如图所示，以村落中心为坐标原点，以东西方向为x
轴，南北方向为y轴建立平面直角坐标系.
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设甲向东走到D转向到C恰好与乙相遇，设D点坐标为（a，0），C点坐标为（0，b），则CD所在直线的方程为 ＋ ＝1（a＞3，b＞3），设乙的速度为v，则甲的速度为3v.依题意有
解得
所以乙向北前进3.75 km时甲、乙两人相遇.
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11. “圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁
中，不知大小；以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：
现有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯去锯它，锯口深一
寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部
分埋在墙壁中，截面图如图所示（阴影部分为镶嵌在墙体内的部分），已
知弦｜AB｜＝1尺，弓形高｜CD｜＝1寸，则阴影部分的
面积约为（注：π≈3.14， sin 22.5°≈ ，1尺＝10寸）（　）
A. 6.33平方寸 B. 5.35平方寸
C. 7.37平方寸 D. 8.39平方寸
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解析：　连接OD（图略），设半径为r.由题意知｜AD｜＝5寸，则｜
OD｜＝r－1，在Rt△OAD中，｜OA｜2＝｜AD｜2＋｜OD｜2，即r2＝52
＋（r－1）2，解得r＝13，则 sin ∠AOC＝ ，所以∠AOC≈22.5°，则
∠AOB≈2×22.5°＝45°，所以扇形OAB的面积S1＝ ＝
≈66.33（平方寸），△OAB的面积S2＝ ×10×12＝60（平方寸），所以
阴影部分的面积为S1－S2≈66.33－60＝6.33（平方寸）.
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12. 某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物，该建筑物底面直
径为8米，在其南面有一条东西走向的观景直道，建筑物的东西两侧有与
观景直道平行的两段辅道，观景直道与辅道距离10米.在建筑物底面中心
O的东北方向20 米的点A处，有一360°全景摄像头，其安装高度低于
建筑物的高度.那么观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度
为 米.
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解析：以O为原点，正东方向为x轴正方向建立
如图所示的直角坐标系，则O（0，0），A
（20，20），观景直道所在直线的方程为y＝－
10，由图易知，过点A的直线l与圆O相切或相离
时，摄像头监控不会被建筑物遮挡，所以设直线
l过点A且恰与圆O相切，①若直线l垂直于x轴，
则l不可能与圆O相切；
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②若直线l不垂直于x轴，设l：y－20＝k（x－20），整理得kx－y－
20k＋20＝0，所以圆心O到直线l的距离d＝ ＝4，解得k＝ 或
k＝ ，所以直线l的方程为3x－4y＋20＝0或4x－3y－20＝0，设这两条
直线与y＝－10交于D，E，由 解得x＝－20，由
解得x＝－2.5，所以｜DE｜＝17.5.
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13. 某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示（单
位：cm），四边形AFED为矩形，AB，CD，FE均与圆O相切，B，C
为切点，零件的截面BC段为圆O的一段弧，已知tan α＝ ，tan β＝ ，
则该零件的截面的周长为 .（结果保留π）
84＋6π
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解析：以A为原点，AD所在直线为x轴建立平面直角坐标
系，如图，则直线AB的方程为4x＋3y＝0，直线CD的方
程为3x－4y－105＝0，直线EF的方程为y＝12，设圆心
为O（a，b），则圆心到直线AB，直线CD，直线y＝12的距离均相等且等于r，则r＝ ＝ ＝｜12－b｜，解得a＝15，b＝0，r＝12，易得｜AB｜＝ ＝9，｜CD｜＝ ＝16，
对应弧长为 圆的周长，故该零件的截面的周长为9＋16＋24＋35＋ ＝84＋6π.
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14. （2025·阳江月考）有一种大型商品，A，B两地都有出售，且价格相
同，某地居民从两地之一购得商品后运回时，每单位距离，A地的运费是
B地的2倍，已知A，B两地相距6千米，顾客购物的唯一标准是总费用较
低.建立适当的平面直角坐标系.
（1）求A，B两地的售货区域的分界线的方程；
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解：以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为
x轴建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则点A（3，
0），B（－3，0），
设每单位距离B地的运费为a元，设售货区域内一点为P
（x，y），若在两地的购货费用相同，则2a ＝a ，
化简可得（x－5）2＋y2＝16，故在A，B两地的售货区域的分界线的方程为（x－5）2＋y2＝16.
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（2）画出分界线的方程表示的曲线的示意图，并指出在方程的曲线上、
曲线内、曲线外的居民如何选择购货地.
解：如图，由（1）可知，A，B两地的售货区域的分界线是以点
（5，0）为圆心，以4为半径的圆，所以在圆（x－5）2＋y2＝16上的居民
从A，B两地购货的总费用相同.
由2a ＞
a ，可得（x－5）2＋y2＞16，
所以在圆（x－5）2＋y2＝16外的居民从B地购货便宜；
由2a ＜a ，可得（x－5）2＋y2＜16，
所以在圆（x－5）2＋y2＝16内的居民从A地购货便宜.
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15. 如图，已知某市穿城公路MON自西向东到达市中心O后转向正北方
向，∠MON＝ ，现准备修建一条直线型高架公路L，在MO上设一出入
口A，在ON上设一出入口B. 且要求市中心O到AB所在直线的距离为10
km.
（1）若将出入口A设计在距离中心O点10 km处，求A，B两出入口间的距离；
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解：如图，过点O作OE⊥AB交AB于点E，则OE＝10 km.
在Rt△AEO中， sin A＝ ＝ ，所以 cos A＝ ，
在Rt△ABO中，AB＝ ＝ ＝20（km），
即A，B两出入口间的距离为20 km.
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（2）在公路MO段上距离市中心O点30 km处有一古建筑C（视为点），
现设立一个以C为圆心，5 km为半径的圆形保护区（包含边界），问如何
在古建筑C和市中心O之间设出入口A，才能使高架公路及其延长线不经
过保护区？
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解：以O为原点建立平面直角坐标系，则圆C的方
程为（x＋30）2＋y2＝25.
设直线AB的方程为y＝kx＋t（k＞0，t＞0）.则｜
OA｜＝ ，且需 ＝10， ＞5，
解得t＜20k或t＞60k.
因为古建筑C距O点30 km，当t＞60k时，｜OA｜＞60，不合题意，
所以t＜20k，即｜OA｜＜20.故0＜｜OA｜＜20.
所以出口A应设计在与市中心距离20 km以内的位置.
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