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(共53张PPT)
第二课时　椭圆及其标准方程（二）
1.能灵活应用椭圆的定义及标准方程解决焦点三角形问题（直观想象、数学运算）.
2.能熟练地求与椭圆有关的轨迹方程（逻辑推理、数学运算）.
课标要求
知识点一　椭圆中的焦点三角形问题
01
课时作业
03
目录
提能点　与椭圆有关的轨迹问题
02
01
PART
知识点
椭圆中的焦点三角形问题
问题　如图，在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）中，设F1，F2为椭圆的两个
焦点，｜F1F2｜＝2c，P（x0，y0）为椭圆上的任意一点，∠F1PF2＝θ.
（1）△PF1F2的周长能用关于a，b，c的式子表示吗？
提示：能.△PF1F2的周长l＝2a＋2c.
（2）△PF1F2的面积能用关于｜PF1｜，｜PF2｜及θ有关的式子表示
吗？｜F1F2｜2呢？
提示：能.由正弦定理，知 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜ sin θ.
由余弦定理得，｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜
cos θ.
【例1】已知P为椭圆 ＋ ＝1上一点，F1，F2是椭圆的焦点，∠F1PF2
＝60°，求△F1PF2的面积.
解：由题意知，c＝3，所以｜F1F2｜＝6.
在△F1PF2中，
｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜·｜PF2｜· cos 60°.
即36＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜.　①
由椭圆定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝4 .
即48＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜.　②
由①②得｜PF1｜·｜PF2｜＝4，
所以 ＝ ｜PF1｜·｜PF2｜ sin 60°＝ .
变式　若将本例中“∠F1PF2＝60°”变为“∠F1PF2＝120°”，求
△F1PF2的面积.
解：当P为椭圆与y轴的交点时，由于｜PF1｜＝｜PF2｜＝a＝2 ，｜
OP｜＝ .
所以∠PF1F2＝∠PF2F1＝30°，此时满足∠F1PF2＝120°，
所以 ＝ ｜F1F2｜·｜OP｜＝ ×2cb＝3 .
【规律方法】
　椭圆上的点P（x0，y0）（点P不在x轴上）与两焦点F1，F2构成的
△PF1F2称为焦点三角形，解关于焦点三角形的问题时要充分利用椭圆的
定义、正弦定理、余弦定理等知识.
提醒：（1） ＝b2tan ；（2）当P为椭圆与y轴的交点时，
取得最大值为bc.
训练1　（1）设F1，F2分别是椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点，P是椭圆上
一点，且｜PF1｜∶｜PF2｜＝4∶3，则∠F1PF2＝（　D　）
A. 30° B. 45°
C. 60° D. 90°
解析：因为｜PF1｜∶｜PF2｜＝4∶3，所以可设｜PF1｜＝4k，｜PF2｜
＝3k.则3k＋4k＝2a＝14，所以k＝2，所以｜PF1｜＝8，｜PF2｜＝6，
因为｜F1F2｜＝10，｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝｜F1F2｜2，所以∠F1PF2＝
90°.故选D.
D
（2）已知椭圆C： ＋ ＝1的左焦点为F，A，B是C上关于原点对称
的两点，且∠AFB＝90°，则△ABF的周长为 .
解析：设椭圆的右焦点为F1，连接AF1，BF1，易知∠AF1B＝90°，即四
边形AFBF1为矩形，所以｜BF｜＝｜AF1｜，｜AB｜＝｜FF1｜＝2c＝
2 ＝6，由椭圆的定义可得｜AF｜＋｜AF1｜＝2a＝8，所以｜
AF｜＋｜BF｜＝8，所以△ABF的周长为｜AF｜＋｜BF｜＋｜AB｜＝8
＋6＝14.
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02
PART
提能点
与椭圆有关的轨迹问题
角度1　定义法求轨迹方程
【例2】一动圆P与圆A：（x＋1）2＋y2＝1外切，而与圆B：（x－1）2
＋y2＝16内切，那么动圆的圆心P的轨迹方程是（　　）
√
解析：　设动圆P的半径为r，又圆A：（x＋1）2＋y2＝1的半径为1，
圆B：（x－1）2＋y2＝16的半径为4，则｜PA｜＝r＋1，｜PB｜＝4－
r，可得｜PA｜＋｜PB｜＝5，又5＞2＝｜AB｜，则动圆的圆心P的轨迹
是以A，B为焦点，与A，B的距离的和为5的椭圆.a＝ ，c＝1，b＝
，故所求轨迹方程为 ＋ ＝1.故选B.
角度2　相关点法（代入法）求轨迹方程
【例3】已知P是圆O：x2＋y2＝4上一动点，点P在x轴上的射影是点D，
点M满足 ＝ ，则动点M的轨迹方程为 　 ＋y2＝1　.
解析：设M（x，y），P（x1，y1），则D（x1，0），由 ＝ ，
得（x－x1，y）＝ （0，y1），即x1＝x，y1＝2y，因为点P在圆x2＋y2
＝4上，所以x2＋4y2＝4，故动点M的轨迹方程为 ＋y2＝1.
＋y2＝1
角度3　直接法求轨迹方程
【例4】　已知△ABC的两个顶点分别是B（0，6）和C（0，－6），边
AB，AC所在直线的斜率的乘积是－ ，求顶点A的轨迹方程.
解：设顶点A（x，y），
则kAB＝ ，kAC＝ .
由题意得 · ＝－ ，
化简可得顶点A的轨迹方程为 ＋ ＝1（x≠0）.
【规律方法】
　求与椭圆有关的轨迹方程的常用方法
（1）定义法：若动点的轨迹特点符合某一基本轨迹（如椭圆、圆等）的
定义，则可用定义法直接求解；
（2）相关点法（代入法）：根据相关点所满足的方程，通过转换求出动
点的轨迹方程；
（3）直接法：将动点满足的几何条件或者等量关系直接坐标化，列出等
式后化简，得出动点的轨迹方程.
训练2　（1）点M与定点F（1，0）的距离和它到定直线x＝4的距离的比
为1∶2，则点M的轨迹方程为（　C　）
解析：设M（x，y），由题意得 ＝ ，即4（x－1）2＋4y2
＝（x－4）2，整理得 ＋ ＝1.
C
（2）已知椭圆x2＋ ＝1上一点P，过点P作PD⊥x轴于点D，E为线段
PD的中点，则点E的轨迹方程为（　B　）
A. y＝2 B. x2＋y2＝1
C. （x－1）2＋（y＋2）2＝1
B
解析：设点E的坐标为（x，y），点P的坐标为（x0，y0），则点D的坐
标为（x0，0）， 即 因为点P（x0，y0）在椭圆x2＋
＝1上，所以x2＋ ＝1，即x2＋y2＝1.所以点E的轨迹方程是x2＋y2
＝1.

解析：设动圆M和定圆B内切于点C，动圆圆心M到定点A（－3，0），
定圆B的圆心B（3，0）的距离之和恰好等于定圆B的半径长，即｜MA｜
＋｜MB｜＝｜MC｜＋｜MB｜＝｜BC｜＝8.所以动圆圆心M的轨迹是
以A，B为焦点的椭圆，并且2a＝8，2c＝6，所以b＝ ＝ .所
以动圆圆心M的轨迹方程是 ＋ ＝1.
＋ ＝1
1. 已知F1，F2为两定点，｜F1F2｜＝4，动点M满足｜MF1｜＋｜MF2｜
＝6，则动点M的轨迹是（　　）
A. 椭圆 B. 直线
C. 圆 D. 线段
解析：　因为｜MF1｜＋｜MF2｜＝6＞｜F1F2｜，所以动点M的轨迹是
椭圆.故选A.
√
2. 设点P为椭圆C： ＋ ＝1（a＞2）上一点，F1，F2分别为C的左、
右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为 .
解析：由题意得b2＝4，∠F1PF2＝60°，∴ ＝4×tan 30°＝ .

3. 已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上.若｜
PF1｜＝4，则｜PF2｜＝ ，∠F1PF2＝ .
解析：∵｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝6，∴｜PF2｜＝6－｜PF1｜＝2.在
△F1PF2中，由余弦定理得 cos ∠F1PF2＝ ＝
＝－ ，∴∠F1PF2＝120°.
2
120°
4. 若线段AB的两个端点分别在x轴，y轴上滑动，｜AB｜＝6，点M是线
段AB上一点，且｜AM｜＝2，求动点M的轨迹方程.
解：设M（x，y），A（xA，0），B（0，yB）.
如图，由｜AB｜＝6，｜AM｜＝2，得 ＝ ，则（x－xA，y）＝
（－xA，yB），
即 得
又 ＋ ＝36，则动点M的轨迹方程为 ＋ ＝1.
课堂小结
1.理清单
（1）椭圆中焦点三角形的周长与面积等问题；
（2）与椭圆有关的轨迹问题.
2.应体会
解决椭圆中的焦点三角形及与椭圆有关的轨迹问题时，注意数形结合思
想、转化与化归思想、函数与方程思想的应用.
3.避易错
求动点轨迹方程时，要注意特殊点、位置的取舍.
03
PART
课时作业
1. 已知△ABC的周长为12，B（0，－2），C（0，2），则顶点A的轨迹
方程为（　　）
解析：　∵△ABC的周长为12，顶点B（0，－2），C（0，2），∴｜
BC｜＝4，｜AB｜＋｜AC｜＝12－4＝8，∴点A到两个定点的距离之和
等于定值，又8＞4，∴点A的轨迹是椭圆，且a＝4，c＝2，∴b2＝12，
∴椭圆的方程为 ＋ ＝1（x≠0）.
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√
2. 已知F1，F2是椭圆 ＋ ＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B
两点，若｜AB｜＝5，则｜AF1｜＋｜BF1｜＝（　　）
A. 9 B. 10
C. 11 D. 12
解析：　根据椭圆定义，｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8，｜BF1｜＋｜
BF2｜＝2a＝8，所以△AF1B的周长为｜AF1｜＋｜BF1｜＋｜AB｜＝
16，所以｜AF1｜＋｜BF1｜＝16－｜AB｜＝11.
√
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3. 已知F1，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点，M是椭圆C上一
点，且MF1⊥F1F2，则 cos ∠F1MF2＝（　　）
√
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解析：　由椭圆的方程，得F1（－ ，0），F2（ ，0），因为
MF1⊥F1F2，所以设M（－ ，y0），又M（－ ，y0）在椭圆C上，
所以 ＋ ＝1，解得｜y0｜＝ ，即｜MF1｜＝ ，｜MF2｜＝6－｜
MF1｜＝ ，所以 cos ∠F1MF2＝ ＝ .故选A.
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4. 已知点P是椭圆 ＋ ＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，
且 cos ∠F1PF2＝ ，则△PF1F2的面积为（　　）
A. 6 B. 12
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解析：由椭圆 ＋ ＝1，得a＝5，b＝3，c＝4.设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，所以m＋n＝10，在△PF1F2中，由余弦定理可得：（2c）2＝m2＋n2－2mn· cos ∠F1PF2＝（m＋n）2－2mn－2mn· ，可得64＝100－ mn，得mn＝ ，故 ＝ mn· sin ∠F1PF2＝ × × ＝ .故选C.
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5. 设F1，F2为椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，点P为椭圆上一点，已知点
P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且｜PF1｜＞｜PF2｜，则
＝（　　）
A. 2 B. 3
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解析：　若∠PF2F1＝90°，则｜PF1｜2＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2，又｜
PF1｜＋｜PF2｜＝6，｜F1F2｜＝2 ，解得｜PF1｜＝ ，｜PF2｜＝
，∴ ＝ .若∠F1PF2＝90°，则｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜
2，∴｜PF1｜2＋（6－｜PF1｜）2＝20，又｜PF1｜＞｜PF2｜，∴｜
PF1｜＝4，｜PF2｜＝2，∴ ＝2.综上知， ＝ 或2.故选C.
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6. 〔多选〕已知F1，F2为椭圆C的两个焦点，椭圆C上存在点P，使得
∠F1PF2＝90°，则椭圆C的方程可以是（　　）
√
√
√
解析：结合选项可设椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），并设椭圆与y轴正半轴的交点为B. 若椭圆C上存在点P，使得∠F1PF2＝90°，则需∠F1BF2≥90°，∴｜BF1｜2＋｜BF2｜2≤｜F1F2｜2，即a2＋a2≤4c2.又c2＝a2－b2，∴a2≥2b2，检验可得选项A、C、D满足.故选A、C、D.
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7. 〔多选〕设F1，F2是椭圆 ＋ ＝1的两个焦点，P是椭圆上一点，
且｜PF1｜－｜PF2｜＝2.则下列说法中正确的是（　　）
A. ｜PF1｜＝5，｜PF2｜＝3
B. △PF1F2为直角三角形
C. △PF1F2的面积为6
D. △PF1F2的面积为12
√
√
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解析：由 ＋ ＝1，得a2＝16，b2＝12，则a＝4，b＝
2 ，c＝ ＝2，因为P是椭圆上一点，所以
｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝8，因为｜PF1｜－｜PF2｜
＝2，所以｜PF1｜＝5，｜PF2｜＝3，所以A正确；对于B，因为｜F1F2｜＝2c＝4，所以｜PF2｜2＋｜F1F2｜2＝｜PF1｜2，所以△PF1F2为直角三角形，所以B正确；对于C、D，因为△PF1F2为直角三角形，PF2⊥F1F2，所以 ＝ ×3×4＝6，所以C正确，D错误.故选A、B、C.
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8. 已知定点M（4，0），N（1，0），动点P满足 · ＝6｜ ｜.
设点P的轨迹为E，则轨迹E的方程为 .
解析：设动点P（x，y），则 ＝（x－4，y）， ＝（－3，0），
＝（1－x，－y）.又∵ · ＝6｜ ｜，∴－3（x－4）＝
6 .化简得3x2＋4y2＝12，即 ＋ ＝1，∴轨迹E的
方程为 ＋ ＝1.
＋ ＝1
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9. 已知椭圆 ＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若在椭圆上存在点
P使得PF1⊥PF2，且△PF1F2的面积是2，则a＝ .
解析：根据椭圆定义知｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，由PF1⊥PF2，得
△PF1F2为直角三角形，∴｜PF1｜2＋｜PF2｜2＝（2c）2，又∵△PF1F2
的面积为2，∴ ·｜PF1｜·｜PF2｜＝2，则｜PF1｜·｜PF2｜＝4，
∴（2a）2＝（｜PF1｜＋｜PF2｜）2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜
PF1｜·｜PF2｜＝4c2＋8，可得a2－c2＝2＝b2，由 ＋ ＝1可得b2＝a2
－4，∴a2－4＝2，解得a＝ .

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10. 已知A，B两点的坐标分别是（－1，0），（1，0），直线AM，BM
相交于点M，且它们的斜率之积为m（m＜0），求点M的轨迹方程并判
断其轨迹的形状.
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解：设点M的坐标为（x，y），因为点A的坐标是（－1，0），
所以直线AM的斜率为kAM＝ （x≠－1）.
同理，直线BM的斜率为kBM＝ （x≠1）.
由已知，有 × ＝m（x≠±1），
化简得点M的轨迹方程为x2＋ ＝1（x≠±1）.
当m＝－1时，M的轨迹方程为x2＋y2＝1（x≠±1），M的轨迹是单位圆
去掉两个点（±1，0）.
当－1＜m＜0时，M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆去掉两个点（±1，0）.
当m＜－1时，M的轨迹为焦点在y轴上的椭圆去掉两个点（±1，0）.
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11. 设P是椭圆 ＋ ＝1上一点，M，N分别是圆A：（x＋4）2＋y2＝1
和圆B：（x－4）2＋y2＝1上的点，则｜PM｜＋｜PN｜的最小值、最大
值分别为（　　）
A. 9，12 B. 8，11
C. 8，12 D. 10，12
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解析：　如图，由椭圆及圆的方程可知两圆圆心分别
为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义知｜PA｜＋｜PB｜
＝2a＝10，连接PA，PB，分别与左、右两圆相交于
M，N两点，设r为两圆的半径，此时｜PM｜＋｜PN｜最小，最小值为｜PA｜＋｜PB｜－2r＝8.延长PA，PB，分别与左、右两圆相交于M'，N'两点，此时｜PM｜＋｜PN｜最大，最大值为｜PA｜＋｜PB｜
＋2r＝12，即最小值和最大值分别为8，12.
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12. 〔多选〕已知F1，F2分别是椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点，P为
异于椭圆C与x轴的两个交点的动点，则下列结论正确的是（　　）
A. △PF1F2的周长为10
√
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解析：　由椭圆C： ＋ ＝1的方程可得a＝3，b＝ ，c＝2，△PF1F2的周长为2a＋2c＝10，故A正确；当点P位于y轴与椭圆C的交点时，△PF1F2的面积最大，最大值为 ×2c×b＝2 ，故B正确；当∠F1PF2＝60°时，由余弦定理可得｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（｜PF1｜＋｜PF2｜）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，所以（2a）2－3｜PF1｜·｜PF2｜＝16，可得｜PF1｜·｜PF2｜＝ ，所以△PF1F2的面积为 ｜PF1｜·｜PF2｜· sin 60°＝ ，故C错误；设P（x0，y0），则 ＋ ＝1，由 · ＝0可得 ＋ ＝4，从而 ＝－ ， ＝ 不成立，故D错误.故选A、B.
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＋ ＝1
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解析：由题知，F（－2，0），C（2，0），记点F关于折
痕l的对称点为A，折痕l与AC相交于点P，则点A在圆周
上，折痕l为线段AF的垂直平分线，如图所示，则有｜
PA｜＝｜PF｜，可知｜PF｜＋｜PC｜＝｜PA｜＋｜
PC｜＝｜AC｜＝8＞｜FC｜＝4，所以点P的轨迹是以F，C为左、右焦点的椭圆，其中2a＝8，2c＝4，所以a＝4，c＝2，b＝2 ，所以点P的轨迹方程，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为 ＋ ＝1.
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14. 已知椭圆M与椭圆N： ＋ ＝1有相同的焦点，且椭圆M过点（－
1， ）.
（1）求椭圆的标准方程；
解：由题意，知椭圆N的焦点为（－2，0），（2，0），
设椭圆M的方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），则 化简并整
理得5b4＋11b2－16＝0，故b2＝1或b2＝－ （舍去），a2＝5，
故椭圆M的标准方程为 ＋y2＝1.
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（2）设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2
的面积为1，求点P的坐标.
解：由（1）知F1（－2，0），F2（2，0），设P（x0，y0），则
△PF1F2的面积为 ×4×｜y0｜＝1，解得y0＝± .又 ＋ ＝1，所以
＝ ，x0＝± ，
所以点P有4个，它们的坐标分别为（ ， ），（－ ， ），
（ ，－ ），（－ ，－ ）.
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15. 设F1，F2分别是椭圆 ＋y2＝1的左、右焦点，B为椭圆上的点且坐标
为（0，－1）.
（1）若P是该椭圆上的一个动点，求｜PF1｜·｜PF2｜的最大值；
解：因为椭圆的方程为 ＋y2＝1，所以a＝2，b＝1，c＝ ，又
因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝4，所以｜PF1｜·｜PF2｜≤
（ ）2＝（ ）2＝4，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜＝2时
取等号，所以｜PF1｜·｜PF2｜的最大值为4.
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（2）若C为椭圆上异于B的一点，且 ＝λ ，求实数λ的值.
解：设C（x0，y0），因为B（0，－1），F1（－ ，0），所以 ＝（－ ，1）， ＝（－ －x0，－y0）.因为 ＝λ ，即（－ ，1）＝λ（－ －x0，－y0），得x0＝ ，y0＝－ .又 ＋ ＝1，所以有λ2＋6λ－7＝0，解得λ＝－7或λ＝1.因为C异于B点，故λ＝1舍去，所以λ＝－7.
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