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(共64张PPT)
第一课时　椭圆的几何性质
1. 掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义（直观想象）.
2. 会利用椭圆的几何性质解决相关问题（数形结合）.
课标要求
情境导入
　“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现.
椭圆有许多几何性质，比如边界（范围）、对称性、特殊点等等，下
面我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质.
知识点一　椭圆的几何性质
01
知识点二　由椭圆的几何性质求标准方程
02
提能点　椭圆的离心率问题
03
课时作业
04
目录
01
PART
知识点一
椭圆的几何性质
｜问题1　（1）如图所示，椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0），你能利用
方程确定椭圆的边界吗？
提示：由方程 ＋ ＝1（a＞b＞0），得 ＝1－ ≥0，得－
a≤x≤a，同理可得－b≤y≤b，故椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成
的矩形内.
（2）如图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何用方程加以说明？
提示：既关于坐标轴为轴对称，又关于原点为中心对称.若（x，y）满足
方程，则易知（x，－y），（－x，y），（－x，－y）也满足.
（3）如图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？
提示：令x＝0，则y＝±b；令y＝0，则x＝±a.故（±a，0），（0，
±b）为特殊点.
【知识梳理】
椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方
程
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1（－a，0），A2（a，0）， B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a），
B1（－b，0），B2（b，0）
轴长 长轴长＝ ，短轴长＝ 焦点 F1（－c，0），F2
F1（0，－c），F2

焦距 ｜F1F2｜＝ 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心 离心率 e＝ （0＜e＜1） 2a　
2b　
（c，0）
（0，c）
2c　
（0，0）　
　
　　提醒：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上；（2）椭圆上到中心的距
离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端
点；（3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，
最大值为a＋c，最小值为a－c.
【例1】（链接教材P112例4）求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴长、短轴长、
离心率、焦点和顶点坐标.
解：将已知椭圆方程化成标准方程为 ＋ ＝1，所以a＝5，b＝3，c＝
＝4.
因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6，
离心率e＝ ＝ .
焦点坐标分别是为F1（－4，0）和F2（4，0），
顶点坐标分别是为A1（－5，0），A2（5，0），B1（0，－3），B2（0，3）.
【规律方法】
　用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
（1）将椭圆方程化为标准形式；
（2）确定焦点位置，不确定的需要分类讨论；
（3）求出a，b，c；
（4）写出椭圆的几何性质.
　　提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍.
训练1　（1）〔多选〕已知椭圆C： ＋ ＝1的焦点分别是F1，F2，P
为C上的动点，则（　　）
√
√
解析：对于A，因为a2＝20，b2＝18，所以a＝2 ，b＝3 ，（±2 ，0）与（0，±3 ）是椭圆的顶点，故A正确；C的长轴长2a
＝4 ，B错误；｜PF1｜min＝a－c＝2 － ，C正确；C的离心率e
＝ ＝ ，D错误.故选A、C.
（2）若椭圆mx2＋y2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则实
数m的值为 　　，焦点坐标为 　 　.
4　
解析：设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意得2a
＝2×2b，则a2＝4b2，又椭圆标准方程为 ＋y2＝1，且焦点在y上，所以
1＝ ，即m＝4，c2＝1－ ＝ ，即焦点坐标为（0，± ）.
（0，± ）
02
PART
知识点二
由椭圆的几何性质求标准方程
【例2】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为 ，焦距为8；
解：由题意知，2c＝8，c＝4，
∴e＝ ＝ ＝ ，
∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48，
∴椭圆的标准方程是 ＋ ＝1.
（2）已知椭圆的离心率e＝ ，短轴长为8 .
解：由e＝ ＝ 得c＝ a，
又2b＝8 ，a2＝b2＋c2.
∴a2＝144，b2＝80，
∴椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
【规律方法】
　利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
（1）确定焦点位置；
（2）设出相应椭圆的标准方程；
（3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数；
（4）写出椭圆的标准方程.
训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6；
解：依题意可设椭圆方程为 ＋ ＝1（a＞b＞0）.
如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中
线（高），且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b，
所以c＝b＝3，
所以a2＝b2＋c2＝18，
故所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
（2）过点（3，0），离心率e＝ .
解：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞
0），由题意得a＝3，
因为e＝ ，所以c＝ ，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为
＋ ＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为 ＋ ＝1（a＞b＞
0），由题意得b＝3，
因为e＝ ，所以 ＝ ，
把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为 ＋ ＝1.
综上可知，所求椭圆的标准方程为 ＋ ＝1或 ＋ ＝1.
03
PART
提能点
椭圆的离心率问题
问题2　扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不
同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e＝ 来刻画椭圆的扁平程度.请
说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？
提示：保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心率e＝ ＝
减小，椭圆越圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e＝ ＝
增大，椭圆越扁平.
　　提醒：（1）e＝ ＝ ＝ ；（2）e越接近于1，椭圆越扁
平；e越接近于0，椭圆越接近于圆.（可以结合数字的特点来帮助记忆，
“1”很扁平，“0”很圆）
【例3】（1）下列椭圆中，哪一个更扁平（　D　）
解析：由e＝ ＝ ，∵e越大越扁平，即 越小越扁平，对比选项
选D.
D
（2）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率
为 .
解析：因为｜BF1｜＝｜BF2｜＝a，｜F1F2｜＝2c，由题意知a＝2c，所
以e＝ ＝ .

变式　若本例（2）条件变为“已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆上有一点A满足△AOF2是等边三角形
（O为坐标原点）”，则椭圆C的离心率为 .
－1
解析：法一　由题意知F2（c，0），又△AOF2是等边三角形，
所以A（ ， c），代入椭圆方程得 ＋ ＝1，　①
又a2＝b2＋c2，　②
联立①②得c2＝（4－2 ）a2，即c＝（ －1）a，则椭圆C的离心率e
＝ ＝ －1.
法二　连接AF1，则∠AF1O＝∠OAF1＝ ，所以∠F1AF2＝ ，所以｜
AF1｜＝ ｜AF2｜＝ c，又｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，即 c＋c＝
2a，所以e＝ ＝ ＝ －1.
【规律方法】
　求椭圆离心率的两种方法
（1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝ 求解.若已知a，b或b，c可
借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝ 求解；
（2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系
式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程
或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求
得e的值（范围）.
训练3　（1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1： ＋y2＝1（a＞1），
C2： ＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝ e1，则a＝（　A　）
解析：由题意知e1＝ ，e2＝ ＝ ，因为e2＝ e1，所以 ＝
× ，得a＝ .故选A.
A

解析：依题意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即
2c2≥a2，e2＝ ≥ ，所以e≥ .又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取
值范围是［ ，1）.
［ ，1）
1. 已知椭圆C： ＋ ＝1，则下列结论正确的是（　　）
A. 长轴长为9 B. 短轴长为2
解析：　由椭圆方程知a＝3，b＝2，c＝ ，故长轴为6，短轴为4，焦
距为2 ，离心率为 .故选D.
√
2. 已知P是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的
左、右焦点，若△PF1F2的周长为6.且椭圆的离心率为 ，则椭圆方程为
（　　）
√
解析：　设椭圆的半焦距为c＞0，由题意可得 解得
所以椭圆方程为 ＋ ＝1.故选C.
3. 若椭圆经过点B（0， ），且焦点分别为F1（－1，0）和F2（1，
0），则椭圆的离心率为 .
解析：由于椭圆经过点B（0， ），且焦点分别为F1（－1，0）和F2
（1，0），所以椭圆的焦点在x轴上，且b＝ ，c＝1，a＝ ＝
2，所以椭圆的离心率为e＝ ＝ .

4. （2025·淄博月考）已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）有两个顶点在直
线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标为 .
解析：在x＋2y＝2中，由y＝0得x＝2，由x＝0得y＝1，则该直线交x轴
于点（2，0），交y轴于点（0，1），依题意得a＝2，b＝1，则c＝
＝ ，显然，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标是
（± ，0）.
（± ，0）
课堂小结
1.理清单
（1）由椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质；
（2）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程；
（3）求椭圆的离心率.
2.应体会
（1）利用椭圆的标准方程研究几何性质或由几何性质求标准方程时要注
意分类讨论思想、数形结合思想的应用；
（2）求椭圆离心率问题时注意方程法（不等式法）的应用.
3.避易错
（1）求椭圆的方程时，若焦点的位置不明确，切记要分类讨论；
（2）解有关离心率e的方程时，要注意e的取值范围是（0，1）.
04
PART
课时作业
1. 椭圆x2＋6y2＝6的短轴端点坐标为（　　）
A. （－1，0），（1，0）
B. （－6，0），（6，0）
C. （0，－1），（0，1）
D. （0，－6），（0，6）
解析：　∵椭圆方程化为标准式为 ＋y2＝1，∴焦点在x轴上，且b2＝
1，∴短轴端点坐标为（0，－1），（0，1）.
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√
2. 若点（3，2）在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上，则（　　）
A. 点（－3，－2）不在椭圆上
B. 点（3，－2）不在椭圆上
C. 点（－3，2）在椭圆上
D. 无法判断点（－3，－2），（3，－2），（－3，2）是否在椭圆上
解析：点（－3，2）与（3，2）关于y轴对称，由椭圆的对称性可知，C正确.
√
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3. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，P是
椭圆上一点，｜PF1｜＋｜PF2｜＝10，且离心率为 ，则椭圆C的标准
方程为（　　）
√
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解析：　根据椭圆定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，所以a＝5，
由离心率e＝ ＝ ，所以c＝ ，由b2＝a2－c2＝25－5＝20，所以椭圆
C的标准方程为 ＋ ＝1.
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4. 设B是椭圆C： ＋ ＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值
为（　　）
A. 16 B. 4
√
解析：　B（0，2），设P（x0，y0），则－2≤y0≤2， ＋ ＝1，所
以｜PB｜＝ ＝
＝ ，因为－2≤y0≤2，所以当y0＝－2时，｜PB｜
有最大值，最大值为4.故选B.
C. 3 D. 5
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5. （2025·广州质检）设椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分
别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率
为（　　）
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解析：　法一　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆
方程可解得y＝± ，所以｜PF2｜＝ .又由∠PF1F2＝30°，可得｜
F1F2｜＝ ｜PF2｜，故2c＝ · ，变形可得 （a2－c2）＝2ac，等
式两边同除以a2，得 （1－e2）＝2e，解得e＝ 或e＝－ （舍去）.
法二　由题意可设｜PF2｜＝m，结合条件可知｜PF1｜＝2m，｜F1F2｜
＝ m，故离心率e＝ ＝ ＝ ＝ ＝ .
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6. 〔多选〕（2025·镇江月考）若椭圆C： ＋ ＝1的一个焦点坐标为
（0，1），则下列关于椭圆C的结论中正确的有（　　）
A. m＝2
√
√
√
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解析：由已知可得 ＝1，解得m＝2或m＝－1（舍去），∴椭圆C的方程为 ＋ ＝1.∴a2＝3，b2＝2，即a＝ ，b＝ ，则c＝1.∴长轴长为2a＝2 ，短轴长为2b＝2 ，离心率e＝ ＝ ＝ .故选A、C、D.
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7. 〔多选〕已知曲线C1： ＋ ＝1与曲线C2： ＋ ＝1（k＜9且
k≠0），下列说法正确的是（　　）
A. 两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆
B. 两曲线的焦距相等
C. 两曲线有相同的焦点
D. 两曲线的离心率相等
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解析：∵k＜9，∴25－k＞9－k＞0，又25＞9＞0，∴两曲线都是焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1的焦距为2× ＝8，曲线C2的焦距为2 ＝8，故B、C正确；曲线C1的离心率e1＝ ，曲线C2的离心率e2＝ ，故D不正确.故选A、B、C.
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解析：由题意得 ∴ ∴b2＝a2－c2＝7，
∴椭圆C的方程为 ＋ ＝1.
＋ ＝1
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9. 若椭圆C： ＋ ＝1（m＞9）比椭圆D： ＋ ＝1更扁，则C的长
轴长的取值范围是 .
解析：椭圆C： ＋ ＝1（m＞9）的离心率e1＝ ，椭圆D： ＋
＝1的离心率e2＝ ＝ .因为椭圆C： ＋ ＝1（m＞9）比椭圆
D： ＋ ＝1更扁，所以e1＞e2，即 ＞ ，解得m＞18，则2
＞6 ，所以椭圆C的长轴长的取值范围是（6 ，＋∞）.
（6 ，＋∞）
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10. 焦点在x轴上的椭圆的方程为 ＋ ＝1，点P（ ，1）在椭圆上.
（1）求m的值；
解：由题意，点P（ ，1）在椭圆上，代入得 ＋ ＝1，解
得m＝2.
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（2）求这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率.
解：由（1）知，椭圆方程为 ＋ ＝1，
则a＝2，b＝ ，c＝ ，
椭圆的长轴长2a＝4；短轴长2b＝2 ；
焦距2c＝2 ；离心率e＝ ＝ .
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11. 设F1，F2分别为椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若直线x
＝ 上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围
是（　　）
√
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解析：　由垂直平分线的性质知｜F1F2｜＝｜PF2｜，设直线x＝ 与x
轴的交点为M，则｜PF2｜≥｜F2M｜，即｜F1F2｜≥｜F2M｜，则
2c≥ －c，即3c2≥a2，所以e2＝ ≥ ，又0＜e＜1，所以 ≤e＜1.
故选D.
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12. 〔多选〕椭圆C： ＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原
点，以下四个命题中正确的是（　　）
A. 若过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8
√
√
√
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解析：由椭圆C： ＋y2＝1得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝8，故A正确；因为c＞b，所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，即使得 · ＝0，故B正确；椭圆C的离心率e＝ ＝ ，故C错误；对于D，易知a－c≤｜PF2｜≤a＋c，｜PF2｜∈[2－ ，2＋ ]，D正确.
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解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为 ＝8
（cm），则c2＝（4 ）2－62＝12，∴c＝2 ，∴离心率e＝ ＝ .
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14. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，
短轴的一个端点为P.
（1）若∠F1PF2为直角，焦距为2，求椭圆C的标准方程；
解：因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角，
所以b＝c，a＝ c，又因为焦距为2，所以c＝1，a＝ ，b＝1，
所以椭圆C的标准方程为 ＋y2＝1.
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（2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围.
解：因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为钝角，
所以45°＜∠OPF2＜90°（O为坐标原点），
所以 sin ∠OPF2＝ ∈（ ，1），
所以椭圆C的离心率的取值范围为（ ，1）.
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15. 设F1，F2分别是椭圆E： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过
点F1的直线交椭圆E于A，B两点，｜AF1｜＝3｜F1B｜.
（1）若｜AB｜＝4，△ABF2的周长为16，求｜AF2｜；
解：由｜AF1｜＝3｜F1B｜，｜AB｜＝4，得｜AF1｜＝3，｜
F1B｜＝1.
因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以a＝4.
｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8，
故｜AF2｜＝8－3＝5.
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（2）若 cos ∠AF2B＝ ，求椭圆E的离心率.
解：设｜F1B｜＝k，k＞0，则｜AF1｜＝3k，｜AB｜＝4k.
由椭圆定义可得｜AF2｜＝2a－3k，｜BF2｜＝2a－k.
在△ABF2中，由余弦定理可得｜AB｜2＝｜AF2｜2＋｜BF2｜2－2｜AF2｜·｜BF2｜· cos ∠AF2B，
即（4k）2＝（2a－3k）2＋（2a－k）2－ （2a－3k）（2a－k）.
化简可得（a＋k）（a－3k）＝0，而a＋k＞0，故a＝3k.
于是有｜AF2｜＝3k＝｜AF1｜，｜BF2｜＝5k.
因此｜BF2｜2＝｜F2A｜2＋｜AB｜2，可得F1A⊥F2A，
故△AF1F2为等腰直角三角形.
从而c＝ a，所以椭圆E的离心率e＝ ＝ .
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